正弦定理、余弦定理基础练习题.doc
正弦定理、余弦定理
基础练习
1．在△ ABC 中：
（ 1）已知A 45 、B 30 、 a 5 3 ，求b；
（ 2）已知B 75 、C 45 、 a 6 ，求 c ．
2．在△ ABC 中（角度精确到1°）：
（1）已知b 15、 c＝7、 B＝ 60°，求 C；
（2）已知a 6、 b＝7、 A＝ 50°，求 B．
3．在△ ABC 中（结果保留两个有效数字）：
（1）已知 a＝ 5、 b＝ 7、C＝ 120°，求 c；
（2）已知b 3 3、 c＝ 7、 A＝30°，求 a．
4．在△ ABC 中（角度精确到1°）：
（ 1）已知a 6 、 b＝7、c 9，求A；
（ 2）已知a 3 3 、b 4、 c 79 ，求C．
5．根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到0.1）：
（1）（2）（3）A 37 ，B 60 ，a 5 ；
A 40 ，
B 45 ，c 7 ；
B 49 ，a 5，b 3 ；
（4）C＝ 20 ，a＝ 5，c＝ 3；
（ 5）a4， b 7， C 80 ；
（6）a 10，b 13，c 14．
6．选择题：
（ 1）在△ ABC 中，下面等式成立的是（）．
A ．abcosC bc cos A B．ab sin C bc sin A
C．a cosC ccos A D．a cos A b cosB
（ 2）三角形三边之比为3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最大角是（）．A．60°B． 120°C． 135° D ．150°
（ 3）在△ ABC 中，b c 2 1，C 45 ， B＝ 30°，则（）．
A ．
b ，
c 2 B．b 2 ，
c 1 1
C．b
2 2 2 2
， c 1
2
D ．b 1 ， c
2 2 2
（ 4）在△ ABC 中B 45 、 c 5 2 、b 5 ，则 a （）．A．5 2 B．5 3 C． 5 D．10 7．填空题：
（ 1）△ ABC 中 AB
1
6 2
1 3
_______；
、 AC
2
、面积 S
，则 A
4
（ 2）在△ ABC 中，若 a cos A b cos B ，则△ ABC 的形状是 _______．
8．在△ ABC 中， sin 2 A sin Asin B
sin 2 C sin 2 B ，求角 C ．
综合练习
1．设方程 x 2 sin A 2x sin B
sin C 0 有重根，且 A 、 B 、C 为△ ABC 的三角，则△
ABC 的三边 a 、 b 、 c 的关系是（
）．
A ． b ＝ ac
B ． a ＝ bc
C ． c ＝ ab
D ． b 2
ac
2．在△ ABC 中 C
90 、A 75 ， CD
AB ，垂足为 D ，则
CD
的值等于（ ）
AB
A ．
1
B ．
1
C ．
1
D ．
3
2 3
4
2
3．等腰三角形的底角正弦和余弦的和为
6
，则它的顶角是（
）．
2
A ． 30°或 150°
B ． 150 或 75°
C ． 30°
D ．15°
4．在△ ABC 中 (sin A sin B
sin C )2 3(sin 2 A sin 2 B sin 2 C ) ，则这个三角形是
（ ）三角形．
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．等边
5．在△ ABC 中 0 tan A tan B 1，则△ ABC 是（ ）．
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法确定其形状
6．在△ ABC 中， A B 是 cos 2 A cos 2 B 的（ ）条件．
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
7．在锐角△ ABC 中，若 C
2B ，则 c
的围为（ ）．
b
A ． ( 2, 3)
B ． ( 3,2)
C ．（ 0， 2）
D ． ( 2,2)
8．已知 A 为三角形的一个角，函数
y (cos A ) x 2 (4 sin ) 6 ，对于任意实数 x
A x 都有 y 0
，则（ ）．
A ． 0
1
1 1
cos A
B ．
cos A
2
2
C．cosA 0 D ． 1 cos A 0
9．已知锐角三角形的边长为2、 3、 x，则 x 的取值围是（）．
A ． 1 x 5
B ． 5 x 13
C．13 x 5 D．1 x 5
10．在△ ABC 中，若面积S ABC a2 (b c) 2，则cos A等于（）．
A ．1
B． 3 C．
12
D．
15 2 2 13 17
