选修4-4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习(附答案) - 副本
坐标系与参数方程 知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)
x x
y y
λλ?μμ'=>??
'=>?的作用下,点
P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,
叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标
设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.
一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的
极坐标有无数种表示.
如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是
(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标(,)x y
极坐标(,)ρθ
互化公式
cos sin x y ρθ
ρθ=??
=?
222
tan (0)
x y y
x x
ρθ=+=≠
在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r 的圆
(02)r ρθπ=≤<
圆心为(,0)r ,半径为r 的圆
2cos ()2
2
r π
π
ρθθ=-
≤<
圆心为(,
)2
r π
,半
径为r 的圆
2sin (0)r ρθθπ≤<
过极点,倾斜角为
α的直线
(1)
()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或
(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和
过点(,0)a ,与极轴垂直的直线
cos ()2
2
a π
π
ρθθ=-
<<
过点(,
)2
a π
,与极
轴平行的直线
sin (0)a ρθθπ=<<
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(
,)44
M ππ
可以表示为5(,2)(,2),444444
ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方
程ρθ=. 二、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数
()
()
x f t y g t =??
=?①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求
出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()
()
x f t y g t =??
=?就是曲线的参数方程,在参数方程与
普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θ
θθ=??
=?
为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2
2
2
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ=+??=+?
为参数。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>其参数方
程为cos ()sin x a y b ?
??=??=?为参数，其中参数?称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是
22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ???
=??=?为参数其中参数?仍为离心角，通常规定参数?的范围为?∈[0，2π）。
注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02
πα≤≤
时，相应地也有
02
π
?≤≤
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22
221(0,0),x y a b a b
-=>>其参
数方程为sec ()tan x a y b ???
=??
=?为参数，其中3[0,2),.22ππ
?π??∈≠≠
且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
221(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为
cot ((0,2).csc x b e y a ?
??π?π?=?∈≠?
=?
为参数，其中且以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2(0)y px p =>的参数方程为
2
2().2x pt t y pt
?=?
=?为参数 7．直线的参数方程
经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过
000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα
=+??=+?()t 为参数。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程
为00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?
()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
选修4-4
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组] 数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A 组]
一、选择题
1．若直线的参数方程为12()23x t
t y t
=+??
=-?为参数，则直线的斜率为（ ）
A ．23
B ．23-
C ．32
D ．32
-
2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ
=??
=+?为参数上的点是（ ）
A ．1(,2)2
- B ．31(,)42
- C ．(2,3) D ．(1,3)
3．将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ?=+??=??
为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2
cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．2
01y y +==2
x 或 B ．1x = C ．2
01y +==2
x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,
)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3
k k Z π
π+∈
6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
二、填空题
1．直线34()45x t
t y t =+??=-?
为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t
l t y t
=+??
=-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB =_______________。
4．直线122()112
x t t y t ?=-???
?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。 三、解答题
1．已知点(,)P x y 是圆2
2
2x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2．求直线11:()53x t
l t y t
=+???
=-+??为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P
与(1,5)Q -的距离。
3．在椭圆
2211612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[综合训练B 组]
一、选择题
1．直线l 的参数方程为()x a t
t y b t
=+??=+?为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，
则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）
A ．1t
B ．12t
C ．12t
D ．
12
2
t 2．参数方程为1()2
x t t t y ?
=+
???=?为参数表示的曲线是（ ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线
3．直线112()3332
x t t y t ?=+??
??=-+??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，
则AB 的中点坐标为（ ）
A ．(3,3)-
B ．(3,3)-
C ．(3,3)-
D ．(3,3)- 4．圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是（ ）
A ．4(5,)3π--
B ．(5,)3π-
C ．(5,)3π
D ．5(5,)3
π
-
5．与参数方程为()21x t
t y t
?=??
=-??为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2
x B ．21(01)4
y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2
x D ．21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x 6．直线2()1x t
t y t
=-+??
