初中数学知识要点及典型例题-几何部分

必记知识点

第六单元图形的认识

第17讲图形的初步认识

1．在三棱柱中，任何两个面的交线都叫做棱；相邻两个侧面的交线叫做侧棱；在直棱柱中，所有侧棱的长都相等。

2．用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。

3．在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

4．圆上两点间的部分叫做弧，连接该两点的线段叫做圆的弦。

5．由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。

6．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

7．把一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点；把一条线段分成ｎ条相等的线段的点叫做这条线段的ｎ等分点。

8．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。在一个角的内部，将该角分成ｎ个相等的角的ｎ条射线叫做这个角的ｎ等分线。

9．如果两个角的和等于90o,那么称这两个角互为余角；如果两个角的和等于180o，那么称这两个角互为补角。

10．点动成线，线动成面，面动成体。

11．线段有两个端点，可度量；射线有一个端点，不可度量；直线没有端点，不可度量。

12．经过两点有且只有一条直线。

13．两点之间的所有连线中，线段最短。

14．同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

15．一个n棱柱有n +2个面，2n个顶点；3n条棱；n条侧棱。

16．1o= 60/，1/ = 60//，1o= 3600//。

17．1周角= 2平角= 4直角。

第18讲平面图形及位置关系

1．有一条共公边，另一边互为相反延长线的两个角，叫做互为邻补角。

2．顶点相同，两边互为相反延长线的两个角叫做对顶角；对顶角相等，

3．如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；其中一条直线是另一条直线的垂线，交点叫垂足。

4．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

6．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

7．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

8．平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；

③同旁内角互补，两直线平行。

9．平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；

③两直线平行，同旁内角互补。

10．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

11．直线外一点与线段上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

12．从两平行线的一条直线上任取一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。

第19讲视图与投影

1．主视图是指从正面看到的图；左视图是指从左边看到的图；俯视图是指从上面看到的图。2．画三视图的原则：①大小：长对正；高平齐；宽相等。②虚实：在画图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线；看不见的部分的轮廓线通常画成虚线。

3．正方体的三视图都是正方形；圆柱体的三视图中有两个是长方形，另一个是圆；圆锥体的三视图中有两个是等腰三角形，另一个是圆；球体的三视图都是圆。4．用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面，球的截面都是圆。

5．物理在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。6．太阳光可以近似地看成平行光线，象这样的光线形成的投影称为平行投影。7．手电筒、路灯和台灯的光线，可以看成是从一点出发的光线，象这样的光线形成的投影称为中心投影。

8．看物体时，眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线；看不见的地方称为盲区。

第20讲三角形

1．不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的三条线段叫三角形的边。

2．三角形中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3．在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。4．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线；简称三角形的高。

5．三角形的“四心”：①外心——三边中垂线的交点，为三角形外接圆的圆心；

②内心——三条内角平分线的交点，为三角形内切圆的圆心；③重心——三条中线的交点；④垂心——三条高的交点。

6．三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。

7．三角形三个内角的和等于180o。

8．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。

9．两个能够完全重合的三角形称为全等三角形；全等三角形的对应边相等；对应角相等。

10．全等三角形的条件：SSS；AAS；ASA；SAS；

11．有两条边相等的三角形是等腰三角形。

12．等腰三角形的两腰相等，两底相等。

13．等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；简称三线合一。

14．等腰直角三角形的两个锐角都等于45o。

15．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是60°；三边都相等。16．有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。

17．有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。

18．有一个角是90o的三角形是直角三角形；它的两个锐互余。

19．直角三角形三边关系为：两直角边的平方等于斜边的平方；如果a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有a2 +b2 = c2。

20．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

21．直角三角形中，30o的锐角所对的直角边等于斜边的一半。

22．直角三角形全等的条件是HL。

第21讲四边形（含多边形）

1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2．有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形；有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；有一个内角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形；3．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；两条腰相等的梯形叫等腰梯形；一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

4．平行四边形的性质：①两组对边分别平行且相等；②两组对角相等，两组邻角互补；③两条对角线互相平分。

5．矩形的性质：①两组对边分别平行且相等；②四个角都是直角；③两条对角线互相平分且相等。

6．菱形的性质：①四条边都相等；②两组对角相等，每组邻角互补；③两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

