完全平方公式和平方差公式的应用

公式：

语言叙述：两数的。

公式结构特点：

左边：右边：

熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b

(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b

(x-2y)(x+2y)

填空：

1、(2x-1)( )=4x2-1

2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2

第一种情况：直接运用公式

1.（a+3）(a-3)

2..( 2a+3b)(2a-3b)

3. (1+2c)(1-2c)

4. (-x+2)(-x-2)

第二种情况：运用公式使计算简便

1、1998×2002

2、498×502

3、999×1001

4、×

5、×

6、（100-1

）×（99-

）

7、（20-1

）×（19-

）

第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)

2、(a+2)(a-2)(a2+4)

3、(x- 1

)(x2+

)(x+

)

第四种情况：需要先变形再用平方差公式

1、（-2x-y）(2x-y)

2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)

第五种情况：每个多项式含三项

1.（a+2b+c ）(a+2b-c)

2.(a+b-3)(a-b+3)

+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)

完全平方公式

公式：

语言叙述：两数的 . 。

公式结构特点：

左边：右边：

熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。公式变形

1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)2

2、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2

3、(a+b)2 +（a-b ）2=

4、(a+b)2 --（a-b ）2=

一、计算下列各题：

1、2)(y x +

2、2)23(y x -

3、2)21(b a +

4、2)12(--t

5、2)313(c ab +

- 6、2)2

332(y x + 7、2)121(-x 8、+2

二、利用完全平方公式计算：

（1）1022 （2）1972

三、计算：

（1）22)

3(x x -+ （2）22)(y x y +-（3）()()2()x y x y x y --+- 四、计算：

（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()

1(--+xy xy

（3）)4)(12(3)

32(2+--+a a a

五、计算：

（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-

y x y x

（3）)3)(3(+---b a b a （4）

()()2323x y z x y z +-++

六、拓展延伸巩固提高

1、若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。

2、若k x x ++22是完全平方式，求k 值。

3、已知13a a +

=，求221a a +的值

巧用平方差公式解题

平方差公式 22))((b a b a b a -=-+ 用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考：

例1、计算：22)11

1049()11150(- 解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将a 看作11150

，将b 看作111049，逆用平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍

22)111049()11150(-=11

200112100)11104911150)(11104911150(=?=-+ 例2、计算：1.1009.991002?-

解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将1.1009.99?变形为)1.0100)(1.0100(+-，再运用平方差公式，则问题迅速获解

1.1009.991002?-=01.0)1.0100(100)1.0100)(1.0100(1002222=--=+--

例3、计算：2

200720052006222

-+ 解析：直接计算，数值较大，可先将分母220072005

22-+变形为)12007()12005(22-+-，

再逆用平方差公式，则问题迅捷可解原式=)

12007)(12007()12005)(12005(2006)12007()12005(20062

222-++-+=-+-

12006200622006)20082004(2006200620082006200420062006222=??=+?=?+?

例4、计算：)10

11()411)(311)(211(2222----Λ 解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏

而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解

原式=)10

11)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(+-+-+-+-

Λ =20111011211011109454334322321=?=????????Λ 例5、试确定1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++的未位数

解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。

原式=1)13)(13)(13)(13)(13)(13

)(13)(13(643216842++++++++- =1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13

(6432168422+++++++- =1)13)(13)(13)(13)(13)(13

(643216844++++++-=1)13)(13(6464++-=Λ =3232412812881)3(3113===+- 因为未位数是1的任何次幂的未位数还是1

所以1)13)(13)(13)(13)(13)(13

)(13(2643216842++++++++未位数是1

计算：（1）、1.109.9? （2）、200720052006

2?- （3）、229.91.10-

（4）、试确定1)12)(12)(12)(12)(12)(12

)(12(643216842++++++++的未位数完全平方公式的变形和应用

一、完全平方公式常见的变式

（1）ab b a b a 4)()

(22+-=+ （2）ab b a b a 2)(222μ±=+

（3）)(2)()

(2222b a b a b a +=-++ （4）)()(2222b a b a ab +-+=

（5）2)1(122

2-+=+a a a a 二、完全平方公式变形的应用例1 已知216,8c ab b

a +==+，求2008)(c

b a +-的值。解：由变式（1）得：

222224)16(484)()(c c ab b a b a -=+-=-+=-

所以04)(22=+-c b a 所以0,0==-c b a

所以0)

