光的衍射计算题及答案

《光的衍射》计算题

1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长1和2，垂直入射于单缝上．假如1

的第一级衍射极小与2的第二级衍射极小相重合，试问

(1) 这两种波长之间有何关系

(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

111sin λθ=a 222sin λθ=a

由题意可知 21θθ= , 21sin sin θθ=

代入上式可得 212λλ= 3分

(2) 211112sin λλθk k a == (k 1 = 1, 2, ……)

a k /2sin 211λθ=

222sin λθk a = (k 2 = 1, 2, ……)

a k /sin 222λθ=

若k 2 = 2k 1，则1 = 2，即1的任一k 1级极小都有2的2k 1级极小与之重合． 2分

2. 波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观察夫琅

禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求：

(1) 中央衍射明条纹的宽度 x 0；

(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2 ．

解：(1) 对于第一级暗纹，有a sin 1≈

因 1很小，故 tg 1≈sin 1 = / a

故中央明纹宽度 x 0 = 2f tg 1=2f / a = 1.2 cm 3分

(2) 对于第二级暗纹，有 a sin 2≈2

x 2 = f tg 2≈f sin 2 =2f / a = 1.2 cm 2分

3. 在用钠光(= nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm ，透镜焦距

f =700 mm ．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=109m)

解： a sin = 2分

a f f f x /sin tg 1λφφ=≈== 0.825 mm 2分

x =2x 1=1.65 mm 1分

4. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm ．缝后放一个焦距f = 400 mm

的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0

mm ，求入射光的波长．

解：设第三级暗纹在3方向上，则有

a sin 3 = 3

此暗纹到中心的距离为 x 3 = f tg 3 2分

因为3很小，可认为tg 3≈sin 3，所以

x 3≈3f / a ．

两侧第三级暗纹的距离是 2 x 3 = 6f / a = 8.0mm

∴ = (2x 3) a / 6f 2分

= 500 nm 1分

5. 用波长= nm(1nm=109m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a =0.15 mm ，缝后用凸透镜把衍射

光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm ，求此透镜的焦距．

解：第二级与第三级暗纹之间的距离

x = x 3 –x 2≈f / a ． 2分

∴ f ≈a x / =400 mm 3分

6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，1=400 nm ，=760 nm (1

nm=10-9 m)．已知单缝宽度a =×10-2 cm ，透镜焦距f =50 cm ．求两种光第一级衍射明纹中心

之间的距离．

(2) 若用光栅常数d =×10-3 cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第

一级主极大之间的距离．

解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

()111231221sin λλ?=+=

k a (取k ＝1 ) 1分 ()2222

31221sin λλ?=+=k a 1分 f x /tg 11=? , f x /tg 22=?

由于 11tg sin ??≈ , 22tg sin ??≈

所以 a f x /2

311λ= 1分 a f x /2322λ= 1分 则两个第一级明纹之间距为

a f x x x /2312λ?=

-=?=0.27 cm 2分 (2) 由光栅衍射主极大的公式

1111sin λλ?==k d

2221sin λλ?==k d 2分

且有 f x /tg sin =≈?? 所以

d f x x x /12λ?=-=?=1.8 cm 2分

7. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，1=440 nm ，2=660 nm (1 nm

= 10-9 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角=60°的方向上．求

此光栅的光栅常数d ．

解：由光栅衍射主极大公式得

111sin λ?k d =

222sin λ?k d =

2

12122112132660440sin sin k k k k k k =??==λλ?? 4分 当两谱线重合时有 1=2 1分

即 6

9462321===k k ．．．．．．． 1分

两谱线第二次重合即是

4621=k k ， k 1=6， k 2=4 2分 由光栅公式可知d sin60°=61

ο60

sin 61λ=d =×10-3 mm 2分

8. 一束具有两种波长1和2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长1的第三级主极大

衍射角和2的第四级主极大衍射角均为30°．已知1=560 nm (1 nm= 10-9 m)，试求:

(1) 光栅常数a ＋b

(2) 波长2

解：(1) 由光栅衍射主极大公式得

()1330sin λ=+ο

b a cm 1036.330

sin 341-?==

+ολb a 3分 (2) ()2430sin λ=+οb a

()4204/30sin 2=+=οb a λnm 2分

9. 用含有两种波长=600 nm 和='λ500 nm (1 nm=10-9 m)的复色光垂直入射到每毫米有200

条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm 的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以

上两种波长光的第一级谱线的间距x ．

解：对于第一级谱线，有：

x 1 = f tg 1， sin 1= / d 1分

∵ sin ≈tg ∴ x 1 = f tg 1≈f / d 2分

和＇两种波长光的第一级谱线之间的距离

x = x 1 –x 1＇= f (tg 1 – tg 1＇)

