二次根式花间与技巧
二次根式化简的方法与技巧
所谓转化:解数学题的常用策略。常言道:“兵无常势,水无常形。”我们在解千变万化的数学题时,常常思维受阻,怎么办?运用转化策略,换个角度思考,往往可以打破僵局,迅速找到解题的途径。二次根式也不例外,约分、合并是化简二次根式的两个重要手段,因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
一、巧用公式法
例1计算
分析:本例初看似乎很复杂,其实只要你掌握好了公式,问题就简单了,因为与成立,且分式也成立,故有>0,>0,而同时公式: = -2 + , - = ,可以帮助我们将和变形,所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解:原式= + = + =2 -2
二、适当配方法。
例2.计算:
分析:本题主要应该从已知式子入手发现特点,∵分母含有1+ 其分子必有含1+ 的因式,于是可以发现3+2 = ,且,通过因式分解,分子所含的1+ 的因式就出来了。
解:原式= = 1+
三、正确设元化简法。
例3:化简
分析:本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法,通过化简替代,使其变为简单的运算,再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简,例如:,,,正好与分子吻合。对于分子,我们发现所以,于是在分子上可加,因此可能能使分子也有望化为含有因式的积,这样便于约分化简。
解:设则2 且所以:
原式=
四、拆项变形法
例4,计算
分析:本例通过分析仍然要想到,把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简,如转化成:再化简,便可知其答案。
解:原式==
五、整体倒数法。
例5、计算
分析:本例主要运用了变倒数后,再运用有关公式:,化简但还要通过折项变形,使其具有公因式。解:设A=
=
所以A=
六、借用整数“1”处理法。
例6、计算
分析:本例运用很多方面的知识如:1= × ,然后再运用乘法分配率,使分子与分母有相同因式,再约分化简。
解:原式
=
=
七、恒等变形整体代入结合法
分析:本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来,再运用整体代入法将x+y与xy代入例题中,但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式,
如x -xy+y =(x+y) -3xy,然后再约分化简。
例7:已知X= (),y = ( ),求下列各式的值。
(1)x -xy+y ; (2) +
解:因为X= (),y = ( ),所以:x+y= ,xy= 。
(1) x -xy+y =(x+y)-3 xy=( ) -3× =
(2) + = =
八、降次收幂法:
例8、已知x=2+ ,求的值。
分析:本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式转化为4x-1,这样进行低次幂运算就容易了。
解:由x=2+ ,得x-2= 。(x-2) =3整理得:x =4x-1。
所以:3x -2 x+5=3(4 x-1)-2 x+5=10(2+ )+2=22+10
22 x-7(2+ )-7=2 -3,所以原式= =42+
二次根式单元同步练习试题
一、选择题 1.如果0,0a b <<,且6a b -=,则22a b -的值是( ) A .6 B .6- C .6或6- D .无法确定 2.下列计算正确的是( ) A .()2 22a b a b -=- B .()3 22x x 8x ÷=+ C .1a a a a ÷? = D . () 2 44-=- 3.下列二次根式中是最简二次根式的为( ) A .12 B .30 C .8 D . 12 4.如图,在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为( ) A .(8﹣43)cm 2 B .(4﹣23)cm 2 C .(16﹣83)cm 2 D .(﹣12+83)cm 2 5.计算() 21 273632 ÷+?--的结果正确的是( ) A .3 B .3 C .6 D .33- 6.已知,那么满足上述条件的整数的个数是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 7.下列计算正确的是( ) A 366=± B .422222=C .83266= D a b ab =(a≥0,b≥0) 8.下列各式计算正确的是( ) A 235+=B .2 36=() C 824= D 236= 9.已知m =12n =12223m n mn +- ( ) A .±3 B .3 C .5 D .9 10.下列各组二次根式中,能合并的一组是( ) A 1a +1a -B 3和 1 3 C 2a b 2ab D 318
二、填空题 11.比较实数的大小:(1)5?-______3- ;(2)51 4 -_______12 12.计算(π-3)02-2 11(223)-4 --22 --() 的结果为_____. 13.对于任何实数a ,可用[a]表示不超过a 的最大整数,如[4]=4,[3]=1.现对72进行如下操作:72 [72]=8 [8]=2 [2]=1,类似地,只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中,最大的是________. 14.已知a =﹣ 73 +,则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____. 15.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |=_______. 16.把1 m m - _____________. 17.若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0432 52a c b =___________ 18.已知|a ﹣20072008a -=a ,则a ﹣20072的值是_____. 19.已知4a 2(3)|2|a a +--=_____. 20.3a ,小数部分是b 3a b -=______. 三、解答题 21.计算: (18322(2))((2 52253 82 +-+. 【答案】(1)52 【分析】 (1)先化简二次根式,再合并同类二次根式即可; (2)根据平方差公式化简,再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】 (18322=22422 =52 (2) )((2 52253 82 +--+