(2008=+-c b a 例2 已知2222,3)(,7)(y x y x y x +=-=+求的值。

解：由变式（3）得：

52372)()(222

2=+=-++=+y x y x y x 例3 已知,2,122=+=+y x y x 求44y x +的值。

解：由变式（4）得：

)()(2222y x y x xy +-+= 212-=

1-= 所以2

1-=xy 再由变式（2）得：

22222442)(y x y x y x -+=+

22)21(22-?-= 214-= 2

7= 例4 已知0132=++x x ，求441x

x +的值。解：由题意知0≠x

在0132=++x x 的两边都乘以x

1得： 31-=+x x 由变式（5）得：

72)3(2)1(12222=--=-+=+

x x x x 47272)1(1222244=-=-+=+x x x x

例1 若,x y 为有理数，且满足22312120x

y y +-+=，求x y 的值．分析：欲求

x y 的值，须求出,x y 的值．由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的．

解：22312120x y y +-+=，

223(44)0x y y +-+=，

223(2)0x y +-=，

∵220,(2)0x

y -≥≥，∴220,(2)0x y =-=，即0,2x y ==， ∴x y =20=1．

例2 已知2,5a b b c -=--=，求222a b c ab bc ac ++---的值．

分析：显然，本题若按一般方法，即先求出,,a b c 的值，再代入多项式求值，将十分困难．而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式．因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解．

解：∵

2,5a b b c -=--=，∴3a c -=， ∴222a

b c ab bc ac ++---=2221(222222)2a b c ab bc ac ++--- =()()()22212a b b c a c ??-+-+-?

? =()22212532??-++?

?=19．例3 试说明不论,x y 为何值时,代数式224614x

y x y ++-+的值总是正数. 分析：本题实质就是证明2246140x y x y ++-+>.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的．

解:

224614x y x y ++-+ =2244691x x y y +++-++

=22(2)

(3)1x y ++-+∵2(2)x +≥0,2(3)y -≥0, ∴22(2)(3)1x y ++-+>0.即代数式224614x y x y ++-+的值总是正数.

平方差公式专项练习题

A 卷：基础题

一、选择题

1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）

A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）

C．（1

a+b）（b－

a）D．（a2－b）（b2+a）

3．下列计算中，错误的有（）

①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；

③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）

A．5 B．6 C．－6 D．－5

二、填空题

5．（－2x+y）（－2x－y）=______．

6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．

7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．

8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．

三、计算题

9．利用平方差公式计算：202

×21

．

10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．

B卷：提高题一、七彩题

1．（多题－思路题）计算：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；

（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－

4016

．

2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．

（1）一变：利用平方差公式计算：

22007

200720082006

．

（2）二变：利用平方差公式计算：

2007 200820061

．

二、知识交叉题

3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．

三、实际应用题

4．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，

则改造后的长方形草坪的面积是多少

四、经典中考题

5．下列运算正确的是（）

A ．a 3+a 3=3a 6

B ．（－a ）3·（－a ）5=－a 8

C ．（－2a 2b ）·4a=－24a 6b 3

D ．（－

13a －4b ）（13

a －4

b ）=16b 2－19a 2 6．计算：（a+1）（a －1）=______．

C 卷：课标新型题

1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3，

（1－x ）（?1+x+x 2+x 3）=1－x 4．

（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n ）=______．（n 为正整数）

（2）根据你的猜想计算：

①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．

②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）．

③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______．

（3）通过以上规律请你进行下面的探索：

①（a －b ）（a+b ）=_______．

②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______．

③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．

2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．

3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，?将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式请将结果与同伴交流一下．

完全平方公式变形的应用

完全平方式常见的变形有: ab b a b a 2)(222-+=+

ab b a b a 2)(222+-=+

ab b a b a 4)(22=--+）（

bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++

1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值

2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

3．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2

()a b -的值。练一练 A 组：

1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a

b +的值。 3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。

4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值

B 组：

5．已知6,4a b ab +==，求22223a

b a b ab ++的值。 6．已知222450x y x y +--+=，求21(1)2

x xy --的值。 7．已知16x x

-=，求221x x +的值。 8、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x

x + 9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x

y x y ++-+的值总是正数。 C 组:

10、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形

整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B 卷)

一、请准确填空

1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=________.