=-?为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）
A ．98
B ．1
404
C ．82
D ．9343+
二、填空题
1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ?=-?
≠??=-?
为参数,t 0，
则它的普通方程为__________________。 2．直线3()14x at
t y t =+??=-+?
为参数过定点_____________。
3．点P(x,y)是椭圆2
2
2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。 4．曲线的极坐标方程为1
tan cos ρθθ
=?
，则曲线的直角坐标方程为________________。 5．设()y tx t =为参数则圆2
2
40x y y +-=的参数方程为__________________________。 三、解答题 1．参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )
x y θθθθθθθ=+??=+?为参数表示什么曲线？
2．点P 在椭圆
22
1169
x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
3．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
数学选修4-4 坐标系与参数方程.
[提高训练C 组]
一、选择题
1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）
A ．1
21
2x t y t -?=???=?
B ．sin 1sin x t y t =???=??
C ．cos 1cos x t y t =???=??
D ．tan 1tan x t y t =???=?? 2．曲线25()12x t
t y t =-+??
=-?为参数与坐标轴的交点是（ ）
A ．21(0,)(,0)5
2
、 B ．11(0,)(,0)52、
C ．(0,4)(8,0)-、
D ．5
(0,)(8,0)9
、
3．直线12()2x t
t y t
=+??
=+?为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）
A ．
125 B ．1255 C ．955 D ．9
105
4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
?=?
=?为参数上， 则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）
A ．cos 2ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．4sin()3π
ρθ=+
D ．4sin()3
π
ρθ=-
二、填空题
1．已知曲线2
2()2x pt t p y pt ?=?=?
为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，
120t t +=且，那么MN =_______________。
2．直线22()32x t
t y t
?=--??
=+??为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是_______。 3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ
=+??
=-?为参数，则此圆的半径为_______________。
4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线cos sin x t y t θθ=??=?与圆42cos 2sin x y α
α=+??=?
相切，则θ=_______________。
三、解答题
1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2
t t t t x e e y e e θθ--?
=+????=-??化为普通方程： （1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；
2．过点10
(
,0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ?的值及相应的α的值。
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]
一、选择题 1．D 233
122
y t k x t --=
==-- 2．B 转化为普通方程：2
1y x =+，当34x =-
时，1
2
y = 3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 4．C
22(cos 1)0,0,cos 1x y x ρρθρρθ-==+===或
5．C 2(2,2),()3
k k Z π
π+
∈都是极坐标 6．C 2
cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即 则,2
k π
θπ=+或224x y y +=
二、填空题 1．54-
455344
y t k x t --===-- 2．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222
t t t
t t
t
y x e x e e y y x x y y e e x e ---??+==+?????+-=??=-??-=??? 3．
52 将1324x t y t
=+??=-?代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得5
2AB = 4．14 直线为10x y +-=，圆心到直线的距离12
22
d =
=，弦长的一半为22214
2(
)22
-=
，得弦长为14 5．2
πθα=
+ c o s c o s s i n
s i n
0,c o s (ρθαρθαθα+=-=，取2
πθα-=
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θ
θ=??=+?
，
22cos sin 15sin()1x y θθθ?+=++=++
51251x y ∴-+≤+≤+
（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(c o s s i n )1
2s i n ()1
4
21
a a π
θθθ∴≥-+-=-+-
∴≥-- 2．解：将153x t
y t
=+???=-+??代入230x y --=得23t =，
得(123,1)P +，而(1,5)Q -，得22(23)643PQ =
+=
3．解：设椭圆的参数方程为4cos 23sin x y θ
θ
=???=??，4cos 43sin 125d θθ--=
45
45
c o s 3s i n 3
2c o s (
)3
5
5
3
θ
θθθ=
--=+- 当c o s ()13
π
θ+
=时，m i n 45
5
d =
，此时所求点为(2,3)-。 新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组]
一、选择题
1．C 距离为2
2
1112t t t +=
2．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线
3．D 2213(1)(33)1622t t +
+-+=，得2880t t --=，12128,42
t t t t ++== 中点为1143
2333342
x x y y ?=+??=??????
