2014年考研数学一真题答案

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）

（A ）sin y x x =+ （B ）2

sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2

1sin y x x

=+ 【答案】C

【考点】函数图形的渐近线

【解析】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞

+ 不存在，因此没有水平渐近线，

同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinx

lim

lim

x x y x x x

→∞

→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；

对于C 选项，1sin

y x x

=+.由于1

sin lim lim

1x x x y

x x x

→∞→∞+==，又

()1lim 1limsin

0x x y x x →∞

→∞

-?==.所以1

sin y x x

=+存在斜渐近线y x =.故选C. （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D

【考点】函数图形的凹凸性 【解析】

令()()()()(0)(1)(1)F x f x g x f x f x f x =-=---

有(0)(1)0F F ==，()()(0)(1)F x f x f f ''=+-，()()F x f x ''''=

当()0f x ''≥时，()F x 在[0,1]上是凹的，所以()0F x ≤，从而()()f x g x ≤.选D. （3）设(,)f x y 是连续函数，则2

1

10

1(,)y

y dy f x y dx ---=?

?

（ ）

（A ）2

11

10

010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+??

??

（B ）

2

1

100

1

1(,)(,)x

x dx f x y dy dx f x y dy ----+??

??

（C ）

11

2cos sin 0

2

(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr π

π

θθπθθθθθθ++?

?

??

（D ）

11

2cos sin 0

2

(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr π

πθθπθθθθθθ++?

?

??

【答案】D

【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换 【解析】画出积分区域.

2

110

1(,)y

y dy f x y dx ---=??

2

11

11

000

(,)+(,)x x

dx f x y dy dx f x y dy ---?

?

??

或

11

2cos sin 0

2

(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππ

θθπθθθθθθ++??

??.故选D.

（4）若

{}2

2

11

,(cos sin )min (cos sin )a b R x a x b x dx x a x b x dx π

π

ππ-

-

∈--=--??，则

11cos sin a x b x +=（ ）

（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π 【答案】A

【考点】定积分的基本性质 【解析】

222(cos sin )[2(cos sin )(cos sin )]x a x b x dx x x a x b x a x b x dx π

π

π

π

-

---=-+++??

22222[2cos 2sin cos 2sin cos sin ]x ax x bx x a x ab x x b x dx π

π

-=--+++?

22222[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx π

π

-=-++?

222220

2[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx π

=-++?

3332

222

22

222(2)(4)[(2)4]32233

b a b a b b a b ππ

π

πππππ=-++=+-+=+--+

故当0,2a b ==时，积分最小.故选A.

（5）行列式

0000000

a

b a b

c

d c

d

=（ ）

（A ）2

()ad bc - （B ）2

()ad bc -- （C ）2

2

22

a d

b

c - （D ）22

2

2

b c a d - 【答案】B

【考点】行列式展开定理 【解析】

21410000

00(1)0(1)0

0000

a b a

b a b a b a c

d c b c d d

c

d c d

++=?-+?-

33

23

(1)(1)a b a b a d c b c d

c d

++=-??--??-a b a b ad

bc

c d

c d

=-+

2()

()a b bc ad ad bc c d

=-=--.故选B.

（6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）

（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A

【考点】向量组的线性无关的充要条件

【解析】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα?? ?

++= ? ???

记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα??

?

=++== ? ???

若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===?++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.

如：123100=0=1=0000ααα??????

? ? ?

? ? ? ? ? ???????

，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性

相关.故选A.

（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B

【考点】概率的基本公式 【解析】

()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==?=.

()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-?=.故选B.

（8）设连续型随机变量21,X X 相互独立，且方差均存在，21,X X 的概率密度分别为

)(),(21x f x f ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([2

1

)(211y f y f y f Y +=，随机变量

)(2

1

212X X Y +=，则

（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （D ）2121,DY DY EY EY >= 【答案】D

【考点】统计量的数学期望

【解析】2121()2Y X X =

+，2121211

[()]()22

EY E X X EX EX =+=+， 2121211

[()]()24

DY D X X DX DX =+=+.

1121()[()()]2Y f y f y f y =+，1121221

[()()]()22

y EY f y f y dy EX EX EY +∞-∞=+=+=?.

22

22

1

12121[()()]()22

y EY f y f y dy EX EX +∞

-∞

=+=+?

