新课标广东高考理科数学主要知识点归纳

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一、集合与常用逻辑用语

1、子集、真子集、交集、并集、补集 (1)集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n

个；真子集有2n

–1个；非空子集有2n

–1个；非空

的真子集有2n –2个.

2、p ?、

、的真假性判断

3?否命题。 原命题（若ｐ则ｑ） 同真假 逆否命题（若非ｑ则非ｐ） 否命题（若非ｐ则非ｑ） 同真假 逆命题（若ｑ则ｐ） 4、特别强调：“都是”的否定———“不都是”； “全是”的否定———“不全是” “p q ∨”的否定——“p q ?∧?”

5、p q ?，q p

?，p 是q 的充分不必要条件； p q ?，q p ?，p 是q 的必要不充分条件；

p q ?，q p ?，p 是q 的充要条件； p q ?，q p ?，p 是q 的既不充分也不必要条件。

6、全称命题：,()x M p x ?∈； 特称命题：00,()x M p x ?∈。 “,()x M p x ?∈”的否定是 —— “00,()x M p x ?∈?” “00,()x M p x ?∈”的否定是 —— “,()x M p x ?∈?”

二、不等式

1、不等式的基本性质：

（1）a b a c b c >?+>+； 0a b a b >?->

（2）,0a b c ac bc >>?>； ,0a b c ac bc >

（3）0n n

a b a b >>?>； 0a b >>?

>（4）1100a b a b >>?<<； 11

00a b a b

<>

2、二次函数：

（1）解析式的三种形式： 一般式：c bx ax x f ++=2

)( )0(≠a 顶点式：n m x a x f +-=2

)()( )0(≠a 顶点坐标：),(n m 零点式：))(()(21x x x x a x f --= )0(≠a ，

12,x x 是方程20ax bx c ++=的根。韦达定理：a c

x x a b x x =?-=+121,

（2）对称轴方程：a

b

x 2-=； 顶点坐标：)44,2(2a b ac a b -- （3）最值： 当a>0时，a

b a

c f 442

min -=； 当a<0时，a b ac f 442max -=

（4）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上单调递减；在[,)2b

a -+∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在(,]2

b a -∞-上单调递增；在[,)2b

a

-+∞上单调递减。

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3、根的分布问题 （主要思想方法：数形结合，联系二次函数的图像） 设12,x x 是方程2

0ax bx c ++=(0)a >的两个实根，则 （1）1x m <，2x m >?()0f m <

（2）在(,)m n 内有且只有一个实根?()()0f

m f n ?< （3）在(,)

m n 内有两个不相等的实根 240

2()0()0

b a

c b m n a f m f n ??=->?

?<-

?>?>?? （4）两根分别在(,)m n 、(,)p q 内 ，且(,)(,)m n p q φ=? ()0()0()0()0

f m f n f p f q >??

?? 4、不等式2

0ax bx c ++>与相应函数2()f x ax bx c =++2

0ax bx c ++=的联系。

5、线性规划——

（1）二元一次不等式0Ax By c ++>表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域。 （判断方法 —— 取特殊点，一般取(0,0)作为特殊点）

（2线性规划问题。

满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域； 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。 （3）线性规划问题的解题步骤：

① 根据题意，设出变量,,x y z ② 找出约束条件（列不等式组） ③ 确定目标函数

(,)z f x y =

④ 画出可行域 （不等式组表示的区域的公共部分）

⑤ 令0z =，作直线(,)0f x y =，再进行直线的平移 ⑥ 观察图形，找到最优解，确定答案。

6、基本不等式：

（1）若R b a ∈,，那么2

2

b a +≥ab 2（b a =时等号成立）。

（2）若b a ,是正数，那么

2

b

a +≥a

b （b a =时等号成立） “一正，二定，三相等” （3）最值定理：若积xy p =是定值，则和x y +有最小值；若和x y S +=是定值，则

积xy 有最大值2

()2

S 。

7、（1）解一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或:若0>a ,则对于解集不是全集或空集时,

对应的

解集为“大两边，小中间”.如:当21x x <,()()21210x x x x x x x <

()()12210x x x x x x x x <>?>--或.

（2）含有绝对值的不等式：

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ⅰ、当0>a 时，有：①a x a a x a x <<-?

②22

x a x a x a >?>?>或x a <-.

