《函数的奇偶性》教案

《函数的奇偶性》教案

课 题

函数的奇偶性

课 型

新授课

教学目标

知识与技能目标：使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数

奇偶性的方法，培养学生判断、推理的能力。

过程与方法目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、

归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想

情感、态度、价值观目标：通过数学的对称美来陶冶学生的情操. 使

学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。

教学重点 用定义判断函数的奇偶性. 教学难点 弄清()()f x f x -与的关系.

教学手段

多媒体辅助教学(展示较多的函数图像)

【教学过程】：

一、创设情境，引入新课

师：在初中我们学过不少对称图形，大家一起来回忆一下初中主要学习了哪两种对称图形？

生：1、轴对称图形（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）；

2、中心对称图形（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）。 师：观察下面几幅图片，说说它们有什么特征？

（1）

（2）

师：数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，观察这些函数的图像，说说它们是轴对称图形还是中心对称图形或者两者都不是？

O x

y

①

2

)(x x f =

②

O x

y x

x f =)(③

O

x y

|

|)(x f =

生：图像①③⑥是以y 轴为对称轴的轴对称图形；

图像②⑤⑥是以坐标原点为对称点的中心对称图形。

师：这节课我们就来学习与函数图像对称有关的性质——函数的奇偶性 二、师生互动，探索新知 任务一 偶函数

活动1：观察函数2()f x x =的图象，回答下列问题：

（1） 这条抛物线的对称轴是哪条直线？

（2

） 用垂直于对称轴的直线截抛物线，你有什么发现？ （3） 对称轴两侧对应点的坐标有什么关系？

发现：如果函数(

)x f y =图象关于y 轴对称，那么

① 其图象上的任意一点()

()00,x f x A ()D x 定义域∈关于y 轴对称的点

()()00,-x f x A ' 一定也在这个图象上；

② 由于A '是函数图象上的点，所以它的坐标也可以写成()()00,x f x --，因此，()()00x f x f =-；

③ 由于点()()00,x f x 与()()00,x f x --总是同时存在于函数的图象上，所以

00x x -与 也同时存在于定义域D 内，因此，函数()x f y =的定义域D 关于

原点O 对称。

活动2：给出偶函数的定义

f 2

x =

（板书）一般地，如果函数()x f y =的定义域关于原点O 对称，并且对定义域内的任意一个值()()x f x f x =-,,我们就称函数()x f y =为偶函数。

师：在这个定义中，它强调了任意x ，也就是说对于定义域中的任何一个x 都有这样的性质。观察下面的函数()[]2,1,12-∈+=x x x f 的图象关于y 轴对称吗？如果一个函数的图象关于y 轴对称，它的定义域应该有什么样的特点？

生：如果一个函数的图象关于y 轴对称，它的定义域应该关于原点对称。 师：这是对于偶函数必须强调的一点

1、定义域关于原点对称

师：在这个前提之下，还必须具备什么条件？

2、对定义域内的任意一个值()()x f x f x =-,

活动3：讨论判断函数为偶函数的方法 （师引导，学生集体讨论归纳）

1、图象法

图象关于y 偶函数

2、定义法

⑴定义域关于原点对称

⑵对定义域内的任意一个值()()x f x f x =-,

任务二 奇函数

活动1： 观察函数3x y =的图象，回答下列问题：

⑴ 对于图象上任意一点，与它关于原点对称的点在这个图象上吗？它应该落在哪边？

⑵ 现在看看这两点的坐标有什么关系？

（横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数）

师： 由这个特例，我们可以分析出函数()x f y =的图象关于坐标原点O 成中心对称，那么它的定义域要关于原点对称，且对定义域内的任意一个值()()x f x f x -=-,

活动2: 给出奇函数的定义

(板书)奇函数定义：一般地，如果函数()x f y =的定义域关于原点O 对称，并且对定义域内的任意一个值()()x f x f x -=-,,我们就称函数()x f y =为奇函数。

师：现在我们来看看这个函数还是不是奇函数？

()()03≠=x x x f ?()1≠x ?()0≥x ?()11≤≤-x ?()()2,11,2?--? 活动3：讨论判断函数为奇函数的方法 （师引导，学生集体讨论归纳）

1、图象法

图象关于坐标原点成中心对称奇函数

2、定义法

⑴定义域关于原点对称

⑵对定义域内的任意一个值()()x f

x f x -=-,

任务三 巩固提高，熟练技能

师：刚才我们学习了偶函数、奇函数的概念及判别方法，看下面一题

活动1：根据下列函数图象判断其奇偶性。

O

x

y

3

)(x x f =

师：根据图象来判断函数的奇偶性比较的简单，也是大家首先要想到的方法，运用了数学中一个很重要的数学思想——“数形结合”。

师：再看这样一个问题：

活动2 判断函数()4x x f =的奇偶性 (师示范)解：∵ 函数()x f 的定义域为R ∴ 定义域关于原点对称,

对于定义域内的任意一个值x ，

都有()()()x f x x x f ==-=-44

∴ 函数()x f 是偶函数。 变形： ()4x x f = , []3,1-∈x

解：∵ 函数()x f 的定义域为[]3,1- ∴ 定义域不关于原点对称,

∴ 函数()x f 是非奇非偶函数。

思考： 将题目哪里改一下就成偶函数呢？

师：从函数的角度看有奇函数、偶函数、非奇非偶函数，那同学们想一想有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？课后找一找 活动3 判断下列函数的奇偶性 ⑴ ()3x x f =(学生口述)