， 2222

2111121211()()()24

DY EY EY EX EX EX EX =-=+-+

2222121212122()()24EX EX EX EX EX EX ??=+---??? 22

121212124

DX DX EX EX EX EX ??=+++-??? 22

1212121()()24

DX DX EX EX EX EX ??≥+++-??? 2121221()4

DX DX EX EX DY ??=++-≥?? 1212,EY EY DY DY ∴=>

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(2

2x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为

【答案】210x y z ---= 【考点】曲面的切平面

【解析】2

2

(,,)(1sin )(1sin )F x y z x y y x z =-+--

22(1sin )cos x F x y x y '=--?，2cos 2(1sin )y F y x y x '=-?+-，1z F '=- ∴(1,0,1)2x F '=，(1,0,1)

1y F '=-，(1,0,1)1z F '=-

曲面在点)1,0,1(处的切平面方程为

2(1)(1)(0)(1)(1)0x y z -+--+--=，即210x y z ---=

（10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f

【答案】1

【考点】函数的周期性 【解析】

由于]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，所以2

()(1),[0,2]f x x C x =-+∈ 又)(x f 是奇函数，(0)0f =，解得1C =-

2()(1)1,[0,2]f x x x ∴=--∈ Q )(x f 是以4为周期的奇函数，故

2(7)(3)(1)(1)[(11)1]1f f f f ==-=-=---=

（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3

)1(e y =的解为=y

【答案】21

x y xe

+=

【考点】变量可分离的微分方程 【解析】

(ln ln )0ln 0y x

xy y x y y x y

''+-=?+

= ① 令y

u x

=

，则y ux =，y u u x ''=+ 代入①，得ln 0u u x u u '+-=即(ln 1)

u u u x

-'= 分离变量，得

(ln 1)(ln 1)ln 1du d u dx

u u u x

-==--

两边积分得1ln ln 1ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=即ln 1y

Cx x

-= 代入初值条件3

)1(e y =，可得2C =，即ln 12y

x x

-= 整理可得21

x y xe

+=.

（12）设L 是柱面12

2

=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分?

=

+L

ydz zdx

【答案】π

【考点】斯托克斯公式 【解析】由斯托克斯公式，得

0xy

L

D dydz dzdx dxdy

zdx ydz dydz dzdx dydz dzdx x y z z y

π∑

∑?

??

+==+=+=??????

?????

其中{}

22(,)1xy D x y x y =+≤

（13）设二次型32312

22132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范

围是

【答案】]2,2[-

【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】

二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠???

?

? ??-0221001，记特征值为321,,λλλ

则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 故二次型的负惯性指数为?1特征值1负2正或1负1正1零；

040

2

210012≤+-=-?a a

a ，即]2,2[-∈a

【解法二】

2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-

若负惯性指数为1，则2

40[2,2]a a -≥?∈-

（14）设总体X 的概率密度为???

??<<=其他,0

2,32),(2θθθθx x

x f ，其中θ是未知参数，

n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，若∑=n

i i X c 12是2θ的无偏估计，则

=

c

【答案】

n

52 【考点】统计量的数字特征 【解析】根据题意，有

3

22

2

2

21

1

2()()()3n n

i i i i x E c X c E X ncE X nc dx θ

θ

θ

=====∑∑?

422

2

221523425nc nc x c n

θθθθθ=

?==∴= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

求极限)

1

1ln(])1([lim

2

1

1

2

x

x dt

t e t

x

t

x +--?+∞

→

【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】

112

2

1

1

22((1))((1))lim

lim

11

ln(1)

x

x

t

t

x x t e t dt t e t dt

x x x

x

→+∞

→+∞

----=+???

11

2

2

(1)1lim lim (1)1x

x x x x e x x e x

→+∞→+∞--==-- 2001111lim lim 22

t t t t e t e t x t t ++

→→---===令 （16）（本题满分10分）

设函数)(x f y =由方程3

2

2

+60y xy x y ++=确定，求)(x f 的极值 【考点】极值的必要条件

【解析】对方程两边直接求导：2

2

2

3220y y x y xy y xyy '''++++= ① 令0y '=，得2y x =-，或0y =（舍去）

将2y x =-代入原方程得 3

660x -+= 解得1x =，此时2y =-. 对①式两端再求导，得

222(32)2(3)()4()20y xy x y y x y y x y y ''''+++++++=

将1x =，2y =-，0y '=代入上式，得 409y ''=

>，即4(1)09

f ''=> ()y f x ∴=在1x =处取极小值，极小值为(1)2f =-.