=-?
??=-+??? 4．A 圆心为553
(,)22
-
5．D 222
22
,11,1,0,011,0244
y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得
6．C 2222212
122
x t x t y t y t ?=-+??=-+?????=-??=-???，把直线21x t y t =-+??
=-?代入
22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=
2121212()441t t t t t t -=+-=，弦长为12282t t -=
二、填空题 1．2
(2)(1)(1)x x y x x -=
≠- 111,,1x t t x
-==-而21y t =-， 即22
1(2)
1(
)(1)1(1)
x x y x x x -=-=≠-- 2．(3,1)-
14
3y x a
+=-，(1)
4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且 3．22 椭圆为
22
164
x y +=，设(6c o s ,2s i n )P θθ， 26cos 4sin 22sin()22x y θθθ?+=+=+≤
4．2
x y =
2
22
2
1s i n t a n ,c o s s i n ,
c o s s i n ,c o s c o s
θρθρθθρθρθθθ=?
===即2x y =
5．22
24141t x t t y t ?
=??+??=
?+? 22
()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+； 而y t x =，即22
41t y t =+，得2
2
24141t x t t y t ?
=??+??=?+?
三、解答题
1．解：显然tan y x
θ=，则22
2222
111,cos cos 1y y x x θθ+==+
2
2
2
2
1
1
2t a n
c o s s i n c o s
s i n 2
c o s c o s
2
21t a n
x θθθ
θθθθθ=+=+=?
+
+
即22222
222
2
1
11,(1)12111y y
y y x x x x y y y x x x x x
+=?+=+=++++ 得21y y
x x x
+=+，即220x y x y +--= 2．解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 24
5
d θθ--=
即122cos()24
4
5
d π
θ+-=，
当cos()14
π
θ+=-时，max 12
(22)5d =+； 当cos()14
π
θ+
=时，min
12
(22)5
d =-。 3．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ
?=+????=+??，即3
12112x t y t ?=+???
?=+?? （2）把直线3
12112
x t y t ?=+????=+??代入422=+y x 得22231
(1)(1)4,(31)2022
t t t t +
++=++-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]
一、选择题
1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制
2．B 当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1
(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1
(,0)
2
3．B 2
15125
21155
x t x t y t y t ?
=+?
?=+??
???
=+??=+?
??
，把直线122x t y t =+??=+?代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
2212121281612()4()555t t t t t t -=+-=-+=，弦长为1212
555
t t -=
4．C 抛物线为2
4y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4 5．D
cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
，为两条相交直线
6．A 4sin ρθ=的普通方程为2
2
(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆2
2
(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题
1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴，121222M N p t t p t
=-= 2．(3,4)-,或(1,2)- 2
2
2
2
12
(2)(2)(2),,22
t t t t -+==
=± 3．5 由3s i n 4c o s 4s i n 3c o s x y θθθ
θ=+??
=-?得22
25x y +=
4．22 圆心分别为1(,0)2和
1
(0,)2
5．
6
π，或56π
直线为t a n
y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时， 易知倾斜角为6
π，或56π
三、解答题
1．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，c o s ,s i n 11()()2
2
t t
t t
x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
1x y +=，即
2
2
22111()()4
4
t
t t t x y e e e e --+
=+-
（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2
t t
x e e -=±
+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2
t t
y e e -=±-，即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=???
?-=??，即222cos sin 222cos sin t
t x y e x y
e θθθθ-?=+????=-??
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θθθθ
-?=+- 即22
2
21cos sin x y θθ
-=。 2．解：设直线为10
cos ()2
sin x t t y t αα?=
+???=?
