地图着色实训报告

目录

1 课题需求描述 (2)

2 总体功能与数据结构设计 (2)

2.1总体功能结构 (2)

2.2数据结构设计 (3)

3 算法设计和程序设计 (3)

3.1算法设计 (3)

3.1.1回溯法 (3)

3.1.2贪心法 (6)

3.2程序设计 (6)

3.2.1调用回溯法，并判断着色方案是否可行 (6)

3.2.2调用贪心法，对地图进行着色，并测试当前方案是否可行 (8)

3.2.3在着色方案可行的情况下，换一种颜色着色，找出所有可行方案 (9)

3.2.4主菜单的设计 (10)

3.2.5二级菜单的设计 (11)

3.2.6对菜单的使用及对算法用时的计时 (11)

4 调试与测试 (14)

5 设计总结 (17)

5.1收获 (17)

5.2存在问题 (18)

6参考文献 (19)

1 课题需求描述

1.1地图着色问题

设计要求：已知中国地图，对各省进行着色，要求相邻省所使用的颜色不同，并保证使用的颜色总数最少

地图着色问题是一个抽象的图形学问题，用程序实现对各个区域进行着色，并且相邻省所用的颜色不同，同时保证颜色的总数最少，如何将程序所需要的功能模拟着色在计算机中编程实现。

地图可以抽象为一个图，可以用邻接矩阵来进行模拟：对于每一个地图，我们可以把每一个区看作一个点，而区与区之间的邻接关系看作点与点之间的连线。从而将地图抽象为一个图，然后就可以用邻接矩阵抽象。相应的顶点为0，则表示两点邻接，否则，就不邻接，为1。该程序用两种方法进行着色，分别是回溯法和贪心法。

2 总体功能与数据结构设计

由于中国的省份较多，各省连接关系太多，所以程序只给出简单的测试数据，来测试该程序的功能。程序对给定的程序进行着色，做到最多只用四种颜色进行着色，使得相邻省的颜色不同，并且将所有的着色可能都例举出来了。对于地图得到着色，我用了两种算法，分别是回溯法和贪心法。并且对他们的执行进行计时，比较他们的时间复杂度。

主要叙述：本课题设计的总体功能结构、数据结构设计。

2.1总体功能结构

2.2数据结构设计

void menu(); //主菜单

void menu2(); //菜单用于选择算法

void aboutjx(); //关于地图的说明

void ljjz() //输出地图的邻接矩阵

void huisu(int n,int m,int c[][12]) //调用回溯算法着色

void tx(int map[N][N],int sum,int current) //调用贪心法着色int main() //输出主菜单，选择执行过程，对程序的调用

3 算法设计和程序设计

3.1算法设计

3.1.1回溯法

本程序采用回溯法进行着色。当t=1时，对当前第t个顶点开始着色：若t>n，则已求得一个解，输出着色方案即可。否则，依次对顶点t着色1-m，若t与所有其它相邻顶点无颜色冲突，则继续为下一顶点着色；否则，回溯，测试上一颜色。回溯法的主要就是选择各种颜色，直到把此点着完色为止。

1．将数组color[n]初始化为0；

2．k=1;

3．while (k>=1)

3.1 依次考察每一种颜色，若顶点k的着色与其他顶点的着色不发生冲突，则转步骤3.2；否则，搜索下一个颜色；

3.2 若顶点已全部着色，则输出数组color[n]，返回；

3.3 否则，

3.3.1 若顶点k是一个合法着色，则k=k+1，转步骤3处理下一个顶点；

3.3.2 否则，重置顶点k的着色情况，k=k-1，转步骤3

3.1.2贪心法

选择一种颜色，以任意顶点作为开始顶点，依次考察图中的未被着色的每个顶点，如果一个顶点可以用颜色1着色，换言之，该顶点的邻接点都还未被着色，则用颜色1为该顶点着色，当没有顶点能以这种颜色着色时，选择颜色2和一个未被着色的顶点作为开始顶点，用第二种颜色为尽可能多的顶点着色，如果还有未着色的顶点，则选取颜色3并为尽可能多的顶点着色，依此类推，直到所有顶点都着上颜色。贪心法就是选择一种颜色，最大化的将图中的各点都用这种颜色着上。

1．color[1]=1; //顶点1着颜色1

2．for (i=2; i<=n; i++) //其他所有顶点置未着色状态

color[i]=0;

3．k=0;