（17）（本题满分10分）

设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x

=满足

22222(4cos )x x z z

z e y e x y

??+=+??，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【解析】由)cos (y e f z x

=，知

(cos )cos x x z

f e y e y x

?'=??，(cos )(sin )x x z f e y e y y ?'=?-?

22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x z

f e y e y e y f e y e y x

?'''=??+??， 22(cos )(sin )(sin )(cos )(cos )x x x x x z

f e y e y e y f e y e y y

?'''=?-?-+?-? 由22222(4cos )x x

z z z e y e x y ??+=+??，代入得 22(cos )[4(cos )cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''?=+

即(cos )4(cos )cos x x x

f e y f e y e y ''-=

令cos x

u e y =，则()4()f u f u u ''-= 特征方程2

12402,2r r r -=?==-

齐次方程通解为2212u

u y C e

C e -=+

设特解*

y au b =+，代入方程得1,04a b =-

=，特解*14

y u =-

原方程的通解为22121

4u

u y C e

C e u -=+-

由(0)0,(0)0f f '==，得 1211,1616

C C ==- 22111

()16164

u u y f u e e u -∴==--

（18）（本题满分10分）

设∑为曲面)1(2

2

≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分

dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=??∑

【考点】高斯公式

【解析】因∑不封闭，添加辅助面2211

:1x y z ?+≤∑?=?

，方向向上．

1

33

(x 1)(y 1)(z 1)dydz dzdx dxdy ∑+∑-+-+-??

ò 22(3(1)3(1)1)x y dxdydz Ω

=-+-+???22(3633631)x x y y dxdydz Ω

=++++++???

22(337)x y dxdydz Ω=++???1

220(z)

(337)D dz x y dxdy =++???

1

220

7)4dz d r rdr πθπ=+=??

（其中

(66)0x y dxdydz Ω

+=???，因为积分区域关于,xoz yoz 对称，积分函数

(,)66f x y x y =+分别是,y x 的奇函数．）

在曲面1∑上，1

33

(1)(1)(1)0x dydz y dzdx z dxdy ∑-+-+-=?? 故

33

(1)(1)(1)4x dydz y dzdx z dxdy π∑

-+-+-=-??ò． （19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,2

0,2

0=-<

<<<π

π

，且级数1

n n b ∞

=∑收敛.

（I ）证明：;0lim =∞

→n n a

（II ）证明：级数

∑∞

=1n n

n

b a 收敛. 【考点】级数敛散性的判别

【解析】证明：（I ）cos cos cos cos n n n n n n a a b a a b -=?=-

0,02

2

n n a b π

π

<<

<<

Q ，cos cos 00n n n n a b a b ∴->?<<

Q 级数1

n n b ∞

=∑收敛，∴级数1

n n a ∞

=∑收敛，lim 0n n a →∞

=.

（II ）解法1：

2sin

sin cos cos 22n n n n

n n n

n n

n

a b a b

a a

b b b b +---== Q 02n a π

<<

，02n b π

<<

，

sin ,sin 2222

n n n n n n n n a b a b a b a b ++--∴≤≤

222

222n n n n

n n

n n

n n a b a b a b a b b b +--?-∴

≤=2

22

n n n b b b ≤=

Q 02

n a π

<<

，02

n b π

<<

，且级数

1

n

n b

∞

=∑收敛，

∴级数∑

∞

=1n n

n

b a 收敛. 解法2：

cos cos 1cos n n n n

n n n

a a

b b b b b --=≤ 21cos 1cos 1lim lim 2

n n n n n n n b b b b b →∞→∞--== ∵同阶无穷小有相同的敛散性，

∴由1

n n b ∞

=∑? 11cos n n n b b ∞

=-∑收敛?∑∞

=1n n n b a

收敛

（20）（本题满分11分）

设E A ,302111104321???

?

?

??----=为3阶单位矩阵.

（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B .

【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解 【详解】

对矩阵()A E M

施以初等行变换 1234100()01110101203001A E --?? ?

=- ? ?-??M M M M

1205412301021310013141--?? ?→--- ? ?--??M M M 100126101021310013141-?? ?→--- ? ?---??

M M M （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为???????===-=44434

24132x x x x x

x x x ，即基础解系为???????

??-1321

（II ）????? ??=001Ax 的同解方程组为：???????+=-=-=+-=01312244

434

241x x x x x x x x ，即通解为??????? ??--+??????? ??-011213211k

????? ??=010Ax 的同解方程组为：???????+=-=-=+-=0433

2644434241x x x x x x x x ，即通解为???????

