【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之63半角公式
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之63半角公式
一、选择题（共33小题；共165分）
1. 在△ABC中，已知sin B?sin C=cos2A
2
，则△ABC是
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
2. 已知△ABC的三边a，b，c所对角分别为A，B，C，且sin A
a =sin
B
2
b
，则cos B的值为
A. 3
2B. 1
2
C. ?1
2
D. ?3
2
3. 设α∈0,π
2，β∈0,π
2
，且tanα=1+sinβ
cosβ
，则
A. 3α?β=π
2B. 2α?β=π
2
C. 3α+β=π
2
D. 2α+β=π
2
4. 若sinα
2=3
3
，则cosα=
A. ?2
3B. ?1
3
C. 1
3
D. 2
3
5. 若cosθ=1
3且270°<θ<360°，则cosθ
2
=
A. 3
3B. 6
3
C. ±6
3
D. ?6
3
6. 已知180°<α<360°，则cosα
2
=
A. ? 1?cosα
2B. 1?cosα
2
C. ? 1+cosα
2
D. 1+cosα
2
7. 已知cosθ=?1
5，5π
2
<θ<3π，那么sinθ
2
=
A. 10
5B. ?10
5
C. 15
5
D. ?15
5
8. sin22°30?cos22°30?等于
A. 2
4B. 2
2
C. 2
D. 1
9. 若0≤θ<2π，且满足不等式cos2θ
2?sin2θ
2
<0，那么角θ的取值范围是
A. π
4,3π
4
B. π
2
,π C. π
2
,3π
2
D. 3π
4
,5π
4
10. y=cos2x
2
的最小正周期为
A. π
3B. π
4
C. π
D. 2π
11. 化简
sin235°?1
2
cos10cos80
=
A. ?2
B. ?1
2
C. ?1
D. 1
12. 若tanθ=1
3
，则cos2θ=
A. ?4
5B. ?1
5
C. 1
5
D. 4
5
13. 若α是第三象限角，且sinα+βcosβ?sinβcosα+β=?5
13，则tanα
2
=
A. ?5
B. ?5
13C. 5
13
D. 5
14. 下列各式中，值为1
2
的是
A. sin15°cos15°
B. 2cos2π
2?1 C. 1+cos30°
2
D. tan22.5°
1?tan222.5°
15. 函数f x=1
2?cos2π
4
?x 的单调增区间是
A. 2kπ?π
2,2kπ+π
2
，k∈Z B. 2kπ+π
2
,2kπ+3π
2
，k∈Z
C. kπ+π
4,kπ+3π
4
，k∈Z D. kπ?π
4
,kπ+π
4
，k∈Z
16. 已知sinα?cosα=1
5，则cos25π
4
?α =
A. 1
50B. 13
50
C. 37
50
D. 49
50
17. 已知sinπ
4?x =3
5
，则cosπ
2
?2x 的值为
A. 19
25B. 16
25
C. 14
25
D. 7
25
18. 若sinπ
6?θ =1
3
，则cos2π
3
+2θ 的值为
A. ?7
9B. 7
9
C. ?5
6
D. 5
6
19. 已知sin2α=1
3，则cos2 α?π
4
=
A. 1
3B. ?1
3
C. 2
3
D. ?2
3
20. 已知sin2α=2
3，则cos2 α+π
4
=
A. 1
6B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
21. 设π<α<3π，cosα=m，cosα
2=n，cosα
4
=p，下列各式中正确的是
A. n=? 1+m
2B. n=1+m
2
C. p=1+n
2
D. p=? 1+n
2
22. 若sinθ=3
5，5π
2
<θ<3π，则tanθ
2
+cosθ
2
=
A. 3+10
10B. 3?10
10
C. 3+310
10
D. 3?310
10
23. 若角α的终边过点?1,2，则tanα
2
的值为
A. 1+5
2B. 1?5
2
C. ?1+5
2或?1?5
2
D. 1+5
2
或1?5
2
24. 下列函数中，既是0,π
2
内的增函数，又是以π为周期的偶函数的是
A. y=sin x
2cos x
2
B. y=cos2x
C. y=1
tan2x
D. y=tan2x
25. 有四个关于三角函数的命题：
p1:sin15°+cos15°>sin16°+cos16°；
p2:若一个三角形两内角α,β满足cosα?cosβ<0，则此三角形为钝角三角形；p3:对任意的x∈0,π，都有1?cos2x
2
=sin x；
p4:要得到函数y=sin x
2?π
4
的图象，只需将函数y=sin x
2
的图象向右平移π
4
个单位．
其中为假命题的是
A. p1,p4
B. p2,p4
C. p1,p3
D. p2,p4
26. 将函数y=2cos2 x?π
4
的图象沿x轴向右平移a a>0个单位后，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为
A. 3
4π B. π
2
C. π
4
D. π
8
27. 已知3tanα
2+tan2α
2
=1，sinβ=3sin2α+β，则tanα+β=
A. 4
3B. ?4
3
C. ?2
3
D. ?3
28. 若△ABC的三个内角A，B，C满足2A=B+C，则cos2B+cos2C有
A. 最小值为1
2B. 最小值为3
2
C. 最小值为3
D. 最小值为2
2
29. 有四个关于三角函数的命题：
p1:?x∈R，sin2x
2+cos2x
2
=1
2
；
p2:?x,y∈R，sin x?y=sin x?sin y；
p3:?x∈0,π，1?cos2x
2
=sin x；
p4:sin x=cos y?x+y=π
2
．
其中假命题是
A. p1，p4
B. p2，p4
C. p1，p3
D. p2，p3
30. 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边
构成的正方形所组成，该八边形的面积为
A. 2sin a?2cos a+2
B. sin a?a+3
C. 3sin a?3cos a+1
D. 2sin a?cos a+1
31. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A
2=b+c
2c
