2019高考数学试题汇编之坐标系与参数方程(解析版)
专题14 坐标系与参数方程
1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,
24x t y t =+=+???
（t 为参数），则点（1，0）到直线l
的距离是 A ．
1
5
B ．
25
C ．
45
D ．
65
【答案】D
【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：12
34
x y --=，即()()41320x y -
--=
，即4320x y -
+=，所以点（1，0）到直线l 的距离22
6
5
43d =
=+，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．
2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．
【答案】（1）2
2
1(1)4
y x x +=≠-；l 的直角坐标方程为23110x y ++=；（27．
【解析】（1）因为2
21111t t --<≤+，且()
2
2
2
22
2
22
141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+，所以C 的直角坐标方程为
2
2
1(1)4
y x x +=≠-．
l 的直角坐标方程为23110x +=．
（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,
2sin x y αα=??
=?
（α为参数，ππα-<<）．
2
221141t x t t y t ?-=??+??=?+?
，2cos 3sin 110ρθρθ++=
C 上的点到l
π4cos 11
α?
?-+ ?=．
当2π3α=-
时，π4cos 113α?
?-+ ??
?取得最小值7，故C 上的点到l 7．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=
3
θπ
时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）023ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ??
-
= ???
； （2）4cos ,,42
ρθθπ??=∈????
π．
【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 233
ρπ
== 由已知得||||cos
23
OP OA π
==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ??
-
== ??
?
， 经检验，点(2,)3
P π在曲线cos 23ρθπ??
-
= ???
上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ??
-
= ???
． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42
ππ??????
．
所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42
ρθθπ??=∈????
π．
【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π
，(2,
)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =
P 的极坐标．
【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ??
=≤≤
??
?
，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ??=≤≤
???，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ??
=-≤≤ ???
．
（2）π3,
6???或π3,3???或2π3,3???或5π3,6?
??
．
【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，
2cos ρθ=-．
所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ?
?=≤≤
??
?，2M 的极坐标方程为π
3π2sin 4
4ρθθ??=≤≤ ???，3
M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ??
=-≤≤
???
． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知
若π04θ≤≤
，则2cos 3θ=，解得π
6
θ=；
若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3
θ=；
若
3ππ4θ≤≤
，则2cos θ-=5π
6
θ=
． 综上，P
的极坐标为π6???
或π3???
或2π3???
或5π6?
??
．
【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,
,2,42A B ππ?
?? ?????
，直线l 的方程为sin 34
ρθπ??
+= ??
?
．
（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离． 【答案】（152）2．
【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，
4π），B 22π
）， 由余弦定理，得AB 223(2)232cos(
)524
ππ
+-???-=． （2）因为直线l 的方程为sin()34
ρθπ+=，
则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为
34
π． 又(2,)2
B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin(
)242
ππ
?-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参
数方程为510()10x y ?
??
?=+??
=??为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线l
的极坐标方程为sin()4
ρθπ
+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B
两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5
cos 2
ρθ=
；（2
） 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22
(5)10x y -+=，
曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22
(2)4x y -+=， 由两圆心的距离310102)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52
x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2
ρθ=
． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，
直线l 的参数方程为22242
x y t ?=-????=+??，带入曲线1C 22
(5)10x y -+=得292310t t ++=．
设,A B 两点的参数为1t ，2t ，
所以1292t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号． 所以121292MA MB t t t t +=+=+=
【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题． 7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数
方程为3sin x y α
α?=??=??
（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M
的极坐标为32,
4π?? ???，直线l 的极坐标方程为sin 204ρθπ?
?-+= ??
?．
（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2）
2
2
． 【解析】（1）因为直线l
的极坐标方程为πsin 04ρθ?
?
-
+= ??
?
，
即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．
将曲线C
的参数方程sin x y α
α?=??=??，消去参数a ，
得曲线C 的普通方程为2
213
x y +=．
（2）设N 3cos α，sin α），α∈[0，2π）． 点M 的极坐标（2，3π
4
），化为直角坐标为（－2，2）． 则31
cos 1,sin 122P αα??-+ ?
???
． 所以点P 到直线l 的距离
31
πcos sin 6sin 6
22
37222
2
d ααα?
?---+ ??
?=
=≤
， 所以当5π6α=
时，点M 到直线l 的距离的最大值为2
2
． 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的
参数方程为2
4,
232
x y ?
=+??
?
?=+??
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2
3sin 12ρθ+=（）
． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，）
，求PB PA PA
PB
+
的值．
【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）86
7
． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．
223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，
将2
2
2
sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222
312x y y ++=（）， 即22143
x y +=．
（2）点21P （，）
在直线10x y --=上，所以直线l 的参数方程可以写为2
2 21x t y ?
=+??