= f (－＇) / d =1 cm 2分

10. 以波长400 nm ─760 nm (1 nm ＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，

第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．

解：令第三级光谱中=400 nm 的光与第二级光谱中波长为的光对应的衍射角都为， 则 d sin =3，d sin =2λ'

λ'= (d sin / )2==λ2

3600nm 4分

∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 1分

11. 氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长= m 的谱线的衍射角为

=20°．如果在同样角处出现波长2= m 的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少

解：由光栅公式得

sin= k 1 1 / (a +b ) = k 2 2 / (a +b )

k 1 1 = k 2 2

将k 2 k 1约化为整数比k 2 k 1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ......

k 2 k 1 = 1/ 2= / 3分

取最小的k 1和k 2， k 1=2，k 2=3， 3分

则对应的光栅常数(a + b ) = k 1 1 / sin = m 2分

12. 用钠光(= nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°．

(1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．

(2) 若以白光(400 nm －760 nm) 照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．

(1 nm= 10-9 m)

解：(1) (a + b ) sin = 3

a +

b =3 / sin ， =60° 2分

a +

b =2'/sin ?' ?'=30° 1分

3 / sin =2'/sin ?' 1分

'= nm 1分

(2) (a + b ) =3 / sin = nm 2分

2

?'=sin -1(2×400 / (=400nm) 1分 2

?''=sin -1(2×760 / (=760nm) 1分 白光第二级光谱的张角 = 22

??'-''= 25° 1分

13.某种单色光垂直入射到每厘米有8000条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为

30°那么入射光的波长是多少能不能观察到第二级谱线

解：由光栅公式 (a ＋b )sin =k

k =1， =30°，sin=1 / 2

∴ =(a ＋b )sin/ k =625 nm 3分

实际观察不到第二级谱线 2分

若k =2, 则 sin=2 / (a + b ) = 1, 2=90°

14. 用波长为 nm (1 nm = 10-9 m)的钠黄光垂直入射在每毫米有500 条缝的光栅上，求第一

级主极大的衍射角.

解： d =1 / 500 mm ，= nm ，

∴ sin= d = ==° 3分

第一级衍射主极大： d sin= 2分

15. 一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱．钠黄光包含两条谱线，

其波长分别为 nm 和 nm ．(1nm=10-9m)求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度．

解：光栅公式， d sin =k ．

现 d=1 / 500 mm =2×10-3 mm ，1= nm ，2= nm ，k=2．

∴ sin 1=k 1 / d=， 1=° 2分

sin 2=k 2 / d=， 2=° 2分

=1－2=° 1分

16.波长范围在450～650 nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1 cm ．求透镜的焦距f ． (1 nm=10-9 m)

解：光栅常数 d = 1m / (5×105) = 2 ×105m ． 2分 设 1 = 450nm ， 2 = 650nm,

则据光栅方程，1和2的第2级谱线有

d sin 1 =21； dsin 2=22

据上式得： 1 =sin 121/d ＝°

2 = sin 122 /d ＝° 3分

第2级光谱的宽度 x 2 x 1 = f (tg 2tg 1)

∴ 透镜的焦距 f = (x 1 x 2) / (tg 2 tg 1) ＝100 cm ． 3分

17.设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光（=589 nm ）的光谱线．

(1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次k m 是

多少

(2)当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入

射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次m

k ' 是多少 (1nm=109m)

解：光栅常数d=2×10-6 m 1分

(1) 垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级次为k m ，则据光栅方程有

d sin = k m

∵ sin ≤１ ∴ k m / d ≤1 ， ∴ k m ≤d / =

∵ k m 为整数,有 k m =3 4分

(2) 斜入射时，设能看到的光谱线的最高级次为m

k '，则据斜入射时的光栅方程有 ()

λθm k d '='+sin 30sin ο

d k m /sin 2

1λθ'='+ ∵ sin ＇≤1 ∴ 5.1/≤'d k m

λ ∴ λ/5.1d k m ≤'=

∵ m k '为整数，有 m k '=5 5分

18. 一双缝，缝距d =0.40 mm ，两缝宽度都是a =0.080 mm ，用波长为=480 nm (1 nm = 10-9 m) 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0 m 的透镜求：

(1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距l ；

(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N 和相应的级数．

解：双缝干涉条纹：

(1) 第k级亮纹条件：d sin=k

第k级亮条纹位置：x k = f tg≈f sin≈kf / d

相邻两亮纹的间距：x = x k+1－x k=(k＋1)f / d－kf / d=f / d

=×10-3 m=2.4 mm 5分

(2) 单缝衍射第一暗纹：a sin1 =

单缝衍射中央亮纹半宽度：x0 = f tg1≈f sin1

≈f / a＝12 mm

x0/x =5

∴双缝干涉第±5极主级大缺级．3分

∴在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 1分分别为k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹1分或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论的3分．