，则△ABC是
A. 直角三角形
B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
32. 在△ABC中，sin B sin C=cos2A
2
，则△ABC是
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
33. 有四个关于三角函数的命题：
p1：?A∈R，使得sin2A
2+cos2A
2
=1
2
；
p2：?A，B∈R，使得sin A?B=sin A?sin B；
p3：?x∈0,π，都有1?cos2x
2
=sin x成立；
p4：sin x=cos y?x+y=π
2
．
其中假命题是
A. P1,P4
B. P2,P4
C. P1,P3
D. P2,P3
二、填空题（共14小题；共70分）
34. sinπ
8cosπ
8
=．
35. 已知角A为三角形的一个内角，且cos A=3
5，则sin A
2
=．
36. 设5π<θ<6π，cosθ
2=a，那么cosθ
4
=．
37. 已知cos2=a，则cos1=．
38. 若sin76°=m，则cos7°=．
39. 有下列五个命题：①函数y=sin4x?cos4x的最小正周期为π；②终边在y轴上的角的集合是
αα=kπ
2
,k∈Z ；③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共
点；④把函数y=3sin2x+π
3的图象向右平移π
6
个单位得到y=3sin2x的图象；⑤函数
y=2sin x?π
2
在0,π上是减函数．其中，真命题的序号是．
40. 已知tanα=4，则1+cos2α+4sin2α
sin2α
的值为．
41. cosθ=?3
5且180°<θ<270°，则tanθ
2
等于．
42. 函数f x=sin2x?4sin3x cos x x∈R的最小正周期为．
43. 已知sinθ=?3
5，3π<θ<7π
2
，那么tanθ
2
=．
44. 1?2sin40°cos40°
cos40°2140°
的值是．
45. 已知圆的外切正十二边形的面积为12，则该圆的面积为．
46. 求值：°°3tan°
sin70°1+cos40°
=．
47. 函数f x=4cos2x
2cosπ
2
?x ?2sin x? ln x+1的零点个数为
三、解答题（共20小题；共260分）
48. 已知函数f x=sin2x
2+3
2
sin x?1
2
（1）求fπ
3
的值；
（2）求函数f x在区间 ?π
6,5π
6
上的最大值和最小值．
49. 已知函数f x=sin2x
2+3
2
sin x?1
2
．
（1）求函数f x的最小正周期；
（2）求函数f x的单调递增区间．
50. 已知f x=5sin x cos x?53cos2x+53
2
x∈R．
（1）求f x的单调递增区间；
（2）求f x的图象的对称轴和对称中心．
51. 已知函数f x=2sinωx cosωx+cos2ωxω>0的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f x的单调递增区间．
52. 已知sinα=?4
5，求tanα
2
．
53. 已知sin x
2=2cos x
2
．
（1）求tan x的值；
（2）求
2cosπ
4+x sin x
的值．
54. 求下列各式的值：
（1）cosπ
12cos5π
12
；
（2）cosπ
12?sinπ
12
cosπ
12
+sinπ
12
；
（3）1
2?cos2π
8
；
（4）sin10°sin30°sin50°sin70°．
55. 已知函数f x=?3sin2x+sin x cos x．
（1）求fπ
6
的值；
（2）求函数f x的最小正周期及最大值．
56. 如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=3
3
．
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC=23，求AB的长．
57. 已知向量m=sin B,1?cos B，且与向量n=2,0所成角为π
3
，其中A，B，C是△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求sin A+sin C的取值范围．
58. 已知函数f x=cosπ
2?x cos x?sin2x+1
2
,x∈R．
（1）求函数f x的最大值；
（2）若x∈ ?π
6,π
3
，求函数f x的单调递增区间．
59. 已知向量m=cos x,cos x+π
6
，n=3sin x+cos x,2sin x ，且满足f x=m?n．（1）求函数f x的对称轴方程；
（2）将函数f x的图象向右平移π
6
个单位得到g x的图象，当x∈0,π时，求函数g x的单调递增区间．
60. 已知向量a=2sin x
4,cos x
2
，b=cos x
4
,1，且f x=a?b．
（1）求函数f x的最小正周期；
（2）求函数f x在区间?π,π上的最大值和最小值及取得最值时x的值.
61. 在△ABC中，m=cos C
2,sin C
2
，n=cos C
2
,?sin C
2
，且m，n的夹角为π
3
．
（1）求C；
（2）若边c=7
2，S△ABC=33
2
，求a+b的值．
62. 已知椭圆x2
a2+y2
b2
=1a>b>0，P为椭圆上任一点，∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积．
63. 已知点P1,?1，直线l的方程为2x?2y+1=0．
（1）求过点P，倾斜角为l的倾斜角的一半的直线方程．
（2）求过点P，倾斜角比l的倾斜角大45°的直线方程．
64. 已知函数f x=a cos2ωx+3a sinωx cosωx+b x∈R,a>0,ω>0的最小正周期为π，最大
值为7
4，最小值为3
4
．
（1）求ω、a、b的值；
（2）指出f x的单调递增区间．
65. 已知A,B,C是△ABC的三个内角，向量m= ?1,3,n=cos A,sin A，且m?n=1．
（1）求角A的值；
（2）若1+sin2B
cos B?sin B
=?3，求tan C的值．
66. 已知函数f x=2cos2x+23sin x cos x x∈R
（1）当x∈0,π
2
时，求函数f x的单调递增区间
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若c=3，f C=2，若向量m=1,sin A与向量n=2,sin B共线，求a，b的值.