2、一个长方形的长为(2a +3b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为________.

3、5－(a －b )2的最大值是________，当5－(a －b )2取最大值时，a 与b 的关系是________.

4.要使式子+4

1y 2成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________.

×31×(302+1)=________.

7.已知x 2－5x +1=0,则x 2+21x =________.

8.已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2+(2003－a )2=________.

二、相信你的选择

9.若x 2－x －m =(x －m )(x +1)且x ≠0,则m 等于

A.－1

10.(x +q )与(x +5

1)的积不含x 的一次项，猜测q 应是 B.51 C.－5

1 D.－5 11.下列四个算式:①4x 2y 4÷4

1xy =xy 3;②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c ;③9x 8y 2÷3x 3y =3x 5y ; ④(12m 3+8m 2－4m )÷(－2m )=－6m 2+4m +2，其中正确的有

个个个个

12.设(x m －1y n +2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为

B.－1 D.－3

13.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于

－2a 2b 2+b 4

+2a 4b 4+b 6 －2a 4b 4+b 6 －2a 4b 4+b 8 14.已知(a +b )2=11,ab =2,则(a －b )2的值是

15.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是

249

449

16.若x ,y 互为不等于0的相反数，n 为正整数,你认为正确的是

、y n 一定是互为相反数 B.(x

1)n 、(y 1)n 一定是互为相反数、y 2n 一定是互为相反数

－1、－y 2n －1一定相等三、考查你的基本功

17.计算

(1)(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2;

(2)［ab (3－b )－2a (b －2

1b 2)］(－3a 2b 3); (3)－2100××(－1)2005÷(－1)－5;

(4)［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］÷6x .

18.(6分)解方程

x (9x －5)－(3x －1)(3x +1)=5.

四、生活中的数学

19.(6分)如果运载人造星球的火箭的速度超过 km/s(俗称第二宇宙速度)，则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为

×106 m/h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍

五、探究拓展与应用

20.计算.

(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1)

=(24－1)(24+1)=(28－1).

根据上式的计算方法，请计算

(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2364的值.

“整体思想”在整式运算中的运用

“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：

1、当代数式532++x x

的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.

2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。

3、已知4=+

y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值

4、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式

835-++cx bx ax 的值

5、若123456786123456789?=M

，123456787123456788?=N 试比较M 与N 的大小

6、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.

平方差公式基础题

一、选择题

1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )

A.(x+y)(－x －y)

B.(2x+3y)(2x －3z)

C.(－a －b)(a －b)

D.(m －n)(n －m)

2.下列计算正确的是( )

A.(2x+3)(2x －3)=2x 2－9

B.(x+4)(x －4)=x 2－4

C.(5+x)(x －6)=x 2－30

D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b 2

3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )

A.(－a －b)(－b+a)

B.(xy+z)(xy －z)

C.(－2a －b)(2a+b)

D.－y)(－y －

4.(4x 2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )

A.－4x 2－5y

B.－4x 2+5y

C.(4x 2－5y)2

D.(4x+5y)2

+(1－a)(1+a)(1+a 2)的计算结果是( )

A.－1 －1 －2a 4

C.(x －y)(x+25y)

D.(x －5y)(5y －x)

平方差公式提高题

一、选择题:

1.下列式中能用平方差公式计算的有( )

①(x-12y)(x+12

y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) 个个个个

2.下列式中,运算正确的是( )

①222(2

)4a a =, ②2111(1)(1)1339x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a

b a b ++??=. A.①② B.②③ C.②④ D.③④

3.乘法等式中的字母a 、b 表示( )

A.只能是数

B.只能是单项式

C.只能是多项式

D.单项式、?多项式都可以

二、解答题

4.计算(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1).

计算:2481511111(1)(1)(1)(1)22222+

++++.

5.计算:22222110099989721-+-++-L .

6.(1)化简求值:(x+5)2-(x-5)2-5(2x+1)(2x-1)+x ·(2x)2,其中x=-1.

(2)解方程5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-

13)(x+13)=2.