ⅱ、当0>a 时，有：①b a cx b a a b cx a b cx -<<--?<+?<+2

2)(；

②b a cx b a cx a b cx a b cx --<->?>+?>+或2

2)(

ⅲ、不等式

c b x a x c b x a x c b x a x c b x a x <-±-≤-±->-±-≥-±-||||,||||,||||,||||的

常用解法：①利用绝对值的几何意义的数形结合思想；

②零点区间法的分类讨论思想；③构造函数法的函数与方程的思想 ⅳ、绝对值的三角不等式

①定理1 若b a ,为实数，则b a b a +≤+||，当且仅当0≥ab 时，等号成立； ②推论1 b a b a b a +≤-≤-||； （3）分式不等式： （1）

()()()()00>??>x g x f x g x f ； （2）()()

()()00

?≠≤??≤0

00x g x g x f x g x f . （5）指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()

()

()()f x g x a

a f x g x >?>；()0

log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?.

(2)当01a <<时,()

()

()()f x g x a

a f x g x >?<；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

8、不等式的证明方法

(1)比较法：要证明b a >，只要证明0>-b a ，要证明b a <，只要证明0<-b a ，这种证明不等式的方法叫做比较法 （2）分析法：“执果索因” （3）综合法：“由因导果” （4）放缩法

三、函数

1、函数的奇偶性：

（1）如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么称函数()f x 为奇函数。

如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么称函数()f x 为偶函数。 （2）性质1：奇、偶函数的定义域关于原点对称。

性质2：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称。 性质3：若奇函数的定义域包括0 ，则有(0)0f =。 （3）利用定义判断函数奇偶性的方法、步骤：

① 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称。 ② 确定()f x -与()f x 的关系。 ③ 作出相应结论。 2、函数的单调性：

（1）定义：如果函数()f x 在区间D 内的任意12,x x ，

当12x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 是区间D 上的增函数； 当12x x <时，都有12()()f x f x >，则称()f x 是区间D 上的减函数。

（2）结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反。

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（3）导数与单调性的关系：

在某个区间(,)a b 内，如果'

()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增； 在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减。 3、函数的周期性定义：对于函数()f x ，若存在非零常数T ，使得在定义域内总有

()()f x T f x +=，则称函数()f x 为周期函数，常数T 为函数的周期。 （1）三角函数的周期：①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；

④|

|2:)cos(),sin(ωπ

?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y

(2)与周期有关的结论：

)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f 或)()(x f a x f -=+或

)

(1

)(x f a x f ±

=+?)(x f 的周期为a 2 区别对称轴：)()2(x f a x f -=+的对称轴为a x = 4、指数式与对数式：

（1）根式：当n

a =； 当n

,0

||,0

a a a a a ≥?==?-

（2）幂的性质：0

1a =（0a ≠）； n m n

m a a

= ； 1

p p a a

-=

； m

n

m n

a a a += ； m

m n n a a a

-=； ()n n n a b a b ?= ； ()m n mn a a = ；

（3）指数式与对数式的互换：log b

a a N N

b =?=，（0a >且1a ≠，0N >）

（4）对数性质： log 10a =； log 1a a =； log a N

a

N = ；

N M N M a a a log log )(log +=?；

N

M N

M a a a log log log -=；

log log n a a M n M =

（5）换底公式： log log log c a c b b a

=

； log log 1a b b a ?= （或写成：a b b a log 1

log =）

5、指数函数：x

y a =（

且）的图像与性质：

6、对数函数: a （且）的图像与性质：

（1）定义：形如y xα

=（R

α∈）的函数称为幂函数。

（2）幂函数y xα

=在第一象限的图像：

01

α

<<0

α< 3

y x

=2

y x

=

1

2

y x

=

8、图像变换的规律：平移变换、翻折变换

（1）水平平移()()

y f x y f x a

=→=+：左加右减

竖直平移()()

y f x y f x a

=→=+：上加下减

（2）()|()|

y f x y f x

=→=：把在x轴下方的图像沿着x轴翻折到上方；

()(||)

y f x y f x

=→=：偶函数，图像关于y轴对称。

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9、函数与方程

（1）方程()0f x =的根（实数x ）就是函数()y f x =的零点。

（2）函数()y f x =的零点? 方程()0f x =的实数根? 函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标。

（3）方程()0f x =有几个实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有几个交点?函数

()y f x =有几个零点

（4）方程)()(x g x f =有几个实数根?函数()y f x =的图像与()y g x =的图像有几个交点 （5）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条直线，并且有()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点。