7．正方形的性质：①四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。

8．等腰梯形的性质：①两底相等，两底平行；②同一底上的两个角相等；③两条对角线相等。

9．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

10．平行四边形的判定条件：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

11．矩形的判定条件：①有一个角是直角的平行四边形是矩形。②有三个角

是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。

12．菱形的判定条件：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。13．正方形的判定条件：既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

14．等腰梯形的判定条件：①两条腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

15．在平面内，内角都相等，各边也相等的多边形叫做正多边形；

16．n边形的内角和公式为：180°（n-2），外角和都等于360°。

17．S平行四边形= ah （a为底边长，h为这一底边上的高线长）

18．S矩形= ab （a为长，b为宽）

19．S

菱形 = ah =

m·n （a为一底边长，b为这边上的高线长；m、n分别为两

条对角线的长）

20．S正方形= a2（a为边长）

第七单元圆

第22讲圆的认识

1．平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中定点称为圆心，定长称为半径的长，通常称为半径。

2．圆上任意两点之间的部叫做弧长，简称为弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

3．圆是轴对称图形，其中对称轴是任意一条过加快心的直线；圆又是中心对称图，其对称中心是圆心。

4．垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；

5．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

6．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

7．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

8．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；必记6：确定圆的条件

10．不在同一直线上的三个点确定一个圆。

第23讲与圆有关的位置关系

必记1：点与圆的位置关系

1．点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点p 到圆心的距离为d ，则有：① 点p 在⊙O 上?op =r ② 点p 在⊙O 内?opr

必记２：直线与圆的位置关系

2．直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线；

3．圆的切线垂直于经过切点的半径；

4．直线与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心到直线L 的距离为d

①直线L 和⊙O 相交? d ＜r ，直线和圆有两个共公点；

②直线L 和⊙O 相切? d=r ，直线和圆有唯一个共公点；

③直线L 和⊙O 相离 ?d ＞r ，直线和圆没有共公点。

5．三角形的内切圆

（1）和三角形的三边都相切的圆可以作一个，并且只能作一个，这个圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

（2）三角形的内心到三角形三边的距离都相等。

必记3：圆与圆的位置关系

6．圆与圆的位置关系有五种：即外离、外切、相交、内切、内含。设两圆的半径为R 、r （R >r ），d 为两圆的圆心距，则有： ①两圆外离 ?d ＞R+r ②两圆外切? d=R+r ③两圆相交 ?R-r ＜d ＜R+r ④两圆内切 ?d=R-r ⑤两圆内含?d ＜R-r 。

第24讲圆中的计算问题

必记1：弧长公式

1．半径为R 的圆，其周长C = 2πR

2．半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长0180n R l π=

必记2：扇形面积公式

3．半径为R 的圆的面积S = πR 2

4．如果扇形的半径为R ，圆心角为n °，l 为扇形的弧长，那么扇形的面积公式为23602

n R lR s π==

5．圆锥的侧面展开图是一个扇形，它的弧长为圆锥底面圆的周长；它的半径为圆锥的母线长。设圆锥的母线长为L ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为L ，扇形的弧长为

2πR ，这个圆锥的全面积为πRL 。

6．圆锥的侧面积与底面积之和你为圆锥的全面积。若圆锥的母线长为L ，底面圆的半径为r ，那么这个圆锥的全面积为πRL+πR 2。

7．求不规则图形的面积关键是把不规则图形转化为规则图形。

8．弓形的面积S 弓形 = S 扇形 ± S 三角形

圆环的面积S 圆环 = S 大圆环 – S 小圆环。

第八单元尺规作图

第25讲基本作图

1．在数学中规定只有没有刻度的直尺和圆规的作图方法称为尺规作图。

2．数学中的五种基本亻图是指作一条直线等于另一条直线；作一个角等于另一个角；作一个角的平分线；过定点作已知直线的垂线；作线段的垂直平分线。

3．尺规作图的原理是SSS 公理。

4．作图的一般步骤是：已知、求作、作法、证明。

第九单元图形的变换

第26讲图形的轴对称

1．对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

2．如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3．轴对称指两个图形，轴对称图形是指一个图形。

4．成轴对称的两个图形一定是全等形；全等的两个图形不一定成轴对称。

5．如果两个图形关于某一直线对称，则对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。

6．轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分；轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。

