幂函数的概念
幂函数的概念
幂函数一直是数学家们认为最有价值的函数之一。它可以被用来解决几何问题、求解等式以及更复杂的问题。学习幂函数的概念有助于人们更好地理解数学，并有助于求解难题。
幂函数是一个特定的函数，其定义是：当一个变量x的值被幂指数次幂，而这个次幂是另一个变量y，则称x的次幂为y的x次幂函数，即：y=x^n，其中n为一个常数。
幂函数可以用来解决几何问题。例如，求解三角形的周长：首先要计算三条边的长度，然后把它们带入到幂函数中，以计算出三角形的周长。这可以通过解三等式来完成，而不是简单地把边加起来。
幂函数也可以用来求解等式。例如，用幂函数来解一元二次方程，当用x表示一元二次方程中的未知量时，可以把公式写成
y=ax^2+bx+c的形式，再根据a、b、c的数值来算出x的值。
幂函数主要用来解决一些有关数学模型的更复杂的问题。例如，幂函数可以用来解决有关经济发展的问题，即有关实际经济增长情况和预测经济增长情况有关的问题。可以根据公式来模拟实际经济增长情况，然后根据实际情况来调整方程系数以更准确地预测未来的情况。
幂函数还可以用来解决复杂的统计和结构分析问题，如复杂的分类模型分析。例如，使用幂函数来确定一个复杂的分类模型的结果，它的形状可以是高斯分布，也可以是二次变换。根据这个模型，就可以得出结论和预测。
学习幂函数的概念有助于人们更好地理解数学，从而有助于求解
难题。它可以用来解决几何问题、求解等式和模拟复杂的统计和结构分析问题等。它也可以用来解决一些有关经济发展方面的问题，如有关预测未来经济发展情况的问题。
虽然学习幂函数有很多益处，但也有一些潜在的风险。如果使用的不当，它可能会导致得出的结论不准确。因此，在使用幂函数时，要仔细分析它的假设，确保它的准确性。
总之，学习幂函数的概念有助于人们更好地理解数学，从而有助于求解难题。它可以帮助解决复杂的几何问题、求解等式以及模拟复杂的统计和结构分析问题。幂函数的使用也可以有助于预测未来的经济发展情况。但在使用幂函数时，也要谨记其相关的假设和规则，以保证得出的结论的可靠性。
高中数学：幂函数的概念、图象和性质
高中数学：幂函数的概念、图象和性质 1、幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使有意义的值的集合。 例1、已知幂函数，且当时为减函数。求幂函数的解析式。 分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。 解答：由于为幂函数， 所以，解得，或。 当时，，在上为减函数； 当时，，在上为常函数，不合题意，舍去。 故所求幂函数的解析式为。 2、幂函数的图象和性质 图象： 定
义域值域奇 偶性奇偶奇 非奇非 偶 奇 单 调性上增 上减， 上增 上增上增 ， 上分别减 定 点 ， （1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； （2）如果，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数； （3）如果，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。在第一象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴； （4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。 例2、比较，，的大小。 分析：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。 解答： 而在上单调递增，且， 。故。
例3、若函数在区间上是递减函数，求实数m的取值范围。 分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。 函数是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在和 上都是递减函数。一般地，形如的函数都可以通过对 的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。 解答：由于，所以函数的图象是由幂 函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。 其单调递减区间是和，而函数在区间上是递减函数，所以应有。 例4、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象 上，定义，试求函数的最大值及其单调区间。分析：首先根据幂函数的定义求出，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。
幂函数
幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数______叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像与性质 由幂函数y ＝x 、y ＝12 x 、y ＝x 2、y ＝x － 1、y ＝x 3的图像，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在________上都有定义； (2)幂函数的图像都过点__________； (3)当α>0时，幂函数的图像都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________； (4)当α<0时，幂函数的图像都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________． 3．五种幂函数的比较 (1)幂函数的图像比较 (2)幂函数的性质比较 [难点正本 疑点清源] 1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴． 2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． 1．(课本改编题)当α∈? ??? ?? －1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图像不可能经过第________象限． 2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点????12，2 2，则k ＋α＝________. 3．(课本改编题)下列函数是幂函数的序号是________． ①y ＝2x ②y ＝2x － 1 ③y ＝(x ＋2)2④y ＝3x 2 ⑤y ＝1x 4．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点? ???2，2 2，则f (4)的值等于 ( ) A ．16 B.116 C ．2 D.1 2
