高等数学 第二版 廖新元 习题答案
专升本高等数学测试及答案(第二章)
高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?
高数课后习题及答案 第二章 2.3
2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；
高等数学练习答案1-10
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 普通班高数作业（上） 第一章 函数 1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题） （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y = 与2x y =； （6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。 2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2） （2）x x x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21； （7）x e y x ln 111 -+ =。 3、设?????<-≥-=0 ,10 ,1)(2 2x x x x x f ，求)()(x f x f -+。（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第 三版P12:1） （2）24x x y -= ； （4）x x y -=。 5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2） （2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=； （6）x x f ln cos )(=； （7）? ??≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。 6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1） （1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ； （6）???≤<--≤<-=21,)2(210, 12)(2 x x x x x f 。 7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ； （2）已知2 ln )1(222 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求)(x ?。（第二版P23:19；第三版P16:3） 8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7） 第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x + 6. 设函数()ln cos f x x =，则二阶导数()f x ''=______________. 7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 习题2—1（A ） 1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由： （1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限； （2）求分段函数(),, ()(),x x a f x x x a ?φx )处的导数． 解：x x x x x x x y x x x x x x 1 e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim 1 100==?+=?-?+='?→?→?． 5． 对函数x x x f 2)(2 -=，分别求出满足下列条件的点0x ： （1）0)(0='x f ； （2）2)(0-='x f ． 第一章函数与极限 一、选择题： 1．函数的定义域是（） (A； (B； (C； (D. 2.函数的定义域是（） (A；(B;(C; (D. 3、函数是（） (A偶函数； (B奇函数； (C非奇非偶函数；(D奇偶函数. 4、函数的最小正周期是（） (A2； (B； (C 4 ； (D . 5、函数在定义域为（） (A有上界无下界； (B有下界无上界； (C有界，且； (D有界，且. 6、与等价的函数是（） (A ； (B ； (C ； (D . 7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（） （A）；（B）； （C）；（D）. 8、设则当（）时有 . (A； (B； (C； (D任意取 . 9、设,则( (A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 . 10、（） (A1； (B-1；(C0； (D不存在. 二、求下列函数的定义域： 2、 . 三、设 （1）试确定的值使 ； （2）求的表达式 . 四、求的反函数. 五、求极限： 1、； 2、； 3、； 4、； 5、当时，； 6、 . 六、设有函数试确定的值使在连续 . 七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 . 八、证明奇次多项式： 至少存在一个实根 . 第二章导数与微分 一、选择题： 1、函数在点的导数定义为（） （A）； （B）； （C）； （D）； 2、若函数在点处的导数，则 曲线在点(处的法线（） （A）与轴相平行；（B）与轴垂直； （C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直： 3、若函数在点不连续，则在 ( （A）必不可导；（B）必定可导； （C）不一定可导；（D）必无定义. 4、如果=（），那么. (A ； (B ； (C ； (D . 5、如果处处可导，那末（） （A）；（B）； （C）；（D）. 6、已知函数具有任意阶导数，且 ,则当为大于2的正整数时， 的n阶导数是（） （A）；（B）； 第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4 则34x ⑵ ='=y x y ,32 则1 323 x - ⑶ ='=y x y ,1 则3212x -- ⑷ = '=y x x y ,5 3则11 5165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)23y x π- =- 2(1)0y +-= 法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-+= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==; 习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称 t θ ω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样 确定该物体在时刻t 0的角速度？ 