7.计算:22222

11111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L

平方差公式和完全平方公式练习题

平方差公式和完全平方公式练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a － b 中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（ a+b）（b－a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a －4；②（2a －b）（2a +b）=4a －b ； ③（3－x）（x+3）=x －9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x －y ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x －y =30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x +2y ）（______）=9x －4y ． 7．（a+b－1）（a－b+1）=____________ 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 9．利用平方差公式计算：（1）2009×2007－2008 ．（2）． 10. 解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）

11．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______． 12，判断正误（1）（a-b）=a - b ( ) （2）（-a-b）=（a+b） =a+2ab+b ( ) （3）（a-b）=（b-a） =b-2ab+a （） ( 4) （1）（2x+5y）（2）（ m - n） (3) (x-3) (4)(-2t-1) (5)( x+ y) (6)(-cd+ ) （7）（a+b+c）（8）（a+b+c+d）（1）代数式2xy-x -y =( ) A、（x-y） B、（-x-y） C、（y-x） D、-（x-y）（2）（）-（）等于（） A、xy B、2xy C、 D、0

完全平方公式典型应用

完全平方公式的典型应用题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2；（2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－ 41y 2等于－（）2 题型四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求 21(1)2x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角

平方差公式练习题精选(含答案)

For personal use only in study and research; not for commercial use 平方差公式 1、利用平方差公式计算：（1）(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z) 2、利用平方差公式计算（1）(5+6x)(5-6x) (2)(x-2y)(x+2y) (3)(-m+n)(-m-n) 3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-4 1x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n 2 4、利用平方差公式计算 (1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b) (3)(-x+1)(-x-1) (4)(-4k+3)(-4k-3) 5、利用平方差公式计算（1）803×797 （2）398×402 7．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ） C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ） 8．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；

③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）= －x 2－y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（） A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－5 10．（－2x+y ）（－2x －y ）=______． 11．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4． 12．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2． 13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 14．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．完全平方公式 1利用完全平方公式计算：（1）（21x+3 2y)2 (2)(-2m+5n)2 (3)（2a+5b)2 (4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算：（1）(21x-3 2y 2)2 (2)(1.2m-3n)2 (3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-3 2y)2 3 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2 (a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2 (5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2— （mn-1)(mn+1) 4先化简，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。 5已知x ≠0且x+1x =5,求441x x 的值. 平方差公式练习题精选(含答案) 一、基础训练 1．下列运算中，正确的是（）

平方差与完全平方公式教案与答案

15.2.1 平方差公式知识导学 1．平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。典例解悟例1. 计算：（1）(2x+3y)(2x-3y) (2) (-4m2-1)(-4m2+1) 解：（1）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2 (2) (-4m2-1)(-4m2+1)=(-4m2)2-12=16m4-1 感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。其中第（2）题中的相同项是-4m2,不能误以为含有负号的项一定是相反项。例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8. 解：原式=(x2-4y2)-(y2-4x2)=5x2-5y2. 当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.

感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。在本题(2x-y)(-2x-y)中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为（-y+2x）（-y-2x）。阶梯训练 A级 1.下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A.(-a-b)(a+b) B.(-a-b)(a-b) C.(-a+b)(a-b) D.(a+b)(a+b) 2.在下列各式中，计算结果是a2 -16b2 的是（） A．（-4b+a）（-4b-a） B.(-4b+a)(4b-a) C．（a+2b）（a-8b） D.(-4b-a)(4b-a) 3.下列各式计算正确的是（） A.（x+3）（x-3）=x2 -3 B．（2x+3）（2x-3）=2x2 -9 C.（2x+3）（x-3）=2x2 -9 D．（2x+3）（2x-3）=4x2 -9 4．（0.3x-0.1）（0.3x+0.1）=_________ 5. (2 3x+3 4 y) (2 3 x-3 4 y) = _________ 6.（-3m-5n）（3m-5n）=_________

2020中考数学专题复习平方差公式及其应用(含解析)

平方差公式及其应用（含解析）一、单选题 1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（） A. （x+a）（x﹣ a） B. （﹣x﹣b）（x﹣b） C. （a+b）（﹣a﹣ b） D. （b+m）（m﹣b） 3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（） A. （x-y）（-x+y） B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y） 4.下列各式能用平方差公式计算的是( ) A. (2a＋b)(2b－a) B. C. (a＋b)(a－ 2b) D. (2x－1)(－2x＋1) 5.下列各式中能用平方差公式的是（） A. （2a﹣3）（﹣ 2a+3） B. （a+b）（﹣a﹣b） C. （3a+b）（b﹣ 3a） D. （a+1）（a﹣2） 6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（） A. b -a B. a -b C. -a -2ab+b D. -a +2ab+b 7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（） A. （2a-b）（-2a+b） B.

