平面向量总结

平面向量概念、方法、题型总结

向量有关概念：

1. 向量的概念：既有大小乂有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线

段来表示，注意不能说向量就是有向线勺，为什彳？（向量可以平移）。如： 已知A （1,2）,

B （4,2）,则把向量 晶按向量a = （- 1,3）平移后得到的向量是 （答:（3,0））

2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0 ,注意零向方向是任意的；

3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与AB 平■行的单位向量是

互）；

|AB |

4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平■行向量，记

作：a // b ,规定零向量和任何向量平■行。 提醒：

① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

② 两个向量平■行与与两条直线平■行是不同的两个概念：两个向量平■行包含两个向量 共线，但两条直线平■行不包含两条直叩合；

③ 平行向量无传递性！（号 <5）;

④ 三点A B 、C 共线 RB 、"AC 共线；

6.

负向量：长度相为方『相反少四量

叫做负向量。 a 的负向量是一a 。如

下列命题：（1）若A 卫，则a b 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相 同，遂住|同。（3）」若审B Jo , W ABCD 是*亍甲罗『 （4）广ABCD 是平■行四边形，

则

AB DC 。（5）若a b,b c,则a c 。（6）若a 〃b,b 〃c ，则力/i 。其中正确的是

（答：（4） （5））

.向量的表示方法：

几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ,注意起点在前，终点在后； 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c 等； 坐标表示法：在平面建立直角坐标系，%与x 轴、.y 轴方向相同的两个单位向量i a = x, y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的

(2)qF 列向峭&中，能作为平■珂V 有向量底的是

— s……、 B. e ( 1,2),e 2 (5,7) _ T T 1 3

D. § (2, 3),e 2 (-,-)

2 4

1. 2. 3.

为基底，则平面的任一向量a 可表示为a xi yj x, y ,称x, y 为向量a 的坐标, 终点坐标相同，此向量称作位的圳吧

.平■面向量的分解定理：如果e 1和e 2是同一平■面的两个1不共线向量，那么对该平

■面的 任一向量,a,有耳只有一对实数

（1）若 (1,1) (1, 1), 1、」，使 a = 1 e ! + 2『。 (1,2)，则 C (用 a , b 表示)

A. e 1 (0,0),巳(1, 2) C. e 1 (3,5),e 2

(6,10)

（答：B）;

12

5

12

5

.3）已知iD,铝 分别是 ABC 的边BC, AC 上的中线，且 ,b 表示为

（4）已知 ABC 中，点D 在BC 边上，且CD 2 DB , CD r AB sAC ，见J r s 的 值是

（答：0） 四. 实数与向量白W :手数 与向量a 的积是一个向量，记作 a ,

它的长度和方向规定 如下：i a 11』，2当＞0时，a 的方向

与a 的方向相同，当＜0时，a 的 方向与a 的方向相反，当 =o 时，a 0，注意：a 丰0。 五. 平■面向量的数量积：

,,,.

1.两个向量的火角：对丁非零向量a , b,作OA a,OB b , AOB

称为向量a , b 的火角，当=。时，a , b 同向，当=时，a , b 反向，

当=一时，a, bit 直。

2

\ 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a , b ,它们的火角为 日辛们把数量 | a ||b | cos 叫

做a 与b 的数量积（或积或点积），记作：a?b,即a ? b = a 此cos 。规 定：零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。如

（1） △ ABC 中，| AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5 ,则 A B BC

（答：一9）;

(2) 已知 a (1,1),b (0, 1),C a kb,d a b , C 与d 的火角为一，则 k 等丁

2

2

4

(答：1)；

(3) 已知 a 2,2 5,*b 3,则 a *等丁

(答：V23 );

I

（答 3. b 在a 上的投影为|b|cos ，它是一个实数，但不一定大丁 0。如

已知| a|3 , | b | 5，且a b 12,则向量a 在向量b 上的投影为

A D ￡

B E b ,则B

C 可用向量

（4）已知a,b 是两个非零向量，且

30 )

-Ta

2 - 3

的夹角为

4. a ? b的几何意义：数量积a ? b等丁a的模|&|与b在弓上的投影的积。

5. /q数4积j勺性质：设两个非零向量a, b,其夹角为,贝u：

① a b a?b 0；

②当a , b同向时，a ?b = *N ,特别地，a a?a R2,』击；当a与b反向

时，a?b=— %l/；当为锐角时,a ? b > 0,且**不同向，1 b 0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时,a ? b < 0,且a、b不反向，a b 0是为钝角的必要非充分条件；」\

a?b 「"，

③非零向量a , b火角的计算公式：cos 册；④|a?b|由低|。如

,2 ) , b (3 ,2),如果a与b的火角为锐角，贝U的取值围是

4 .

