含参数的一元二次不等式的解法专题训练
专题 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2
x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;
例1 解不等式：()0122
>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222
>+=-+=?a a a 解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为??
????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为?
?????
>21|x x 当0 ????????+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652 ≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a Θ ∴当0>a 时，解集为{}32|> 二、按判别式?的符号分类，即0,0,0?； 例3 解不等式042>++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。 解：∵162-=?a ∴当()4,4-∈a 即0 ????? ≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 例5 解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈ 分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1 个公共点，不等式的解为方程2 4410x x -+=的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为?。 解：11,|;4m x x ? ?=-≥???? 当时原不等式的解集为 ? ?????+-+≤≤+--<<-? ?????+-+≤+--≥- 34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为? ????? =21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为?。 小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。 例6 解关于x 的不等式)0(,04)1(22 >>++-a x a ax 思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。 三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例7 解不等式)0( 01)1(2 <<++-a x a a x 变式：???0>a 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1(<- -a x a x ，令a a 1=，可得：1-=a ∴当1- ??< a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 时, a a 1> ,解集为??????< 例8 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()0245222>=--=?a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a f 时，即23a a p ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0 |23x x a x a ><或 四、针对性练习 1、解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x 2、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 3、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax 1、解：0)2(2>+-+a x a x )(* ()3243240422+≥-≤?≥--=?a a a a 或， 此时两根为()242)2(21a a a x --+-=，()242)2(22a a a x ----=. （1）当324-?，) (*解集为(248)2(,2+---∞-a a a )?(+∞+-+-,24 8)2(2a a a )； （2）当324-=a 时，0=?，)(*解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324324+<<-a 时，0 （5）当324+>a 时，0>?，) (*解集为(248)2(,2 +---∞-a a a )?(+∞+-+-,24 8)2(2a a a ). 2、解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0 x x a x 10)1)(1(-- ?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--?x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ； （2）当1>a 时，式)(*11< x a ； （3）当10< x x 或}；当0=a 时，解集为{1>x x }；当10< <}；当1=a 时，解集为φ；当1>a 时，解集为{11< （1）0=a 时，.01)(R x ∈?<-?* （2）0≠a 时，则0042 >?≥+=?a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，a a a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>?，?*∴)(<<+--x a a a a 242a a a a 242++-； ②当04<<-a 时，0 ③当4-=a 时，0=?，2 1)(-≠∈?*∴x R x 且； ④当4-?，?*∴)(或a a a a x 242++->a a a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ； 当4-=a 时，解集为(21,-∞-)?(+∞-,2 1); 当4- 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解 ：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ； 解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a 当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ； 当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故 所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ； ； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习 以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。 解一元二次不等式的步骤： 1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）; 2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）; 3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集 二．自主探究 在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。 【题型一】对根的大小讨论 例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ). 对应练习：解关于的不等式 2x a x a --<0 (a R ∈ ). 【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论 例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈ 对应练习：012 <+-ax x 【题型三】对首项系数a 的讨论 例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈ 对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈ 训练（2）：函数()f x = R ，则实数m 的取值范围. 课堂小结： 含参数的一元二次不等式需讨论一般分为 1：对二次项系数进行讨论； 2：对所对应方程根的个数进行讨论； 3：对所对应方程根的大小进行讨论； 注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定. 三．巩固性练习及作业 1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ） A.（-3a, 4a ） B.(4a , -3a) C.(-3, 4) D.(2a , 6a) 2、22210x x x m -+->解关于的不等式 一元二次不等式及其解法 链接高考 1.(2016浙江杭州中学期中,★☆☆)下列不等式中,与不等式<2解集相同的是() A.(x+8)(x2+2x+3)<2 B.(x+8)<2(x2+2x+3) C.< D.> 2.(2015天津南开中学月考,★☆☆)不等式≥2的解集是() A. B. C.∪(1,3] D.∪(1,3] 3.(2013江西,6,5分,★☆☆)下列选项中,使不等式x< (?R P)∩Q=() A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] 9.