11．在△ ABC 中a 7、b 10 、 c 12．在△ ABC 中，若sin A cosB 13．在△ ABC 中，若2 cosB cosC 14．△ ABC 的面积和外接圆半径都是
15 ，则 tan A ________．
cosC ，则 tan B tan C ________．
1cos A ，则△ABC的形状是________．1，则sin A sin B sin C＝________．
sin A sin B
15．在△ ABC 中，sin C
cosB
cos A
，则△ ABC 的形状是 ________．16．如图 5-8，∠ A＝ 60°，∠ A 的点 C 到角的两边的距离分别是 5 和 2，则 AC 的长为________．
图 5-8
17．已知 A 为锐角三角形一个角，且 lg(1 sin A) m ，lg
1 n ，则lg cos A的
1
值为 ________．
sin A
18．在△ ABC 中，若A 60，b 1， S ABC 3 ，则
a b c
的值为sin A sin B sin C
________．
19．在△ ABC 中，已知2sin B cosC sin A ， A 120 ， a 1 ，求B和ABC 的面积．
20．在△ ABC 中，已知(sin A sin B sin C )(sin A sin B sin C ) 3sin A sin B ，求角 C．
21．在△ ABC 中，角 A 最大， C 最小，且A 2C ，若 a c 2b ，求此三角形三边之比．
22．已知三角形的三边长分别为x2 x 1 、 x2 1、2x 1 ，求这个三角形中最大角的度数．
拓展练习
1．三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的 2 倍，则最小角的余弦等于（）．
A ．
3
B ．
7
C ．
2
D ．
9
4
10
3
14
2．在 ABC 中， P 表示半周长， R 表示外接圆半径，下列各式中： ① sin
A ( P
b)( P c)
a b tan
A
B
② A 2 2
bc
a b
B
tan 2
③ c a cos B
bcos A
④
a
b c
sin A sin B
R
sin C
正确的序号为（ ）．
A ．①、④
B ．①、②、④
C ．①、②、③
D ．②、③、④
3．在△ ABC 中，若 a 2 b(b c) ，则有（
）．
A ．A B
B ．A 2B
C ．A 3B
D ．B 2A 4．在△ ABC 中， tan
A
B a b
，则此三角形为（
）．
2 a
b
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
5．在△ ABC 中，若 lg a lg c lg sin B lg 2 ，且 B 为锐角，则△ ABC 的形状是
________．
6．设 A 是△ ABC 中的最小角，且
a 1
cos A
，则 a 的取值围是 _______．
a 1
7．如图 5-9，在平面上有两定点 A 和 B ， AB 3，动点 M 、N 满足
AM MN NB 1 ．记△ AMB 和△ MNB 的面积分别为 S 、T ，问在什么条件下， S 2
T 2
取得最大值？
图 5-9
8．在△ ABC 中，已知 C ＝ 2B ，求证： c 2 b 2
ab ．
9．圆 O 的半径为
R ，其接△
ABC
图 5-10
的三边
a 、
b 、 c
所对的角分别为
A 、
B 、
C ，若
2R(sin 2
A sin 2 C )
sin B( 2a
b) ，求△ ABC
面积的最大值．
10．若
ABC
是半径为
r 的圆的弓形，弦
AB 长为
2r
， C
为劣弧上一点，
CD
AB
于 D ，当
C 点在什么位置时△
ACD
的面积最大，并求此最大面积（如图
5-10）．
参考答案
基础练习
1．（ 1） b
5 6 （ 2） c 2 6 ． 2
2．（ 1） C 24 ， （2） B 63 或117 ． 3．（ 1） C 10 ， （ 2） a 3.6 ． 4．（ 1）． A 42 ， （2） C 150 ． 5．（ 1） C 83 ， b 7.2 ， c 8.2 ； （2） C 95 ， a 4.5 ， b 5.0； （3） A 20 ，C 111 ， c 10.9 ；
（4） A 35 ，B 125°， b 7.2 或 A 145 ， B 15 ， b 2.3；
（ 5） c 7.4， A 32 ，B 68 ；
（ 6）A 43，B 63，C 74 ．
6．（ 1） B ． S
1
ab sin C 1 bcsin A 1
ca sin B ；
2 2 2
120 ．
（ 2）B ．三角形边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对角的
（ 3）A ．由正弦定理， 得
c
sin C sin 45 2 ，将 c
2b 代入 b
