3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;
例1 解不等式：()0122
>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222
>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222
>+=-+=?a a a 解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为??
????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为?
?????
>21|x x 当0 ????????+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 二、按判别式?的符号分类，即0,0,0?； 例3 解不等式042>++ax x 分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。 解：∵162-=?a ∴当()4,4-∈a 即0 ()00652 ≠>+-a a ax ax 解集为? ????? ≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为2 1621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=?，所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++ -a x a a x 分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1(<- -a x a x ，令a a 1=，可得：1±=a ，∴当1- ??< a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1> ,解集为? ?????< 例6 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()0245222 >=--=?a a a ，又不等式可分解为，故只需比较两根a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a >时，即23a a <，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0，解集为{} |23x x a x a ><或 ()0)3(2>--a x a x ()0)3(2>--a x a x 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解 ：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ； 解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a 当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ； 当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故 所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ； ； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为 2.3.2 一元二次不等式解法 二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0． 这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程 x2－x－6＝0 的解就是 x1＝－2，x2＝3； 同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式 x2－x－6＞0 的解是 x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式 x2－x－6＜0 的解是 －2＜x＜3． 上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c ＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b 2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－b 2a； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习 以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。 解一元二次不等式的步骤： 1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）; 2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）; 3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集 二．自主探究 在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。 【题型一】对根的大小讨论 例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ). 对应练习：解关于的不等式 2x a x a --<0 (a R ∈ ). 【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论 例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈ 对应练习：012 <+-ax x 【题型三】对首项系数a 的讨论 例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈ 对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈ 训练（2）：函数()f x = R ，则实数m 的取值范围. 课堂小结： 含参数的一元二次不等式需讨论一般分为 1：对二次项系数进行讨论； 2：对所对应方程根的个数进行讨论； 3：对所对应方程根的大小进行讨论； 注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定. 三．巩固性练习及作业 1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ） A.（-3a, 4a ） B.(4a , -3a) C.(-3, 4) D.(2a , 6a) 2、22210x x x m -+->解关于的不等式 一元二次不等式 参考例题（2） 1．(1)解不等式 121≤-x x （}0,1|{>-≤x x x 或） (2)不等式11<-x ax 的解集为}21|{> 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 含参数一元二次不等式练习题st 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ?????－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D .? ?????－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1， 实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝??? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3， 且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －? ?????12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 13．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 三，解答题 14.解下列不等式： (1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)． (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0(两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422--=?（方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=? ()()32432 404222+=-==--=?a a a a 或时当 （i ）13324-≠-=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当 ()()时或即当32432 404232+>-<>--=?a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-= ，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22a a a x a a a x --+->----<或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞--,13)； （4）当324-a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )?(+∞+-+-,2 48)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--?x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ； （2）当1>a 时，式)(*11< 含参数的一元二次不等 式的分类讨论 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 复习引入： 一元一次的分类讨论： 2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、 含参数的一元二次不等式——分类讨论 1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212 ,,x x x x x x >=<三种情况． 2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式?的正负分类，即分0,0,0?>?=?<三 种情况，结合图像法求解。 3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况． 综合提高题 1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ?，求a 的范围 2. 集合{}(){ }22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ?，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ?，求a 的范围 4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ?，求a 的范围 含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1. 