??=+??，
（为参数）， 将上式代入22
143
x y +=，得2720280t t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则12122028
77
t t t t +=-
=， 所以22||PA PB PB PA
PA PB PA PB ++=2
2PA PB PA PB PA PB
+-=（）21212
122t t t t t t +-=（）
2
121212
||2t t t t t t +-?==
?22028
28677877
-?=（． 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．
9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π
42
（，）．
若直线l 过点P ，且倾斜角为π
3
，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．
【答案】（1）11235x t y ?=+??
??=-??
（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．
【解析】（1）直线l
的参数方程1π11cos 23 π5sin 532x t x t y t y ??=+=+????????
??=-+?=-+????
（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，
∴圆C 的方程为22
416x y +
-=（），将cos sin x y ρθ
ρθ
=??=?代入，
得圆C 的极坐标方程为2
2
2
cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l 3530x y --=，
圆心M 到l 的距离为453
93
42
d ---==
>， ∴直线l 与圆C 相离．
【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．
10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
222x m y t ??=+?
=????
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2
2
2
2
cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）32）3 【解析】（1）将cos sin x y ρθ
ρθ
=??
=?代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，
得x 2
＋3y 2
＝48，即
22
14816
x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F
的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l
上，所以m =-
把直线l
的参数方程2
2x t y =-=???????
代入x 2＋3y 2＝48，
化简得t 2
－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，
所以2
1212124164843FA FB t t t t t t +=-=+-=+?=（）．
（2）由椭圆C 的方程22
14816
x y +=，
可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（3θ，4sin θ）（π
02
θ<<
）， 所以内接矩形的面积838sin 3232S θθθ=?=， 当π
4
θ=
时，面积S 取得最大值3 【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθ
ρθ
=??
=?，而极坐标方程转化为直
角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y
x ρθ?=+??=
??
，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2
cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，
从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．
11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为
1cos ,
1sin x t y t αα
=-+??
=+?（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22
4
1sin ρθ
=+． （1）当π
6
a =
时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ?的取值范围．
【答案】（1）223130142x y x ++=+
=，；（2）112??
????
， 【解析】（1）当π6
a =
时，直线l
的参数方程为
π1cos ,16π11sin 162x t x y t y t
??=-+=-??????
???=+=+????
，． 消去参数t 得3130x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为22
41sin ρθ
=
+，得()22
sin 4ρρθ+=， 将2
2
2
x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2
2
24x y +=，即22
142
x y +=；
（2）由直线l 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t αα
=-+??
=+?（t 为参数，0πα<<），
可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，
又由（1）知曲线C 为椭圆22
142
x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα
=-+??=+?代入22
142x y +
=中，整理得 ()()2
2
1sin 22sin c s 10t
o t ααα++--=，
设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则122
1
1sin t t α
?=-
+， 所以1221
1sin PA PB t t α
?==
+，
因为0πα<<，所以(]2
sin 01α∈，，
所以1221111sin 2PA PB t t α??
?==
∈??+??
，， 所以PA PB ?的取值范围为112??
????
，． 【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θ
θ
=+??
=+?（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，
线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）12
02
t t t +=
；（2）12
02
t t PM t +==
；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）
；直线l 的参数方程为2
222x y t ?=-+????=??
（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点P 的极坐标为()2π52PM PN +=，，a 的值．
【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()2
2
211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）2a =．
【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()2
2sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，
所以曲线C 的直角坐标方程为22
22x y y ax +=+，
即()()2
2
211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．
（2）将直线l 的参数方程2
2,222x t y ?=-+????=??
代入22
22x y y ax +=+并化简、整理，
得()
2
322440t a t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点． 所以()
()2
Δ3224440a
a =-+>，解得1a ≠．
由根与系数的关系，得121232244t t a t t a +==+，．
因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l 上．所以1232252PM PN t t a +=+==， 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．
【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22
cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参
数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式
222
tan cos ,sin x y x y x
y ρρθρθθ
=?+==??
?
?=???等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x t
y t
=+??
=+?（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2
sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求
11
PA PB
+的值． 【答案】（1）21y x =+，2
16y x =；（2）
810
35
． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x t
y t
=+??
=+?（t 为参数），
消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，
曲线C 的极坐标方程为2
sin 16cos 0ρθθ-=，即2
2
sin 16cos 0ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为216y x =，
（2）直线的参数方程改写为512535x y ?=????=+??
（t 为参数），
代入2
2
12124
4535
167055
4
y x t t t t t =-
-=+==-，，，， 121211810
t t PA PB t t -+==． 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθ
ρθρ?=?
=??+=?
，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标
的相互转化．
14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是
1x t y t ==+???（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ?
?
=+??