(2014课标Ⅰ,11,5分,★★☆)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B=() A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) 10.(2016河北石家庄一中期中,★★☆)若不等式x2+2x+2>|a-2|对于一切实数x 均成立,则实数a的取值范围是________. 11.(2012福建,15,4分,★★☆)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________. 12.(2015辽宁大连期末,★★☆)已知f(x)=ax2+x-a. (1)若函数f(x)有最大值,求实数a的值; (2)若不等式f(x)>-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围. 三年模拟 1.(2016四川雅安中学月考,★☆☆)不等式-x2+3x+4<0的解集为() A.{x|-1 一元二次不等式 参考例题（2） 1．(1)解不等式 121≤-x x （}0,1|{>-≤x x x 或） (2)不等式11<-x ax 的解集为}21|{> 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜ ．＜＜1 1 a a C x a ．＞或＜x a 1 1 选A x ≥3或x ． ?? ?????a b = =-121 2 ，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2-+--+-313 2 511 3 12 2x x x x x x ＞＞()() 分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤3 2 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 例不等式＋＞ 的解集为5 1x 1 ] x ＝ 0} ] 解法一原不等式的同解不等式组为≠． x -?? 20 故排除A 、C 、D ，选B ． 解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 3 20x 3(x 3)(2x)02x 3--x 两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”． 例不等式 ＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 [ ] A a B a C a D a ．＜ ．＞ ．＝ ．＝－ 1212 1 21 2 分析可以先将不等式整理为 ＜，转化为 0()a x x -+-11 1 [(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2} 可知－＜，即＜，且－ ＝，∴＝．a 10a 12a 1112 a - 答 选C ． ≤0} 分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ? 解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*) (1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得?? 含参数一元二次不等式练习题st 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ?????－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D .? ?????－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1， 实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝??? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3， 且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －? ?????12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 13．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 三，解答题 14.解下列不等式： (1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)． (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0(两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422--=?（方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=? ()()32432 404222+=-==--=?a a a a 或时当 （i ）13324-≠-=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当 ()()时或即当32432 404232+>-<>--=?a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-= ，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22a a a x a a a x --+->----<或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞--,13)； （4）当324-a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )?(+∞+-+-,2 48)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--?x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ； （2）当1>a 时，式)(*11< 含参数的一元二次不等 式的分类讨论 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 复习引入： 一元一次的分类讨论： 2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、 含参数的一元二次不等式——分类讨论 1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212 ,,x x x x x x >=<三种情况． 2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式?的正负分类，即分0,0,0?>?=?<三 种情况，结合图像法求解。 3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况． 综合提高题 1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ?，求a 的范围 2. 集合{}(){ }22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ?，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ?，求a 的范围 4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ?，求a 的范围 含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1. 220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2. 220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3. 210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4. ()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围 5. 2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 高一数学一元二次不等式解法练习题及答案 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜ ．＜＜11 a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 1 1 分析比较与的大小后写出答案． a 1 a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜． 选． 0a 1a a x A 11 a a 例有意义，则的取值范围是 ．2 x x 2--x 6 分析 求算术根，被开方数必须是非负数． 解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2． 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理． 解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-?? ?????b a a ()()1211122×得 a b ==-1212 ，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2-+- -+-3132 511 3 122x x x x x x ＞＞()() 分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤3 2 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 例不等式＋＞ 的解集为5 1x 1 1-x [ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1 或x ＝0} 分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分． 