220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2. 220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3. 210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4. ()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围 5. 2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ????? >21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 当4±=a 即Δ＝0时，解集为? ????? ≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 一 元二次不等式 参考例题（2） 1． (1)解不等式121≤-x x (2)不等式11 <-x ax 的解集为}21|{> （2）若不等式 13642222<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围. 4．（1）已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ， ①若A B ，求实数a 的取值范围.； ②若A B ?，求实数a 的取值范围.； ③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值. （2）已知}031| {≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. (3) 关于x 的不等式2 )1(|2)1(|2 2-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ， 若B A ?，求实数a 的取值范围. （4）设全集R U =，集合}3|12||{},01 | {<+=≥+-=x x B x a x x A ，若R B A = ， 求实数a 的取值范围. （5）已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ， 若C B A ?)( ，求实数a 的取值范围. 一元二次方程练习题 1. 解下列方程：（1）2(1) 9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 2. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21) 180y -=； （2）21(31)644x +=； （3）26(2) 1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 3. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1) 12x +=； （2）2410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=． （5） ()9322=-x ； （6）162=-x x ； 一元二次不等式 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 0(0)ax bx c a ++=>之间判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 一、解下列一元二次不等式： 1、0652>++x x 2、0652≤--x x 3、01272<++x x 含参一元二次不等式的解法 温县第一高级中学数学组 任利民 解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明. 一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类 例1解关于x 的不等式 2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a -的大小关系.这样就容易将a 分成111,,2 2 2 a a a > = < 这三类. 解：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或 1x a =-. 当12a > 时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2 x ≠ 当12 a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就 对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时， 12 的选取依据就是比较两个根的大 小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图. 二、 根据判别式的符号分类 例2解关于x 的不等式2 220x ax ++>. 分析：设2 ()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0?>?=?<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ???－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D.? ???－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0,1) 5．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( ) A.????32，152 B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7] 6．(2012·温州高三适应性测试)若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＞－6 B ．m ＞3或－6＜m ＜－2 C ．m ＞2或－6＜m ＜－1 D ．m ＞3或m ＜－1 二、填空题 7．若不等式k －3x －3 ＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________. 8．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________. 9．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是?，则实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝????? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －??? ?12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 3.2.2含参二次不等式 【学习目标】 1.进一步深入理解一元二次不等式的解法，会解含参数的一元二次不等式； 2.加深对数形结合和分类讨论的认识和理解. 【复习回顾】1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 2.一元二次不等式揭发步骤： 【典型例题】 讨论点1：交点位置（两根大小，谁左谁右） 例1.解关于x 的不等式0)1(2 >---a a x x 变式训练：1.解不等式)0(01)1(2≠<++-a x a a x 2.解关于x 的不等式0 )1(2>--+m x m x 讨论点2：函数x 轴交点个数（方程解的个数）（判别式2 =4b ac ?-的符号） 例2.解不等式042>++ax x 变式训练：1.解关于x 的不等式：0 )2(2 >+-+a x a x 2.解关于x 的不等式0222>++ax x 讨论点3：开口方向（二次项系数） 例3.解关于x 的不等式：01)1(2 <++-x a ax 变式训练：1.解不等式)0(0652 ≠>+-a a ax ax 2.已知关于x 的不等式2 320ax x -+>)(R a ∈. ①若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．②求不等式ax x ax ->+-5232 )(R a ∈的解集 例4.解关于x 不等式012 <-+ax ax 变式训练：1.解不等式0 1)2(2 >+++x a ax 2.解不等式)(014)1(22R m x x m ∈≥+-+【提高练习】解关于x 不等式033)1(2 2>++-ax x a 总结：（含参二次不等式解法） 1.二次项系数符号的讨论：是否是一元二次不等式；对应的二次函数图像开口的方向； 2.判别式符号的讨论：对应的一元二次方程是否有根；对应的二次函数图像与x 轴的交点个数； 3.两根大小的讨论：判别式0>，对应的一元二次方程有两个根； 解不等式（11.01） 知识点 1、 一元二次不等式的解 步骤：1、把二次项系数化为正数 2、用?判断方程的解 分式不等式转化成正式不等式 0)()(0) ()(>?>x g x f x g x f ，0)(0)()(0) ()(>>?≥x f x g x f x g x f 或 相关练习 1、 元二次方程的解，（1）十字相乘法；（2）求根公式；（3）配方求解 （1）0822=-+x x （2）0232=+-x x （3） 962+-=x x y （4）07422=++x x （5）03422=--x x （6）0432=-+x x （7）07422 =++x x 2、 一元二次函数图象性质 （1）822-+=x x y （2）962+-=x x y （3）7422++=x x y 开口： 对称轴： 顶点坐标 大致图象 最值： 单调区间： 增 减 在给定区间上的最值 （１） 822-+=x x y ；[]2,4--∈x （２） 822-+=x x y ；[]4,2∈x （３）822-+=x x y ；[]5,2-∈x 3、相应一元二次不等式的解（对于方程有两解的情况：大于取两边；小于取中间） （1）0822>-+x x ；0822≥-+x x ；0822<-+x x ；0822 ≤-+x x ； （2）0232>-+-x x ；0232≥-+-x x ；0232<-+-x x ；0232≤-+-x x ； （3）0962>+-x x ；0962≥+-x x ；0962<+-x x ；0962≤+-x x 沁园春·雪 <毛泽东> 北国风光，千里冰封，万里雪飘。 望长城内外，惟余莽莽； 大河上下，顿失滔滔。 山舞银蛇，原驰蜡象， 欲与天公试比高。 须晴日，看红装素裹，分外妖娆。 江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =，含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)
初中数学 一元二次不等式解法
含参数的一元二次不等式及其解法
含参数的一元二次不等式题(答案)
如何解一元二次不等式
含参数一元二次不等式练习题st
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的分类讨论
一元二次不等式及其解法教学设计
含参数的一元二次不等式的解法(专题)
含参数的一元二次不等式题答案)
解一元二次方程及一元二次不等式练习题--
含参一元二次不等式的解法
含参数一元二次不等式练习题st
3.2.2含参二次不等式
解一元二次不等式
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析