与直角三角形有关的折叠问题
与直角三角形有关的折叠问题．
与直角三角形有关的折叠问题（北师版）分钟分满分100 答题时间30) 单选题(本大题共10小题，共分100与点BABCD折叠,使点如图本小题1.(10分) ,将长方形纸片
AB=6cm,BC=18cm, ,折痕为EF,已知D重合
)
则Rt△CDF的面积是
(
A.
? B.
? C.
? D.
?折叠纸,AD=8,在长方形纸片分2.(本小题10) 如图,ABCD中E边与对角线AE,且,FBAC 重合,点落在点处折痕为AB片使)
( 的长为则F=3,AB
A. 3 ?
B. 4 ?
C. 5 ?
D. 6
?．
落在本小题3.(10分) 如图,折叠矩形的一边AD,D使点?)
则EF=( 已知边上的点BCF 处,AB=4cm,BC=5cm,
A. 2cm
cm B. ?
cm C. ?D. 3cm
?沿对角,将一个长方形纸片ABCD如图所示4.(本小题10分)
F,
DC处,AE交于点E.线AC折叠点B落在点) AB=8cm,BC=4cm.已知则折叠后重合部分的面积为
(
A. 5 ?
B. 6 ?
C. 10 ?
D. 20
?,ABCD) 本小题10分如图,把一张长方形纸片折叠起来5.(8,为AB宽16,为BC若长方
形的长,重合C与A使其对角顶点．
)
则折叠后重合部分的面积是
(
A. 30 ?
B. 40 ?
C. 60 ?
D. 80
?,ABC纸片66.(本小题10分) 如图,已知边长为的等边三角形BC,在AB边上沿着EF折叠,使点A落在FAC点E在边上,点) 的长是ED⊥BC,则CE( ,边上的点D的位置且
A.
? B.
? C.
? D.
专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题(原卷版)
专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题 【精典讲解】 1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 图例3-1 图例3-2 图例3-3 2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ． 图例4-1 图例4-2 图例4-3 3、如图例5-1，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上 的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ?为直角三角形，则 BM 的长为 ． 图例5-1 图例5-2 图例5-3 4、 如图例6-1，在△MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC
关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为. 图例6-1图例6-2图例6-3 【针对训练】 1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( ) A．3B．3 2 C．2或3D．3或 3 2 2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、 DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则AD DF 的值为 A．11 13 B． 13 15 C． 15 17 D． 17 19
与直角三角形有关折叠问题
与直角三角形有关的折叠问题（北师版） 满分100分 答题时间30分钟 单选题（本大题共10小题，共100分） 1. （本小题10分）如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点B 与点D 重合,折痕为EF,已知AB=6cm,BC=18cm, 则Rt △ CDF 的面积是（ ） 2. （本小题10分）如图，在长方形纸片 ABCD 中 ,AD=8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为A E,且EF=3,则AB 的长为（ ） ? 3.（本小题10分）如图，折叠矩形的一边 AD,使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=4cm,BC=5cm 则EF=（ A. 3 E ? A. 6cm B. r C. D. B. 4 C. 5 D. 6
A. 2 cm 3 r y B. ￡ cm 5 r y C. z cm r D. 3cm 4. （本小题10分）如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠?点B落在点E处,AE交DC于点F, 已知AB=8cm,BC=4cm则折叠后重合部分的面积为（） A. 5 C B. 6 r C. 10 r D. 20 5. （本小题10分）如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB 为8,则折叠后重合部分的面积是（） D' A. 30 B. 40
C. 60
D. 80 6. （本小题10分）如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A 落在BC边上的点D的位置，且EDL BC，则CE的长是（ ） 厂 A. 12J5-18 厂B12-6占 厂l c. 24-12占 厂I D. 6曲-6 7. （本小题10分）如图，在Rt△ ABC中，/ ABC=90，/ C=6C°，AC=6,将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上 的 点C'处，折痕为BE，则EC的长为（） ?厂A.孑启 B. ?厂D.加5—
中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题 专题四 图形折叠中的直角三角形存在性问题(含答案及解析)
中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题 专题四 图形折叠中的直角三角形存在性问题（原卷） 【精典讲解】 1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 图例3-1 图例3-2 图 例3-3 2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ． 图例4-1 图例4-2 图例4-3 3、如图例5-1，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别 是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ?为直角三角形，则BM 的长为 ．
图例5-1图例5-2图例 5-3 4、如图例6-1，在△MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为. 图例6-1图例6-2图例6-3 【针对训练】 1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( ) A．3B．3 2 C．2或3D．3或 3 2
勾股定理中的折叠问题
勾股定理中的折叠问题 姓名： 例1：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ E B C A D https://www.360docs.net/doc/9a10036317.html, 对应练习：1、如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C ／处,BC ／交AD 于E,AD=8,求BC ＇的长 2、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长． A B C D E C ／