67. 已知函数f x=1+3tan x cos2x．
（1）求函数f x的定义域和最小正周期；
（2）当x∈0,π
2
时，求函数f x的值域．
答案第一部分
1. C 【解析】在△ABC中，A+B+C=π,sin B?sin C=cos2A
2=1+cos A
2
，
故2sin B?sin C=1?cos B+C=1?cos B cos C+sin B sin C，即cos B?C=1，
故B=C．
2. C 【解析】由正弦定理可得：a
sin A =b
sin B
=c
sin C
，
结合已知sin A
a =sin
B
2
b
，
故有：sin B=2sin B
2cos B
2
=sin B
2
，
又在三角形中sin B
2
≠0，
解得：cos B
2=1
2
，
因为：0 可得0 2<π 2 ， 所以B 2=π 3 ， 解得B=2π 3 ， 所以cos B=cos2π 3=?1 2 ． 3. B 【解析】由题意，得tanα=1?cosπ 2 +β sinπ 2 +β ． 由α,β∈0,π 2及半角公式，得2α=π 2 +β． 4. C 【解析】因为sinα 2=3 3 ， 所以cosα=1?2sin2α 2=1?2×3 3 2 =1 3 ． 5. D 6. C 7. D 【解析】因为5π 2<θ<3π，所以5π 4 <θ 2 <3π 2 ． 所以sinθ 2 <0．所以 sin θ =? 1?cosθ =?1+ 1 5 × 1 2 =? 15 . 8. A 9. C 10. D 11. C 【解析】sin235°?1 2 cos10cos80= 1?cos70° 2 ?1 2 cos10?sin10 =? 1 2 cos70° 1 2 sin20° =?1． 12. D 【解析】cos2θ=cos2θ?sin2θ=cos2θ?sin2θ cosθ+sinθ=1?tan2θ 1+tanθ =1? ? 1 3 2 1+ ?1 3 2 =4 5 ． 13. A 【解析】sinα+βcosβ?sinβcosα+β=sinα+β?β=sinα=?5 13 ．因为α是第三象限， 所以cosα=?12 13 ． 所以tanα 2=sinα 1+cosα =? 5 13 1 13 =?5． 14. D 15. C 【解析】f x=1 2?cos2π 4 ?x =1 2 ?1+cos π 2 ?2x 2 =?1 2 sin2x， 即求1 2sin2x的单调递减区间：2kπ+π 2 ≤2x≤2kπ+3π 2 ，k∈Z；kπ+π 4 ≤x≤kπ+3π 4 ，k∈Z． 16. D 【解析】因为sinα?cosα=1 5 ， 所以两边平方得1?2sinαcosα=1 25 ， 所以sin2α=24 25 ． 所以cos25π 4?α =1+cos 5π 2 ?2α 2 =1+sin2α 2 =49 50 ． 17. D 【解析】因为sinπ 4?x =3 5 ， 所以cosπ 2?2x =cos2π 4 ?x =1?2sin2π 4 ?x =7 25 ． 18. A 【解析】由sinπ 6?θ =1 3 ，得sinπ 2 ?π 3 +θ =1 3 ，即cosπ 3 +θ =1 3 ， 所以cos2π 3+2θ =2cos2π 3 +θ ?1=?7 9 ． 19. C 20. A 【解析】方法一：cos2 α+π 4=1 2 1+cos2α+π 2 =1 2 1?sin2α=1 6 ． 方法二：cos2 α+π 4=2 2 cosα?2 2 sinα， 所以cos2 α+π 4=1 2 cosα?sinα2=1 2 1?2sinαcosα=1 2 1?sin2α=1 6 ． 21. A 【解析】由题得π 2<α 2 <3π 2 ，所以cosα 2 =? 1+cosα 2 ，即n=? 1+m 2 ，因为π 4 <α 4 <3π 4 ，所以 cosα 4 的符号不能确定． 22. B 23. A 24. A 25. A 【解析】p1，sin15°+cos15°=2sin60°，sin16°+cos16°=2sin61°，所以错误； p4，要得到函数y=sin x 2?π 4 的图象，需要将函数y=sin x 2 的图象向右平移π 2 个单位，所以错误． 26. C 27. B 28. A 29. A 【解析】因为?x∈R，sin2x 2+cos2x 2 =1，所以p1是假命题； 当x=y时，sin x?y=sin x?sin y，故p2是真命题； 1?cos2x 2=1?1?2sin2x 2 =sin x ，因为x∈0,π，所以sin x =sin x，所以p3是真命题； 当x=π 4，y=9π 4 时，有sin x=cos y，但x+y>π 2 ，故p4是假命题．故选A． 30. A 【解析】每个等腰三角形的底边为2sinα 2，底边上的高为cosα 2 ，所以该八边形的面积为4×1 2 ?2sinα 2 ? cosα 2+4sin2α 2 =2sinα?2cosα+2． 31. A 【解析】在△ABC中， 因为cos2A 2=b+c 2c ， 所以1+cos A 2=b 2c +1 2 ， 所以cos A=b c ， 所以由余弦定理知cos A=b 2+c2?a2 2bc ， 所以b 2+c2?a2 2bc =b c ， 所以b2+c2?a2=2b2， 所以a2+b2=c2， 所以△ABC是以C为直角的直角三角形 32. C 【解析】因为sin B sin C=cos2A 2，所以sin B sin C=1+cos A 2 ，即2sin B sin C=1?cos B+C，即 cos B?C=1，所以B=C．33. A 【解析】p1为假命题； 因为sin2A 2+cos2A 2 =1恒成立，所以命题p1为假命题； p2为真命题； 因为当A=0，B=0时，sin A?B=sin A?sin B，所以命题p2为真命题；p3为真命题； 因为1?cos2x 2=sin2x=sin x ，而x∈0,π，所以sin x≥0，所以1?2cos2x 2 =sin x， 所以命题p3为真命题；p4为假命题； 因为sin5π 2=cos0，而5π 2 +0≠π 2 ，所以命题p4为假命题． 第二部分 34. 2 4 35. 5 5 36. ? 1+a 2 【解析】因为5π<θ<6π， 所以5π 4<θ 4 <3 2 π． 所以cosθ 4=?1+cos θ 2 2 =? 1+a 2 ． 37. 1+a 2 38. 2+2m 2 【解析】由sin76°=m，得cos14°=m， 所以cos27°=1+cos14° 2=1+m 2 ， 所以cos7°=2+2m 2 ． 39. ①③④ 40. 33 4 【解析】1+cos2α+4sin 2α sin2α=2cos2α+4sin2α 2sinαcosα =1+2tan2α tanα =1+2×16 4 =33 4 ． 41. ?2 【解析】可考虑由cosθ→tanθ 2=±1?cosθ 1+cosθ →tanθ 2 或cosθ→sinθ→tanθ 2 =1?cosθ sinθ =sinθ 1+cosθ →tanθ 2 ． 因为180°<θ<270°，所以θ 2 ∈90°,135°， 所以tanθ 2 <0， 故tanθ 2=? 1+ 3 5 1?3 5 =?2． 或因为180°<θ<270°，所以sinθ<0， 所以sinθ=?4 5 ， 所以tanθ 2=1+ 3 5 ?4 =?2． 42. π 2 【解析】f x=sin2x?2sin2x sin2x=sin2x1?2sin2x=sin2x cos2x=1 2 sin4x. 所以函数的最小正周期为T=2π ω=2π 4 =π 2 . 43. ?3 【解析】因为sinθ=?3 5，且3π<θ<7π 2 ，所以cosθ=? 2θ=?4 5 ， 所以tanθ 2=1?cosθ sinθ =1+ 4 5 ?3 =?3． 44. 1 45. 2+ 46. 2 47. 2 【解析】f x=21+cos x sin x?2sin x? ln x+1=sin2x? ln x+1，x>?1，函数f x的零 点个数即为函数y=sin2x与y=ln x+1x>?1的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f x有两个零点． 第三部分 48. （1）由已知 f x=sin2x + 3 sin x? 1 =1?cos x 2 + 3 2 sin x? 1 2 = 3 2 sin x? 1 2 cos x =sin x?