4．循环直到所有顶点均着色

4.1 k++; //取下一个颜色

4.2 for (i=2; i<=n; i++) //用颜色k为尽量多的顶点着色

4.2.1 若顶点i已着色，则转步骤4.2，考虑下一个顶点;

4.2.2 若图中与顶点i邻接的顶点着色与顶点i着颜色k 不冲突，

则color[i]=k;

5．输出k;

3.2程序设计

3.2.1调用回溯法，并判断着色方案是否可行

bool ok(int k,int c[][12]) //判断顶点k的着色是否发生冲突

{

int i;

for(i=1;i

{

if(c[k][i]==1&&color[i]==color[k])

return 0;

}

return 1;

}

void huisu(int n,int m,int c[][12])

{

int i,k;

for(i=1;i<=n;i++)

color[i]=0;

k=1;

while(k>=1)

{

color[k]=color[k]+1;

while(color[k]<=m)

if(ok(k,c)) break;

else color[k]=color[k]+1; //搜索下一个颜色 if(color[k]<=m&&k==n)

{

for(i=1;i<=n;i++)

printf("%d ",color[i]);

printf("\n");

hsjs++;

}

else if(color[k]<=m&&k

k=k+1; //处理下一个顶点

else

{

color[k]=0;

k=k-1;//回溯

}

}

}

3.2.2调用贪心法，对地图进行着色，并测试当前方案是否可行

int yes(int map[N][N], int current)

{

int j;

for(j = 1; j < current; j++)

if ( (map[current][j] == 1) && (color[j] == color[current]) ) return 0;/*城市相邻且颜色相同*/

return 1;

}

/*从current开始标记，sum为总的地图上的11市，color[N]为标记颜色

*/

void tx(int map[N][N],int sum,int current)

{

int i;

if (current <=sum)

{

for(i=1;i<=4;i++)/*测试每种颜色*/

{

color[current]=i;/*尝试着色*/

if( yes(map, current) )/*若尝试成功*/

{

tx(map,sum,current+1);/*检查下一个城市*/ return;

}

}

}

Print_Color(map,1) ;

}

3.2.3在着色方案可行的情况下，换一种颜色着色，找出所有可行方案

int Same_Color(int map[N][N],int n)

{

int i ;

for(i=0;i

if(map[n][i]==1&&color[i]==color[n])// 相邻并且颜色一样，则不满足

{

return 1; // 与前面颜色有冲突，返回 1，表示该颜色不满足}

return 0; // 没有冲突，该颜色满足，返回0

}

void Print_Color( int map[N][N],int m)

{

int i=0,j=0;

for(i=1;i<=4;i++) // 尝试更换颜色

{

color[m]=i;

if(Same_Color(map,m)==0) // 新的颜色不与前面冲突，颜色满足

{

if(m==N-1) // 到最后一个行政区域,递归出口

{

for(j=0;j

{

switch(color[j])

{

case 1:printf("1,");break;

case 2:printf("2,");break;

case 3:printf("3,");break;

case 4:printf("4,");break;

}

}

printf("\n");

txjs++;// 方案加 1

}

else

Print_Color(map,m+1) ; // 下一个行政区域

}

}

}

3.2.4主菜单的设计

void menu()

{

printf("〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓欢迎使用地图着色系统软件！〓〓〓

〓〓〓〓〓〓〓\n");

printf("〓\3 \3 ----1.关于本软件的说明---- 〓\n");

printf("〓 \3 ----2.地图的邻接矩阵----

\3 \3〓\n");

printf("〓 \3 ----3.地图的着色----

\3 〓\n");

printf("〓 ----4.关于本软件----

\3 〓\n");

printf("〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓5.退出系统||||〓〓〓〓〓〓〓〓

〓〓〓〓〓〓〓\n");

printf(" \3请选择服务：\n");

}

3.2.5二级菜单的设计

void menu2()

{

printf("〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓欢迎使用地图着色系统软件！〓〓〓

〓〓〓〓〓〓〓\n");

printf("〓\3 \3 ----1.回溯法着色---- \3 \3 〓\n");

printf("〓 \3 ----2.贪心法着色---- \3 〓\n");

printf("〓 \3 ----3.返回上一级---- \3 〓\n");

printf("〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓4.退出系统||||〓〓〓〓〓〓〓〓

〓〓〓〓〓〓〓\n");

printf(" \3请选择服务：\n");