=?（?为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<
）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π
2
OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ?的面积为1，求α的值和弦长OP ． 【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π
224
OP α=
=， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，
曲线C 的普通方程为
22
24x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π
02
α∈（，）
，∴4cos OP α=， 1
ππ
sin cos 22
OQ αα=
+-+（）（）
1
sin cos αα
=
+，
12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα
=
==+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π
224OP α==，
【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标
方程为e e e e
t t
t t
x y --?=+??=-??（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标
系的单位长度相同）中，直线l 的极坐标方程为πsin 23ρθ??
-= ???
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【答案】（1）2
ππcos2444ρθθ??=-
<< ???（2）π6?
? ??
?，
【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2
2
42x y x -=≥．
将cos sin x y ρθρθ==，代入22
4x y -=，得()
222cos sin 4ρθθ-=． 所以曲线C 的极坐标方程为2
π
πcos244
4ρθθ??=-
<< ???．
（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2
π4sin 2cos23θθ??
-=
???
． 展开得()
22223cos 23sin cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-． 因为cos 0θ≠，所以2
3tan 23tan 10θθ-+=． 于是方程的解为3tan 3θ=
，即π
6
θ=． 代入πsin 23ρθ??-=
???22ρ=P 的极坐标为π26?
? ??
?，．
【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．
16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy
中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x t
y t =??=+?
（t
为参数），曲线C 的极坐标方程为2
cos 8sin ρθθ=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．
【答案】（1）曲线C 方程为2
8x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即2
8x y =，
所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点()11,M x y ，点()22,N x y
直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t
=??=+?化为一般方程为1
22y x =+，代入曲线C 的
直角坐标方程，得24160x x --=，
所以12124,16x x x x +==- 所以
MN =
=
()2
2
121214k x x x x =++-()
()2
2
114416102??=+-?-= ?
??
．
【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．
17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方
程为2
2
4x y +=，直线l 的参数方程2333x t
y t
=--???=??（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，
纵坐标变为原来的
3
2
倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；
（2）设点233P -（，），直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求
11
PA PB
+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ
=??
=?（θ为参数）；（2）1
2
【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的
3
2
， 则曲线2C 的直角坐标方程为22
243
x y +=（），整理得2
2
149x y +
=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θ
θ
=??=?（θ为参数）．
（2）将直线的参数方程化为标准形式为
1223332x t y t ''?
=--??
??=+??（t '为参数），
将参数方程带入2
2
149x y +=得22
1(2))
22149
t --'+='
整理得2
7
183604
t t ''++=（）．
1
21
272144
77
PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72
111
714427
PA PB PA PB PA PB
++===．
【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
高考数学重点题型：参数取值题型与分析
高考数学重点题型：参数取值题型与分析 （Ⅰ）参数取值问题的探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范 围。 分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范 围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转 化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于 ?? ? ??->-≥-≥-2)2(450 450 2a a a a 或???≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin2x,故
若把sinx 换元成t,则 可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即 a+1-2sin2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。 设f(t)= 2t2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1, ∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。 ∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同) 例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式 f(k -sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。 分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k2-sin2x ≤1对于任意x ∈R 恒成 立，这又等价于 ? ????----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。 不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即-1≤k ≤1----------(3) 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2-k+41 ≥[(sinx -21)2]max=49 ,
高中数学直线参数方程测试题
三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1
最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
(完整)2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》
2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》 【题型归纳】 题型一 曲线的极坐标方程 例1 、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 【答案】（1）C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0； （2）面积为12 . 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4 代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12 . 【易错点】互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2 ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧. ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. 题型二 参数方程及其应用 例2、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值. 【答案】（1）2x ＋y －6＝0；（2）最大值为2255，最小值为255. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
高中数学全参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题 1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为? ?? ?? x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．
3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2 =|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?? ? x ＝3cos α， y ＝3sin α (α为参数)，以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ? ????θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．
高中数学极坐标与参数方程试题精选(8套)选修4-4
极坐标与参数方程单元练习3 一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()1 1 ,y x M ，()2 2 ,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <，则 A ．21 θθ < B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
5．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8． 已知动园： ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆
高考数学参数方程大题
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）
高考数学参数方程所有经典类型
高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．
高考数学专题—参数方程