解 在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=)()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 0000 00t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??)()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )()()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此 函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义. 解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量 的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0 表示当产量为x 时单位产量的成 本. 4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200 )1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x . 解 x x x x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0 x x x x x ???+-=→?2sin )2sin(2lim x x x x x x sin ]2 2sin ) 2 sin([lim 0-=???+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么: (1)A x x f x x f x =?-?-→?) ()(lim 000 ; 习题2-1 1.解：当自变量从x 变到1x 时，相应地从y ()=8f x x 1变到1()=8f x x ，所以导数 111111 ()()8()lim lim 8x x x x f x f x x x y x x x x →→??′==??=. 2.解：由导数的定义可知 022020()() ()lim ()()( lim 2 lim 2h h h f x h f x f x h a x h b x h c ax bx c h axh h bh ax b h →→→+?′=++++?++=++==+)。 3．解：0022()22()lim lim x x x x x sin sin cos x x cos x cos x x x Δ→Δ→+ΔΔ??+Δ?′==ΔΔ 0022lim lim 2 2x x x sin x x -sin sin x Δ→Δ→Δ+Δ=?Δx =? 4. 解：（1）不能，（1）与()f x 在0x 的取值无关，当然也就与()f x 在0x 是否连续无关，故是0()f x ′存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1）4 5x ； （2）3212x ??； （3）157227x ； （4）1 ln 3x ； （5）5 616x ?； （6）. 22x e 6. 解：物体在t 时刻的运动速度为：，故物体在时的速度为：2 ()()3()V t S T t m /s ′==2t =s 22()3212()t m /s ==?=V t . 7．证明：由导数定义，知： 00()(0)()(0)(0)lim lim 0x x f x f f x f f x x →→??′==?? 00()(0)()(0)lim lim (0)0t x t t f t f f t f f t t =?→→??′==?=??? 所以，。 (0)0f ′= 2016～2017 学年第 一 学期 科目: 高等数学(一)第一章 单元测试题答案 命题教师： 使用班级：全校16级理科 一．单项选择题（每小题2分，共20分） 1．选B 因为A 、C 、D 中两个函数的定义域不同 2．选C 220ln(1)lim 1tan x x x →+= 3．选C 根据连续的定义. 4．选A 根据连续的定义 5．选D 初等函数在其定义区间是连续的，故只要0)2)(1(≥--x x 即可，由于分母不能取0，故（D ）正确。 6．选Ｄ 00sin sin lim lim 1||x x x x x x ++→→==，00sin sin lim lim 1||x x x x x x --→→=-=- 0sin lim || x x x →∴不存在 7．选Ｄ 11(1)100 lim(1)lim[1()]x x x x x x e ?---→→-=+-=， 8．A 00lim ()1,lim ()1(0)x x f x f x f →-→+===，故是连续点。 9．选Ｃ 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0 x f x x →存在，则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0 x f x x →存在，例如x x 1sin lim 0→，函数11sin 1≤≤-x 有界，但在0=x 点极限不存在 10．选Ｃ 003sin 3sin 334lim lim ,22229 x x mx m mx m m x mx →→===∴= 二. 填空题(每小题3分，共15分，请把答案填在横线上) 25 第二节 函数的求导法则 一、填空题 1.(tan )x '= 2sec x ，(cot )x '=2csc x -，(sec )x '=sec tan x x ，(csc )x '=csc cot x x -， (arcsin )x ' (arccot )x '=2 11x -+，()x a '=ln x a a ，(log )a x '=1ln x a . 2.已知1 sin cos 2ρθθθ=+，则4 d d π θρ θ = =π48+. 3.设ln y =y '= 4.设2111f x x x ??=++ ???，则()f x '=32 1x -+. 5.曲线2sin y x x =+在点π π,122?? + ???处的切线方程为1y x =+. 6.设2()y f x =，且()f x 可导，则d d y x =22()xf x '. 二、单项选择题 1.