c
2 1解
得 b 、 c 的值；
b
sin B sin30
（ 4）C ．由余弦定理， b 2 a 2 c 2 2ac cos B ，即 25
a 2 50 10a ，解关于 a 的
方程 a 2 10a
25 0
，得 a 5 ．
7．（ 1）
π
或
3π
，由面积公式： S
1
bc sin A ，即
1
3 1
6 2 sin A ，
4
4
2
4 2
2
解得 sin A
2
，从而求出 A ；
2
（ 2）等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得
b 2
c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 ，整
a
2bc
b
2ac
理 得 ( a 2 b 2 )(c 2 a 2 b 2 ) 0 ， 则 a 2 b 2 0 或 c 2 a 2
b 2 0 ， 所 以 ， a b 或
c 2
a 2
b 2 ．
8．
2π
．由正弦定理：
a b
c 2
3
sin A sin B sinC R ，可将已知的三个角的正弦关系转
化 为 三 边 关 系 ： a 2
ab c 2 b 2 ， 即 a 2 b 2 c 2
ab ， 再 利 用 余 弦 定 理 ：
cosC
a 2
b 2
c 2 ab 1
，所以， C
2π ．
2ab
2ab
2 3
综合练习
1．D ．
方程有重根，∴
( 2 sin B) 2
4sin A sin C
0 ， 即
sin 2 B sin A sin C ．由正弦定理，得 b 2
ac ．
2 ． C ． 设 AB ＝ a ， 则 AC a cos75 ， BC
a sin 75
．由面积关系式：
1 CD AB
1 AC BC ，得 CD a cos75 sin 75 a 1
sin150
1
a ．
2
2 2
4
3． A ．设等腰三角形顶角为 、底角为
，则 sin
cos 6
，两边平方，解得
2
1
2 sin cos
6
1 sin sin(π
2 ) sin 2
1
，即 sin 2
．∴
．又∵
4
2
2
为顶角，∴
30 或150 ．
4．D ．由正弦定理得 ( a b c) 2 3(a 2 b 2 c 2 ) ，即 2ab 2ac 2bc
2a 2
2b 2
2c 2 ，∴ ( a b) 2
(b c) 2 (c a) 2
0 ．∴ a b c ．
5．C ．∵ A 、B 、C 为三角形的角， 又 0
tan A tan B 1，∴ tan A 0 ，tan B 0 ，
tanC tan(π A
B) tan(A B)
tan A tan B 0 ，∴ C 为钝角．
1 tan A tan B
6． C ． cos 2 A cos 2 B 1 sin 2 A 1 sin 2 B sin 2 A sin 2 B ，
∵ A 、 B 为三角形的角，∴
sin A
0，sin B 0 ．
∴ sin 2
A
sin 2 B
sin A sin B
2R sin A 2R sin B （ R 为 ABC 外接圆半
径）．
由正弦定理， a 2R sin A ，b 2Rsin B ．
∴
sin A sin B a b
a b A B ．
∴ cos 2 A cos 2
B
A B ．
7．A ．
c sin C sin 2B
b
sin B
sin B 2 cosB ，
0 B
π，
2
又
0 C 2B
π
∴ π π 2 cos B
3 2 ，
B
，∴
2
．即
6
4
2
0 A π (B
C)
π，
2
2 2cosB
3.
c (
2，3)．
b
cos A
，
cos A 0 ，
8． B ．由条件知
即
16sin 2
A 24cos A
2 3cos A
， ，
0 2(1 cos A) 0
cos A 0
1
1 .又∵
或
1 ∴ cos A
．又∵ cos A
A 为三角形的一
cos A
cosA
2 2
2 2
个角，∴
cosA
1，∴
1
cosA 1 ．
2
9． B ．设三边 2、3、 x 所对的三个角分别为 A 、 B 、 C ，根据三角形任意两边之和大于第
三边和余弦定理，有：
3 2 x 3
，
1 x ，
， 2
5 1 x
2
2
x
2
3
2
x
2
5
5
即
， ∴
，
∴
cosB
，
x
5
2 2 x
x
．
x
x
13
．
2 2
2 2
2
x ．
x 13 0
cosC
3
2 2 3
5
x 13 ．
10． D ．由三角形面积公式：
S
1 bcsin A ．∴
a 2
b c 2 1 bc sin A ．∴
2
(
)
2
b
2
c
2
a
2
2bc(1
1
sin A) ． ∴
b
2
c 2 a
2
1
1
sin A ． 由 余 弦 定 理 ，
4
2bc
4
cos A b 2
c 2 a 2 1
1
sin A .
