定积分的近似计算以及误差估计

定积分的近似计算方法与误差估计

作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花

摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式，高斯求积公式等近

似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.

关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算

1引言

在计算定积分的值()b

a I f x dx =?时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数

)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分,()()()b

a

I f x dx F b F a ==-?.但这种方法只限于解

决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2

b

x a

e dx ?

,2

sin b

a x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法来求积分值.

与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替()f x ,且

()b

a

x dx ??

的值容易求的.这样就把计算复杂的()b a

f x dx ?转化为求简单的积分值()b

a

x dx ??.

因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题.

2 定积分的近似计算——常见数值方法 2.1 矩形公式

根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即

1

()d ()n

b

i i a

i f x x f x ?==?∑?

在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同i ?的取法，计算结果会有不同，常见的取法有：

（1）左端点法，即1-=i i x ?,

i a

b

n

i i x x f dx x f ?

∑=-?≈11)()(

（2）右端点法，即 i i x =?,i n

i i a

b

x x f dx x f ?≈∑?=1

)()(

（3）中点法，即12i i i x x ?-+=,i n

i i i a

b x x x f dx x f ?+≈∑?=-1

1)2()(

例1 用矩形公式近似计算积分 1

2 0d 1x

x +?（取100=n ）.

解 对[]1,0作n 等分

b x i n

a

b a x x a x n i =<<-+

=<<<= 10，由定义知： ∑∑?===?=+n

i i n

i i f n x f x dx 111

1

0)(1)(1??

(1)左点法：在区间],[1i i x x -上取左端点，即取1-=i i x ?，n i 2,1=

1

2 01d ()1n

i i i x

f x x ?==?≈+∑?0.78789399673078， 理论值

1

2 0d 14x x π

=+?，此时计算的相对误差

0.787893996730784

0.0031784

ππ-=

≈

（2）右点法：在区间],[1i i x x -上取右端点，即取i i x =?，n i 2,1=

1

2 01d ()1n

i i i x

f x x ?==?≈+∑?0.78289399673078， 理论值

1

2 0d 14x x π

=+?，此时计算的相对误差

0.782893996730784

0.003188

4

ππ-=

≈

（3）中点法：取 在区间1[,]i i x x -上取中点，即取12

i i

i x x ?-+=

，n i 2,1= 1

2 01

d ()1n

i i i x

f x x ?==?≈+∑?0.78540024673078， 理论值

1

2 0d 14x x π

=+?，此时计算的相对误差

60.785400246730784

2.653104

ππ--=

≈?

如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．

2.2梯形公式

等分区间

b x i n a b a x x a x n i =<<-+

=<<<= 10，n

a

b x -=?

相应函数值为

n y y y ,,,10 （n i x f y i i ,,1,0),( ==）

． 曲线)(x f y =上相应的点为

n P P P ,,,10 （n i y x P i i i ,,1

,0),,( ==） 将曲线的每一段弧i i P P 1-用过点1-i P ，i P 的弦i i P P 1-（线性函数）来代替，这使得每个],[1i i x x -上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为

x y y i

i ??+-2

1，n i ,,2,1 =． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，

11 11

()d ()22n

n

b

i i i i a i i y y x f x x x y y --==+?≈??=+∑∑?

即

11 ()d ()2

2

b

n

n a

y y b a f x x y y n --≈

++++

?

称此式为梯形公式．

例2 用梯形公式近似计算定积分 1

2 0d 1x

x +?（取100=n ）.

解

1

112 0d ()122

n n y y

x b a y y x n --≈++

++=+?0.78539399673078，

理论值 12 0d 14

x x π

=

+?，此时计算的相对误差 60.785393996730784

5.305104

ππ--=

≈?

很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多.

2.3 抛物线公式

由梯形法求近似值，当)(x f y =为凹曲线时，它就偏小；当)(x f y =为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．

将积分区间],[b a 作n 2等分，分点依次为

b x i n a b a x x a x n i =<<-+

=<<<=2102 ，n

a

b x 2-=?， 对应函数值为

n y y y 210,,, （n i x f y i i 2,,1,0),( ==）

， 曲线上相应点为

n P P P 210,,, （n i y x P i i i 2,,1

,0),,( ==）． 现把区间],[20x x 上的曲线段)(x f y =用通过三点),(000y x P ，),(111y x P ，),(222y x P 的抛物线

)(12x p x x y =++=γβα

来近似代替，然后求函数)(1x p 从0x 到2x 的定积分：

2

1 ()d x x p x x =

?

2

2 ()d x x x x x αβγ++=

?

)()(2

)(3

022

0223

032x x x x x x -+-+

-γβ

α

]4)(2)()()[(62022022

202002γβαγβαγβα++++++++++-=

x x x x x x x x x x 由于2

2

01x x x +=

，代入上式整理后得 2

1 ()d x x p x x ?

)](4)()[(612122

202002γβαγβαγβα++++++++-=

x x x x x x x x )4(621002y y y x x ++-=

)4(6210y y y n

a

b ++-= 同样也有

4

2

2 ()d x x p x x ?

)4(6432y y y n

a

b ++-=

……

222

()d n

n x n x p x x -?

)4(621222n n n y y y n

a

b ++-=

-- 将这n 个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：

222

22212 1

1

()d ()d (4)6i

i n

n

b

x i i i i a

x i i b a

f x x p x x y y y n

---==-≈=++∑∑

?

?

， 即

021******* ()d [4()2()]6b

n n n a

b a

f x x y y y y y y y y n

---≈

++++++++?