（6）二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足()()0f a f b ?<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到

零点近似值的方法叫做二分法。

（7）用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤：------《必修1》的第90页 10

()0f x ≥；在

()

()

g x f x 中，()0f x ≠；在log ()a f x 中，()0f x >；在tan ()f x 中，()2

f x k π

π≠+

；在0

()f x 中， ()0f x ≠；在

x a 与log a x 中0a >且1a ≠，

列不等式求解

11、值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；

⑥利用均值不等式 22

2

2b a b

a a

b +≤

+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x

a 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 四、导数

1、函数()y f x =在点0x 处的导数的物理意义 —— 就是物体在0x 这一时刻的瞬时速度。

2、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义 —— 就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

3、常用的导数公式：

（1）0'

=c （2）1

'

)(-=n n

nx

x （3）x x cos )(sin '

= （4）x x sin )(cos '

-=

（5）x

x e e ='

)( （6）x x 1)(ln '

=

（7）21)'1(x x -= 不太常用的两个： （8）a

x x a ln 1)(log '

= （9） a a a x x ln )('=

4、导数的运算法则：

（1） '

'

'

[()()]()()f x g x f x g x ±=± （2）'

'

[()]()k f x k f x ?=?

（3）'

'

'

[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ?=+ （4）'''2

()()()()()

[]()()

f x f x

g x f x g x g x g x -= 5、用导数求函数单调区间的一般步骤：

① 求'

()f x ； ② '

()0f x >的解集与定义域的交集所对应的区间为增区间； '

()0f x <的解集与定义域的交集所对应的区间为减区间。

6、极值判别法：

如果0)('0=x f ，并且在0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'

()0f x <，那么0()f x 是极大值； 如果0)('0=x f ，并且在0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'

()0f x >，那么0()f x 是极小值。

7、求函数极值的步骤：

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（1）求导数'()f x ； （2）求导数'

()0f x =的根； （3）列表，用根判断'

()f x 在根左右的值的符号； （4）确定()f x 在这个根处是取极大值还是取极小值。 8、求函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：

（1）求出()f x 在(,)a b 内的极值； （2）求出()f a 、()f b 的值； （3）将各极值与()f a 、()f b 比较，最大的一个是最大值，最小的一个为最小值。 注：恒成立问题：对于恒成立问题一般可以化为最值问题，若a x f ≥)(恒成立，则

min )(x f a ≤；若a x f ≤)(恒成立，则max )(x f a ≥。

9、求切线方程：利用导数求切线：注意：（1）ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？

（2）求切线方程时，常设出切点),( y x ，则有切线的斜率为)( x f '，且切点),( y x 既在切线上，又在曲线上。 10、定积分：

（1）一般地，如果)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么

)()()(b F a F dx x f b

a

-=?，这个结论叫做问积分基本定理。即

)()()}()(b F a F x F dx x f b a b

a

-==?

（2）有关性质：

ⅰ、

dx x f k dx x kf b

a

b

a

??=)()(（k 为常数）

ⅱ、dx x f dx x f dx x f x f b

a

b

a

b

a

x

???±=±)()()]()([2

1

1

ⅲ、dx x f dx x f dx x f b

c

c

a

b

a

???+=)()()(（其中b c a <<）

注：

4

2

2

2a dx x a a

π=

-?

（为什么呢？）请思考

五、平面向量

1、向量的概念：（1）既有大小又有方向的量叫做向量，记作:AB ，或 a 。 （2）长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度为1的向量叫做单位向量。 （3）方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫共线向量。 （4）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

（5）向量a 的长度，也叫大小，也叫模，记作：||a （6）规定：0与任何向量平行。 2、向量的加法法则：（1）三角形法则 —— 首尾相接。 如：AB BC AC += （2）平行四边形法则 —— 同一起点。 如 ；AB AD AC +=

3、向量的减法法则： 三角形法则 —— 同一起点。 如：AB AC CB -=

4、两向量共线的充要条件：

向量b 与非零向量a 共线 ? ?唯一的实数λ，使得b a λ=。 5、平面向量的坐标运算：（1）若 11(,)a x y =、22(,)b x y =，

则 ),(2121y y x x ±±=± （2）若 11(,)A x y 、22(,)B x y ，则 2121(,)A B x x y y =-- （3）若 (,)a x y = ，则 (,)a x y λλλ= 6、平面向量共线的坐标表示：