为参数，代入曲线并整理得 223(1sin )(10cos )02
t t αα+++
= 则122321sin PM PN t t α
?==+ 所以当2
sin 1α=时，即2πα=，PM PN ?的最小值为34，此时2
πα=。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及答案解析
【高中数学】数学《坐标系与参数方程》复习知识要点 一、13 1．若点P 的直角坐标为() 1,3-，则它的极坐标可以是（ ） A ．52, 3 π?? ?? ? B ．42, 3 π?? ?? ? C ．72, 6 π?? ?? ? D ．112, 6π?? ?? ? 【答案】A 【解析】 【分析】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则() 2 2132ρ=+-=，3 tan 31 θ-= =-. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3 π?? ??? ，故选：A. 【点睛】 本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．参数方程 （为参数）所表示的图象是
A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。 【详解】 由题意知将代入，得， 解得，因为，所以.故选：D。 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。 4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析 式。 【详解】 由伸缩变换得，代入，有， 即.所以变换后的曲线方程为.故选：C。
选修坐标系与参数方程高考复习讲义
选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 本部分是人教A 版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。 第一节坐标系 基本知识点： 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： ??? x′＝λ·x， λ＞0， y′＝μ·y， μ＞0 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x ，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ?? ? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ? ?? ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x≠0
高考数学坐标系与参数方程专项练习题
坐标系与参数方程 （2017·22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=． （1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3π ，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值． （2016· 23）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=??=? （t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =l 的斜率. （2015·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=??=? （t 为参数，t ≠0）其中0απ≤<，在以O 为 极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:2sin ρθ=，C 3:ρθ=. （Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标； （Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. （2014·23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ρθ=，[0,]2 πθ∈. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. （2013·23）已知动点P ，Q 都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =??=? （t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2(02)t ααπ=<<，M 为PQ 的中点. （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程； （Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
高考数学压轴专题郑州备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习含答案解析
数学《坐标系与参数方程》复习知识点 一、13 1．已知M 点的极坐标为(2,)6 π --，则M 点关于直线2 π θ= 的对称点坐标为（ ） A ．(2, )6 π B ．(2,)6 π - C ．(2, )6 π - D ．11(2, )6 π - 【答案】A 【解析】 M 点的极坐标为2,6π?? -- ?? ? ，即为5(2, )6π∴ M 点关于直线2π θ=的对称点坐标为(2,)6 π,选A. 点睛:(,)(,),ρθρθπ=-+(,)ρθ关于2 π θ= 对称点为(,)ρπθ-,关于0θ=对称点为 (,)ρθ-. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ θ =??=?(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系 是( ) A ．相切 B ．相离 C ．直线过圆心 D ．相交但直线不过圆 心 【答案】D 【解析】 【分析】 分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系.
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
坐标系与参数方程(题型归纳)
坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解
高中数学坐标系与参数方程习题及详解 一、选择题 1．(2010·湖南文，4)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程???? ? x ＝－1－t y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是 ( ) A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 [答案] D [解析] 由ρ＝cos θ得ρ2 ＝ρcos θ，∴x 2 ＋y 2 －x ＝0.此方程所表示的图形是圆． 消去方程? ?? ?? x ＝－1－t y ＝2＋t 中的参数t 可得，x ＋y －1＝0，此方程所表示的图形是直线． 2．(2010·北京市延庆县模考)下列参数方程(t 为参数)中，与方程y 2 ＝x 表示同一曲线的是( ) [答案] B [解析] 将t ＝x 代入y ＝t 2 得，y ＝x 2 ，故A 错，将tan t ＝y 代入x ＝tan 2 t 中得，x ＝y 2 ，∵tan t ∈R ，故B 正确，C 、D 容易判断都是错的． [点评] 注意C 中?? ? x ＝t y ＝|t | ，消去t 得y ＝|x |，平方得y 2＝|x |，∵y 2 ≥0限定了x 的取值必须非负， ∴y 2 ＝x ，但由于y ＝|x |，故它必须满足y ≥0，而y 2 ＝x 中的y ∈R . 3．将曲线y ＝1 2sin3x 变为y ＝sin x 的伸缩变换是( ) [答案] D 5．(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的参数方程为? ?? ?? x ＝－1＋cos α y ＝1＋sin α (α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( ) C ．－13 D ．－1 5 [答案] D [解析] ⊙O 的直角坐标方程为(x ＋1)2 ＋(y －1)2 ＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－1 5 . 6．(2010·重庆一中)曲线x 2 ＋y 2 ＝4与曲线??? ?? x ＝－2＋2cos θ y ＝2＋2sin θ (θ∈[0,2π))关于直线l 对称，则l 的方 程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝－x ＋2 D ．y ＝x ＋2 [答案] D
选修4-4坐标系与参数方程练习题及解析答案
高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．曲线与坐标轴的交点是（）． A． B． C． D． 2．把方程化为以参数的参数方程是（）． A． B． C． D． 3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D． 4．点在圆的（）． A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关 5．参数方程为表示的曲线是（）． A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线 6．两圆与的位置关系是（）． A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 7．与参数方程为等价的普通方程为（）． A． B．