3、如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，（1）请找出图中的等腰三角形（2）求△ABE 和△BC ′F 的周长之和 B A C D E
4、如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（） 5、如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE 与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．（3）请找出图中的等腰三角形
6、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD 交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上；（3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长． 7、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD 沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：
直角三角形中的折叠问题 (2)
教 案 课 题：直角三角形中的折叠问题 教学目标：1.让学生理解折叠问题中的全等三角形及相等的线段和相等的角； 2.让学生会灵活应用勾股定理构造方程解决简单的几何问题，感受面 积法有时是解决几何问题的捷径； 教学重点：掌握解决折叠问题的一般方法，体会方程思想的重要性. 教学难点：折叠问题是操作问题，让学生会熟练寻找折叠前后图形中的相等量， 并能顺利解决问题. 教学准备：每人一张直角三角形纸片. 教学过程: 一．新课导入： 我们给定的三角形纸片命名为Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= . 二．新课教学： 探究一：折叠中点与点的重合 问题1：折叠△ABC 使点B 与点C 重合，求折痕DE 的长； 【解析】由C 、B 两点关于DE 轴对称，则DE 垂直平分BC ， 所以DE 是△ABC 的中位线，DE=12 AC=3 问题2：折叠△ABC 使点A 与点C 重合，求折痕FG 的长； 【解析】与问题同理可得FG=12 BC=4 问题3：折叠△ABC 使点A 与点B 重合，求折痕HI 的长. 【解析】由HI 垂直平分AB 得AI=BI 设AI=BI=x ，则CI=8-x ∴2226(8)x x -=- ∴254 x = 1122ABI S AB IH BI AC ?=?=?即251068 IH =? ∴IH=258
小结：1.利用全等三角形寻找相等的线段 2.利用勾股定理及面积法求线段的长 探究二：折叠中边与边的重叠 问题1：折叠△ABC ，使AC 边落在AB 上的AC'处，求折痕AP 的长； 【解析】由△ACP ≌AC ′P 得 AC=AC ′，PC=PC ′=6，BC ′=4 设PC=PC ′=x ，则BP=8-x 2224(8)x x +=- ∴x=3 ∴ =问题2：折叠△ABC ，使BC 边落在BA 上的BC'处，求折痕BM 的长； 【解析】与问题1同理，设CM=CM ′=x 可得83 x =，则 BM=3 小结：一般用未重叠的直角三角形构造勾股定理. 问题3：折叠△ABC ，使CA 边落在CB 上的CA'处， 求折痕CN 的长. 【解析】作ND ⊥BC 与点D ∵∠CAN=∠BCN=45°，CA=CA ′=6，A ′B=2 设CD=DN=x '2A BN ABC ACN S S S ???=- ∴11126826222 x x ?=??-?? ∴247 x = ∴ 小结：面积法是捷径 学以致用：如图所示，在矩形ACBD 中，AC=6，BC=8，沿对角线AB 折叠，△ABC 成为三角形ABE ，BE 交AD 于点F ，求EF 的长. D
中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题
中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题 模块四 图形折叠中的直角三角形存在性问题 【典例1】如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 图例3-1 图例3-2 图例3-3 【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知∠BED =∠DEF =60°，所以∠AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑：①当∠EAF =90°时，如图例3-2所示.∵∠B =30°，BC =3，∴ 30AC tan BC =??= ?2AB AC =，∵∠EAF =90°∴∠AFC =60°，∠CAF =30° 在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷ ，24BF AF == 由折叠性质可得：∠B =∠DFE =30°，1 22 BD DF BF == = ②当∠AFE =90°时，如图例3-3所示.由折叠性质得：∠B =∠DFE =30°，1 22 BD DF BF == = ∴∠AFC =60°，∠F AC =30°∴tan 1CF FAC AC =∠?= =，所以，BF =2，1 12 BD DF BF == =，综上所述，BD 的长为2或1. 【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发
直角三角形的折叠问题
直角三角形的折叠问题 知识关键： 1. 要解决折叠问题，就要清楚通过折叠造成哪些边相等 2. 要学会合理的设未知数，从而通过勾股定理构造方程 三角形的折叠： 折叠方法1： 将三角形的直角向斜边折叠，形成这个图形。（此时出现角平分线） 在右图中相等的线段有 例题1： 如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8，现将直角边沿着直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD长 折叠方法2： 将三角形的一个直角顶点向另一个直角顶点折叠。（此时出现边的垂直平分线） 在右图中相等的线段有 例题2： 如图，将Rt△ABC折叠，使得点A与点B重合，折痕为DE，若BC=6，AC=8 求CD的长长方形的折叠： 折叠方法1：将长方形的一个角向对边折叠 在没有折叠之前的长方形ABCD 中 相等的边有 相等的角有 ， 在折叠后的图形中，相等的边有，相等的角有 ， 全等的三角形有 例题3：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=10，将长方形折叠，使得点D落在BC 上的D'处。求EC的长。 折叠方法2：将长方形沿着对角线折叠 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为，直角三角形为 例题4：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B落在B' 处。求PD的长。 C A C