sin A 4(1 cos A) ∴ sin 2 A
16(1 cos A) 2 ．
2bc
4
∴
1 cos
2 A 16
32 cos A 16 cos 2 A ， 即 17 cos 2 A 32 cos A 15
0．解得
cos A 15 或 cos A 1． A 为三角形的角， ∴ cos A
1， cos A 15 ．
17 17
4 6
cos A
10 2 152
72 23
11．
．由余弦定理， 2 10 15
．
23
25
sin A
1 cos
2 A
(1
23
)(1 23 )
4 6 .
tan A sin A 4 6 ．
25
25
25
cos A 23
12．1
．
sin A cos B cosC ， ∴ sin( B C ) cos B
cosC ． ∴
sin B cosC
cosB sin C cosB cosC ． ∴ sin B cosC cosB sinC
． 即
cosB cosC
1 tanB tanC
1 ．
13．等腰三角形，
2cos B cosC 1 cos A ，∴ 2 cos B cosC
1 cos[ π
(B C)] ．
∴
2 cos B cosC cos(B C ) 1 ． ∴ cosB cosC sin B sin C 1 ，
即 cos(B C ) 1 ．∴ B C 0 ，即 B ＝ C ．
14． 1
．设
ABC 外接圆半径为 R ，则 R ＝ 1．
2
a b
c
abc
由正弦定理 sin A sin B sin C
2R 2R
8
．
2R 设
ABC 的面积为 S ，则 S ＝ 1．由面积公式
S
1
absin C 1 bc sin A 1
casin B ，
2 2 2
sin A sin B sin C
2S 2S 2S
8
． ∴
abc 8 ． ∴
abc 4 ． ∴
bc ca ab (abc) 2
8
(abc) 2
sin A sin B sin C
abc 1 ．
8
2
sin A sin B ，
15．直角三角形．由正弦定理、余弦定理，
cos A cosB
sin C
b 2
c 2 a 2 a 2
c 2 b 2 a
b
．∴ a(b 2
c 2 a 2 ) b( a 2 c 2 b 2 ) 2ab(a
2bc
2ac c
b) ．
整 理 ， 得 (a b)(a 2
b 2
c 2 ) 0 ． ∵
a>0 ， b>0 ， ∴a 2 b 2 c 2 0 ． ∵
c 2 a 2 b 2 ．
16． 2 13 ，由于 A 、 E 、C 、F 四点共圆， ECF 120 ，连结 EF ，在 CEF 中，
由余弦定理： EF 2
52 22 2 5 2 cos120
39， EF
39 ．又由正弦定理可
得 AECF 的外接圆直径 EF 39 AC
2 13．
sin 120
3
2
图答 5-7
17．
1
( m n). lg(1 sin A) m ，lg
1 1
n ，两式相减，
2
sin A
lg(1 sin A)(1 sin A) m n ．
lg(1 sin 2
A) m n ，即 lg cos 2 A m n ．
2 lg cos A m n ．
lg cosA
1
(m n) ．
2
18．
2 39
．由三角形面积公式， S
1
bc sin A ，
3
1 1 c sin 60 ，
3
2
2
c
4 ． 由 余 弦 定 理 ， a 2
b 2
c 2 2bc cos A 12 42 2 1 4
1 13 ，
2
a
13 ．由正弦定理， a b
c
13 2 39
．由等比定理可得：
sin A sin B sin C
sin 60
3
a b c 2 39． sin A sin B sin C 3
19． B
30 ，S ABC
13 ．
2 sin B cosC sin A ，由正弦定理、余弦定理，
12
2b a 2
b 2
c 2 a ， a 2 b 2
c 2 a 2 ， ∴
b c
，
A
120 ， ∴
2ab
B C
30 ．由正弦定理，
a b ．
b
1 sin 30 1 .