7．线段有两条对称轴；角有两条对称轴；等腰三角形（非等边）有两条对称轴；等边三角形有三条对称轴；等腰梯形有一条对称轴；矩形有两条对称轴；菱形有两条对称轴；正方形有四条对称轴；圆有无数条对称；

第27讲图形的平移与旋转

1．在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的大小。

2．平移前后的两个图形对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

3．在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。

4．经过旋转，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

5．在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

6．在平面内，一个图形绕某个点旋转180°后，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称，这个点叫做它的对称中心。

7．中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

8．图形的平移和旋转都不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。

第十单元相似图形

第28讲相似图形

1．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别为m 、n 那么就

说这两条线段的比AB ∶CD = m ∶n 或写成

m CD AB =，其中线段AB 、CD 分别叫做这个比的前项和后项；如果把n m 表示成比值k ，那么CD AB =k 或者是AB=k ·CD 。 2．四条线段a 、b 、c 、d 中如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段。

3．比例的性质：① 如果d c b a =

，那么ad=bc ；如果ad=bc （a 、b 、c 、d 都不为0），那么d

c b a =； ② 合比性质：如果a c b

d =，那么a b c d b d ±±=； ③ 等比性质：如果(0)a

c m b

d n b d n =

=???=++???+≠，那么a c m a b d n b ++???+=++???+。

4．各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。

5．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

6．三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形；

7．相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；

（2）相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。

8．相似三角形的判定方法：

（1）两角对应相等的两个三角形相似；

（2）三边对应成比例的两个三角形相似；

（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；

（4）直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似。

9．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比；位似图形是把一个图形放大或缩小。

10．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

第29讲相似图形的应用

1．如图点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如

果AC

BC AB AC =，那么称线段AB 被C 点黄金分割，点C 叫做线段的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。 2．线段黄金分割中黄金比的比值为

215-，约为0.628； 3．一条线段黄金分割点共有两个，它们到线段中点的距离相等；

4．利用阳光下的影子测物体的高度时，某物体的实际高度∶它的影长= 被测物体的实际高度∶被测物体的影长；

5．利用标杆测物体的高度时，人与标杆及被测物体都与地面垂直；因此三者是平行的；

6．利用镜子的反射测物体的高度时，人与被测物体都与地面垂直；光的入射角等于反射角；

7．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比；

8．一个图形的位似图形至少有两个，它们分居在位似中心的两侧。

第十二单元命题与证明

第32讲命题与证明

1．对名称和述语的含义加以描述，作出明确的规定，就叫定义。

2．判断一件事情的句子叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。

3．每一个命题都由条件、结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知条件推出的事项。

4．公认的真命题称为公理，经过证明的真命题称为定理，由一个公理或定理直接推出的定理叫做这个公理或定理的推论，而推出的过程叫做证明。

5．把原命题的结论作为命题的条件，原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题。

6．如果一个定理的是真命题，那么这个逆命题就叫做原定理的逆定理。

A B C

7．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

8．两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。

9．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

10．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

11．三边对应相等的两个三角形全等。

12．全等三角形的对应角相等，对应边相等。

第十三单元统计与概率

第33讲统计

1．普查是指为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查；抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查。

2．在调查中所有考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体；在抽样调查时，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中的个体数目，叫做样本容量。

3．我们称每个对象出现的次数为频数；而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率；所有频率之和等于1。

4．在一组数据中出现次数最多的那个数叫做这个组数据的众数；一组数据中的众数可能不止一个；将一组数据按大小顺序排列后，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

5．极差是刻画数据离散程度的一个统计量，它是指一组数据中最大数据与最小数据的差。

6．平均数： x =1n （x 1+x 2+……+x n ）

7．加权平均数： x = 11221(......)n n x f x f x f n +++ （其中f 1+f 2+……f n = n ）

8．方差：s 2= ()()()[]2

2221......1x x x x x x n n -++-+- 9．标准差：s s =

10．制作离散型的数据的分布直方图的步骤为： ① 列频数分布表； ②画频数分布直方图。

11．制作离连续的数据的分布直方图的步骤为： ① 计算最大值与最小值的差，决定组数；

② 决定组距； ③ 确定分点； ④ 列频数分布表，求出各组的频数； ⑤ 画出频数分布直方图。

12．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的平均水平；极差、方差和标准差都反映了一组数据的离散程度；一般地，一组数据的方差与标准差越小，这组数据就越稳定。