解不等式化为＋－＞， 通分得＞，即＞， 1x 0001 111 22 ----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ． 说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解． 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ????? >21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 当4±=a 即Δ＝0时，解集为? ????? ≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 一 元二次不等式 参考例题（2） 1． (1)解不等式121≤-x x (2)不等式11 <-x ax 的解集为}21|{> （2）若不等式 13642222<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围. 4．（1）已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ， ①若A B ，求实数a 的取值范围.； ②若A B ?，求实数a 的取值范围.； ③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值. （2）已知}031| {≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. (3) 关于x 的不等式2 )1(|2)1(|2 2-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ， 若B A ?，求实数a 的取值范围. （4）设全集R U =，集合}3|12||{},01 | {<+=≥+-=x x B x a x x A ，若R B A = ， 求实数a 的取值范围. （5）已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ， 若C B A ?)( ，求实数a 的取值范围. 含参一元二次不等式的解法 温县第一高级中学数学组 任利民 解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明. 一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类 例1解关于x 的不等式 2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a -的大小关系.这样就容易将a 分成111,,2 2 2 a a a > = < 这三类. 解：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或 1x a =-. 当12a > 时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2 x ≠ 当12 a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就 对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时， 12 的选取依据就是比较两个根的大 小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图. 二、 根据判别式的符号分类 例2解关于x 的不等式2 220x ax ++>. 分析：设2 ()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0?>?=?<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ???－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D.? ???－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0,1) 5．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( ) A.????32，152 B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7] 6．(2012·温州高三适应性测试)若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＞－6 B ．m ＞3或－6＜m ＜－2 C ．m ＞2或－6＜m ＜－1 D ．m ＞3或m ＜－1 二、填空题 7．若不等式k －3x －3 ＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________. 8．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________. 9．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是?，则实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝????? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －??? ?12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 一元二次不等式及其解法 【知识梳理】 1．一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 题型一、一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814 ≥0； (4)－12 x 2＋3x －5＞0； (5)－2x 2＋3x －2＜0. [解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12 ，或x ＜ －3}． (2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (3)原不等式可化为????2x －922≤0，所以原不等式的解集为???? ??x |x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?. (5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . 【类题通法】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． 【对点训练】 1．解下列不等式： (1)x 2－5x －6>0；(2)－x 2＋7x >6. (3)(2－x )(x ＋3)<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )． 解：(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1， x 2＝6. 结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6. 结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为 {x |1 3.2.2含参二次不等式 【学习目标】 1.进一步深入理解一元二次不等式的解法，会解含参数的一元二次不等式； 2.加深对数形结合和分类讨论的认识和理解. 【复习回顾】1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 2.一元二次不等式揭发步骤： 【典型例题】 讨论点1：交点位置（两根大小，谁左谁右） 例1.解关于x 的不等式0)1(2 >---a a x x 变式训练：1.解不等式)0(01)1(2≠<++-a x a a x 2.解关于x 的不等式0 )1(2>--+m x m x 讨论点2：函数x 轴交点个数（方程解的个数）（判别式2 =4b ac ?-的符号） 例2.解不等式042>++ax x 变式训练：1.解关于x 的不等式：0 )2(2 >+-+a x a x 2.解关于x 的不等式0222>++ax x 讨论点3：开口方向（二次项系数） 例3.解关于x 的不等式：01)1(2 <++-x a ax 变式训练：1.解不等式)0(0652 ≠>+-a a ax ax 2.已知关于x 的不等式2 320ax x -+>)(R a ∈. ①若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．②求不等式ax x ax ->+-5232 )(R a ∈的解集 例4.解关于x 不等式012 <-+ax ax 变式训练：1.解不等式0 1)2(2 >+++x a ax 2.解不等式)(014)1(22R m x x m ∈≥+-+【提高练习】解关于x 不等式033)1(2 2>++-ax x a 总结：（含参二次不等式解法） 1.二次项系数符号的讨论：是否是一元二次不等式；对应的二次函数图像开口的方向； 2.判别式符号的讨论：对应的一元二次方程是否有根；对应的二次函数图像与x 轴的交点个数； 3.两根大小的讨论：判别式0>，对应的一元二次方程有两个根； 高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表 题型一：一元二次不等式解法 1.解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. 题型二：三个“二次”关系的应用 2.若不等式ax 2 ＋bx ＋2>0的解集是?????? ??? ?x ??? －12含参数的一元二次不等式的解法
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