sin A sin B
sin 120
3
S
ABC
1 ab sin C 1 1 1 s in 30 3 ．
2 2
3 12 20．
60．设R ABC 外接圆半径，由正弦定理：
a b c )( a b c 3ab
( 2R 2R 2R ) ，
2R 2R 2R 2R 2R
化简得： (a b c)( a b c)
3ab, (a b) 2 c 2
3ab ，∴ a 2 b 2 c
2
ab ．
再由余弦定理，得： cosC
a 2
b 2
c 2
ab
1 C 60 ．
2ab
2ab
．∴
2
21． a : b : c
6:5:4 ． A 2C ，由正弦定理：
c a a a
，∴ cosC a
sin C sin A sin 2C
．
2 sin C cosC
2c
a c 2
b ，∴ b a
c ．由余弦定理：
2
cosC
a 2
b 2
c 2
a 2 ( a 2 c )2
C 2
5a 3c ．
2ab
a(a
c)
4a
a 5a 3c ． 4a 2 10ac 6c 2 0 ， (2a 3c)( a c) 0 ．
2c 4a 3 c ． b
a c 5 c ． a :
b :
c 3 c : 5 c : c 6 : 5: 4 ． a c ，
a 2 2 4 2 4
x 2
x 1 ，
0 22． 120 ．
x 2 x 1 2 1 2 x 1为三角形的三边， x 2
1 ，
x
2x 1 0 ．
解得， x
1 ．
( x 2 x 1) ( x 2
1) x 2 0，
( x 2 x 1) ( 2x 1) x 2
x x( x 1) 0，
x 2
x 1 是最大的边长．令其所对的角为
，由余弦定理：
cos
( x 2 1) 2 (2x 1) 2 (x 2
x 1) 2
2x 3 x 2 2x 1
1 ．
2( x
2
1)( 2x 1)
2(2x
3
x
2
2x 1)
2
∴
120 ，即这个三角形中最大角的度数为
120 ．
拓展练习
． A ．设三角形三边为 n
1 、 n 、 n 1(n N ) ，它们所对的角分别为
C 、、，则
1
B A
C 2 A ．则正弦定理，
n 1
n 1
n 1
n 1
，
cos A
n 1
sin A
sin C
sin 2A
2(n
．由
2sin A cos A
1)
余弦定理， cos A
( n 1) 2
n 2
(n 1)
2
n 2
4n ．
n 1
n 2
4n
．去分母
2n(n 1)
2n(n 1)
2(n 1) 2n(n
1)
得： n 3 2n 2 n n 3 4n 2 n 2 4n ．∴ n
2
5n ，∴ n
N ，∴
n 5 ．
cos A
52 4
5
45 3
．即最小角的余弦值为
3
．
＝
60
4 4
25(51)
（法二） 如图， ABC 中， C 2A ，设 A
，A 、B 、C 三角所对的三边分别为 n
1 、
n n 1( n N )
．在 AB 上取一点 D ，使
ACD
BCD
．∴ CDB
BCA
2
．
、
∴
CAB ∽ DCB ．设 CD 为 x ，则 DA 为 x ，∴ x n 1 x n 1
．∴ x n(n 1) ．
n n 1 n 1 n 1 n
1 n(n
1)
n 1 即 (n 1) 2
n 2
n n 1 ．∴
∴
n n 1
n 3 3n 1 n 2 2n 1．∵
1
n
1
n 1 (n 1)
n 1
n N ， ∴ n 5 ． ∴
ABC 的三边长为
4 、 5
、6．由余弦定理， cos A 52 62 42
25
36 16
3 ．∴ 最小角的余弦值为 3 ．
2 5 6 60
4 4
图答 5-8
2． C ．①正确．∵
P
1
(a b c) ，由半角公式、余弦定理：
2
b 2
c 2 a 2
A
1 cosA
1
2bc
2bc b 2 c 2 a 2
a 2
(b c) 2 sin
2
2
4bc
4bc
2
(a b
c)( a b c)
(2P 2c)(2P
2b)
(P c)( P
b)
4bc
4bc
bc
．
②正确．由积化和差公式、正弦定理：
A B
A B cos A B
1
(sin A sin B)
tan
sin
a b ．
A 2 A 2 A 2 2
B B sin B 1 (sin A sin B) a b tan 2
cos 2 2
2
③正确．如图：作 AB
边上的高 CD ，则 AD b cos A, BD a cos B ． ∴
c b cos A a cosB ．或 A 、 B 中有一为钝角，同理可证得．
（法二）由余弦定理，
b cos A a cosB ＝ b b
2
c 2 a 2
a a 2 c 2
b 2
2bc
2ac
b 2
c 2
a 2 a 2 c 2
b 2
2c 2
c ．
2c
2c
④错误．由正弦定理：
a
b
c
R R ．
sin A sin B sin C 2
3． B ．由正弦定理，得： sin 2 A
sin 2 B sin B sin C ．
∴ (sin A sin B)(sin A sin B) sin B sin C ．
∴ A B A B
2 cos A B
sin A B sin B sinC ．
2 sin
cos
2
2
2
2
∴ sin( A B) sin( A B) sin BinC ．
∴ sin( A B)
sin B ．即 sin( A B) sin B 0 ．∴ 2 cos A sin
A 2B
0 ．
cos
A
sin
A 2B
2
2
0 ，∴ 0 ，
2
2
∴
A 2
B ．
4． D ．由正弦定理，
a b sin A sin B ．
a b sin A sin B
A B sin
A
B
sin A sin B
2 cos
A
B sin A
B ∴
tan
2
2 2 ．
2
cos A B
sin A sin B
A
B
A B
2
2sin
2
cos
2
∴
sin A B
A B
A B A B
2
sin
2
cos
sin
．
2
2
∴
sin
A
B 0 或 sin A B cos
A
B ．
2 2 2
当 sin
A B 0时， A ＝ B ；
2
当 tan
A
B 1 时， A
B π， 2 π 2
4
∴ A B
．
2 π
∴ A B 或 A B
．
2
5 ．等腰直角 三 角形．∵
lg a lg c lg sin B lg 2 ， ∴
lg
a
lg sin B lg
2
．∴ sin B
2 ，又 B 为锐角，∴ B 45 ．又
a 2
，由
c
2
2
c
2
正弦定理，有
sin A
2
．∵
A C 180 B
135 ，
sin C
2
∴ A 135
C ．∴ 2 sin C 2sin(135 C ) ．
∴
sin C
2(sin 135 cosC cos135 sin C ) ， 即 sin C sin C cosC ． ∴
cosC 0．∴ C
90 ，∴ A B
45 ．∴
ABC 是等腰直角三角形．
6．[ 3,
) ．∵ A 是 ABC 中的最小角， ∴ 0 A 60 ．∴ 1
cosA 1．即
2
a 1
2
，
，
，
a
1
1
a 1 a 1
a 1 a
1
1 ． 1
a 3
a 1 1
2a 2 a 1
2
a 1
a
或
3
a 1 a
a 1
2
2(a 1
1)
a 3 ．
7．当
BAM 为等腰三角形时， S 2 T 2 取得最大值．由余弦定理，
图答 5-10
MB 2 AM 2 AB 2 2AM
AB cos A 4 2 3 cos A ， MB 2 MN 2
NB 2 2MN
NB cos N 2
2cos N ． ∴ 4 2 3 cos A 2 2 cos N ．∴
cos N
3 cos A 1 ．
S 2 T 2
(
1
1
3 sin A)2 (
1
1 1 sin N )2
2
2
3 sin 2 A 1 sin 2 N
4 4
3
sin 2
A 1
1 ( 3 cos A 1)
2 4 4
3
sin 2
A 3
cos 2
A 3
cos A
4 4 2
3 3
cos 2
A
3
cos A
4
2
2
3 3 cos 2
A 3
cos A (
1
3 ) 2
3
( 1 ) 2
4 2
3
2
2
2 3
7
3
(cos A 1 3 ) 2 ．
8 2 2
∵