13．数据统计中的重要思想方法是用样本估计总体。

14．为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性。

第34讲概率

1．必然事件是指事先能肯定一定会发生的事件；不可能事件是指事先能肯定一定不会发生的事件；必然事件和不可能事件都是确定事件；而不确定事件是指事先无法肯定会不会发生的事件。

2．概率是指事件发生可能性的大小，概率一般用P 表示。

3．P （必然事件）=1； P （不可能事件）=0； 0＜P （不确定事件）＜1。

4．P=n

k 中，k 为发生的结果数，n 为所有可能出现的结果数。

5．计算简单事件发生的概率的方法有：列表法和画树状图法。

初中数学知识要点及典型例题

第六章三角形

中考要求及命题趋势

1、、线段的和与差及线段的中点；

2、角的概念、分类及计算；

3、对顶角、余角、补角的性质及计算；度、分、秒的换算；

4、垂线、垂线段、线段的垂直平分线的定义及性质；

5、直线平行的条件的应用；

6、平行线的特征的应用。

7、三角形三边的关系；三角形的分类

8、三角形内角和定理；

9、全等三角形的性质

10、三角形全等的条件

11、三角形中位线的定义及性质

12、等腰三角形的性质与条件；

13、直角三角形的性质与判别条件

应试对策

1、认真掌握好线段中点的定义及相关表示方法，对顶角、邻补角、余角的性质。

2、认真掌握垂线，线段垂直平分线的性质与判别；平行线的性质与判定方法

3、熟练掌握与三角形有关的基本知识和基本技能；三角形全等的性质和判别条件，等腰三角形、直角三角形的性质与判别条件，并需注意将有关知识应用到综合题的解题过程中去，如把某些问题化为三角形的问题求解；能从复杂的图形中寻求全等的三角形等。

第一讲几何初步及平行线、相交线

【回顾与思考】

〖知识点〗

两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理

〖课标要求〗

1．了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，

解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，

角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示

法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；

2．了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线

段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角

的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌

握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内

错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内

错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相

等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行

〖考查重点与常见题型〗

1．求线段的长、角的度数等，多以选择题、填空题出现，如：

已知∠а＝112°，则∠а的补角的度数是

利用平行线的判定与性质证明或计算，常作为主要定理或公理使用，如：

如图，AB∥CD，∠CFE＝112°，ED平分∠BEF， A E B

交CD于D，则∠EDF＝

【例题经典】

角的计算

例1．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠

5=_________．

解析：这类题是近几年中考的常见题型，主要考

查学生对问题的转化思想及分析、解决问题的能力．通过观察图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易．

点评：适当添加辅助线是解决几何问题的重要手段，有时方法不唯一，可引导学生多方面、多角度去思考．

例2、如图，已知方格纸中的每个小方

格都是相同的正方形，∠AOB画在

方格纸上，请在小方格的顶点上

标出一个点P，使点P落在∠AOB

的平分线上。

考查内容：多角度、深层次理解角平分线概念，以及与角平

分线概念相联系的其它概念和原理。

【平行线的应用】

例1、如图所示，直线a∥b，则∠A= 度．例2．如图所示，下列条件中，不能判断L1∥L2

的是（）

A．∠1=∠2 B．∠2=∠3

C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°

分析：根据平行线的判定或性质，不难得到：∠2=∠3不能判断L1∥L2．

b A

28°

50°

点评：这类问题可由选项出发找结论，也可由结论出发找选项．

例3.如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=5O°，则∠2的度数为( )．

(A)50° (B)6 O° (C)6 5° (D)7 O°

答案：C

例 4.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第…次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠

C是( )．

(A)120° (B)130° (C)140° (D)150°

答案：D

根据条件求线段长度或长度比

例5．（1）数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（）

A．a-b B．a+b C．│a-b│ D．│a+b│

（2）已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（）

A．3：4 B．2：3 C．3：5 D．1：2

分析：本类题目做时注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值．

点评：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷．根据条件求线段长度或长度比可引导学生从不同的途径分析解答．

第二讲三角形的概念和全等三角形

【回顾与思考】

三角形??

