高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解

高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解

一、选择题 1．已知a n ＝

1

n ＋1＋n

，数列{a n }的前n 项和为S n ，已计算得S 1＝2－1，S 2＝3－1，

S 3＝1，由此可猜想S n ＝( )

A.n －1

B.n ＋1－1

C.n ＋1－2

D.n ＋2－2 [答案] B

2．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1

2k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( )

A ．S k ＋1

2(k ＋1)

B ．S k ＋12k ＋1－1

k ＋1

C ．S k ＋12k ＋1－1

2k ＋2

D ．S k ＋12k ＋1＋1

2k ＋2

[答案] C [解析] S k ＋1＝

1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1

k ＋1

＋

1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－1

2k ＋2

.

3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.

2°假设n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即k 2＋k

D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 [答案] D

[解析]没用归纳假设．

4．将正整数排成下表：

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

……

则在表中数字2010出现在()

A．第44行第75列

B．第45行第75列

C．第44行第74列

D．第45行第74列

[答案] D

[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．

又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.

5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()

A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立

C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立

D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

[答案] D

[解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．

对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．

对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.

6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()

A ．(8n －1)个

B ．(8n ＋1)个 C.1

7

(8n －1)个 D.1

7(8n ＋1)个 [答案] C

[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n 个图挖去1＋8＋82

＋…＋8

n －1

＝8n －1

7

个．

7．观察下式：

1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52

……

据此你可归纳猜想出的一般结论为( ) A ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *) B ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2(n ∈N *) C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) [答案] D

[解析] 观察可见第n 行左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2，故选D.

8．(2010·天津滨海新区五校)若f (x )＝f 1(x )＝x

1＋x ，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)

＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝( )

A ．n B.9n ＋1 C.n n ＋1 D ．1 [答案] A

[解析] 易知f (1)＝12，f (2)＝23，f (3)＝34，…，f (n )＝n n ＋1；由f n (x )＝f n －1(f (x ))得，f 2(x )＝x

1＋2x ，

f 3(x )＝

x 1＋3x ，…，f n (x )＝x 1＋nx ，从而f 1(1)＝12，f 2(1)＝13，f 3(1)＝14，…，f n (1)＝1

n ＋1

，，

所以f (n )＋f n (1)＝1，故f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝n .

9．(2010·曲阜一中)设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是

( )

A ．[1

2，2)

B ．[1

2，2]

C ．[1

2，1]

D ．[1

2，1)

[答案] D

[解析] 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝f 2(1)＝????122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝f 3(1)＝????123，…，a n ＝f (n )＝f n (1)＝????12n ，∴S n

＝12＋????122＋????123＋…＋????12n ＝12[1－(1

2)2]

1－12

＝1－(12

)n ， ∵n ∈N *，∴1

2

≤S n <1.

10．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1、A 1A 2，A 2A 3是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的圆弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA 3为半径画圆弧……这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度l n 为( )

A ．(3n 2＋n )π

B ．(3n 2－n ＋1)π C.(3n 2＋n )π2

D.(3n 2－n ＋1)π2

[答案] A

[解析] 由条件知CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 对应的中心角都是

2π

3

，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为2π3，2π3×2，2π3×3…，据题意，第一圈长度为2π

3(1＋2＋3)，

第二圈长度为2π3(4＋5＋6)，第n 圈长度为2π3[(3n －2)＋(3n －1)＋3n ]，故L n ＝2π

3(1＋2＋3＋…

＋3n )＝2π3·3n (1＋3n )

2

＝(3n 2＋n )π.

二、填空题

11．(2010·浙江金华十校模考)已知2＋2

3＝22

3，3＋

3

8＝3

3

8，4＋

4

15＝

44

15，…，若6＋

a

t＝6

a

t，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则

a＋t＝________.

[答案]41

[解析]注意分数的分子、分母与整数的变化规律，2→分子2，分母3＝22－1,3→分子

3，分母8＝32－1,4→分子4，分母15＝42－1，故猜想a＝6，t＝62－1＝35，再验证6＋6

35

＝6

6

35成立，∴a＋t＝41.