}

3.2.6对菜单的使用及对算法用时的计时

L:menu();

while(cin>>n)

{

switch(n)

{

case 1: system("cls");aboutmap();break;

case 2:system("cls");ljjz(); break;//输出地图的邻接矩阵；

case 3:

system("cls");

menu2();

while(cin>>p)

{

switch(p)

{

case 1:

system("cls");

start=clock();//获取算法开始时间

huisu(11,4,map);

printf("\n");

printf("共有%d种着色方案\n",hsjs);

printf("(1代表红色，2代表蓝色，3代表绿色，4代表黄色)\n");

finish=clock();//获取算法结束时间

timeStandard=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;//计算时间差

printf("\n 回溯算法的运行时间

为:%fs\n\n",timeStandard);

menu2();

break;

case 2:

system("cls");

start=clock();

tx(map,11,1);

printf("\n");

printf("共有%d种着色方案\n",txjs);

printf("(1代表红色，2代表蓝色，3代表绿色，4代表黄色)\n");

finish=clock();//获取算法结束时间

timeStandard=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;//计算时间差

printf("\n 贪心算法的运行时间

为:%fs\n\n",timeStandard);

menu2();

break;

case 3: system("cls");goto L;break;

case 4: system("cls"); cout<<"感谢您的使用，再见~!\n ";exit(1);break;

default : cout<<"Input Error!";

}

}break;

case 4: system("cls");aboutme();break;

case 5: cout<<"感谢您的使用，再见~!\n ";exit(1);

default : cout<<"Input Error!";

}

system("pause");

system("cls");

menu();

}

4 调试与测试

进入主菜单见面

关于该程序的说明

输出地图的邻接矩阵

二级菜单，用于选择算法输入1，选择回溯算法。

用回溯法着色得到的着色方案和用时输入2，选择贪心算法。

用贪心法着色得到的着色方案和用时

退出系统

5 设计总结

5.1收获

本次算法设计时间是为期一个星期，然而经过一个星期的算法设计上机实验操作，而我所选择的设计题目是“地图着色问题求解”。最开始我都不了解什么是地图着色，后来通过在网上查找了大量资料才明白地图着色是基于历史上著名的“四色问题”。图着色问题对于现实生活中也有许多的应用，比如交通管理系统、安排考试、贮藏问题等。

在本次算法设计的过程，每天都是对着电脑不停地分析问题、解决问题、写代码实验。这我认识到理论与实际的差别，虽然我构思的很快，但是在编写和运行的过程中花费了很多的时间，调试的时候经常遇到这样或那样的各种错误包括一些低级错误，然而最终我还是比较顺利的完成了自己所选的课程设计题目。

算法设计课程增强了我的动手能力，思考分析和解决问题的能力，同时也对我们巩固和加深了对数据结构的理解，有关算法的认识有所提高和加深，并

也提高综合运用本课程所学知识到实践中的能力。

5.2存在问题

在此程序中，按测试代码来说，其运行时间为6.772s，对于其染色代码模块，即回溯的主要算法而言，由于是递归算法，其空间复杂度为最差为O（n^2），最优的是每一次着色的时候都能着色成功，即选择相应的颜色就能成功，一共需要回溯n次，空间复杂度O（n）。

贪心算法的在测试的时候执行时间为6.993ns，时间比回溯的多，其空间复杂度为O（n），即每一重颜色都需要循环n次才能将所有能着此颜色的点着完。

但是回溯法和贪心算法的性能是比较相似的。在查找资料时，我还发现了有蚁群算法，因为实现较为困难，还具有随机性，我没能完成它的编写。

尽管完成了大部分功能，但是在界面方面有些不足，此程序没有实现根据一个特定的地图，来对其进行着色，并且在地图上的各区域显示染上的颜色，也就是在界面方面还需要改进，未能在界面上具体显示一个地图，或者将其邻接矩阵抽象的无向图在界面上显示，着色结果在无向图中直观的显示。

6参考文献

[1] Kyle Loudon.算法精解.机械工业出版社.2012

[2]谭浩强.C++面向对象程序设计[M].北京.清华大学出版社,2006

[3]王晓东.计算机算法设计与分析(第3版)[M]．北京.电子工业出版社.2007

[4]Cliff A.Shaffer.数据结构与算法分析（C++版）.2013年第三版

[5]朱洪.算法设计和分析[M].上海科学技术文献出版社,1989,162-163.