C． D． 8．曲线的长度是（）． A． B． C． D． 9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D． 10．直线和圆交于两点， 则的中点坐标为（）． A． B． C． D． 11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D． 12．直线被圆所截得的弦长为（）． A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．参数方程的普通方程为__________________． 14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________． 16．设，则圆的参数方程为____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离． 18．（本小题满分12分） 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， 求的值及相应的的值． 19．（本小题满分12分） 已知中，(为变数)， 求面积的最大值． 20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角， （1）写出直线的参数方程． （2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分） 分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程： （1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数． 22．（本小题满分12分） 已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程； （2）若点为弦的中点，求弦的方程． 答案与解析：
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
2018届二轮(理)专题十八坐标系与参数方程专题卷(全国通用)
2018衡水名师原创理科数学专题卷 专题十八 坐标系与参数方程 考点58：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点59：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ） A.1 B.32．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）考点58 中难 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 3．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷） 考点58 中难 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4 πρθθθ=≤≤+ C.cos sin ,02π ρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04π ρθθθ=+≤≤ 4．【来源】2015届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ??=- ???的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3 πθ=对称
选修4-4坐标系与参数方程-高考题-分类汇总-(题目和答案)
坐标系与参数方程 1、（2011天津）下列在曲线sin 2(cos sin x y θ θθθ =??=+?为参数） 上的点是（ ） A 、1 (,2)2- B 、31(,)42 C 、(2,3) D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点?? ? ??3,2π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π 2 9 C. 1＋π2 9 D. 3 3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2) B ．(1，－π 2 ) C ．(1,0) D ．(1，π) 4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程? ?? ?? x ＝－1－t y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ． 圆、圆 D ．直线、直线 5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线 6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝ π 6 (ρ∈R )的距离是________． 7．N3[2012·北京卷] 直线??? ?? x ＝2＋t ， y ＝－1－t (t 为参数)与曲线 ???? ? x ＝3cos α，y ＝3sin α (α为参数)的交点个数为________． 8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为?? ? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和 ?? ? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：? ?? ?? x ＝a sin θ， y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点 在x 轴上，则a ＝________. 10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π 4与曲线? ???? x ＝t ＋1，y ＝t －12 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________． 11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝5cos θ y ＝5sin θ ? ????θ为参数，0≤θ≤π2和 ? ????x ＝1－2 2t y ＝－2 2 t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________． 12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 13、(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1： ? ???? x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ 为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2·cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝__________． 17．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为? ?? ?? x ＝8t 2 ， y ＝8t ，(t 为 参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2 ＋y 2 ＝ r 2(r >0)相切，则r ＝________. 18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为?? ? x ＝5cos θ y ＝sin θ (0≤θ<π)和????? x ＝54 t 2 y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． 19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-???=??， （t 为参数）， 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2， 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
专题训练：坐标系与参数方程(全国卷)
选修4－4 坐标系与参数方程 1．(2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ????2，π4，圆心为直线ρsin ????θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 2．(2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为????2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ????θ－π 4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为? ???? x ＝1＋cos α， y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．