（a-2b）（2a+b） C. （2a-b）（-2a-b）D . （-2a-b）（2a+b） 8.下列能用平方差公式计算的是（） A. （﹣a+b）（a﹣b） B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1） 9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（） A. 2 B. 4 C. ±2 D. ±4 10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（） A. （-a-1）（-a+1） B. （-a-1）（-a+1） C. （-a-1）（-a+1） D. （a-1）（-a-1） E. （a-1）（-a-1） 11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（） A. （x+9）（x﹣ 9） B. （x+9）（﹣x﹣9） C. （﹣x+9）（﹣x﹣ 9） D. （﹣x﹣9）（x﹣9） 12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（） A. [x﹣ （2y+1）]2 B. [x+（2y+1）]2 C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] 13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（） A. （x﹣y）（﹣y﹣ x） B. （x2﹣y2）（x2+y2）

平方差公式练习题精选(含答案) 2

平方差公式练习题精选(含答案) 一、基础训练 1．下列运算中，正确的是（） A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6 2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（x+1）（1+x）B．（1 2 a+b）（b- 1 2 a） C．（-a+b）（a-b）D．（x2-y）（x+y2） 3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（） A．3 B．6 C．10 D．9 4．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（） A．5 B．-5 C．10 D．-10 5．9.8×10.2=________; 6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________． 7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______． 9．（1 2 x+3）2-（ 1 2 x-3）2=________． 10．（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）（x-2y）2；（4）（-2x-1 2 y）2． 11．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．二、能力训练 13．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（）

A．4 B．2 C．-2 D．±2 14．已知a+1 a =3，则a2+ 2 1 a ，则a+的值是（） A．1 B．7 C．9 D．11 15．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（） A．10 B．9 C．2 D．1 16．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（） A．25x2-4y2B．25x2-20xy+4y2C．25x2+20xy+4y2 D．-25x2+20xy-4y2 17．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．三、综合训练 18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？

平方差与完全平方公式

乘法公式专题一、平方差公式及公式变形：公式：()()22a b a b a b +-=- 变形：（1）位置变化： ()()b a b a +-+= ；（2）符号变化： ()()a b a b ---= ；（3）系数变化： ()()2323a b a b +-= ；（4）指数变化： ()()2222a b a b +-= ；（5）增项变化： ()()a b c a b c -+--= ；（6）逆用公式： 22a b -= ；（7）连用公式： ()()()()2244a b a b a b a b -+++= ； 1、下列运用乘法公式计算错误的是（） A ．2111111339x x x ????-++=- ??????? B ．22111224 a b a b b a ????---=- ??????? C ．22212410.131039100m n n m m n ????-+-=- ??????? D ．()()222313191m m m +-=-

2、计算下列各式 (1)(2)(2)x y x y -+ (2)(2)(2)a b b a --- ()()()()223242a b a b a b ++- ()()()22455m n n m +- ()221115224x y x y x y ??????+-+ ??????????? ()()()6x y z x y z +--+ 2、简单计算 ()1499501? ()22201620172015-? 二、完全平方公式 1、()2 222a b a ab b ±=±+ （1）()22a b += ；（2）() 223m n --= ；

平方差公式的运用(20210127064349)

11.3公式法【学习目标】 1 ?知道平方差公式的特点，； 2?知道分解因式的一般步骤，会分解较为复杂的多项式. 【学习重点】会用平方差公式分解因式【学习难点】会分解较为复杂的多项式【预习自测】用平方差公式分解因式，并总结出分解因式的一般步骤. 复习完全平方数，为用平方差公式分解因式做准备. 2 ?请用平方差公式计算： (1) (x+1) (x-1 ) ; (2) ( 3x+2) ( 3x-2 ) 【合作探究】 1. (a b)(a -b) = _______________________________ 把这个公式反过来，就得到： ____________________________________________ 把它当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法 2. 请同学们看下面多项式应如何分解？请说明理由. 2 2 (1) X-1 ; ( 2) 9x-4 ; 【解难答疑】 1. 多项式a 2-b 2如何分解？ 2. a 2-b 2= (a+b ) ( a-b )叫做因式分解的平方差公式. 观察公式的左边有什么特点？注意：1.公式的左边是两部分的 ______________ 的形式； 2. 公式的右边是两个因式的 _____ 的形式，是这两部分的和与差的乘积； 3. 公式中的左边的两部分的符号一定是 _______ 的. 3. 请指出下面各式中的 a , b : 2 X 4 -丁+ 81y (1) 25-x 2; (2) 6x 2-121y 2; (3) 4 ; (4) - ( a+b ) 2+x 6 1.请完成下面填空： 2 121 =() 144 = ()2 169 = ( )2 196 = ：( z 、2 z 、2 、2 256 =() 289 = =() 324 = =( ) 361 = = 2 2 )225=()