MB MN NB
1 1
2
， ∴
A
π
0 cosA 1 ∴
当
． ∴
2
cos A
2 1
3 时， S 2 T 2
取得最大值．此时MB 2
4 2 3
1 3 ， 即
2 3
MB
3
AB ，∴ 当 BAM 为等腰三角形时， S
2
T 2 取得最大值．
．
C
2B ，∴
C B
B ．又∵
A B C
，∴
sin( B C )
sin A ．
8
π
设
ABC 的外接圆半径为 R ，由正弦定理：
c 2 b 2
(2R sin C )2 (2Rsin B) 2
4R 2 (sin 2 C sin 2 B)
4R 2
( 1 cos2C 1 cos2B )
2 2
2 R 2 (cos 2 B cos2 )
4 R 2
sin(
B C ) sin( B C )
C
4R 2 sin( B C ) sin(C B)
4R 2 sin Asin B ( 2R sin A) ( 2Rsin B)
ab ．
∴
c 2 b 2 ab ．
9 ．
1
2
R 2．∵
2
R (sin 2 A sin 2 C ) sin B( 2 a b) ，由正弦定理：
2
2R(
a 2
2
c 2
2 )
b (
2a b) ．∴ a 2 c 2
2ab
b 2 ．∴ a 2 b 2
c 2
2ab ．
4R
4R
2R
由余弦定理， cosC
a 2
b 2
c 2
2ab
2
0< C< ，∴
π
2ab
2ab
．又∵
C
．
2
4
∴
S
ABC
1
ab sin C
2
＝
1
2Rsin A 2Rsin B sin π
2
4
2R 2 sin A sin B
＝
2R 2 (
1
) cos(A B) cos(A B)
2
＝ 2 2 cos(
A ) cos(π
C
)
2 R B
2 R2 cos( A B) 2 2 2
π C π
π
3π 1 2 2
∴当 cos( A B) 1 ，即A 4
B 时， S ABC最大值R ．
10．1
r2．设
2 2 8 2
CAB (0 45 )，连结BC．
8
5-11
∵OA OB r ，AB 2r ，
∴AOB 90 ．∴ACB 180 90
135 ．2
CBA 180 135 45 ABC接于圆O，由正弦定理，∴．∵
AC 2r sin(45 ) ．
在 Rt ACD 中，AD AC cos 2r sin( 45 ) cos ．
∴S
ACD
1
AC AD sin
2
2 2 sin 2 (45 ) cos sin
r
r 2 1 cos(90 2
)
sin 2
2
r 2 (1 sin 2 ) sin 2
2
r 2 ( sin 2 2 sin 2 1 1 )
2 4 4
r 2 (sin 2 1 )2 r 2
2 2 8
∴ 当 sin 2
1 时， S
ACD 最大值 1
r 2 ． 1 2 8
，又 0 45 ，∴
2 30，∴ 15 ．
由
sin 2
2
∴ 当 CAB 15 时， ACD 面积最大，最大面积为
1
r 2 ．
8
余弦定理知识点+经典题(有答案)
余弦定理 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边： 余弦定理 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( )A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．4 6 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3ac ， 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4
7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2 8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________． 11．在△ABC中，a＝32，cos C＝1 3 ，S△ABC＝43，则b＝________. 12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________． 13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c2 4 ，则角C＝________. 14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案教学内容
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3， cos C ＝－ 41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝ 150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，已知3 2sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝ 45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________.
8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形. 9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B ＝60°，则c＝________. 10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13. (1)求角B的大小； (2)若D是BC的中点，求中线AD的长. 13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 一、选择题 1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3＋1 答案：B 解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°. 由余弦定理可得b ＝2 3. 2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝ 22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 答案：B 解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B b B ．a C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案：A 解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3 22a ＝64>1 2. ∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b . 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5 18 B. 3 4 C. 3 2 D. 7 8 答案：D 解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7 8. 方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1 4， ∴cos α＝1－2sin 2α 2 ＝1－2×116＝7 8. 6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2或 3 D. 32或3 4 答案：D 解析：∵sin C 3＝sin B 1， ∴sin C ＝3·sin30°＝3 2. 正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) 《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C = ， ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在60,1ABC b B c ?