π6 . 所以fπ 3=1 2 . （2）因为?π 6≤x≤5π 6 ， 所以?π 3≤x?π 6 ≤2π 3 ． 所以当x?π 6=?π 3 ，即x=?π 6 时，f min x=?3 2 ， 当x?π 6=π 2 ，即x=2π 3 时，f max x=1 49. （1）由已知 f x=sin2x 2 + 3 2 sin x? 1 2 =1?cos x + 3 sin x? 1 =3 sin x? 1 cos x =sin x?π . 所以f x的最小正周期为2π． （2）由（1）知f x=sin x?π 6 ， 所以当2kπ?π 2≤x?π 6 ≤2kπ+π 2 时f x递增，即2kπ?π 3 ≤x≤2kπ+2π 3 ,k∈Z 所以函数f x的单调递增区间为2kπ?π 3,2kπ+2π 3 ，k∈Z． 50. （1）f x=5 2=sin2x?53×1+cos2x 2 +53 2 =5 2 sin2x?53 2 cos2x=5sin2x?π 3 ． f x的单调递增区间是 ?π 12+kπ,5 12 π+kπ k∈Z． （2）f x的图象的对称轴方程是x=1 2kπ+5 12 πk∈Z，对称中心为1 2 kπ+π 6 ,0k∈Z． 51. （1）f x=2sinωx cosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ω =2sin2ωx+π 4 . 因为T=2π 2ω =π，w>0 . 所以ω=1． （2）由1可知f x=2sin2x+π 4 ， 2kπ?π 2≤2x+π 4 ≤π 2 +2kπ，k∈Z， 2kπ?3π 4≤2x≤π 4 +2kπ， kπ?3π 8≤x≤π 8 +kπ． 所以单调递增区间是 kπ?3π 8,π 8 +kπ k∈Z． 52. 已知sinα=?4 5，所以cosα=±3 5 ． 若cosα=3 5，则tanα 2 =1?cosα sinα =1? 3 5 ?4 5 =?1 2 ； 若cosα=?3 5，则tanα 2 =1?cosα sinα =1? ? 3 5 ?4 5 =?2． 53. （1）因为sin x 2=2cos x 2 ， 所以tan x 2 =2， 所以tan x= 2tan x 2 1?tan2x =2×2 1?22 =?4 3 ． （2）2cosπ 4 +x sin x =22 22cos x?2sin x sin x =cos x+sin x cos x?sin x cos x?sin x sin x =1 tan x +1 =?3 4 +1 =1 4 . 54. （1）原式=cosπ 12sinπ 12 =1 2 ×2cosπ 12 sinπ 12 =1 2 sinπ 6 =1 4 ． （2）原式=cos2π 12?sin2π 12 =cosπ 6 =3 2 ． （3）=1 21?2cos2π 8 =?1 2 cosπ 4 =?2 4 （4）原式 =1 cos20°cos40°cos80° =2sin20°cos20°cos40°cos80° 4sin20° =sin40°cos40°cos80° 4sin20° =sin80°cos80° ° =1 16 ? sin160° sin20° = 1 16 . 55. （1）fπ 6 =?3sin2π 6 +sinπ 6 cosπ 6 =?3×1 4 +1 2 ×3 2 =0. （2）f x=?3sin2x+sin x cos x =?3×1?cos2x 2 +sin2x 2 =sin2x+π 3 ?3 2 . 所以最小正周期为T=2π 2 =π， 最大值为1?3 2，当 x x=kπ+π 12 ,k∈Z 时取最大值． 56. （1）因为∠D=2∠B，cos∠B=3 3 ， 所以cos∠D=cos2∠B=2cos2∠B?1=?1 3 ．因为∠D∈0,π， 所以sin∠D=22 3 ． 因为AD=1，CD=3， 所以△ACD的面积S=1 2AD?CD?sin∠D=1 2 ×1×3×22 3 =2． （2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2?2AD?DC?cos∠D=12．所以AC=23． 因为BC=23， 所以AC=BC， 所以∠BAC=∠B， 在△ABC中，AC sin∠B =AB sin∠ACB ， 所以23 sin∠B =AB sinπ?2∠B = 23sin ． 解得AB=4． 57. （1）因为m=sin B,1?cos B，且与向量n=2,0所成角为π 3 ， 所以1?cos B sin B =tanπ 3 =3， 所以tan B 2 =3，又0 所以0 2<π 2 ， 所以B 2=π 3 ，即B=2π 3 ，A+C=π 3 ． （2）由（1）可得 sin A+sin C=sin A+sin π ?A =sin A+ 3 2 cos A? 1 2 sin A =1 sin A+ 3 cos A =sin A+π3 , 因为0 3 ， 所以π 3 3 <2π 3 ， 所以sin A+π 3∈3 2 ,1， 则sin A+sin C∈3 2 ,1， 当且仅当A=C=π 6 时，sin A+sin C=1．58. （1）由已知 f x=cos π 2 ?x cos x?sin2x+ 1 2 =sin x cos x?1?cos2x + 1 =1 sin2x+ 1 cos2x = 2 2 sin2x+ π 4 当2x+π 4=2kπ+π 2 ，即x=kπ+π 8 ,k∈Z时，f max x=2 2 . （2）因为当2kπ?π 2≤2x+π 4 ≤2kπ+π 2 时，f x递增， 即kπ?3π 8≤x≤kπ+π 8 ，令k=0，且注意到x∈ ?π 6 ,π 3 ， 所以函数f x的递增区间为 ?π 6,π8 . 59. （1）f x=m?n =cos x 3sin x+cos x +cos x+π 6 2sin x =3sin x cos x+cos2x+2sin x3 2 cos x?1 2 sin x =23sin x cos x+cos2x?sin2x =3sin2x+cos2x =2sin2x+π 6 , 令2x+π 6=kπ+π 2 ，k∈Z， 求得x=kπ 2+π 6 ， 故函数f x的对称轴方程为x=kπ 2+π 6 ，k∈Z． （2）将函数f x的图象向右平移π 6个单位得到g x=2sin2 x?π 6 +π 6 =2sin2x?π 6 的图 象． 令2kπ?π 2≤2x?π 6 ≤2kπ+π 2 ，k∈Z， 求得kπ?π 6≤x≤kπ+π 3 ， 故函数g x的增区间为 kπ?π 6,kπ+π 3 ，k∈Z． 再结合x∈0,π时，可得函数g x的单调递增区间为0,π 3，5π 6 ,π ． 60. （1）f x=a?b =2sin x 4 cos x 4 +cos x 2 =sin x 2 +cos x 2 =22 2 sin x 2 +2 2 cos x 2 =2sin x 2 cosπ 4 +cos x 2 sinπ 4 =2sin x 2 +π 4 所以f x的最小正周期T=2π1 2 =4π . （2）因为x∈?π,π，所以x 2+π 4 ∈ ?π 4 ,3π 4 ， 当x 2+π 4 =?π 4 ，即x=?π时，f x min=2sin ?π 4 =?2×2 2 =?1； 当x 2+π 4 =π 2 ，即x=π 2 时， f x max=2sinπ 2 =2 . 所以当x=?π时，函数f x取得最小值?1； 当x=π 2 时，函数f x取得最大值2． 61. （1）由已知m=1，n=1，m?n=cos2C 2?sin2C 2 =cos C． 又m，n夹角为π 3 ， 所以，由m?n=m n cos?m,n ?， 得cos C=cosπ 3 ． 又C∈0,π，所以C=π 3 ． （2）因为S△ABC=33 2，所以1 2 ab sin C=33 2 ，ab=6． 又c=7 2 ，由余弦定理c2=a2+b2?2ab cos C， 得49 4=a2+b2?6，a2+b2=73 4 ． 所以a+b2=a2+b2+2ab=73 4+12=121 4 ，a+b=11 2 ． 62. 由椭圆的定义，有PF1+PF2=2a，而在△F1PF2中，由余弦定理有PF12+PF22?2 PF1PF2 cosθ=F1F22=4c2． 