设()sin f x x =，则()πf '= B . A.0 B.1- C.1 D.π 2.设3523e 2x x y x =-++，则0|x y ='= C . A.5ln 2- B.1 3ln 2- C.3ln 2- D. 2 3.设1 arccos y x =，则y ' = C . D. 4.设y =y '= B . 26 A.211x + B.211x - C.211x - D.212(1) x - 5.设g 是f 的反函数，且2(4)5,(4)3 f f '==，则(5) g '= D . A.23 B.1 C.0 D.32 三、求下列函数的导数 1.21arctan 2ln ln 2y x x x =-+- 解：21(arctan )2(ln )(ln 2)y x x x '??''''=-+- ??? 231221x x x =+++. 2.2sin(21)e x y x -=? 解：2sin(21)sin(21)2sin(21)[e ]2e 2e cos(21)x x x y x x x x ---''==+- sin(21)2e [1cos(21)]x x x x -=+-. 3.1,0x y x x ??=> ??? 解：1 ln e x x y =，故1 ln 2211e ln x x y x x x ????=+- ?????????? ??-??? ??=11ln 1x x x . 4.设()f x 可导，计算函数(e )x y f x =+的导数 d d y x . 解：()()d e e d x x y f x x x ''=+?+()()e 1e x x f x '=++ . 高等数学习题集及解答 第二章 一、 填空题 1、设()f x 在x a =可导，则0()() lim x f a x f a x x →+--= 。 2、设(3)2f '=，则0 ______________(3)(3) lim 2h f h f h →--= 。 3、设1()x f x e -=，则0_____________(2)(2) lim h f h f h →--= 。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2 x f x f x x x π '= =<<-，则0_______________________()f x = 。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx = 。 6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。 7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。 9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。 10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。 11、设0()1f x '=-，则0 ___________ 00lim (2)()x x f x x f x x →=---。 12、设tan x y y +=，则_________________________ dy = 。 13 、设ln y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是 ______________________ 。 15、1cos 0()0 x x f x x x λ ?≠?=??=?，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是 _______________________ 。 16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切 ，则2b 可以通过a 表示为 ____________ 。 二、 选择题。 17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）。 A 充分了必要条件， B 充分但非必要条件， C 必要条件但非充分条件， D 既非充分条件又非必要条件。 18、函数3 221()3 1 x x f x x x ?≤?=??>?在1x =处 （ ） A 左右导数均存在， B 左导数存在，右导数不存在， 高数课后习题及答案--第二章-2.7 1． ()()()()21 1 1 1 0,11)()21,12 1,2()(),1,122,()12(),:lim ()0,lim ()lim 213lim ()x x x x x f x x x x x f x f x f x x x f x f x f x x f x -++-→→→→?? -∞+∞=-∞+∞====若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间 是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，f(0)=1即0 lim ()lim ()()0x x f x f x f x x -+→→===f(0)=1所以在处连续 新课程标准数学必修1第二章课后习题解答 第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54） 1. a 21 =a ,a 43 =4 3 a ,a 5 3- = 5 3 1 a ,a 3 2- = 3 2 1 a . 2. (1)3 2 x =x 32 , (2)43 )(b a +=(a +b )43 , (3)32 n) -(m =(m -n )32 , (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3 q 25 ,(6) m m 3 =m 2 13- =m 25 . 3. (1)( 49 36)23 =［( 7 6)2］23 =( 7 6)3= 343216; (2)23×35.1×6 12=2×321 ×( 2 3)31 ×(3×22)6 1 =2 3 1311--×36 13121++=2×3=6; (3)a 2 1a 4 1a 8 1- =a 8 14 12 1 - +=a 8 5 ; (4)2x 3 1- ( 2 1x 3 1 -2x 3 2- )=x 3 1 31+--4x 3 22 1- -=1-4x -1 =1x 4- . 练习（P58） 1.如图 图2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =3 2 -x 的定义域为｛x |x ≥2｝; (2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(2 1)x 1 的定义域是｛x ∣x ≠0｝. 