=== 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a . 2021届高三高考数学文科一轮复习知识点 专题4.6 正弦定理和余弦定理【考情分析】 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【重点知识梳理】 知识点一正弦定理和余弦定理 1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2 ＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C 常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝ b2＋c2－a2 2bc； cos B＝ c2＋a2－b2 2ac； cos C＝ a2＋b2－c2 2ab 2.S△ABC＝1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ac sin B＝ abc 4R＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R， r. 3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形 关系式a＝b sin A b sin A 《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6 学科数学版本人教版大开本、3+x 期数2339 年级高一编稿老师梁文莉审稿教师 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： §5.9正弦定理、余弦定理 目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从特殊到一般、类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点： 重点： 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点： （1）正弦定理、余弦定理的推导过程； （2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 ［学法指导］ 学习本节知识时可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以加深对定理的理解和记忆，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况，因此解此类三角形时，要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量。当有一个角为90°时，即为勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R 为ΔABC外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π。 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零，便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。 【例题分析】 高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题（1） 班级 姓名 1．在ABC ?中，?=∠?=∠=15,30,3B A a ，则=c ( ) A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 3 2．在ABC ?中，若 B b sin 2=，则∠A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 3．在ABC ?中，?=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 4．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则 B A A 2cos cos sin +＝( ) A ．－12 B.1 2 C ．－1 D ．1 5.在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1206.在ABC ?中，已知 45,1,2=== B c b ，则a 等于 （ ） A. 226- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 8．在ABC ?中，?===30,3,1A b a ，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．无解 9.在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是（ ） A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ?中， 60=A ,3=a ，则 =++++C B A c b a sin sin sin （ ） A. 338 B.3392 C.3 3 26 D. 32 11．在ABC ?中，已知3,45,60=?=∠?=∠C ABC BAC ，则AC ＝________； 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点16 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则 2sin cos cos A A B +=（ ） (A)- 12 (B)1 2 (C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D. 由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B = 所以222 sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=． 二、填空题 2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ? 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列， 则ABC ?的面积为_______________. 【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ?的面积. 【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么 所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 6102 1 =???= ? ABC S 【答案】153 3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形， ?∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ， ABD ?然后在中，由正弦定理解得AD. 【精讲精析】在ABC ?中，由余弦定理易得 正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+= 课时作业3应用举例 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里 【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°， 则∠C＝45°， 由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为() A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根 据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35， 设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可． 