平方差公式和完全平方公式习题

平方差公式一、选择题 1．下列各式能用平方差公式计算的是：（） A． B． C． D． 2．下列式子中，不成立的是：（） A． B． C． D． 3．，括号内应填入下式中的（）． A． B． C． D． 4．对于任意整数n，能整除代数式的整数是（）．A．4 B．3 C．5 D．2 5．在的计算中，第一步正确的是（）． A． B． C． D． 6．计算的结果是（）． A．B．C．D． 7．的结果是（）． A．B．C．D．二、填空题 1．． 2．． 3．．

4．． 5．． 6．． 7．． 8．． 9．，则 10．． 11．（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式） 12．如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式） 13．比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达）三、判断题 1．．（） 2．．（） 3．．（） 4．．（） 5．．（） 6．．（） 7．．（）四、解答题 1．用平方差公式计算：（1）；（2）；

（3）；（4）；（5）；（6）． 2．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 3．先化简，再求值，其中 4．解方程：． 5．计算：． 6．求值：．五、新颖题 1．你能求出的值吗？ 2．观察下列各式：根据前面的规律，你能求出的值吗？

参考答案：一、1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 二、1．x ，4； 2 ； 3． 4． 5． 6． 7．； 8．； 9．； 10．0.9999 11． 12． 13．三、1．× 2．√ 3．× 4．× 5．× 6．× 7．√ 四、1．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）8096（提示：）；（6）． 2．（1）1；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 3．原式= ． 4．． 5．5050． 6．．五、1．．提示：可以乘以再除以． 2．完全平方公式【知识要点】 1．完全平方公式：①()2 222a b a ab b +=++；②()2 222a b a ab b -=-+．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式． 2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．

数学教案的运用完全平方公式法

数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式。请写出完全平方公式。完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。

平方差公式的运用技巧

平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a －b)=a 2－b 2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧: 1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b －3a) . 分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的. 解：原式= (－3a)2 －(2b)2=9a 2－4b 2. 2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x 2+4)(x －2) . 分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果. 解：原式=(x 2－4) (x 2+4)=x 4－16. 3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b －c+6)(2a －b+c+6). 分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b －c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算. 解：原式=[(2a+6) +(b －c)][(2a+6)－(b －c)]=(2a+6)2 －(b －c)2=4a 2+24a+36－b 2+2bc －c 2. 二．逆用技巧:灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用. 1．直接逆用平方差公式例4 计算： (a+2)2－(a －2)2. 分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解. 解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a. 例5 计算：(1－221 )(1－231)(1－241)…(1－220081). 分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量. 解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·?? ? ??+??? ??-200811200811 =200820092008200745 4334322321???????? =20082009200820072007200854454334322321??????????）（）（）（）（ =2008 200921?

初中数学完全平方公式的五种常见应用举例

完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明. 一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22 (23)m m -- 分析本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22 [(2)3]m m =--222(2)6(2)9 m m m m =---+4322446129 m m m m m =-+-++43242129 m m m m =--++ 思考本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用. 例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( ) 222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019 b x =+20172020 c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2 c a -=∴222 a b c ab bc ac ++---2221(222222)2 a b c ab bc ac = ++---2222221(222)2 a a b b b b c c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2 a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+

北师大版数学七年级下册1.5.2平方差公式的应用教案

1.5.2 平方差公式的应用学情分析：学生在前面已熟练掌握了多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识技能结构，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性。在这一节课中，让学生先应用多项式乘多项式计算三个题目，再通过观察讨论等式的左边和右边分别是什么特征，再用符号表示应该不是很难理解。教学目标： 1．经历探索平方差公式的过程，培养学生符号感及应用意思，渗透类比、转化的数学思想。 2在探索过程中，培养符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括的能力，使其感受数学探索的乐趣。教学重点：平方差公式的推导和应用．教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学过程：一.课前预习：