所以PF1+PF22?2PF1PF2?2PF1 ? PF2cosθ=4c2， 即4a2?c2=2PF1PF21+cosθ， 所以S△PF1F2=1 2PF1PF2sinθ=b2sinθ 1+cosθ =b2tanθ 2 ． 63. （1）设直线l的倾斜角为α，则tanα=2 2 ， 所以0<α<π 2 ， cosα= 2=6 3 ， 所以所求直线的斜率为k=tanα 2=1?cosα 1+cosα =3?2． 所以所求直线方程为y+1=3?2x?1， 即3?2 x?y?3+2?1=0． （2）设直线l的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为α+45°，那么所求直线的斜率为k=tanα+45°=3+22， 所以所求直线方程为y+1=3+22x?1， 即3+2 x?y?2?4=0． 64. （1）将原函数整理为f x=a1+cos2ωx 2+3 2 a sin2ωx+b=a sin2ωx+π 6 +a 2 +b． ①因为T=π, 所以ω=1且a+a 2 +b=7 4 , ?a+a 2 +b=3 4 . 所以a=1 2 , b=1. （2）由①可得f x=1 2sin2x+π 6 +5 4 ． 因为当?π 2+2kπ≤2x+π 6 ≤π 2 +2kπ时，函数单调递增， 所以单调递增区间为 ?π 3+kπ,π 6 +kπ k∈Z． 65. （1） m?n=?cos A+3sin A =2 3 2 sin A? 1 2 cos A =2sin A?π 6 =1 . 所以sin A?π 6=1 2 ． 又A为三角形的内角． 所以A=π 3 （2）因为1+sin2B cos B?sin B =?3， 化简得： sin B+cos B cos B?sin B =?3. 即tan B+1 1?tan B =?3． 所以tan B=2． 所以tan C=tan π?π 3 ?B 所以tan C=8+53 11 ． 66. （1）f x=2cos2x+3sin2x =cos2x+3sin2x+1 =2sin2x+π 6 +1 令?π 2+2kπ≤2x+π 6 ≤π 2 +2kπ，k∈Z . 解得2kπ?2π 3≤2x≤2kπ+π 3 ，即kπ?π 3 ≤x≤kπ+π 6 ． 因为x∈0,π 2 ， 所以f x的递增区间为0,π 6 . （2）由f C=2sin2C+π 6+1=2，得sin2C+π 6 =1 2 , 而C∈0,π，所以2C+π 6∈π 6 ,13π 6 ， 所以2C+π 6=5π 6 ，得C=π 3 . 因为向量m=1,sin A与向量n=2,sin B共线， 所以sin A sin B =1 2 ， 由正弦定理得a b =1 2 ① 由余弦定理得c2=a2+b2?2ab cosπ 3 ， 即a2+b2?ab=9② 由①②解得a=3，b=23 . 67. （1）函数f x的定义域为 x x∈R,且x≠kπ+π 2 ,k∈Z 又因为 f x=1+3tan x cos2x =1+3sin x cos2x =cos x2+3sin x cos x =1+cos2x 2 + 3 2 sin2x =sin2x+π 6 + 1 2 所以的最小正周期为T=2π 2 =π． （2）由x∈0,π 2，得π 6 <2x+π 6 <7π 6 ， 所以?1 2 6 ≤1， 所以当x∈0,π 2时，f x∈0,3 2 ， 即函数f x在区间0,π 2的值域为0,3 2 ． 迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 高一数学专项练习题 高一数学专项练习题 高一数学专项练习一. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数唯一的零点在区间内，那么下面命题错误的( ) A 函数在或内有零点 B 函数在内无零点 C 函数在内有零点 D 函数在内不一定有零点 2.若，，则与的关系是 ( ) A B C D 3. 函数零点的个数为 ( ) A B C D 4. 已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=0 ( ) A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根 D 以上结论都不对 5. 某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林( ) A 亩 B 亩 C 亩 D 亩 二. 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。 6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是 7.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为 8. 设函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在[a,b]上有实根. 9. 若点(2,1)既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__________________，=__________________ 三. 解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.(本小题13分) 某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少? 11.(本小题14分) 设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程有且仅有一根介于和之间。 12.(本小题14分) 函数在区间上有最大值，求实数的值 B组题(共100分) 四. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A (-2,6) B [-2,6] C {-2,6｝ D (-,-2)(6,+) 高中数学：数列及最全总结和题型精选 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始 依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1n n -或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”） (三)、等差中项的概念： （2017贵州遵义高一期末）5．如图是一个算法流程图，则输出的n的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=0 执行循环体，n=1 满足条件21≤16，执行循环体，n=2 满足条件22≤16，执行循环体，n=3 满足条件23≤16，执行循环体，n=4 满足条件24≤16，执行循环体，n=5 不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5． 故选：C． 10．（2017安徽马鞍山高一期末）如图所示，程序框图的输出结果为（） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】EF：程序框图． 【专题】27 ：图表型；5K ：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=121时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=1，k=1 满足条件S＜100，S=4，k=2 满足条件S＜100，S=13，k=3 满足条件S＜100，S=40，k=4 满足条件S＜100，S=121，k=5 不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图和算法，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查． （2017湖北荆州高二月考）5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（） A．105 B．16 C．15 D．1 【考点】E7：循环结构． 【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果． 