立体几何专题复习(自己精心整理)
专题一证明平行垂直问题
题型一证明平行关系
(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是
C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
(2)在正方体AC1中,M,N,E,F分别是A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN∥平面EFDB.
思考题1(1)如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC.
(2)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD
=22,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=
3QC.求证:PQ∥平面BCD.
题型二证明垂直关系(微专题)
微专题1:证明线线垂直
(1)已知空间四边形OABC中,M为BC中点,N为AC中
点,P为OA中点,Q为OB中点,若AB=OC.求证:PM⊥QN.
(2)(2019·山西太原检测)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=
AC=1,E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,D为棱A1B1上的点,求证:DF⊥AE.
微专题2:证明线面垂直
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:BD1⊥平面ACB1.
(4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中,ABC-A1B1C1为三棱柱,
且AA1⊥平面ABC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.
若AA1=AC,求证:AC1⊥平面A1B1CD.
微专题3:证明面面垂直
(5)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,
求证:平面DEA⊥平面A1FD1.
(6)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=1 2
PD,求证:平面PQC⊥平面DCQ.
思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底
面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作
EF⊥BP交BP于点F,求证:PB⊥平面EFD.
(2)(2019·济南质检)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的
中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO
=3,OD=2.
①证明:AP⊥BC;
②若点M是线段AP上一点,且AM=3,试证明平面AMC⊥平面BMC.
题型三探究性问题
在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正
方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB.若存在,确定
G点的位置;若不存在,试说明理由.
思考题3(2019·山西长治二模)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面
是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=2,E为PD上一点,PE=
2ED.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF∥平面AEC若存在,指出F点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
专题二求解异面直线所成角和线面角问题
题型一异面直线所成的角
(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别
是CC1,AD的中点,则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________.
(2)(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AC=∠BAC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,AA1=AC=AB,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为思考题1(2019·湖南雅礼中学期末)如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC 的中点;如图2,将△DAE沿AE折起,使折后平面DAE⊥平面ABCE,则异面直线AE和BD 所成角的余弦值为________.
题型二定义法求线面角
(1)(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面AB1C1,且△AB1C1为等边三角形,B1C1=2AA1=2,则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为()
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P
在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是
()
A.[
3
3,1] B.[
6
3,1] C.[
6
3,
22
3] D.[
22
3,1]
思考题2(1)(2019·河北石家庄一模)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1
中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则BB1与平
面AB1C1所成的角的大小为________.
(2)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()
A.90°B.60°C.45°D.30°
题型三向量法求线面角
(1)(2019·河南郑州月考)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面
ABCD是边长为2的正方形,PA=PD=5,平面ABCD⊥平面PAD,M是PC
的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________.
(2)如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面
ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45°,则
AE=________.
思考题3(1)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是________.
(2)(2019·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为2,∠A1AD=60°,∠BAD=90°,平面A1ADD1⊥平面ABCD,则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()
(1)(2019·太原模拟一)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD
是边长为2的正方形,PA⊥BD.
①求证:PB=PD;
②若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求直线PB与平面
PCD所成角的大小.
(2)(2019·湖南长郡中学选拔考试)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA
=BC=5,AC=8,D为线段AC的中点.
①求证:BD⊥A1D;
②若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为4
5,求AA1的长.
思考题4(2019·石家庄质检二)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为∠CBB1=60°的菱形,AB=AC1.
(1)证明:平面AB1C⊥平面BB1C1C;
(2)若AB⊥B1C,直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°,求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值.
专题三求解二面角问题
题型一定义法求二面角
(1)(2019·台州一模)在边长为a的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,沿AD折成二面角B-AD-C,若此
时BC=1
2a,则二面角B-AD-C的大小为________.
(2)如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段ABα,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是
(3)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上,AC为球O的直径.当三棱锥P-ABC的体积最大时,设二面角P-AB-C的大小为θ,则sinθ=()
思考题1 (1)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,
点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻
折,使得点A,D重合于F,此时二面角E-BC-F的余弦
值为()
(2)如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,
若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P-AC-B的正切值是________.
题型二向量法求二面角
(1)已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为________.
(2)(2019·河南安阳)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为() A.150°B.45°C.60°D.120°
思考题2(1)设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-
2,-4,k),若α和β所成的锐二面角的余弦值为2
3,则k=________.
(2)(2019·辽宁丹东模拟)如图,正方形A1BCD折成直二面角A
-BD-C,则二面角A-CD-B的余弦值是________.