这就是抛物线公式，也称为辛卜生（Simpson ）公式． 例3 用抛物线公式近似计算积分 1

2 0d 1x

x +?(取100=n ).

解

1

0213

2124222 0d [4()2()]16n n n x b a

y y y y y y y y x n ---≈+++++++

++?

=0.78539816339745，

理论值

1

2 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差

160.785398163397454

2.827104

ππ--=

≈?

2.4 几种近似计算定积分方法的比较分析及误差估计

例4 计算积分211

ln 2dx x

=?，精确到0.001.

解 方法(一) 利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有32

0()2f x x

''<=<(如果1

所以按照公式

0)2(=+-

?dx b

a x a

b

. 0

112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得3101

0.84101200

R -<

1

x

的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有

123252729213152172192 1.051.151.251.351.551.651.751.851.95

x x x x x x x x x =========

5128

.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.0219172152132927252321=========y y y y y y y y y Y 的和计算6.9284 故计算结果为 69284.010

9284

.6=。

方法(二) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 210,||6n n R R n

<<

在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.1600

1

||-?<

9

.18.17.16.15.14.13.12.11.1987654321=========x x x x x x x x x 5263

.05556.05882.06250.06667.07143.07692.08333.09091.0987654321=========y y y y y y y y y

y 和计算为1877.6 故计算结果为

69377.01877.62

1500101=+）（ 方法(三） 用抛物线公式做同样的计算

作公式 .

0))(()

2(180)()

4(4

5<≤≤?--=n n R b a f n a b R ξξ 并且n =5时有5

5104.1||-?

8

.16.14.12

.14321====x x x x 45636

.555556.062500.071429.083333.04321和====y y y y 9

.17.15.13.11.129725231=====x x x x x

83820

.1352632.058824.066667.076923.090909.029********和=====y y y y y

.20.150==x x 50000

.150000.060000

.150和==y y

6931525.083820.345636.550000.130

1=++）（.

由此可见，用抛物线公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误

差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用抛物线公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择抛物线公式或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小.

3 复化求积公式与高斯公式 3.1复化梯形求积公式

将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b a

h n

-=

),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式得

))]()((2

[

)()(11

11

1

i n

i x x n

i i i i a

b

x f x f x x dx x f dx x f i

i +-≈=∑?

∑?

==--- =

)]()([211

i i n

i x f x f h

++=∑ =n n i i T b f x f a f h

=++∑-=)]()(2)([211

.

称式

=?

dx x f a

b

)()]()([2

11i i n

i x f x f h

++=∑为复化梯形公式.

例5利用复化梯形求积公式计算积分

122

1

1I dx x

=+?

解 设2

11

)(x x f +=

,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 1

1

1[(()())],

21,2(),.

n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=?

=++??

-?==?

?

=??

=+=?∑

3.2复化抛物线求积公式

在每个小区间],[1+i i x x 上,n

a

b h -=

,由抛物线公式得 1

1102

()[()4()()]6n b

i i a

i i h

f x dx f x f x f x -++

==++∑?

)]()(2)(4)([611

1021b f x f x f a f h

n i i n i i +++=∑∑-=-=+

上式中,2

1+

i x

为],[1+i i x x 的中点,即h x x i i 2

12

1+

=+

. 公式

)]()(2)(4)([6)(1

1

101b f x f x f a f h

dx x f n i i n i i a

b

+++=∑∑?

-=

-=+称为复化抛物线公式.

例6 利用复化抛物线求积公式计算 1

20

21

1

I dx x =

+?

.

解 设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()???

????

???

???

++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.

)12(,2),(),(),(,,242[3122121222111

1,

1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a

m i m i i b a m

3.3 高斯求积公式

由定理

()()()b

a

f x F b F a =-?

知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具

有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度.

设积分上限1-=a 积分下限1=b ，本段讨论如下求积公式

1

1

()()n

i i i f x A f x -==∑?

?

--=1

1,)()()(k

k i x x x x A ωω, .,,2,1n i = 任意积分区间[,]

a b ,通过变22b

a t a

b x ++-=

可以转换到区间]1,1[-上,这时

11()()222

b

a

b a b a a b

f x dx f t dt ---+=

+?

? 此时,求积公式写为

0()()222

n b

i i a

i b a a b b a

f x dx A f t =-+-=+∑?

若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式

()()222n b

i i a

i b a a b b a

f x dx A f t =-+-=+∑?

具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并

称此公式为高斯求积公式.

(2)2

()[]()()()(22)!n n

b

b k k a

a k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑?? 为高斯求积公式的余项，其中01()()()...(),[,]n x x x x x x x a

b ωη=---∈,且不依赖于x .

例7 利用高斯求积公式计算

?+1

01x dx

. 解 令)1(2

1

t x += 则??-+=+111031t dt x dx ,用高斯求积公式计算, 取n=5,则

69314719.0)()()(3551111

1≈+=≈+∑?-t f A t f A t f A t dt

i n

i .

结 束 语

本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用,误差分析等有关内容.其中最常用的

方法是插值型积分以及复化方法、高斯积分方法,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分

析,并给出了一些例题,分析各种方法的近似值,得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,对于高维数值积分方法本文便不再讨论.

参考文献

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[8] 林成森，数值计算方法[M],北京：科学出版社，2001.

The Approximate Numerical Method of the Definite Integral and error estimate Author: CAO Leqing Supervisor:XIN Baohua

Abstract:This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after the Gauss formula. This paper focus on these methods introducing formula of introduction and truncation errors .In addition they can provide examples to analysis size of the error and computation.

Keywords:interpolation integral Gauss integral error analysis approximate computation

.