若 11(,)a x y =、22(,)b x y =，则 a ∥b ? 12210x y x y -= 7、数量积

A B

C

D

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（1）定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则 ||||cos a b a b θ?=?? 叫做a 与

b 的数量积。

（2）投影： ||cos b θ? ——称为向量b 在a 方向上的投影；且 ||cos ||

a b

b a θ??= ||cos a θ?——称为向量a 在b 方向上的投影，且 ||cos ||

a b

a b θ??=

（3）运算公式及运算律：① 2

2||a a a a ?== ， ② 2

2

22()()||||a b a b a b a b +?-=-=-

③

2

2

2

2)(+?±=+?±=±θ

④ a b b a ?=? ； )()()(b a b a b a λλλ?=?=?； ()a b c a c b c ±?=?±? （4）数量积的坐标运算： 若 11(,)a x y =、22(,)b x y =，则 1212a b x x y y ?=+ 。 （5）非零向量a 与b 的夹角θ：作OA a =，OB b =，则 AOB θ∠= ，其中 0θπ≤≤ ，

cos ||||

a b

a b θ?=

?

非零向量a 与b 同向时，夹角0

0θ=； 反向时，夹角0

180θ=；垂直时，0

90θ=。 （6）两个非零向量垂直的充要条件：a b ⊥ ? 0a b ?= ? 12120x x y y += （7）模的运算公式： 2

||a a =

或 22||y x a +=

8、三点共线的充要条件：P ，A ，B 三点共线?x y 1OP xOA yOB =++=且。

六、三角函数

1、任意角和弧度制

（1）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成集合

0{|360,}S k k Z ββα==+?∈

（2）角度?弧度： 0

180π=弧度 ； 弧长||l r α=?（其中，||α为圆心角的弧度数）， 扇形面积1

2

S lr =

（3）三角函数的定义：在角α的终边上任取一个异于原点的点(,)

P x y ，点P 到原点的距离记为r （||r OP ==

）

，那么： sin y r α= ； cos x r α= ； tan y

x

α= ； 三角函数的符号：一全，二正弦，三正切，四余弦。

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2、同角三角函数的基本关系式： 2

2

sin cos 1αα+= ；

ααα

t a n c o s

s i n = 3、诱导公式：（1）公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=

公式二：sin()sin παα-=， c o s ()c o s παα-=-， t a n ()t a n παα-=- 公式三：sin()sin παα+=-， c o s ()c o s παα+=-， t a n ()t a n παα+= 公式四：sin(2)sin παα-=-， cos(2)cos παα-=， tan(2)tan παα-=- sin()sin αα-=-， c o s ()c o s αα-=， tan()tan αα-=-

公式五：sin()cos 2π

αα-=， c o s ()

s i n

2

π

αα-= 公式六：sin(

)cos 2π

αα+=， c o s ()s i n

2

π

αα+=- 4、两角和与差公式：

辅助角公式：)sin(cos sin 22?ααα++=

+b a b a （其中2

2s i n b a b +=

?，

2

2

cos b

a a +=

?）

sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+， sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-

cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- ， tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

--=+

5、二倍角公式：αααcos sin 22sin =， 22tan tan 21tan α

αα

=-

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

降幂公式：21cos 2sin 2αα-= ， 2

1cos 2cos 2

αα+=

6、正弦、余弦、正切函数的在一个周期内的图像与性质： （1）sin ,[0,2]y x x π=∈ 3sin ,[,

]

y x x ππ

=∈-

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tan ,(,)22

y x x ππ

=∈-

（

最小正周期7（1）函数sin()y A x ω?=+的物理意义：振幅：A ，周期2T π

ω

=， 相位：x ω?+， 初

相：?