高考数学专题——参数方程 一、基本知识要求 1．参数方程和普通方程的互化 (1通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)寻找变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，令x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ????x ＝f （t ）， y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程：{x =x 0+t cos α y =y 0+t sin α （t 为参数） 圆的参数方程：{x =x 0+acos θ y =y 0+asin θ （θ为参数且0≤θ<2π） 椭圆的参数方程：{x =m cos t y =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程：{x =2pt 2 y =2pt （t 为参数） 二、常考题型要求 常考题型：共4种大题型（包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、 直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题） 1、参数方程与普通方程互化问题：（1）参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时，则直接消参；（2）参数方程中参数为角时，则通过构造sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数。 例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程] 已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为 C 1：（θ为参数），C 2：（t 为参数）．
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； 【解析】（1）的普通方程为． 由的参数方程得，，所以． 故的普通方程为． 例2、【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过 点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交 于A，B两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程； 【答案】（Ⅰ）， 【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为． 得,由韦达定理有．解之得：或（舍去） 试题解析：（Ⅰ）由得, ∴曲线的直角坐标方程为． 直线的普通方程为． 例3、【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第二讲 参数方程
第二讲 参数方程 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.判断以下各点,哪一个在曲线2 3 14 32 x t t y t t ?=++??=-+?? (t 为参数)上( ) A.(0,2) B.(-1,6) C.(1,3) D.(3,4) 解析:∵x=1+t 2 +t 4 =2 213124t ? ?++ ?? ?≥∴点(0,2),(-1,6)不在曲线上 对于点(1,3),当x=1时,t=0,y=2. ∴点(1,3)不在曲线上, 验证知(3,4)在曲线上,选D. 答案:D 2.能化为普通方程x 2+y-1=0的参数方程为 ( ) 2 .12.A .2 x sint x tan B y tan y cos t x cos x C D y sin y t θθφ φ==???? =-=???=?=?? ?==??? 。 解析:由x 2+y-1=0,知x∈R,y≤1. 排除A ?C ?D,只有B 符合. 答案:B 3.若直线的参数方程为1223x t y t =+?? =-? (t 为参数),则直线的斜率为( ) 2233 (3) 3 2 2 A B C D -- 解析:由参数方程,消去t,得3x+2y-7=0.
∴直线的斜率k=- . 答案:D 4.过点M(2,1)作曲线C: 4 4 x cos y sin θ θ = ? ? = ? (θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为 ( ) A.y-1=- (x-2) B.y-1=-2(x-2) C.y-2=- (x-1) D.y-2=-2(x-1) 解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直, ∵k OM = , ∴弦所在直线的斜率是-2, 故所求直线方程为y-1=-2(x-2). 答案:B 5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为 23 13 x cos y sin θ θ=+ ? ? =-+ ? (θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为 10 的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:曲线C表示以(2,-1)为圆心,以3为半径的圆,则圆心C(2,-1)到直线l的距离d=3 10 =<, 所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意,又 10 ,故满足题意的点有2个. 答案:B 6.(2010·上海)直线l的参数方程是 12 2 x t y t =+ ? ? =- ? (t∈R),则l的方向向量d可以是( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(1,-2)
极坐标与参数方程经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
新课标高考数学极坐标与参数方程分类汇编
2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编 1. 【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP → =2OM → ，P 点的轨迹为曲线C 2. （1）求C 2的方程； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异 于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 【答案】 （1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2 x y αα ?=????=+??， 即4cos 44sin x y α α =??=+?，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=??=+?（α为参数）. （2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3 π θ= 与C 1的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=，射线3 πθ= 与C 2的交点B 的极径 为28sin 3 π ρ=. 所以21||||AB ρρ-== 2. 【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】 （1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ . 所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为 、( 、(1,- 、1)-. （2） 设()2cos ,3sin P ?? ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ??+++=-+
高中数学参数方程应用大题(带答案)
参数方程极坐标系解答题 一、圆上的点到直线的距离最大值 1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解． 解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=， ∴， ∴x﹣y+1=0． （2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）． 得 （x﹣2）2+y2=4， 它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆， 圆心到直线的距离为： d=， ∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=． 点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析： （Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出． （II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式
可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2． ∴圆心坐标为（1，﹣1）， ∴圆心极坐标为； （Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程： ， ∴圆心到直线l的距离， ∴|AB|=2==， 点P直线AB距离的最大值为， ． 点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0） （Ⅰ）求圆心C的极坐标； （Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3． 考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系． 专题：计算题． 分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系， 消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可． （2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值． 解答： 解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0． 由得C：圆心（﹣，﹣）．
高考数学参数方程和普通方程的互化练习精选.
【参数方程和普通方程的互化】 例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点． 解：把代入 得：两式平方相加可得 ∴（舍去） 于是即所求二曲线的交点是（，－）． 说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解． 例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且） 解法一：因，，故 ∴ 设。取为参数，则得所求参数方程 解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M 与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数．
过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有 ∴ 即为所求的参数方程。 说明：①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由 此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”． ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便． ③如果取为参数，则得直线参数方程 一般地，直线的参数方程的一般形式是 （，为参数） 但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义． 例3求椭圆的参数方程． 分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设
解法一：设（为参数），则 ∴ 故 因此，所得参数方程是 （Ⅰ）或（Ⅱ） 由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（，），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点． 显然．椭圆的参数方程是 分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义． 解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）． 由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆的离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由 可知也是半径OB的转角）． 例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。 分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。 解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上任一点，过P作轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，，则：