3.y =2x (x ∈N *) 习题2.1 A 组（P59） 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y . 2解：(1) 6 23 b a a b = 21 2 162122 1 2 3 )( ? ? ?b a a b =2 32 3 2 12 1 - - ?b a =a 0b 0 =1. (2)a a a 21 21=212121 a a a ?=2121a a ?=a 21 . 第二章测试题 一、单项选择题 1.如果数列{x n}无界，则{x n}必（） A．收敛 B．发散 C．为无穷大 D．为无穷小 2. 3.如果，则k=（） A.0 B.1 C.2 D.5 4.=（） A.不存在 B.∞ C.0 D.1 5. 6.当x->0时与sinx2等价的无穷小量是（） A.2x B.x2 C.sin2x+x D.ln（1+x） 7.f（x0+0）与f（x0-0）都存在是函数f（x）在x=x0处有极限的一个（） A.充要条件 B.必要条件 C.无关条件 D.充分条件 8.( ) A.0 B.∞ C.2 D.-2 9. 10. 11. 12. A.x=6、x=-1 B.x=0、x=6 C.x=0、x=6、x=-1 D.x=-1、x=0 13.定义域为（-1，1），值域为（-∞, +∞）的连续函数（） A.存在 B.不存在 C.存在但不惟一 D.在一定条件下存在 14. 15.当x→0时，与e-2x-1等价的无穷小量是（） A.-2x B.x C.e x D.-x 二、计算题（一）。 1. 2. 3. 4. 三、计算题（二）。 1.,求a,b 2. 3.求f(x)=的间断点，说明它的类型。 4.若在x=1连续，求a,b 四、证明题。 1.证明方程x2x-1=0在（0,1）内至少有一根 答案部分 一、单项选择题 1.【正确答案】 B 2.【正确答案】 A 3.【正确答案】 D 【答案解析】由于这是一个重要极限的形式，所以这个极限式为k，从而k=5。 4.【正确答案】 A 【答案解析】当x趋于+∞时，极限是+∞，当x趋于-∞时，极限是0+1=1。 5.【正确答案】 B 6.【正确答案】 B 【答案解析】 sinx2等价于x2，所以A选项不对，sin2x+x等价于x，ln（1+x）等价于x。 7.【正确答案】 B 【答案解析】x→x0时，f（x）极限存在的充分必要条件为左右极限都存在并且相等，所以若f（x）在x=x0处有极限，则必有f（x0+0）与f（x0-0）都存在；都存在不代表都相等，所以不一定有极限，因此为必要条件，并非充分条件。 8.【正确答案】 C 【答案解析】分子分母同除以x方就可以得到答案了 9.【正确答案】 C 10.【正确答案】 D 【答案解析】 11.【正确答案】 B 12.【正确答案】 C 【答案解析】由于x3-5x2-6x=x（x2-5x-6）=x（x-6）（x+1），所以f（x）的间断点是x=0，x=6，x=-1。 高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 姓名 学号 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2.h h x f h x f h )()(lim 000 --+→= )(20x f ' ， 又当0)0(=f 时x x f x ) (lim 0→= )0(f ' 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y co s =上点（ 3 π，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 ?/? 连续 ?/? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 2-1 1. [1991经济三] 设曲线3()f x x ax =+与2()g x bx c =+都通过点(1,0)-，且在点 (1,0)-有公共切线，则a = ，b = ，c = 。 (1)1=0f a -=--，(1)=0g b c -=+ '(1)32'(1)f a b g -=+=-=-， 11,1a b c =-=-=， 2. [1994经济四] 已知0'()1f x =-，则 00=(2)() lim x x f x x f x x →--- 。 00000000 000000 0000000 (2)()(2)()()() (2)()()()(2)()()() 2'()1 2lim lim lim lim lim lim x x x x x x f x x f x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x f x x x →→→→→→-----+--=----=+----=-+=-=-- 3. [1996经济三] 设00(,)x y 是抛物线2 =++y ax bx c 上的一点，若在该点的切线过原点， 则系数应满足的关系是 。 4. [1998经济三] 设曲线()=n f x x 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则 ()=lim n n f ξ→∞ 。 5. [2003数学三] 已知曲线32=3+y x a x b -与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为2 =b 。 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2 b 与a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故.44)3(6422202202a a a x a x b =?=-= 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 6. [2004数学一] 曲线=ln y x 上与直线+=1x y 垂直的切线方程为 。 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由11 )(ln == '='x x y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y ， 即 1-=x y . 7. [1993理工二] 设21,1 ()=12,1x x f x x x ?-?≠?-?=? ，则在点1x =处函数()f x (A) 不连续 (B) 连续，但不可导 (C) 可导，但导数不连续 (D)可导，且导数连续 1,1 ()(1),12,1x x f x x x x +>?? =-+?，则()f x 在点1x =处的 (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 答案为B高等数学第二章练习及答案
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