[点评]一般地，n＋

n

n2－1

＝

n3

n2－1

＝n

n

n2－1

，(n∈N*)成立．

例如，若15＋

a

t＝15

a

t成立，则t＋a＝239.

12．考察下列一组不等式：

23＋53>22·5＋2·52

24＋54>23·5＋2·53

2

5

2＋5

5

2>2

2·51

2＋2

1

2·5

2

将上述不等式在左右两端仍为两

项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．

[答案]a m＋n＋b m＋n>a m b n＋a n b m(a，b>0，a≠b，m，n>0)

13．(2010·浙江杭州质检)观察下列等式：

(x2＋x＋1)0＝1；

(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1；

(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1；

(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1；

可以推测(x2＋x＋1)4的展开式中，系数最大的项是________．

[答案]19x4

[解析]观察其系数变化规律：

(x2＋x＋1)1为1,1,1

(x2＋x＋1)2为1,2,3,2,1

(x2＋x＋1)3为1,3,6,7,6,3,1

故由此可推测(x2＋x＋1)4系数中最大的为6＋7＋6＝19，故系数最大项是19x4.

14．(2010·南京调研)五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数

为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为________．

[答案] 4

[解析] 根据规则，五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8，第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8，第三轮报出的数依次为8,4,2,8,6，故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3外，从第三位同学开始报出的数依次按6,8,8,4,2,8循环，则第2010个被报出的数为4.

[点评] 数字2010比较大，不可能一个一个列出数到第2010个数，故隐含了探寻其规律性(周期)的要求，因此可通过列出部分数，观察是否存在某种规律来求解．明确了这一特点解决这类问题就有了明确的解题方向和思路．

三、解答题

15．已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，…，

(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；

(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －2

2

. (2)a 1＝x 2－x 1＝a ，

a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－1

2a ，

a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝1

4a ，

由此推测a n ＝(－12)n －

1a (n ∈N *)．

证法1：因为a 1＝a >0，且

a n ＝x n ＋1－x n ＝x n ＋x n －12－x n ＝x n －1－x n 2＝－12(x n －x n －1)＝－1

2a n －1(n ≥2)，

所以a n ＝(－12

)n －

1a .

证法2：用数学归纳法证明：

(1)当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝(－1

2

)0a ，公式成立．

(2)假设当n ＝k 时，公式成立，即a k ＝(－12

)k －

1a 成立．那么当n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k 2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12(－12)k －1a ＝(－12)(k ＋1)－

1a ，公

式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n ∈N *，公式a n ＝(－12

)n －

1a 成立．

16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点????n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a

n 2x 的图象上．

(1)求a 1，a 2，a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；

(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．

[分析] (1)将点????n ，S n n 的坐标代入函数f (x )＝x ＋a

n 2x 中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；

(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.

[解析] (1)∵点????n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a

n 2x 的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋1

2a n . 令n ＝1得，a 1＝1＋1

2a 1，∴a 1＝2；

令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋1

2a 2，∴a 2＝4；

令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋1

2a 3，∴a 3＝6.

由此猜想：a n ＝2n . 用数学归纳法证明如下：

①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立． ②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立， 则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋1

2a n (n ∈N *)，

故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋1

2

a k .

两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－1

2a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k .

由归纳假设得，a k ＝2k ，

故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)． 这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立． 由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．

(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，

(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以b 100＝68＋24×80＝1988， 又b 5＝22，所以b 5＋b 100＝2010.

[点评] 由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1或S k 与S k ＋1间的关系，使命题得证．

17．(2010·南京调研)已知：(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．

(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝a 2

2n －3

，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)

3

.

[解析] (1)当n ＝5时，

原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －

2

b n ＝a 2

2n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2)

①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，

右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．

②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)

3成立

那么，当n ＝k ＋1时，

左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)

3＋k (k ＋1)

＝k (k ＋1)????k －13＋1＝

k (k ＋1)(k ＋2)

3

＝

(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]

3

＝右边．

故当n＝k＋1时，等式成立．

综上①②，当n≥2时，T n＝n(n＋1)(n－1)

3.