（2）图像变换： s i n s i n ()y x y x

?=→=+： 左加右减

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sin()sin()y x y x ?ω?=+→=+： 当1ω>时，横坐标缩短；当01ω<<时，横坐标伸长。

sin()sin()y x y A x ω?ω?=+→=+： 当1A >时，纵坐标伸长；当01A <<时，纵坐标缩短。

（3）由函数的图像求sin()y A x B ω?=++的解析式的步骤：

① 求A ，max min 2y y A -= ； ②求B ，max min

2y y B += ； ③ 求T ，从而求得2T

π

ω= ； ④ 求?，通常是利用图像上的已知点。

七、正弦定理、余弦定理

1、正弦定理：R C

c

B b A a 2sin sin sin === （R 为外接圆半径）

变形1：（边?角）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，

变形2：（角?边）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c

C R

=

变形3：sin :sin :sin ::A B C a b c =

2、 余弦定理

2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+- 变形：（角?边）

222cos 2b c a A bc +-=， 222

c o s 2a c b B ac

+-=， 222cos 2a b c C ab +-=

3、 三角形中常用角的变换：

sin()sin A B C +=， sin()sin B C A +=， sin()sin A C B += cos()cos A B C +=-， c o s ()c o s B C A +=-， cos()cos A C B +=-

sin cos 22A B C +=， sin cos 22B C A +=， sin cos 22A C B +=

cos sin 22A B C +=， cos sin 22B C A +=， c o s s i n 22

A C

B +=

4、面积公式：B ac C ab A bc S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===?

八、数列：1、n a 与n S 的关系：1

1n n

n S a S S -?=?-?

1

2

n n =≥ n n a a a S +++= 21

2、求数列{}n a 的通项公式的常用方法：

（1）若满足等差数列或等比数列的定义，可直接用通项公式； （2）若1()n n a a f n --=，且()f n 可以求和，可用累加法；

（3）若

1

()n

n a f n a -=，且()f n 可以求积，可用累积法； （4）若1n n a pa q -=+（,p q 为常数），可用待定系数法转化为等比数列求通项。

（5）间接法（例如：41141

11=-?

=----n n n n n n a a a a a a ） （6）取导数法（例如：1

111

2112---+=?+=n n n n n a a a a a ）

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3、等差数列与等比数列： 1111n

q q

==-

-

（2）等差中项：如果,,a A b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，且2

A = 如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项，且2

G ab =，ab G ±=

4、数列求和的方法：

（1）公式法：等差数列、等比数列的前n 项和公式； （2）分组求和法：拆开之后构成等差或等比数列； （3）裂项相消法：

11

11

()n n n n c c a a d a a ++=- （其中{}n a 为等差数列，1n n d a a -=-） 常见的拆项公式：

1

11)1(1+-

=+n n n n ；

1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+ ； =（4）错位相减法：适用于{}n n a b ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列。 （5）构造法：把不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决。

5、等差数列的常用判定方法：

① 定义法：1n n a a d --= （d 是常数） ② 中项公式法：122n n n a a a ++=+ ③ 通项公式法：n a pn q =+（关于n 的一次函数）

④ 前n 项和公式法：2

n S An Bn =+（A ，B 为常数）

6、等比数列的常用判定方法： ① 定义法：

1

n

n a q a -=（q 是不等于0的常数） ② 中项公式法：212n n n a a a ++=? ③ 通项公式法：n

n a c q =?（关于n 的一次函数）

九、直线与方程

1、直线的有关概念

（1）倾斜角α: 0απ≤<

（2）斜率k ：① tan k α=（0

90α≠）；当倾斜角0

90α=时，直线的斜率不存在。

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② 过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 12()x x ≠的斜率公式： 21

21

y y k x x -=

-

直线的方向向量()b a v ,=，则直线的斜率为k =

(0)b

a a

≠. （3）截距：直线与x 轴交点的横坐标叫做直线在x 轴上的截距 ； 直线与y 轴交点的纵坐标叫做直线在y 轴上的截距 。

（4）中点坐标公式：11(,)A x y 、22(,)B x y 两点的中点(,)M x y 满足： 121222

x x x y y y +?=???

+?=?? 2、直线方程的基本形式：

（1）点斜式：)(00x x k y y -=- ；当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：b kx y +=，（b 是直线在y 轴上的截距）

（3）截距式：

1x y

a b

+=（0ab ≠） ，a b 、分别是直线在x 轴、y 轴上的截距。 （4）一般式：0=++C By Ax ，（A,B 不全为0）

3、 两直线的位置关系：

（1）平行：1l ∥2l 21k k =?且21b b ≠ ； 垂直：12121-=??⊥k k l l （注：当直线的斜率不存在时，要特殊处理。） （2）直线1111:0l A x B y C ++=， 2222:0l A x B y C ++= 平行：1l ∥2l 111

222

A B C A B C ?