复习多项式与多项式的乘法法则。二.课上探究：活动一：自主探究（平方差公式）小小设计师：现在有一块边长为a米的正方形草皮要建成街心公园，但在运输的过程中一角遭到损坏，使得正方形草皮一角有边长为b米的小正方形草皮无法使用，请你帮助设计一下，将不规则草皮通过简拼变成规则的图形来建成街心公园，看谁的方法多！” 思考：不规则草皮的面积怎样用代数式表示？规则草皮的面积怎样表示？它们之间又有什么关系？合作交流：

（小组讨论交流通过剪拼图形求面积的不同方法。看哪个小组的方法多！）精讲点拨：（各小组到黑板前展示交流讨论结果并将各个图形的面积用代数式表示出来）对于同一个图形，不论用什么方法来求它的面积，这个面积会不会改变？那么你能从中发现什么？平方差公式：文字叙述：合作交流：（得到平方差公式的结构特征）平方差公式有何结构特征？

平方差公式与完全平方差公式综合运用

平方差公式与完全平方差公式综合运用平方差公式专项 1、热身练习一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．培优讲解：例1、添项拆项：（1）（2+1）（22+1）（24+1）.（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）..（32008+1）－ 4016 3 2 例2、运用平方差公式简算（1）2009×2007－20082．（2） 22007 200720082006 -?．（3） 2 2007 200820061 ?+ ．过关练习：1．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ． 2．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．例3、解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．例4、阅读题型已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4．

4.61平方差公式(基础)知识讲解

4.61平方差公式（基础）【学习目标】 1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： ()()22a b a b a b -=+- 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——平方差公式 1、下列各式中能用平方差公式分解因式的有________（填序号）． ①2 2 a b --；②2 2 4a b -；③224x y --；④22 91a b -+； ⑤22()()x y y x -+-；⑥4 1x -．【答案】②④⑥；【解析】①⑤是两个符号相同的平方项，不能用平方差公式分解．③是三项式，不符合平方差公式的特点．② ④⑥都能写成两个数（式）的平方差，在实数范围内能够运用平方差公式．【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断． 2、分解因式：（1）2 2 9a b -；（2）22 251x y -；（3）22 168194 a b - +；（4）214m -+．【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进行因式分解. 【答案与解析】解：（1）22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-．（2）2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-．（3）22 221681949 49494232 323a b b a b a b a ????????-+=-=+- ? ? ???????????．（4）22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-．【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“2 1”．（3）一定要把两项写成2 2 a b -的形式，再套用平方差公式．举一反三：【变式1】分解因式：（1）212516 m -；（2）22 (2)16(1)x x -++-．【答案】解：（1）212516m -2 2111555444m m m ??? ???=-=+- ? ?????? ???．（2）2 2 (2)16(1)x x -++-2 2 16(1)(2)x x =--+ [4(1)(2)][4(1)(2)]x x x x =-++--+ (36)(52)3(2)(52)x x x x =--=--．【变式2】下列分解因式中，错误的是（） A ．2 4(2)1(23)(25)x x x --=-- B ．2211 2(2)(2)22 n m n m n m - +=-+- C ．2 2 2 16()9()(7)a b a b a b --+=-- D ．2 19(13)(13)x x x -=+- 【答案】C ；提示：()()2 2 16()9()77a b a b a b a b --+=-- . 类型二、平方差公式的应用 3、对于任何整数m ，多项式2 (45)81m +-都能被（）整除． A ．8 B ．m C ．2m ＋1 D ．m ＋1

平方差公式的运用

浅谈平方差公式在初中数学中的运用提要：平方差公式22))((b a b a b a -=-+是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。关键词：平方差整式乘法因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：22))((b a b a b a -=-+，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a 、b 可以是具体数，也可以是单项式、多项式。可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。（一）、整式乘法中的运用例1. )32)(32(-+x x 分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。 9 43)2()32)(32(222-=-=-+x x x x 例2．)23)(23(b a b a --- 分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b ，剩下的一个是-3a ，一个3a ，它们互为相反数，可以用公式。计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号 )23)(23(b a b a --- )23)(23(b a b a --- ())32(32a b a b +---= )23)(23(b a b a -+-= =()()2 2 32a b -- )49(22b a --= 2294a b -= 2 2 49b a +-= 例3、()()z y x z y x -+++22 分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，