三角形的概念及表示

三角形的基本要素及基本性质三边的关系,三内角的关系

三角形的高,中线,角平分线

三角形全等的表示及特征

三角形的全等探索三角形全等的条件

三角形全等的应用

知识点:

三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定

课标要求

1．了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念，理解三角形，三角形的顶点，边，内角，外角，角平分线，中线和高线，线段中垂线等概念。

2．理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质，掌握三角形的内角和定理，三角形的外角等于不相邻的两内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质；

3．理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。

学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。

考查重点与常见题型

1.三角形三边关系，三角形内外角性质，多为选择题，填空题；

2.论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题

【例题经典】

三角形内角和定理的证明

例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．

点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，?同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”

的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

探索三角形全等的条件

例2．如图所示，∠E=∠F=90°，

∠B=∠C，AE=AF，给出下列结

论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．

其中正确的结论是_________．

解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF

可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．

∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．

依此类推得①、②、③

点评：注意已知条件与隐含条件相结合．

全等三角形的应用

例3．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．

【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．

例6.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、

AC边翻折180°形成的．若∠1：∠2：∠3=28：5：

3，则∠α的度数为．

答案：80°

第三讲等腰三角形

【回顾与思考】

初三数学几何知识点归纳总结

初三数学几何知识点归纳总结除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初三数学几何知识点归纳总结，希望对大家的学习有一定帮助。 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行初中几何公式：角 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补初中几何公式：三角形

15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

初中数学最值问题典型例题

初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．

初中平面几何知识点汇总一

初中平面几何知识点汇总一 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

平面几何知识点汇总（一）知识点一相交线和平行线 1.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。 2.垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。 5.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角相等，两直线平行。知识点二三角形一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形中的三种重要线段

（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．二、三角形三边关系定理 ①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b． ②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c， c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．五、三角形的外角 1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 2．性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补六、多边形

初中数学知识要点及典型例题

初中数学知识要点及典型例题第一章实数第一讲实数的有关概念【回顾与思考】知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。实数的有关概念

(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．【例题经典】理解实数的有关概念

初中数学10大解题方法及典型例题详解

初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。例题：用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0，移向得：x2+4x=－1，配方得：x2+4x+4=－1+4，即(x+2) 2=3；因此选D。 2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。例题：若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。

【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2；因此选B。 3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。例题：已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0，解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1．因此选B． 4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求

中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题

中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

初中数学专题典型例题训练

第一讲：实数与代数专题典型例题讲解一实数 1. 例：在14-和15 -之间，请写出两个有理数： . 2. 有理数2 2 3 1 2, (2), 2, 2 ---- 按从小到大的顺序排列是（） A ．322122< (2) 2-<--<-， B . 223 12< (2) 22 -<--<- C . 22312< (2) 22-<--<-, D . 232 12< 2(2)2 -<--<- 3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和 “15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（） A ．9＜x ＜10； B ．10＜x ＜11； C ．11＜x ＜12； D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（） A ．互为相反数的两个数一定不相等； B ．互为倒数的两个数一定不相等； C ．互为相反数的两个数的绝对值相等； D ．互为倒数的两个数的绝对值相等； 5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根，则x = . 6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =-+，则函数()g x 的最小值为： 7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C -- 8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。 9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y π - 的系数是_______，次数是_____。 11. 如果21 13 m n a b +--与5 4a b 的同类项，则M =_____，N =_________。 12. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心， 3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1-S 2= . 13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆，如图，其面积分别为1S 和2S ，若△ABC 的面积为S ，则12,S S 与S 的关系为 . 14. 若2 2(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为： . 15. 若m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2015的值． 16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=

浙教版初中数学八年级上下册知识点及典型例题汇总

数学八年级上册知识点及典型例题第一章平行线 1.1同位角、内错角、同旁内角如图：直线l 1 , l 2 被直线l 3 所截，构成了八个角。 1. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3 的同旁，并且分别位于直线l 1 , l 2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。 2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的异侧，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。 3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的同旁，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角）确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。 1．2 平行线的判定（1）

复习画两条平行线的方法：提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？（直线l 1，l 2被AB 所截）（2）画图过程中，什么角始终保持相等？（同位角相等，即∠1＝∠2）（3）直线l 1，l 2位置关系如何？（ l 1∥l 2）（4）可以叙述为： ∵∠1＝∠2 ∴l 1∥l 2 （？）语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单地说：同位角相等，两直线平行。几何叙述：∵∠1＝∠2 ∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行）想一想 o o A B L 1 L 2 （图形的平移变换）抽象成几何图形 A B 2 1 L 1 L 2 1 2 a c b 若a⊥b,b⊥c 则a c