=≠ ； 垂直：1212120l l A A B B ⊥?+= （3）两点间距离：若11(,)A x y 、22(,)B x y

，则||AB =（4）点00(,)P x y 到直线 :0l Ax By C ++=的距离： 2

2

00B

A C

By Ax d +++=

（5）两平行线间的距离： 直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 2

2

21B

A C C d +-=

4、 直线系的有关结论：

（1）与直线b kx y +=平行的直线方程可设为：y kx m =+（m b ≠）

（2）与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为：0Ax By m ++=（m C ≠） （3）与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为：0Bx Ay m -+= 5、几种特殊的对称：

（1）点00(,)P x y 关于x 轴对称的点的坐标为：00(,)x y - （2）点00(,)P x y 关于y 轴对称的点的坐标为：00(,)x y - （3）点00(,)P x y 关于原点对称的点的坐标为：00(,)x y -- 6、点与点对称的坐标关系：

设点),(y x P 关于点),(00y x M 的对称点'

P 的坐标是),(''y x ，则：???

?

???+=+=22'0'0y y y x x x 7、点关于直线对称的坐标关系：

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设点),(11y x P ，),(22y x Q 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则：

???

???

?=++?++?=--022********C y y B x x A A

B

x x y y 十、圆与方程

1、圆的方程：

（1）圆心为(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：2

22)()(r b y a x =-+- 特殊：圆心在坐标原点，2

2

2

x y r +=

（2）圆的一般方程：2

2

0x y Dx Ey F ++++= （表示圆的充要条件：22

40D E F +->）

其中，圆心坐标是(,)22

D E

--， 半径是

2

2、点和圆的位置关系： 若点P 与圆心C 的距离为 ||d PC = ，圆的半径为r ，则： d r >?点在圆外 ； d r =?点在圆上 ； d r

对于点00(,)P x y 和圆222)()(r b y a x =-+-或22

0x y Dx Ey F ++++=，则：

（1）点P 在圆内?22200()()x a y b r -+-

00000x y Dx Ey F ++++< （2）点P 在圆上?22200()()x a y b r -+-=?22

00000x y Dx Ey F ++++= （3）点P 在圆外?22200()()x a y b r -+->?22

00000x y Dx Ey F ++++>

3、直线与圆的位置关系： （1）判断方法： ① 几何法

直线与圆相离d r ?>； 直线与圆相切d r ?=； 直线与圆相交d r ?< ② 代数法： 联立方程组，得 2

2

00

Ax By C x y Dx Ey F ++=??

++++=?

消去y 得一元二次方程()0f x =，则：

直线与圆相离0??<； 直线与圆相切0??=；

（2）圆的切线的几何特征：① 过切点的半径垂

直切线； ② 圆心到切线的距离等于半径（d =（3）直线被圆截得的弦长： （即：半径、弦心距、半径长构成一个直角三角形。）

4、圆与圆的位置关系的判断： 若两圆的半径分别为1r 、2r 1212d r r >+?外离 ； 12d r r =+?外切； 1212||r r d r r -<<+?相交 ；

12||d r r =-?内切； 120||d r r <<-内含

十一、圆锥曲线

1、椭圆：（1）定义：平面内与两个定点12F F 、常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。 即：a PF PF 221=+ )2(21F F a > （2）2

2

2

b a

c -= )0(>>b a ||AB =

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（4）两种标准方程的一般形式：1Ax By += (0,0,)A B A B >>≠ 2、双曲线：（1）定义：平面内与两个定点12F F 、的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F ）

的点的轨迹叫做双曲线。 即：a PF PF 221=- )2(21F F a < 注意：

122PF PF a -=，表示双曲线的一支。

（2）2

2

2

b a

c += )0,0(>>b a

（4）两种标准方程的一般形式：1Ax By += (0)AB < 3、抛物线：（1）定义：平面内一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

F

F F

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定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 （即：PF d =）

入法（又称相关点法或坐标转移法）；⑷待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。 5、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）判断方法：① 联立直线与圆锥曲线方程，构成方程组。 ② 消去y （或x ）得到一个一元二次方程。

③ 若0?>，则直线与圆锥曲线有2个交点； 若0?=，则直线与圆锥曲线有1个交点； 若0?<，则直线与圆锥曲线没有交点。

6、直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A ),(),,(2211y x B y x ,则

AB =或2211k x x AB +-=, 或22111k

y y AB +

-= 7、直线与圆锥曲线问题解法： ⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？②直线斜率不存在时 考虑了吗？③判别式验证了吗？ ⑵设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)；②作差得 =--=