温馨提示： 此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看比例, 关闭Word文档返回原板块。 考点17 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1 4,则b b = () A.6 B.5 C.4 D.3 【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用. 【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1 4=cos A=b2+b2-b2 2bb ,所以b2-4b2 2bb =-1 4 ,所以3b 2b =1 4 ,所以 b b =3 2 ×4=6,故选A. 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π 3 ,则△ABC的面积为. 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B=b2+b2-b2 2bb , 又因为b=6,a=2c,B=π 3 ,可得c2=12, 1 解得c=2√3,a=4√3, 则△ABC的面积S=1 2×4√3×2√3×√3 2 =6√3. 答案:6√3 3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用. 【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B, 又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2 2,cos B=-√2 2 ,故B=3π 4 . 答案:3π 4 4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD= . 【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb sin∠bbb =bb sin∠bbb , 而AB=4,∠ADB=3π 4 ,AC=√bb2+bb2=5, sin∠BAC=bb bb =3 5 ,cos∠BAC=bb bb =4 5 ,所以BD=12√2 5 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC) =cosπ 4cos∠BAC+sinπ 4 sin∠BAC=7√2 10 . 2 正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D． 1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ） 正弦定理、余弦定理 一、选择题 1．在△ABC 中，已知,30,10,25?===A c a 则B= （ ） （A ）105° （B ）60° （C ）15° （D ）105°或15° 2．在△ABC 中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB 的值是 （ ） （A ） 7 21 （B ） 19 57 （C ） 383 （D ）19 57- 3．在△ABC 中，有a=2b ，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是 （ ） （A ）直角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）以上都有可能 4．△ABC 中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是 （ ） （A ）一解 （B ）二解 （C ）无解 （D ）无法确定 5．在△ABC 中，中，若2 cos sin sin 2 A C B =，则△ABC 是 （ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 6．在△ABC 中，已知13 5 cos ,53sin == B A ，则 C cos 等于 （ ） （A ） 6556 （B ） 65 16 （C ） 6516或65 56 （D ） 65 33 7．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是 （ ） （A ）2 （B ）1 （C ） 2 2 （D ）12- 8．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(2 2 2 2 2 2 c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图 象是 （ ） （A ）在x 轴的上方 （B ）在x 轴的下方 （C ）与x 轴相切 （D ）与x 轴交于两点 二、填空题 9．在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ． 10．三角形中有∠A=60°，b ∶c=8∶5，这个三角形内切圆的面积为12π，则这个三角形 面积为 ． 11．平行四边形ABCD 中，∠B=120°，AB=6，BC=4，则两条对角线的长分别是 ． 12．在60°角内有一点P ，到两边的距离分别为1cm 和2cm ，则P 到角顶点的距离为 ． 三、解答题 13．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A ＜B ＜C ，B=60°，且满足 ).13(2 1 )2cos 1)(2cos 1(-= ++C A 求：（1）A 、B 、C 的大小； （2）c b a 2+的值． 正 余 弦 定 理 1．在 ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 3 23 π 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??= ，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=， 所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin 60 A =得1 sin 2 A = ，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π +-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A. 【规范解答】由sin cos B B += 12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0 正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-b 1.1．2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形； 能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。 难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股02220定理的知识，即当∠C=90时，有c=a+b。作为一般的情况，当∠C≠90时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理，最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。(完整版)正弦定理练习题经典
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