(3)(2019·广东中山模拟)在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=22,M,N分别为AD和BC的中点,沿MN把平面ABNM折起,
若折起后|AC|=6,则二面角A-MN-C的大小为() A.30°B.45°C.60°D.90°
(2019·惠州二次调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,PA⊥PB,PC=2.
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)若PA=PB,求二面角A-PC-D的余弦值.
思考题3(2019·河北五一名校联考)
在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,底面△ABC是边长为2的正三角形,A1A=A1C,A1A⊥A1C.
(1)求证:A1C1⊥B1C;
(2)求二面角B1-A1C-C1的正弦值.
题型三空间角的综合问题
(2019·唐山五校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面
ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD,E是PB的
中点.
(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值为
6
3,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
思考题4(2019·江南十校素质检测)如图,在以A,B,C,D,E,F
为顶点的五面体中,平面CDEF⊥平面ABCD,FC=FB,四边形ABCD为平行
四边形,且∠BCD=45°.
(1)求证:CD⊥BF;
(2)若AB=2EF=2,BC=2,直线BF与平面ABCD所成角为45°,求平面ADE与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.
专题四综合问题
题型一空间的距离
(1)(2019·江西九江期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥
底面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F为PA的中点,
且PA=AB=2.则点P到平面BEF的距离为()
(2)已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分
别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.
思考题1(1)(2019·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC-A1B1C1底面为
正三角形,侧棱与底面垂直,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为()
2.(2017·课标全国Ⅰ,理)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且
∠BAP =∠CDP =90°.
(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;
(2)若PA =PD =AB =DC ,∠APD =90°,求二面角A -PB -C 的余弦值.
(2)(2019·湖南长沙一模)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别
为BB 1,CD 的中点,求点F 到平面A 1D 1E 的距离.
题型二探究性问题
(2019·湖南重点校联考)如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥
平面ABCD ,AD ∥BC ,AD ⊥CD,且AD =CD =22,BC =42,PA =2.
(1)求证:AB ⊥PC ;
(2)在线段PD 上,是否存在一点M ,使得二面角M -AC -D 的大
小为45°,如果存在,求BM 与平面MAC 所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
思考题2 (2019·西安八校联考)已知几何体ABCC 1B 1N 的直观图
如图所示,CB ⊥底面ABB 1N ,且ABB 1N 为直角梯形,侧面BB 1C 1C 为
矩形,AN =AB =BC =4,BB 1=8,∠NAB =∠ABB 1=90°.
(1)连接B 1C ,若M 为AB 的中点,在线段CB 上是否存在一点P ,
使得MP ∥平面CNB 1若存在,求出BP 的长;若不存在,请说明理由.
(2)求二面角C -NB 1-C 1的余弦值.
题型三 翻折问题
(2019·安徽合肥调研性检测)平面四边形ABCD 中,
∠DAB =π2,AD =AB ,△BCD 为等边三角形.现将△ABD 沿BD
翻折得到四面体P -BCD ,点E ,F ,G ,H 分别为PB ,PD ,CD ,
CB 的中点.
(1)求证:四边形EFGH 为矩形;
(2)当平面PBD ⊥平面CBD 时,求直线BG 与平面PBC 所成角的正弦值.
思考题3如图,在直角梯形ABCP中,∠A=∠B=
90°,AB=BC=3,AP=6,CD⊥AP于D,现将△PCD沿线
段CD折成60°的二面角P-CD-A,设E,F,G分别是PD,
PC,BC的中点.
(1)求证:PA∥平面EFG;
(2)若M为线段CD上的动点,求直线MF与平面EFG所成角的最大角,并确定成最大角时点M在什么位置
高考题呈现
1.(2014·全国Ⅱ)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA
⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=
3
4,求A到平面
PBC的距离.
2.(2016·北京)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5.
(1)求证:PD⊥平面PAB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD若存在,求AM
AP的值;若不存在,说明
理由.
3.(2018·浙江)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
4.(2016·课标全国Ⅲ)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,
AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,
N为PC的中点.
(1)证明:MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
5.(2018·课标全国Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF 为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
6.(2016·课标全国Ⅰ,理)如图,在以A,B,C,D,E,F
为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二
面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦值.
7.(2017·课标全国Ⅰ,理)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,
且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余
弦值.
8.(2018·课标全国Ⅱ,理)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,
PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM
所成角的正弦值.
9.(2018·北京,理)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=5,AC=AA1=2.
(1)求证:AC⊥平面BEF;
(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(3)证明:直线FG与平面BCD相交.