2

12

1x x y y k AB ；③解决问题。

十二、立体几何

1、空间几何体的结构：（1）柱体：棱柱、圆柱 （正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。） （2）锥体：棱锥、圆锥（正棱锥：底面是正多边形并且各侧面是全等的等腰三角形。）

F

F F F

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（3）台体：棱台、圆台（正棱台：各侧面是全等的等腰梯形。） 2、空间几何体的表面积和体积： （1）侧面积公式：

① 直棱柱S ch =（c 为底面周长，h 为高） ② 正棱锥'

12

S ch =（c 为底面周长，'h 为斜高）

③ 正棱台'121

()2

S c c h =

+（12c c 、分别为上下底面的周长，'h 为斜高） ④ 圆柱2S rh π=（r 为底面半径，h 为高） ⑤ 圆锥S rl π=（r 为底面半径，l 为母线长） ⑥ 圆台12()S r r l π=+（12r r 、分别为上下底面半径，l 为母线长）

（2）体积公式： ① 棱柱V Sh =（S 为底面积，h 为高） ② 棱锥1

3

V Sh =（S 为底

面积，h 为高）

③

棱台121

()3

V S S h =（12S S 、分别为上下底面积，h 为高）

④ 圆柱2

V Sh r h π==（S 为底面积，r 为底面半径，h 为高）

⑤ 圆锥2

1133V Sh r h π==（S 为底面积，r 为底面半径，h 为高）

⑥

圆台121

()3

V S S h =（12S S 、分别为上下底面积，h 为高）

3、球：（1）球的表面积公式：24S R π= （2）球的体积公式：3

43

V R π= （R 表示球的半

径）

（3）球的任意截面的圆心与球心的连线垂直截面，若设球的半径为R ，截面圆的半径是r ， 截面圆的圆心与球心的连线长为d ，则：222

d R r =-。 4、 空间几何体的直观图和三视图：

（1）三视图：正视图（自前面向后投射）、侧视图（自左面向右投射）、俯视图（自上面向下投射）

（2）直观图——斜二测画法：① ''

'

45x o y ∠= ； ②平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中仍保持平行；

③ 平行于x 轴的线段的长度不变，平行于y 轴的线段的长度变为原来的一半。

5、 空间点、直线、平面之间的位置关系： （1）平面的基本性质：

① 公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内。 ② 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。（即：可以确定一个平面） 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

③ 公理3：若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 ④ 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

⑤ 定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 （2）空间直线的位置关系： ① 空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面

② 异面直线所成的角：过空间任意一点作与这两条异面直线平行的两直线所称的锐角或直角。(0,

]2

π

θ∈

（3）直线和平面的位置关系：直线在平面内、直线和平面相交、 直线和平面平行（没有公共点）。

l

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（4）两个平面的位置关系：相交（有一条公共直线）、平行（没有公共点）。 7、空间中的平行关系： （1）直线和平面平行：

① 线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行。 （ 符号语言：,,////l m l m l ααα???

② 任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。

（ 符号语言：//,,//l

l m l m αβαβ?=? ）

（2）平面和平面平行：

① 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线

都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（ 符号语言：,,,//,//l m l m O l m ααββ??=② 那么它们的交线平行。

( 符号语言：//,,//l m l m αβγαγβ==?③ 的直线平行于另一个平面。

( 符号语言：//,//l l αβαβ?? )

8、 空间中的垂直关系：

（1）直线和平面垂直：

① ② 两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 （ 符号语言：,,,,m n l m O l m l αα??=⊥⊥③ 性质定理1（ 符号语言：,l m l m αα⊥??⊥ ）

性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。（ 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥? ） （2）平面与平面垂直：

① 那么这两个平面互相垂直。(符号语言：,l β⊥② 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内

垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ( 符号语言：,,,m l l m l αβαβαβ⊥=?⊥?⊥ ) 9、其它结论：（1）平行于同一个平面的两个平面平行。 （2）垂直于同一条直线的两个平面平行。

（3）若一个平面与两条平行线中的一条垂直，则这个平面与另一条也垂直。

（4）若一个直线与两个平行平面中的一个垂直，则这条直线与另一个平面也垂直。

10.空间角（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）

⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形； ②用向量法 空间两个向量的夹角公式:2

3

2

22

12

32

22

13

32211b b b a a a b a b a b a ++?++++=

，其中

()321,,a a a =，()321,,b b b =. 异面直线所成角θ的求法：??=b a

,cos cos θ

⑵直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）；②用向量法

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直线AB 与平面α所成角]2

,0[π

θ∈满足

:=

=cos sin ?,其中为面α

的法向量.

