湖南师大附中2019～2020学年度第一学期高二年级期末考试数学试题卷及答案

湖南师大附中2019～2020学年度第一学期高二年级期末考试

数学试题卷

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)

(一)单选题

1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

2.如图，在三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，

设=OA a ，=OB b ，=OC c ，用,,a b c 表示NM ，则NM 等于

A .1()2-++a b c

B .1()2+-a b c

C .1()2-+a b c

D .1()2

--+a b c 3.设,∈a b R ，则4a b +>成立的一个充分不必要条件是

A .4a b +≥

B .4a ≥

C .2a ≥且2b ≥

D .4b <- 4.设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ?的形状为 A .锐角三角形 B .直角三角形

C .钝角三角形

D .不确定 5.在10(1)x -的展开式中，x 项的系数为

A .45-

B .90-

C .45

D .90

6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020S =

A .8080-

B .4040-

C .8080

D .4040

7.袋中装有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则()P B A =

A .14

B .12

C .13

D .34

8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是

A .4

B .12

C .16

D .24

(二)多选项择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.甲、乙两类水果的质量(单位：kg )分别服从正态分布211(,)N μσ，222(,)N μσ，

其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是

A .甲类水果的平均质量10.4kg μ=

B .甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近

C .甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D .乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近

10.设椭圆2

2:143

y x C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法正确的是 A .当点P 不在x 轴上时，

12PF F ?的周长是6 B .当点P 不在x 轴上时，

12PF F ?面积的最大值为3 C .存在点P ，使12PF PF ⊥

D .1PF 的取值范围是[1,3]

11.下列命题中为真命题的是

A .(0,)x ?∈+∞，ln(3)sin x x +>

B .0?∈x R ，2002x x +=-

C .0?∈x R ，22001sin cos 333x x +=

D .1(0,)3x ?∈，131()log 2

直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是

A .直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =

B .直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln

C y x =

C .直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =

D .直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x =

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线方程是________.

14.已知随机变量ξ的分布列如右表，若()2E ξ=，则p =________.

15.设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b

-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为33的直线上，若12PF F ?为等腰三角形，且12120FF P ∠=，则双曲线C 的离心率为________. 16.已知ABC ?是边长为23的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ?折成一个大小为60的二面角

B AD

C --，

设O 为四面体ABCD 的外接球球心。则 (1)球心O 到平面BCD 的距离为________；

(2)球O 的体积为________.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ?的面积为S ，

若2224S c a b =--. (Ⅰ)求角C 的大小；

(Ⅱ)若2b a =，ABC ?的面积为

2sin sin A B ，求sin A 及c 的值.

18.(本小题满分12分)

已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n ≥时，

14n n a a n -+=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)若数列{}n b 满足1*1222()-++

+=∈n n n b b b na n N ，

求数列{}n b 的前n 项和n S .

如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与DF ，EF 相交于M ，N .

(Ⅰ)求证：//MN 平面CDE ；

(Ⅱ)求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE .

20.(本小题满分12分)

在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功。游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分。 (Ⅰ)求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；

(Ⅱ)设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

21.(本小题满分12分)

如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--.

(Ⅰ)求直线l 和抛物线的方程；

(Ⅱ)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ?面积的最大值。

已知函数21()x

x ax f x e ++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数。 (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值。