【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构， 它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1） ∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15． 故选C． （2017黑龙江大庆中学高二期中）9．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（） 好题速递1 1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上．从而1AP x y AQ +=>?? + 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题 11．设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋ f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 . 12．已知等比数列{a n }中， 高考数学基础训练题(1) 1．设集合 } 4|||{<=x x A ， } 034|{2>+-=x x x B ，则集合{ A x x ∈|且 B A x ?}= 。 2．下列说法中：(1)若22y x =，则y x =；(2)等比数列是递增数列的一个必要条件是公比大于1； (3)2≥a 的否定是；(4)若3>+b a ，则1>a 或2>b 。其中不正确的有 。 3．设集合}2|||{<-=a x x A ，}12 12|{<+-=x x x B ，且B A ?，则实数a 的取值范围 是 。 4．已知二次函数)0(3)(2≠-+=a bx ax x f 满足)4()2(f f = ，则)6(f = 。 5．计算： 31 2 1log 24lg539--??- ? ?? = 。 6．已知函数1 )(2 ++=x b ax x f 的值域是[－1,4 ]，则b a 2 的值是 。 7．若函数 3 )2(2+++=x a x y ， ] [b a x ，∈的图象关于直线1=x 对称，则 =b 。 8．函数)(x f y = 的图象与x x g )4 1 ()(=的图象关于直线 y=x 对称，那么) 2(2x x f -的单调减区 间是 。 9．函数1 )(---= a x x a x f 的反函数)(1x f -的图象的对称中心是（-1,3），则实数a = 。 10．)(x f y = 是 R 上的减函数，且)(x f y =的图象经过点A （0,1）和B （3,-1）， 则不等式 1|)1(|<+x f 的解集为 。 11．已知函数?? ?>≤+=0,l o g ,1)(2x x x x x f ，若 1 ))((0-=x f f ，则 x 的取值范围 是 . 12．已知函数),1,1(,5sin )(-∈+=x x x x f 如果,0)1()1(2<-+-a f a f 则a 的取值范围 是____。 13．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负根，则a 的取值范围是 。 14．已知函数)(x f 满足：对任意实数21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f < ，且 )()()(2121x f x f x x f ?=+写出满足上述条件的一个函数： 。 15．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足 ) 1l g ()()(2+=--x x f x f ，则 )(x f = 。 16．已知函数x x f 2log )(=，2)(y x y x F +=，，则)1),4 1((f F 等于 。 17．对任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，那么x 的取值范围是 。 18．若函数? ??? ??+=x x x f 24 1log ,log 3min )(，其中{}q p ,min 表示q p ,两者中的较小者， 则2)( 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 高一数学单元测试题 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1．如果全集U ＝{x |x 是小于9的正整数}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，则(U A ) (U B )为( ) A ．{1,2} B ．{3,4} C ．{5,6} D ．{7,8} 2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(?U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x <－1} D ．{x |－1≤x ≤3} 3．设全集U ＝Z ，集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{1,3,5} B ．{1,2,3,4,5} C ．{7,9} D ．{2,4} 4．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x ) g (x )＝ 2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0 C ．,0,(),0, x x f x x x ≥?=?-0时，f (x )＝x 3＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 15．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 k m(含3 k m)，3 k m 后到10 k m(含10 k m)每走1 k m 加价1.5元，10 k m 后每走1 k m 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 k m ，他应交费________元． 三、解答题：（共75分） 16．(10分)已知全集U ＝R ，若集合A ＝{}310x x ≤<，B ＝{x |2＜x ≤7}． (1)求A B ，A B ，(U A ) (U B )； (2)若集合C ＝{x |x ＞a }，A ?C ，求a 的取值范围．(结果用区间或集合表示) 一、 《高中数学解题的思维策略》 高中数学基础知识与练习 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 第一讲集合与逻辑用语 第1节集合及其运算 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示). (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 集合间的基本关系 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少 有一个元素不是A中的元素 A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则 集 合A的补集为?U A 图形表示 意义 {x|x∈A，或 x∈B}{x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且x?A} 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A； ?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )；?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B ). ★练习 1.已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，则(?R A )∩B ＝________. 