-成

3

(2) 已知OFQ的面积为S ,且OF FQ 1 ,若1 S 号，则OF, FQ火角的

取值围是__________

」(3 ) F 知 a (cosx,sin x),b (cosy,sin y), 1 与 b 之间，气系』ka b 右a kb,其中k 0,①用k表示a

b ；②求a b的最小值，并求此时a与b的火角的大小

(答：①a b -― (k 0)；②最小值为-,60)

4k 2

六. 向量的运算：

(1)已知a (

1. 几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四妙之贝匕只适用丁不共 向量，L 如此之外,间勘加法汪可和用：三角形法则”：设

A

(答：直角三角形)；

4)若D 为 ABC 的边BC 的中点，ABC 所在平面有一点P ，满足P A B P C P t, IABI

(答：2);

,贝U △ ABC 的角C 为

(答:120 );

(5)若点O 是AABC 的外心，且oA O B C O 0

①向量的加减法运算

, 2

(XV Jfb \,rb

%

(1)已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若 P 在第一、三象限的角平分线上

则：

y i I 脸。如 ■

A P A

B A

C ( R ),则当=时，点

.,i

(答：-)；

1―I

(2)已知 A(2,3), B(1,4),且—AB (sin x,cos y) , x,y

2

(3)已知作用在点A(1,1)的三个力R (3,4), F ； (2,

的终点坐标是

5),F 3

(3,1)，则合力

F 1

(答：(9,1))

②实数与向量的积：a x,y 〔

X 1, V1

b

(2)若正万形ABCD 的边长为1,

(答：242 );

,贝"ABC 的

，那

4减向量与被减

(3)若O 是^ABC 所在平■面一点，且满足 形状为

CA ，由

如

线的

叫做a 与b 的和，即ab AB BC AC ； .

②向量的减法：用“三角形法则”：设AB a, Ac 减

向量的终点指向被减向量的终点

设

|PD|

2.坐标运算:

x 2 x ,,y 2 y 1 ,即一个向量的坐标等丁表示这个向

量的有向线段的终点坐标减去起点坐，标° 如

设 A （2,3）, B （ 1,5），且

A C I A

B 、A D 3^、则

C 、

D 的坐标分别是

3

-------------------

~ 11

（答：（1耳）,（7,9））；

（答：V13 ）；

I I

* —、_t 上」

ITL

I r - - — i.r

I

2 2 >

⑥两点间的距离：右A

x 1, y 1 , B

x 2,y 2，贝U|AB|寸x 2 x 1 y 2 y 1 。

如

③若 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则

如

o

y2

X1

Jrb ?

Jf a

已知向量 a = (sinx, cosx) , b= (sinx, sinx) 求向重a 、c 的火角；（2）右x€ [ 一,一],函数f （x ）

8 4

c= (— 1, 0)。(1)若 x = 一 ,

3

1T ................. I ，

……

a b 的取大值为-，求的值

2

—

■■

1 ，

⑤向T 宁模：同1投

已知a,b 均为单位向量, 它们的夹角为 x 2

y 。如」 ,

60：，那么 |a 3b |

4 a4c

?

七.向量的运孑彳闩:i 1 .交换律：a b b 2.结合律：a b C

3 .分配律：

a

JI a a Jr a4 , —4fa

a ,, a ?b

—■

lb 3

?4?c Jr 3

Jr c

? Jra

(答：①⑥⑨)

提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对丁一个向量等式，可以 移项，两边平■方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能 两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除(相约)；(2)向

(答：4);

(3)设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10,k)，贝U k=时，A,B,C 共线

(答：—2 或 11)

九T 向直的条: a b a b 0 |a b| |a b| xg VM 0 .特别地

肖rC)(冏驾。如

lAB

'AC -AB 'AC'

(1)已知 OA ( 1,2),

O B (3,m)，若 O A 徂，则 m

(答：-)；

2

(2)

以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB , B 90 ,则点B 的

坐标是 ________

(答:(1,3)或(3, —1));

(3) 已知r (a, b)，向量1 m ，且1 2，则』的坐标是

卜列命题中：①

b

或

o

a

贝

o

。其中正确的是

量的 八. (1) (2)

(3) 如

“乘法”不满足结合律，即4(§孑)(a?b)C,为什么? 向『［行」共季)的手半条件了 a,b 都是非零向量 a 〃b 近 七(a b)2 (|9||13|)2 X i y 2 y i X 2 = 0。

户-a 寸T

?"

有 a x 1e 1 y 1e 2,b x 2e i y 2e 2,则a//b

x 1y 2 x 2y 1

(1)若向量

ra

(x,1),b (4,x)，当x =时a 与b 共线且方向相同

(答:2):

(2)已知 a (1,1),b (4,x) , u

2b , v 2a b ,且 u//V ，贝U x=

c

b

| |b|2;④

⑧(：b)2

2