(完整版)初一年级数学经典例题

数学天地：初一年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】例1计算：2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成 2 1 11211-=?，可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解原式=)20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211- ++-+-+- =20071 1- =2007 2006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0. 解由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0 所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011)

中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题

初中数学函数知识点大全+典型例题知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称

点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质

初中数学几何证明经典题(含答案)

初中几何证明题经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B

初中几何知识点总结非常全

证明（一） 1、本套教材选用如下命题作为公理：（1）、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（3）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（4）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（5）、三边对应相等的两个三角形全等。（6）、全等三角形的对应边相等、对应角相等。此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。 2、平行线的判定定理公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。 3、平行线的性质定理公理两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180。 5、三角形内角和定理的推论三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 2 b

初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，则PA PB A B' +=的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

初中数学代数及几何知识点概括(精细整理)知识分享

代数部分一、实数 1.实数的分类 2.数轴（1）数轴三要素：原点、单位长度、正方向。（2）实数与数轴上的点是一一对应的。 3.相反数（1）a 的相反数是－a 。（2）a 与b 互为相反数，则 a +b=0 。 4.倒数（1）a 与b 互为倒数，则a b=1；（2）a 与b 互为负倒数，则_ a b=－1_； 5.绝对值（1）一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是 0 ；一个负数的绝对值是它的相反数。（2）一个数的绝对值表示这个数的点在数轴上离原点的距离。 6.平方根（1）平方根的定义：若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根；（2）?? ???<=±>00 00a a a a （3）?????<-=>==00002 a a a a a a a 7.有关实数的非负性： a 2≥0 ， | a | ≥0 ， 0（a ≥0）如果c b a ,,是实数，且满足0||2 =+ +c b a ，则有0,0,0===c b a 。 8.科学计数法科学计数法：将一个数字表示成（a ×n 10的形式），其中1≤a ＜10，n 表示整数，这种计数方法叫做科学计数法。 9.近似数与有效数字（1）近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。（2）有效数字：一个数从左边第一个不为0的数字数起一直到最后一位数字，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。有理数或无理数（无限不循环小数）整数分数实数正实数 0 负实数正有理数正无理数实数负有理数负无理数有2个且为有1个没有平方根

二、代数式 1.整式重要的性质（1）乘法公式：平方差：①2 2 ()()a b a b a b -+=- 完全平方公式：② 2 2 2 ()2a b a ab b +=++ ③ 2 2 2 ()2a b a ab b -=-+ （2）整式幂的运算性质：1）n m n m a a a +=?；2）(0)m n m n a a a a -÷=≠；3）mn n m a a =)(； 4）m m m b a ab =)(；5）零指数：0a =1（a ≠0）；（6）1 (0)m m a a a -= ≠ 。三、方程及不等式（1）一元二次方程定义及一般形式：)0(02 ≠=++a c bx ax ※ 根的判别式：ac b 42 -=? 求根公式：)04(242 22 ,1≥--±-=ac b a ac b b x 四、函数（一）一次函数（1）定义：b kx y +=（0≠k ）图像如右图所示：（2）图像： ?? ??? ? ??? ???????<=>>00000000b b b k b b b k （3）图像的性质： 0>k ，y 随x 的增大而增大（减小而减小）； 00 ,有两个不相等的实数根 ac b 42-=?=0 ,有两个相等的实数根 ac b 42-=?<0 ,没有实数根一、二、三象限一、三一、三、四一、二、四象限二、四二、三、四

初中数学典型例题100道

初中数学典型例题100道（二）选择填空题150道一．选择题： 7，如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为（，）． 8，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴重合，使点A或点B刚好在反比例函数（x＞0）的图象上时，设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S1、S2（如图1、图2所示）D是斜边与y轴的交点，通过计算比较S1、S2的大小． 9，若不论k为何值，直线y=k（x﹣1）﹣与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c的值。 10，如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1． ①b2＞4ac； ②4a﹣2b+c＜0； ③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5； ④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）

A．①②B．①④C．①③④ D．②③④ 二，解答题 4，如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（﹣3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由． 5，如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

人教版初中数学中考几何知识点大全

初中数学经典几何题及答案

4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 N F E C D

P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E

初中数学知识点几何部分总结大全

初中数学知识点几何部分总结大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上