10.(2017·北京,理)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=6,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1:异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 (1)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 (2)一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0 ?的角 (3)直线和平面所成角的范围是[0?,90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则 叫做二面角的平面角. 注:①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究: 1、如图:表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-, 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中,2 AD BC ==,,E F分别是, AB CD的中点,3 EF=, 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
立体几何高考真题大题
立体几何高考真题大题 1.(2016 高考新课标 1 卷)如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 . D C F (Ⅰ)证明:平面ABEF平面EFDC; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 2 19 19 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC .(Ⅱ)建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角.n m 试题解析:(Ⅰ)由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC . 又F平面F,故平面 F 平面FDC . (Ⅱ)过 D 作DG F ,垂足为 G ,由(Ⅰ)知 DG平面 F . 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz . 由(Ⅰ)知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 . 由已知 ,// F,所以//平面FDC . 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F . 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 .从而可得C2,0,3.
设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 . 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 .则 cos n, m n m 2 19. n m19 故二面角C 219的余弦值为. 19 考点:垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主.第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决. 2 .( 2016 高考新课标 2 理数)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O , AB 5,AC 6,点 E, F 分别在 AD,CD 上, AE CF 5 ,EF交BD于点H.将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置,OD10. (Ⅰ)证明: D H平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B D A C 的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)295 .25
立体几何题型的解题技巧适合总结提高用
第六讲 立体几何新题型的解题技巧 考点1 点到平面的距离 例1(2007年福建卷理)如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. (Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离. 例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 考点2 异面直线的距离 例3已知三棱锥ABC S -,底面是边长为24的正三角形,棱SC 的长为2,且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点,求CD 与SE 间的距离. 考点3 直线到平面的距离 例4.如图,在棱长为2的正方体1AC 中,G 是1AA 的中点,求BD 到平面11D GB 的距离. 考点4 异面直线所成的角 例5(2007年北京卷文) 如图,在Rt AOB △中,π6OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --的直二面角.D 是AB 的中点. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ; (II )求异面直线AO 与CD 所成角的大小. 例6.(2006年广东卷)如图所示,AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,AD =8,BC 是⊙O 的直径,AB =AC =6,OE //AD . (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小; (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角. 考点5 直线和平面所成的角 例7.(2007年全国卷Ⅰ理) B A C D O G H 1 A 1 C 1D 1 B 1O Q B C P A D O M A B C D 1 A 1 C 1 B O C A D B E
高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1) 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围:,平移相交(找平行线替换)求法:向量法??? ??20π, 2) 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0,2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3) 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围:定义法(即垂面法)作二面角平面角的方法:三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时,n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时,n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中,若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解:法一:如图一所示, 设O为C B 1 、B C 1 的交点,D AC 为的中点,则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则,于是在DOB ?中, 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二:取 11 A B的中点O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位,则由
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别为AB 、PC 的中点; (1)求证:MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°,求证:MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12分) 如图,在三棱锥P ABC -中,,E F 分别为,AC BC 的中点. (1)求证://EF 平面PAB ; (2)若平面PAC ⊥平面ABC ,且PA PC =,90ABC ∠=?, 求证:平面PEF ⊥平面PBC . P A C E B F
(1)证明:连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点, //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ,?AB 平面PAB , ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 (2)PA PC = ,E 为AC 的中点, PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点, //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC ,点D 是AB 的中点。 (1)求证:BC 1//平面CA 1D ; (2)求证:平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是 AB 、PC 的中点. (1) 求证:EF ∥平面PAD ; (2) 求证:EF ⊥CD ; (3) 若∠PDA =45°,求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题 1.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 2.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. 3.(2018年浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 4.如图,在三棱柱中,点P,G分别是,的中点,已知⊥平面 ABC,==3,==2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值; (II)求证:⊥平面; (III)求直线与平面所成角的正弦值. 5.如图,四棱锥,底面是正方形,,,,分别是,的中点.
(1)求证; (2)求二面角的余弦值. 6.如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等.,,分别为棱,,的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; (3)求直线与直线所成角的正弦值. 7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠AB D=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF. (Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF; (Ⅱ)若二面角C BF D的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值. 8.如图,在四棱锥中,平面,,,
,点是与的交点,点在线段上,且. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9.在多面体中,底面是梯形,四边形是正方形,,,,, (1)求证:平面平面; (2)设为线段上一点,,求二面角的平面角的余弦值. 10.如图,在多面体中,四边形为等腰梯形,,已知,,,四边形为直角梯形,,. (1)证明:平面,平面平面;
最新高中立体几何题型分类训练(附详细答案)(1)
立体几何题型分类解答 第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图 及其表面积和体积 一、选择题 1.(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( ) 2.(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A.①②B.①③C.①④D.②④ 3.如下图所示,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是( ) ①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④ 4.(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如下图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A.9与13 B.7与10 C.10与16 D.10与15 5.(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A .2π+2 3 B .4π+2 3 C .2π+233 D .4π+23 3 二、填空题 6.在下列图的几何体中,有________个是柱体. 7.(2009年全国卷)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上,若AB =AC =AA 1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于__________. 8.一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6,这个长方体对角线的长是________. 三、解答题 9.如右图所示,在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB =3,AA 1=4,M 为AA 1的中点,P 是BC 上一点,且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29,设这条最短路线与CC 1的交点为N.求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和NC 的长. 10.一几何体的表面展开图如右图,则这个几何体是哪一种几何体?选择适当的角度,画出它水平放置时的直观图与三视图.并计算该几何体的体积. 参考答案 1.C 2.解析:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为D.