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 只含有数与字母的积的代数式叫单项式. 注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数 表示,如:b a 2314-这种表示就是错误的,应写成:b a 2313 -.一个单项式中, 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如:c b a 235-是六次单项式. 几个单项式的和叫多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项式里次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数. 单项式和多项式统称整式. 用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫代数式的值. 注意:(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,利用“整 体”代入. 2.同类项 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项. 注意:(1)同类项与系数大小没有关系; (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系. 把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变. 去括号法则1:括号前是“+” ,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号. 去括号法则2:括号前是“-” ,把括号和它前面的“-”号一起去掉,括号里各项都变号. 整式的加减法运算的一般步骤:(1)去括号;(2)合并同类项. 同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.如:
2021年八年级数学人教版下册 16.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法 同步练习
16.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法 基础训练 知识点1 二次根式的乘法法则 1.(河池)计算:×= . 2.(安徽)计算×的结果是( ) A. B.4 C. D.2 3.(中考·海南)下列各数中,与的积为有理数的是( ) A. B.3 C.2 D.2- 4.等式·=成立的条件是( ) A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥1 5.下列等式成立的是( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.4×3=7 D.5×4=20 6.(2016·长沙)下列计算正确的是( ) A.×= B.x8÷x2=x4
C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6 7.×的计算结果估计在( ) A.1至1.5之间 B.1.5至2之间 C.2至2.5之间 D.2.5至3之间 8.在△ABC中,BC=4 cm,BC边上的高为2 cm,则△ABC的面积为( ) A.6 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 知识点2 积的算术平方根的性质 9.若=·成立,则( ) A.a≥0,b≥0 B.a≥0,b≤0 C.ab≥0 D.ab≤1 10.若=·,则x的取值范围是( ) A.x≥-3 B.x≥2 C.x>-3 D.x>2 11.(重庆)化简的结果是( ) A.4 B.2 C.3 D.2
12.下列计算正确的是( ) A.=× B.=5a2b C.=8+5 D.=7 13.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是( ) A.=· B.=a+6 C.=-4 D.=5a2 14.设=a,=b,用含有a,b的式子表示,则下列表示正确的是( ) A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 15.将a根号外的因式移到根号内. 提升训练 16.计算:
新人教版八年级数学下册二次根式同步练习解析
八年级数学二次根式 一,选择 1、如果a是非零实数,则下列各式中一定有意义的是() A、a B、a- 2C、2a-D、21 a 2. 下面的计算中,正确的是() A =0.1; B.=-0.03; C± 13; D π-4 3. 等式)6 x x成立的条件是() ?x x ( - 6- = A.x≥0 B.x≥6 C.0≤x≤6 D.x 为一切实数 二填空 4、若x3+3x2 =-x x+3 ,则x的取值范围是。 5. 当 __________ 6. 若1 有意义,则m的取值范围 1 是。 7 ()2 240 -+-=,则= a c a b + -c 8 . 2440 -+=,xy的值是 y y 9、化简2)2 1(-的结果是 10、已知 a等于 11、当-1 12、 (1) ,则x 的取值范围是 。 (2) , 则x 的取值范围 是 。 (3) 设a,b,c 为△ABC 的三边 ,化简 = (4) 则a 的取值范围是 13.数a 在数轴上的位置如图所示,化简: -│1-a │ =_______. 14.比较大小6.(填“>”,“=”,“<”号) 三.计算 (1; (2) )521 (154- ?- (3)a a 82? (4) 23241 62xy xy ? (x ≥0,y ≥0) (5) ) 2 四.在实数范围内因式分解. (1) (2)(3) 2x =-1=-2=22 x -2 3x -+59x x - 二、二次根式的乘法 1.