（3）二面角βα--l 的平面角],0[πθ∈满足: θ

cos =,其中、为平面α、

β的法向量.

11空间距离

(1)空间两点间的距离公式:若()()222111,,x B ,,z y z y x A ,则

()()()212212212,z z y y x x d B A -+-+-=

.

(2).点Q 到直线l 的距离

:h =

,点P 在直线l 上,直线l 的方向向量

=,向量PQ b =.

(3).点B 到平面α

的距离:d =,为平面α的法向量,AB 是面α的一条斜

线,α∈A .

十三、概率与统计

1、 抽样方法和数据统计：（1）抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 ① 简单随机抽样（主要有抽签法、随机数表法），特点：不放回逐个抽取，每个个体被抽到的可能性相同。

② 系统抽样（也叫等距抽样）特点：将总体分成均衡的若干部分，等距地从每一部分抽取一个个体。

③ 分层抽样特点：按各层在总体中所占的比例进行抽取。 （2）统计图表：

① 频率分布表：表格主要有分组、频数、频率等三个项目。

② 频率分布直方图：横坐标表示数据的分组区间，纵坐标表示频率/组距，小矩形的面积是相应分组的频率。

③ 频率折线图：把频率分布直方图各个矩形上边的中点用线连接起来，所得的折线图叫做频率分布折线图。

④ 茎叶图：竖线的左边表示十位数，竖线的右边表示个位数。 （3）数字特征： ①众数：出现次数最多的数据。

②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做中位数。

③平均数 ④方差与标准差 方

差

：

222

2

12()()()n x x x x x x s n

-+-++-=

；

标准差

：

2

s ==

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征：

（1）反映数据的集中趋势的数字特征主要有：中位数、众数和平均数。 （2）反映数据的离散程度的数字特征主要有：方差和标准差。（标准差越小，表示数据越稳定。） 3、两个相关变量的回归分析：（以下的公式不用记忆）

（1）作出两个变量,x y 的散点图，若所有的点看上去都在一条直线附近波动，则称变量,x y

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线性相关；否则，称变量,x y 非线性相关。

（2）建立回归方程：若变量,x y 线性相关，则可用最小二乘法求出回归直线方程 y bx a =+，

计算公式是： 1

1

2

2

2

1

1

()()

()

n

n

i i

i

i

i i n

n

i

i

i i x y nx y x x y

y b x

nx

x x ====---=

=

--∑∑∑∑ ， a y bx =-

（3）回归模型好坏的评价： ① 相关系数r

：()()

n

i

i

x x y y r --=

∑

若0r >，则表明两个变量正相关；若0r <，则表明两个变量负相关；r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近0，表明两个变量的线性相关性越弱。通常当||0.75r >时，认为两个变量有很强的线性相关关系。

② 相关指数2

R ：2

2

12

1

()

1()n

i

i

i n i i

i y y R y y ==-=-

-∑∑ ，2

R 越

接近1，表明回归效果越好。

4、两个分类变量的独立性检验的一般步骤： （1）列出两个分类变量的列联表： （2）假设两个分类变量,x y 无关系；

（3）计算2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ；

（4）把2

K 的值与临界值比较，确定,x y 有关的程度或无关系。

特别：当 2.706k <时，认为没有足够的证据显示“,x y 有关系”。 5、随机事件的概率：

（1）事件：必然事件、随机事件、不可能事件。

（2）频率：在相同条件下，重复做n 次试验，如果某一事件A 在这n 次试验中出现了m 次，则称事件A 出现的比例

m

n

为事件A 出现的频率。（频率 = 频数÷总数） （3）概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验，事件A 发生的频率

m

n

总在某个常数附近摆动，即事件A 发生的频率具有稳定性，这时把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A 。（ 性质：0()1P A ≤≤ ）

（4）事件的关系与运算：

① 互斥事件：一次试验中不能同时发生的两个事件A 与B 称为互斥事件。

② 对立事件：一次试验中不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做对立事件。 事件A 的对立事件记作A ；对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。 ③ 事件的和：事件A

与事件B 至少有一个发生，则称事件A 与事件B 的和，记为A B +。