??--+??????? ??-043613212k ????? ??=100Ax 的同解方程组为：??????

?+=+=+=--=0

131

2144434241x x x x x x x x ，即通解为???????

??-+??????? ??-011113213k ，

123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--??

?--+ ?∴= ?--+ ???

，321,,k k k 为任意常数

（21）（本题满分11分）

证明：n 阶矩阵???????

??111111111ΛM O M M Λ

Λ

与????

??

?

??n 0

020010

0Λ

M M M ΛΛ相似 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】

设1

111

111

11A ?? ?

?= ? ???L L M M O M L

，0010020

0B n ??

? ?

= ? ???

L L M O M M L

因为()1r A =，()1r B =

所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλΛ

B 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,012

1λλλλΛ 关于A 的0特征值，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，

故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于??????

?

?

?n 00

O

同理，关于B 的0特征值，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，

故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于??????

?

?

?n 00

O

由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）

设随机变量X 的概率分布为2

1

}2{}1{=

===X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，

（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY

【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望） 【详解】

（I ）()()y F y P Y y =≤

(1)(1)(2)(2)P X P Y y X P X P Y y X ==≤=+=≤= 11

(1)(2)22

P Y y X P Y y X =

≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =

② 当01y ≤<时，1113

(y)2224Y F y y y =

+?= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y y

F y =+?=+

④ 当2y ≥时，11

(y)122

Y F =+=

综上：003y 01

4

(y)1122412

Y y y F y y y

?+≤

（II ）随机变量Y 的概率密度为'

30141(y)(y)1240Y Y y f F y ?<

????其他

12-013131133

()4442424

Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞

==

+=?+?=?

?? （23）（本题满分11分）

设总体X 的分布函数2

1,0(;)00

x e x F x x θ

θ-

??-≥=??

12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本.

（Ⅰ）求EX 与2

EX ；

（Ⅱ）求θ的最大似然估计量?n

θ；

（Ⅲ）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}

?lim 0n

n P a θε→∞

-≥=？ 【考点】统计量的数字特征、最大似然估计、估计量的评选标准（无偏性） 【解析】

（Ⅰ）X 的概率密度为2

2,0

(;)(;)0,0x

x e x f x F x x θθθθ-??≥'==??

2

2

2()(;)()x x x

E X xf x dx x e

dx xd e

θ

θ

θθ

-

-

+∞

+∞

+∞

-∞

==?

=-?

?

?

2

2

2

000

122

x x x xe

e

dx e

dx θ

θ

θ

+∞

-

-

-

+∞+∞=-+===

?? 2

2

22220

2()(;)()x x x E X x f x dx x e

dx x d e

θ

θ

θθ

--

+∞

+∞

+∞

-∞

==?

=-?

?

?

2

2

2

2

20

222x x x x x

x e

x e

dx x e

dx e

dx θ

θ

θ

θ

θθθ

+∞

-

-

-

-

+∞+∞

+∞

=-+?=?=?=???

（Ⅱ）设12,,,n x x x L 为样本的观测值，似然函数为

2

11

2(),0(1,2,,),

()(;)0,0i

x n n n

i i i i i x e x i n L f x x θθθθ-==?≥=?==??

∏∏

L

当0(1,2,,)i x i n ≥=L 时，2

2

1

1

1

1

2

2

()()

()

n

i i i x n

n x n

n

i i i i L x e

x e

θ

θ

θθ

θ

=-

-

==∑==∏∏

两边取对数，得

221

1

1

1

2

1

2

1

ln ()ln

ln ln

ln n

n

n

n

i i

i i

i i i i L n x x

n x x θθ

θ

θ

θ

=====+-

=+-

∑∑∑∏

两边求导，得

2

21

ln ()1

n

i

i d L n x

d θθθθ==-+∑

令

ln ()

0d L d θθ

=，得211n i i x n θ==∑ 所以，θ的最大似然估计量为21

1?n i i X n θ==∑.

（Ⅲ）存在a θ=.因为{}

2

n X 是独立同分布的随机变量序列，且21EX θ=<+∞，

所以根据辛钦大数定律，当n →∞时，211?n n i i X n θ==∑依概率收敛于21EX ，即θ.

所以对于任何0ε>都有{}

?lim 0n

n P θθε→∞

-≥=.