3．(2013·郑州市质量预测)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为? ???? x ＝2＋2cos θ y ＝2sin θ(θ 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ??? ?θ＋π 4＝2 2. (1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长． 4．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为? ???? x ＝t ＋1， y ＝2t (t 为参数)，曲 线C 的参数方程为? ???? x ＝2tan 2 θ， y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公 共点的坐标．
5．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6 . (1)写出直线l 的参数方程； (2)设此直线与曲线C ：? ??? ? x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |. 6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角 坐标系，设直线l 的参数方程为??? x ＝5＋32t y ＝1 2t (t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《坐标系与参数方程》难题汇编附答案
高考数学《坐标系与参数方程》课后练习 一、13 1．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v （,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ） A ．[21,221]-+ B ．[422,422]-+ C ．22 [1,2]22- + D ．22 [1,2]44 - + 【答案】D 【解析】 【分析】 建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r 的坐标．分类讨论，当 动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】 解：建立如图所示平面直角坐标系，可得， (0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r ， 当点Q 在CD 上运动时，设(4,), [0,4]Q t t ∈， 则点P 在圆Q ：22 (4)()1x y t -+-=上及内部， 故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，
则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r ， 44cos 4sin m r n t r θθ =+?∴?=+?， 444(sin cos )4sin 4m n t r t πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???， 04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4t r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 t r π θ=== 时，m n +24+ m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈， 则点P 在圆Q ：22 ()(4)1x s y -+-=上及其内部， 故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤， 则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r ， 4cos 44sin m s r n r θθ =+?∴?=+?， 444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???， 04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4s r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 s r π θ=== 时，m n +取最大值为 84 +，即24+， m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ； 故选：D ． 【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2 ρ的最大值为（ ） A ． 7 2 B ．4 C ． 92 D ．5
坐标系与参数方程-知识点总结
坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
坐标系与参数方程专题
坐标系与参数方程专题 1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程 2x t y =??? =+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos x y θ θ =???=??（θ为参数），点P 是曲线C 上的任意一点.求点P 到直线l 的距离的最大值. 2、（南京市2019届高三第三次模拟）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1，以 极点O 为坐标原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为 ???x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α－1 (其中α为参数，r ＞0)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝3，求r 的 值． 3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的 参数方程为(x a t y t ?=+?? =??为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围。 4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2 x t y t =??=? ， （t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin()4 ρθπ- 求：（1）直线l 的直角坐标方程； （2）直线l 被曲线C 截得的线段长． 5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t =+??=?， ( t 为参数)，椭圆C 的参数方程 为)(sin cos 2为参数， θθθ?? ?? ?==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
坐标系与参数方程(带答案)
坐标系与参数方程专题 ? 温故知新 1．坐标系 (1)坐标变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λ· x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则???? ?x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，?????ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x （x ≠0） . 3．直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ； (3)直线过M (b ，π 2)且平行于极轴：ρsin_θ＝b ． 4．圆的极坐标方程 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M (a ，π 2 )，半径为a ：ρ＝2a sin_θ． ? 举一反三 考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换 例1、 求双曲线 C ：x 2－ y 2 64＝1经过φ：?????x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将?????x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2 －y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′2 16 ＝1， 即x 29－y 2 16 ＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求． 变式练习 1.在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换． 解：设变换为?????x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即? ?? ??x ′＝x ， y ′＝4y .因此，经过变换? ????x ′＝x ， y ′＝4y 后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4. 考点二、极坐标与直角坐标的互化 例2、 (2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值． [解] 由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a . 设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝3 3 a ， ∴B 点的坐标为?? ? ?33a ，a . 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，