折叠方法3： 将长方形两个对角向不相邻的对角线折叠 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为 ，直角三角形为 例题5：如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，BD 是对角线.将A 、C 向BD 折叠，分别落在A'， C'处。求CF 的长 小结： 这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法1 我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就是将Rt 的直角C 向斜边BD 折叠。 折叠方法4： 将长方形折叠使得对角的顶点重合 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为 ，直角三角形为 例题6：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B 与点D 重合。求CF 的长。 小结： 这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法2 我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就 是将Rt △BDC 的锐角顶点B 向另一个锐角顶点D 折叠 A
专题43 三角形的折叠问题(解析版)
专题43三角形的折叠问题 1、如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作 正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是24． 【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′， ∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°， ∵AC=6，BC=8，AB=10， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB为直角三角形， ∴AC2=BC?MC， ∴MC==， ∵∠MAC=∠NAE′， ∴Rt△ACM∽Rt△AE′N， ∴=，即=，∴E′N=，
∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24． 故答案为24． 2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连 接C′B，则C′B=． 【解析】如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′， ∵∠C=90°，AC=BC=，
∴AB==2， ∴BD=2×=，C′D=×2=1， ∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点 （点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为． 【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示： 则EG∥AC， ∴△BEG∽△BAC， ∴==， 设BE=x， ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∴==， 解得：EG=x，BG=x， ∵点D是边BC的中点， ∴CD=BD=2，
知识点三：直角三角形之折叠问题
C D A B E 1.2 直角三角形之折叠问题 一、填空题 1、如下左图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再次折叠纸片，使A 点落在折痕EF 上的N 点处，并使折痕经过点B 得到折痕BM ，同时得到线段BN ，则∠NBC=_______. 2、如上中图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,∠A<∠B,M 是斜边的中点，将三角形ACM 沿CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A=___________． 3、如上右图CD 是Rt △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A=___________． 4、如下左图，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ． 5、如下中图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若 21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 ． 6、如上右图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在 BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是 ． 7、正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN （如下左图）设梯形ADMN 的面积为1S ，梯形BCMN 的面积为2S ，那么1S :2S = 8、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是 . 9、有一条两边平行的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则∠1的度数为_________。 10、如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的E 处．已知∠B=30°,∠C=90°，则∠1=__________,∠5=____________. A C B E 图2 A N C D B M
专题38 图形折叠中的直角三角形问题(解析版)
专题38 图形折叠中的直角三角形问题 【精典讲解】 1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 图例3-1 图例3-2 图例3-3 【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知△BED =△DEF =60°，所以△AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑： △当△EAF =90°时，如图例3-2所示. △△B =30°，BC =3 △30AC tan BC =??= 2AB AC = △△EAF =90° △△AFC =60°，△CAF =30° 在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷ ，24BF AF == 由折叠性质可得：△B =△DFE =30°，1 22 BD DF BF === △当△AFE =90°时，如图例3-3所示.
由折叠性质得：△B =△DFE =30°，1 22 BD DF BF === △△AFC =60°，△F AC =30° △tan 1CF FAC AC =∠?= = 所以，BF =2，1 12 BD DF BF == = 综上所述，BD 的长为2或1. 【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：△遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；△解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题. 2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ． 图例4-1 图例4-2 图例4-3 【解析】此题以“当△CEB ′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B ′及点E 分别为直角顶点.分两种情况考虑： △当△CEB ′=90°时，如图例4-2所示. 由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形. 所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.