完全平方公式典型例题

典型例题例1利用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）．分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．解：（1）；（2）；（3）．说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现的错误．例2计算：（1）；（2）；（3）．分析：（2）题可看成，也可看成；（3）题可看成，也可以看成，变形后都符合完全平方公式．解：（1）（2）原式或原式（3）原式或原式

说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．例3用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）．分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式为公式中a，为公式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把化为再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把作为公式中的a，作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．解：（1） = （2） = （3） = 说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：，．例4运用乘法公式计算：（1）；（2）；（3）．分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算与的积，再利用完全平方公式计算；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为，再利用乘法公式计算．解：（1）原式= （2）原式= = （3）原式= =．

说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的．例5 计算：（1）；（2）；（3）．分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．解：（1）；（2）；（3）．说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．

初一数学完全平方及平方差公式的应用

安博教育温江总校春季班第1次课2017年02月25日整式的乘除第一讲姓名：班级：整式的乘法：单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式考点1：单项式乘单项式、同类项例1：已知的值。、是同类项，求的积与与n m 42 43613y x y x m n m -----+ 例2：的值。，求的积为与已知单项式n m y ma y a y a n +542234-2 考点2：单项式乘多项式、积的乘方的你用例3：已知12-=ab ，求()() b ab b a ab ---352的值。例4：如果() x x a x +-2的展开式中只含有3x 这一项，那么a 的值为多少

例5：若0132=+++a a a ，则201632...a a a a ++++的值为。考点3：多项式乘多项式例6：解方程()()()()204321+-+=--x x x x 例7：已知p 、q 满足代数式()() q x x px x --++3822的展开不含有2x 和3x 项，求p 、q 的值。例8：证明：对于任意的正整数n ，()()()237-+-+n n n n 的值是否能被6整除。考点4：利用平方差公式进行化简计算例9：计算（1）2.608.59? （2）22)3()5(--+x x （3）7 6197120? （4）97103? （5）2012201620142?-

例10：计算：()()33221221--+-+??? ??+??? ??-x x x x 考点5：构造平方差公式简化计算例11：已知1324-可以被20-30之间的两个整数整除，则这两个数是多少例12：计算（1）()()()()() 321684221212121212-+?+?+?+?+ （2）()()()() 131********+?+?+?+ （3）2 2222222101100......654321+-+-+-+-

平方差公式和完全平方公式(讲义)

平方差公式和完全平方公式（讲义） ? 课前预习 1. （1）对于多项式(4)x -和多项式(4)x +，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________；（2）对于多项式(4)x --和多项式(4)x -，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________；（3）对于多项式()a b c +-和多项式()a b c -+-，完全相同的项是_________，只有符号不同的项是__________． 2. 利用幂的运算法则证明22()()a b a b --=+．证明过程如下： []2 222()()(___)(____)__________ a b a b --=-+=?= 即22()()a b a b --=+ 请你参照上面的方法证明22()()a b a b -+=-． 3. 计算： ①()()a b a b +-； ②2()a b +； ③2()a b -． ? 知识点睛 1. 平方差公式：___________________________．

2. 完全平方公式：_________________________； _________________________．口诀：首平方、尾平方，二倍乘积放中央． ? 精讲精练 1. 填空： ①22(4)(4)( )( )x x -+=-=_________； ②22(32)(32)( )( )a b a b +-=-=__________； ③22()()( )( )m n m n ---=-=_____________； ④112244x y x y ????--- ??????? =_______-_______=___________； ⑤()() n n a b a b +-=_______-_______=__________； ⑥22(33)(33)( )( )a b a b +++-=-； ⑦22(33)(33) ( )( )a b a b -++-=-； ⑧(m +n )(m -n )(m 2+n 2)=( )(m 2+n 2)=( )2-( )2=_______； ⑨22(23)( )49x y x y +=-； ⑩22(3)( )9x y y x +=-． 2. 计算： ①(8)(8)ab ab +-； ②112233a b b a ????--- ???????； ③22(2)(2)(4)a b a b a b -++； ④10397?； ⑤2201520142016-?． 3. ①222(25)( )2( )( )( )x y +=++=_______________； ②22211( )2( )( )( )32m ??-=-+= ???___________；