⑵ ()x x x f 23-=(学生自己动手做做) 强调：前后两个x 都必须转化为“x -”来计算。 变形： ()123+-=x x x f ⑶ ()332x x x f += ⑷ 21x

y =

三、课堂小结

本节课学习了什么？

四、课后拓展

1、如果定义在区间[]5,

-上的函数()x

f是奇函数，则=

3a

a。

2、判断函数()0=

f的奇偶性。

x

[教学说明：用多媒体展示活动1、2的图像，学生通过画图从形的角度认识两种函数 各自的特征：活动1的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形，活动2的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形]

活动3：活动1给出的函数：2()f x x =，找出当11x x =-=与时函数图像上的点，看有什么规律？

师生共同完成：当x 取1-与1（两个互为相反数）时，则对应的函数值(1)(1)f f -与都取1，即：(1)(1)f f -=。同理得：(2)(2)f f -=。教师提问学生：自变量代入两个互为相反的数：

x x -与，得到的对应函数值()()f x f x -与是什么关系？学生：222()(),()f x x x f x x -=-==，()()f x f x -与的值相等，即：()()f x f x -=。

活动4：活动2给出的函数：3()f x x =，找出当11x x =-=与时函数图像上的点，看有什么规律？

师生共同完成：当x 取1-与1（两个互为相反数）时，则对应的函数值(1)(1)f f -与分别都取1-与1即：(1)(1)f f -=-。同理得：(2)(2)f f -=-。教师提问学生：自变量代入两个互为相反的数：x x -与，得到的对应函数值()()f x f x -与是什么关系？学生：

333()(),()f x x x f x x -=-=-=，()()f x f x -与的值相反，即：()()f x f x -=-。

[活动3、4的设计意图：让学生计算相应的函数值，引导学生发现规律，总结规律。然后学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特性。通过代入特殊值让学生认识两个函数各自的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数或相等的关系，从而自然引入奇、偶函数的概念图像性质。]

引入：概念1：如果对于函数()f x 的定义域（对应的区间关于原点对称）内的任意一个x ，

都有()()f x f x -=，则称这个函数为偶函数。

概念2：如果对于函数()f x 的定义域（对应的区间关于原点对称）内的任意一个x ，都有

()()f x f x -=-，则称这个函数为奇函数。

[教学说明：概念1、2揭示函数是否是奇、偶函数必须具备两个条件：①定义域对应的区间必须关于坐标原点对称的；②若()()f x f x -=-,则()f x 为奇函数,若()()f x f x -=,则

()f x 为偶函数。]

从奇函数和偶函数图象的对称性得到性质：

如果函数()y f x =的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则称函数()y f x =是奇

函数；反之若函数()y f x =是奇函数，则它的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形． 2、如果函数()y f x =的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则称函数()y f x =是偶函数；反之若函数()y f x =是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形．

3、如果函数()y f x =的图象既不是以坐标原点为对称中心的中心对称图形也不是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则称函数()y f x =既不是奇函数也不是偶函数（即是非奇非偶函数）；反之亦然。

[教学说明：职校生的推理能力较弱，从观察具体奇、偶函数的图像推出奇、偶函数的性质]

三、巩固提高,熟练技能

例:判断下列函数不是是奇、偶函数:

（1）3()1f x x =+ ; （2）2()2f x x =+； （3）26(),f x x x =+ [2,4]x ∈-,(4)2()f x x x =+. [分析]: 奇、偶函数的性质分别为: ()()f x f x -=-、 ()()f x f x -=，这提示我们验证函数奇偶性的步骤：(1) 看函数定义域对应的区间是否关于坐标原点对称（2）先求出()f x -的值；(3)看()()f x f x -与间的关系；(4)判断:若()()f x f x -=-,则()f x 为奇函数,若

()()f x f x -=,则()f x 为偶函数.

解:(师生共同完成)(1) 因为函数3()1f x x =+的定义域是R (关于原点对称)，又因为

3()()1f x x -=-+31x =-+，

()(),()()f x f x f x f x -≠--≠,所以3()1f x x =+不是奇函数也不是偶函数.

(学生尝试完成)（2）因为函数2()2f x x =+的定义域是R(关于原点对称),又因为

2()()2f x x -=-+22x =+,

()()f x f x -=，所以2()2f x x =+是偶函数.

(师生共同完成)(3)因为函数26()f x x x =+的定义域是[2,4]-(关于原点不对称)，所以

26(),f x x x =+ [2,4]x ∈-是非奇非偶函数.

(学生完成)(4)

[教学说明：（1）、（2）、（4）题让学生先求出()f x -的值，养成学习的良好习惯：解题尝试一步一步去做，（3）用说明的方法，点到即止。] 学生继续完成书本P100：练习A3（1）、（2），4（1）、（2） 四、拓展延伸

[设计意图：让学生尝试灵活运用两种方法判断函数的奇偶性，反过来知道函数的奇偶性，让学生画出对称的另一部分图像]

问题1：函数21y x =+的图象如下图，①判断函数的对称性；②判断函数21y x =+是偶函数还是奇函数．

解：①函数2

1y x =+的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；②函数2

1y x =+是偶函数． 问题2：函数2

1y x =+，[1,)x ∈-+∞的图象如下图，①判断函数的对称性；②判断函数2

1y x =+是偶函数还是奇函数．

解：①函数2

1y x =+，[1,)x ∈-+∞的图象不是以y 轴为对称轴的轴对称图形；②函数2

1y x =+，

[1,)x ∈-+∞ 不是偶函数。

问题3：函数()2f x x =的图象如下图所示，①判断函数图像的对称性;②判断函数()2f x x =的奇偶性。

① 像的对称性: 函数()2f x x =的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； ② 函数的奇偶性: 函数()2f x x =是奇函数．

问题4：判断函数2()f x x =的奇偶性，函数2()f x x =在y 轴右边部分的图象如下图 ，用描点法画出函数另一部分的图象