2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) .4 3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A.(－1，3) B.(－1，0) C.(0，2) D.(2，3) 4.(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q 等于( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1，2) D.(－1，3] 一、选择题 1.(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(?U B )等于( ) A.{1，2，5，6} B.{1}C.{2} D.{1，2，3，4} 2. (2015·南昌监测)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( ) B.1 3.(2015·长春监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝??????x ???x ＋1x －2≥0，则P ∩Q 等于 ( ) A.(－∞，2) B.(－∞，－1] C.[0，＋∞) D.(2，＋∞) 4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ＝{x |－1＜x ≤2，x ∈N }，集合B ＝{2，3}，则A ∪B 等于( ) A.{2} B.{1，2，3} C.{－1，0，1，2，3} D.{0，1，2，3} 5.已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) 必修5数列单元质量检测题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，共计60分） 1.数列252211，，，， 的一个通项公式是（ ） A. 33n a n =- B. 31n a n =- C. 31n a n =+ D. 33n a n =+ 2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ） A. 6 B. 3- C. 12- D. 6- 3. 2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 335 4. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ ） A.45 B.75 C. 180 D.300 5. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( ) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 6. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则d a 1等于( ) A. 21 B.2 C. 4 1 D.4 7. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列 ｛a n ＋b n ｝的前100项之和是( ) A.1000 B.10000 C.1100 D.11000 8.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于( ) A.97 B.95 C.93 D.91 9.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 10. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( ) A. 2 1 B. 31 C.2 D.3 11. 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( ) A.等比数列 B.等差数列 C.等比或等差数列 D.非等差数列 12. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ， 则5 5b a 等于( ) A.32 B. 149 C. 3120 D. 17 11 二、填空题（每小题4分，共计16分） 13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 14. 已知｛n a 1 ｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ . 15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 16. 数列121，241，341 ，416 1，…的前n 项和为 . 三、解答题： 17.（本小题满分12分） 已知等差数列｛a n ｝中，S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，求S m ＋n . 18.（本题满分12分） 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.求公差d 的取值范围. 迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ， 6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ） A. A B B. B A C. B C A C U U D. B C A C U U 11.设集合{|32}M m m =∈-< 高中数学《函数》测试题 一、选择题(共50分)： 1．已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点 A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2） D. （4，-2） 2．如果奇函数()f x 在区间[](),0a b b a >>上是增函数，且最小值为m ，那么()f x 在区间[],b a --上是 A.增函数且最小值为m B.增函数且最大值为m - C.减函数且最小值为m D.减函数且最大值为m - 3. 与函数() lg 210.1 x y -=的图象相同的函数解析式是 A ．121()2y x x =-> B ．1 21 y x = - } C ．11()212y x x = >- D ．1 21 y x = - 4．对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．-∞(，－2］ B ．［－2，2］ C ．［－2，)+∞ D ．［0，)+∞ 5．已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称，则)()(x g x g -+的值为 A ．2 B ．0 C ．1 D ．不能确定 6．把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为x y 2=的 图像，则)(x f y =的函数表达式为 A. 2 2 +=x y B. 2 2 +-=x y C. 2 2 --=x y D. )2(log 2+-=x y 7. 当01a b <<<时，下列不等式中正确的是 A.b b a a )1()1(1 ->- B.(1)(1) a b a b +>+ 】 C.2 )1()1(b b a a ->- D.(1)(1)a b a b ->- 8．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2 --+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是 A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2 [,)3 +∞ 9．已知(31)4,1()log , 1a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3 C.1[,1)7 D.11 [,)73 10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴。洗浴时，已知每分钟放水 34升，在放水的同时按4升/分钟的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供 A ．3人洗浴 B ．4人洗浴 C ．5人洗浴 D ．6人洗浴 二、填空题(共25分) 11．已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，若()()0.511,(log ),lg 0.54 a f b f c f =-==，则,,a b c 之间的大小关系为 。 12. 函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围是 。 【 “概率与统计”专题训练 一.随机抽样（简单随机抽样，系统抽样，分层抽样） 1.从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（B） A．1，2，3，4，5B、5，15，25，35，45 C．2,4,6,8,10D、4，13，22，31，40 2.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（D） A．12，24，15，9B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8,16,10,6 3．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为__120_______ 4.一个社会调查机构要了解某地区8000名教师的月收入情况，从中随机抽取400名进行调查，调查结果如下表所示： 则该地区月收入在[2000，4000]的教师估计有_6400___名． 5．某学校有学生4022人．为调查学生对2010年上海世博会的了解情况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是____134____．6．某校高一年级有x名学生，高二年级有y名学生，高三年级有z名学生，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取10人，高三年级共有学生300人，则此学校共有学生___900_____人. 7.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生参加摄影座谈会，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多_3___人. 8.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采取分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了___5600_______件产品. 二.用样本估计总体（频率分布直方图，茎叶图，众数，中位数，平均数，标准差，方差） 1.频率分布直方图：小长方形的面积=频率，各个小矩形的面积之和为1 2.众数：出现次数最多的数 3.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 好题速递201题 解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线 ()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ． 解法一：由MA MB λ=得()()2 2 2222x y x b y λ??++=-+?? 即()()() 222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222 240 411 b b λλλ?+=? ?-=?-?，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ?? - ??? 到直 线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ?? - ??? 的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得 13 11b b λ==+-，解得12 b =-，2λ= 好题速递202题 解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ． 解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN = '1cos PN PP PM m PN m PM PM θ=? ===，其中'MPP NMP θ=∠=∠ 要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2 PMP MPP π ∠=-∠最小， 此时MP 是抛物线的切线． 设MP 的方程为2y kx =-， 与28x y =联立得()2820x kx --= 因为相切，故264640k ?=-=，解得1k = 故()4,2P ，2424a PM PN =-=-高中数学题库
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很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图， 昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们 下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程， 去年高考难，很多学生数学考得也很不错， ，很多人可能会问补课 有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留 学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了， 补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高 考中分数的重要性， ，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了， 家长就说， ，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主 体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生 反映最后对我们 3 个教的还不错， 我先讲一下我补课大概基本要讲的内容， 把大家数学必修的知识点 基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多 好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家 讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下 一些英语，语文和其他科目的技巧。 导 读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效 的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻 牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分 钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填空 题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道大 题都快做完了，这下就慌了，心想肯定完了，最后整个卷子全部慌了，后面计算正确率 也不高了，整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀，先做会的，把整个卷子会做的做 完了，再去做会做的，即使有些题不会做也没关系，大题都是按步骤给分，步骤对了，高中数学基础知识与练习题
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