关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索
关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索 ──从2011年高考数学谈起 贵州省遵义市习水县第一中学袁嗣林 摘要:纵观近年高考数学试题,可以看出,立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分,难度属容易或中档题。学生得分率较高,但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例,对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解,即一类题有多种解法,多种题型可以用一种解法完成。 关键词:一题多解;多题一解;立体几何 一、一题多解 例1 (安徽理17)如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,△OAB,,△,△,△都是正三角形。 (Ⅰ)证明直线∥; (II)求棱锥F—OBED的体积。 分析:本题考查空间直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算等基本知识,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。 (I)解法一(传统法):证明:设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以
∥,OG=OD=2, 同理,设是线段DA与线段FC延长线的交点,有 又由于G和都在线段DA的延长线上,所以G与重合. 在△GED和△GFD中,由∥和OC∥,可知B和C分别是GE和GF 的中点,所以BC是△GEF的中位线,故BC∥EF. 解法二(向量法):过点F作,交AD于点Q,连QE,由平面ABED⊥平 面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点,为轴正向,为y轴正向,为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知 则有 所以即得BC∥EF. (II)略 评注:向量法和传统法有时可以转换着使用,主要工具是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两辆相互垂直的三条直线,进而建立直角坐标系。 例2 (湖北理18)如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合.
立体几何题型归类总结
立体几何题型归类总结(总8 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除
立体几何专题复习 1.棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ① ???????? →???????→?? ??? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为正方形 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.球 球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ★② r =d 、 球的半径为R 、截面的半径为r ) ★球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长方体,球与正方体等的内接与外切.
注:球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式:2 3 44,3 S R V R ππ== 球球(其中R 为球的半径)
俯视图 二、【典型例题】 考点一:三视图 1.一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 第1题 2.若某空间几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积是________________. 第2题 第3题 3.一个几何体的三视图如图3所示,则这个几何体的体积为 . 4.若某几何体的三视图(单位:cm )如图4所示,则此几何体的体积是 . 第4题 第5题 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视 3 俯视图 1 1 2 a
立体几何大题题库
立体几何解答题题库 1. 如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ,PB ,PC 两两垂直,P A =AB =AC =3,平面//α平面P AB ,且α与棱PC ,AC ,BC 分别交于P 1,A 1,B 1三点. (1)过A 作直线l ,使得l BC ⊥,11l P A ⊥,请写出作法并加以证明; (2)若α将三棱锥P -ABC 分成体积之比为8:19的两部分(其中,四面体P 1A 1B 1C 的体积更小),D 为线段B 1C 的中点,求四棱锥A 1-PP 1DB 1的体积. 2. 如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形,尺寸如图所示). (1)求四棱锥P -ABCD 的体积; (2)证明:BD ∥平面PEC ; (3)线段BC 上是否存在点M ,使得AE ⊥PM ?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. 3.如图1所示,平面多边形CDEF 中,四边形ABCD 为正方形,EF ∥AB ,AB =2EF =2,沿着AB 将图形折成图2,其中AED ∠90,,AE ED H =?=为AD 的中点. (Ⅰ)求证:EH ⊥BD ;
(Ⅱ)求四棱锥D -ABFE 的体积. 4. 如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形,且平面⊥PAD 底面ABCD ,12 1 == =AD BC AB ,090=∠=∠ABC BAD . (1)证明::AB PD ⊥; (2)点M 在棱PC 上,且CP CM λ=,若三棱锥ACM D -的体积为3 1 ,求实数λ的值. 5. 已知ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =a ,AD =,M 、N 分别是AD 、PB 的中点。 (Ⅰ)求证:平面MNC ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求点A 到平面MNC 的距离。 6. 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AC ,E 是BC 的中点. (1)求证:平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:A 1C ∥平面AB 1E .
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.