等式 )6(6-=-?x x x x 成立的条件是( ) A .x ≥0 B .x ≥6 C .0≤x ≤6 D .x 为一切实数 2. 计算: __________ 3.计算:=?b a 10253 ______. 4. 当 0a ≤,b <0__________=。 5、若x 3 +3x 2 =-x x+3 ,则x 的取值范围是 。 6.计算(1)821 ? (2) )521 (154- ?- (3) 12 (4) 2000 (5)2 22853- (6) 44176?; (7)2 3 483 4 15? ; (8)16 2436a a ? 二次根式化简的方法与技巧 所谓转化:解数学题的常用策略。常言道:“兵无常势,水无常形。”我们在解千变万化的数学题时,常常思维受阻,怎么办?使用转化策略,换个角度思考,往往能够打破僵局,迅速找到解题的途径。二次根式也不例外,约分、合并是化简二次根式的两个重要手段,所以我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为能够约分和和能够合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1计算b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析:本例初看似乎很复杂,其实只要你掌握好了公式,问题就简单了,因为a 与b 成立,且分式也成立,故有a >0,b >0,()0≠-b a 而同时公式:()b a -2=a 2-2ab +b 2,a 2-2 b =()b a +()b a -,能够协助我们将b ab a +-2和b a -变形,所以我们应掌握好公式能够使一些问题从复杂到简单。 解:原式=()b a b a --2+()() b a b a b a +-+=()b a -+() b a -=2a -2b 二、适当配方法: 例2.计算:3216 3223-+--+ 分析:本题主要应该从已知式子入手发现特点,∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式,于是能够发现3+22=()221+,且() 21363+=+,通过因式分解,分子所含的1+32-的因式就出来了。 解:原式= ()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+2 三、准确设元化简法: 例3:化简53262++ 分析:本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法,通过化简替代,使其变为简单的运算,再使用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简,例如:a =2,c =5,,3b =6=ab ,正好与分子吻合。对于分子,我们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ,于是在分子上可加0222=-+c b a ,所以可能能使分子也有望化为含有c b a ++因式的积,这样便于约分化简。 解:设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以: 原式=()()()5322222222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法: 例4,计算()()76655 627++++ 分析:本例通过度析仍然要想到,把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简,如转化成: b a ab b a 11+=+再化简,便可知其答案。 解:原式==()()()()()()()() 76657676656576657665+++++++=+++++ 576756761651 -=-+-=+++ 五、整体倒数法: 例5、计算()()13251335++++ 谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧 安陆市辛榨中学 周俊军 同学们从小学就开始学习数的计算,到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律,并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用,但二次根式有其独特的性质,在解题时仍需掌握一些技巧和方法,这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。 一、拿出来 当二次根式下出现分母时,需要将分母“开出来”,从而化简。 例如:化简a 1- 解:a 1-=2a a -= a a -- 归纳:对于此类二次根式,首先要利用分式的性质,将分子分母同时乘以a 将分母变 成平方的形式以便开方,同时要挖掘题中的隐含条件,考虑到二次根式的意义,应有a<0.而当a<0时,a a -=2。 二、放进去 有时将根号外面的式子放到根号里面去,同样可消除根号下的分母,从而达到化简的目的。 例如:化简a a 1- 解:a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳:对于此类问题,也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”,但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。 此题同样要注意到a<0这个隐含条件,而当a<0时,2a a -= 。 再如:计算:()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析:此题除式中出现因式m n ,而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ,再将括号中的各项分别与m n b a 22相除,运算更简便。 解:原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-=二次根式化简的方法与技巧
二次根式化简与计算的方法和技巧
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