幂函数的概念
幂函数的概念 幂函数一直是数学家们认为最有价值的函数之一。它可以被用来解决几何问题、求解等式以及更复杂的问题。学习幂函数的概念有助于人们更好地理解数学，并有助于求解难题。 幂函数是一个特定的函数，其定义是：当一个变量x的值被幂指数次幂，而这个次幂是另一个变量y，则称x的次幂为y的x次幂函数，即：y=x^n，其中n为一个常数。 幂函数可以用来解决几何问题。例如，求解三角形的周长：首先要计算三条边的长度，然后把它们带入到幂函数中，以计算出三角形的周长。这可以通过解三等式来完成，而不是简单地把边加起来。 幂函数也可以用来求解等式。例如，用幂函数来解一元二次方程，当用x表示一元二次方程中的未知量时，可以把公式写成 y=ax^2+bx+c的形式，再根据a、b、c的数值来算出x的值。 幂函数主要用来解决一些有关数学模型的更复杂的问题。例如，幂函数可以用来解决有关经济发展的问题，即有关实际经济增长情况和预测经济增长情况有关的问题。可以根据公式来模拟实际经济增长情况，然后根据实际情况来调整方程系数以更准确地预测未来的情况。 幂函数还可以用来解决复杂的统计和结构分析问题，如复杂的分类模型分析。例如，使用幂函数来确定一个复杂的分类模型的结果，它的形状可以是高斯分布，也可以是二次变换。根据这个模型，就可以得出结论和预测。 学习幂函数的概念有助于人们更好地理解数学，从而有助于求解
难题。它可以用来解决几何问题、求解等式和模拟复杂的统计和结构分析问题等。它也可以用来解决一些有关经济发展方面的问题，如有关预测未来经济发展情况的问题。 虽然学习幂函数有很多益处，但也有一些潜在的风险。如果使用的不当，它可能会导致得出的结论不准确。因此，在使用幂函数时，要仔细分析它的假设，确保它的准确性。 总之，学习幂函数的概念有助于人们更好地理解数学，从而有助于求解难题。它可以帮助解决复杂的几何问题、求解等式以及模拟复杂的统计和结构分析问题。幂函数的使用也可以有助于预测未来的经济发展情况。但在使用幂函数时，也要谨记其相关的假设和规则，以保证得出的结论的可靠性。
幂函数知识点总结
幂函数知识点总结 幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域中都有 着广泛的应用。从初中开始，我们就接触到了简单的幂函数，随着学 习的深入，我们逐渐掌握了更多关于幂函数的知识。在本文中，我们 将对幂函数的相关概念、性质和应用进行总结和探讨。 1. 幂函数的定义和表示方式 幂函数是指以一个常数为底数，自变量为指数的函数。一般表示为：f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量，f(x)为函数值。 2. 幂函数的基本性质 2.1 幂函数的奇偶性与增减性： 当底数a为正数且不等于1时，幂函数f(x) = a^x在定义域内是奇函数；当底数a为负数时，幂函数f(x) = a^x是偶函数。 当底数a大于1时，幂函数是增函数，当底数a在(0,1)之间时，幂 函数是减函数。 2.2 幂函数的单调性： 当底数大于1时，幂函数是递增的；当底数小于1时，幂函数是递 减的。 2.3 幂函数的相关性质：
a^0=1，a^1=a，a^m * a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(m*n)， (a^m)/(a^n)=a^(m-n)，(a/b)^n=a^n/b^n。 3. 幂函数图像和特征 幂函数的图像具有一些独特的特征，这在解析题或者问题求解时具有重要意义。 3.1 幂函数的渐近线： 当底数大于1时，幂函数的图像在y轴上有一个水平渐近线；当底数小于1时，幂函数的图像在x轴上有一个水平渐近线。 3.2 幂函数的特殊点： 当底数大于1时，幂函数的图像经过点(0,1)；当底数小于1时，幂函数的图像经过点(0,1)和点(1,a)。 3.3 幂函数的拐点： 当幂函数的底数a大于1时，图像经过点(1,a)并且有一个拐点；当底数a小于1时，图像经过点(1,a)但没有拐点。 4. 幂函数的应用 幂函数在实际问题的解决中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景： 4.1 音乐和声音强度的计算：
高中数学幂函数知识点
高中数学幂函数知识点 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!
七年级幂函数知识点
七年级幂函数知识点 幂函数是一种常见的函数类型，以 x 的某个次幂作为自变量，常数作为系数，形如 y=a*x^n。在初中七年级的数学学习中，幂函数也是一个重要的知识点，本文将从以下三个方面介绍幂函数的相关知识点。 一、幂函数的表示方法 幂函数是一类比较基础的函数类型，其表达式一般可以用 y=a*x^n 的形式表示，其中 a 和 n 分别是常数，x 是自变量，y 是因变量。当 n=1 时，函数 y=a*x 的图象为一条直线，称为一次函数。当 n=-1 时，函数 y=a/x 的图象为一个双曲线，称为反比例函数。当 n=2 时，函数 y=a*x^2 的图象为一个开口朝上的抛物线，称为二次函数。当 n=3 时，函数 y=a*x^3 的图象为一个类似于开口朝上的标志的图形，称为三次函数。以此类推，可以得到幂函数的不同表达形式。 二、幂函数的性质 幂函数具有一些独特的性质，其中包括：
1. 当 n 是奇数时，函数图象以原点为对称中心，当 n 是偶数时，函数图象关于 y 轴对称。 2. 当 n>0 时，函数图象过第一象限，当 n<0 时，函数图象过第 二象限。 3. 当 a>0 时，函数图象上升，当 a<0 时，函数图象下降。 4. 当 |a|<1 时，函数图象横轴方向收缩，当 |a|>1 时，函数图象 横轴方向拉长。 5. 函数图象的斜率大小与 n 相关，当 n>1 时，函数图象在 x>0 的区间上单调递增，当0
1. 幂函数常用于表达某些现象或规律，如人口增长、社会经济 发展等。 2. 幂函数常用于数学建模和解决实际问题，如路程、速度、时 间等。 3. 幂函数在物理学中也有应用，如物体的自由落体、天体的运动、物体的振动等。 4. 幂函数在化学中也具有重要的应用价值，如化学平衡等。 总之，七年级的幂函数知识点不仅仅是一个基础而重要的数学 概念，还具有广泛的应用场景。通过对幂函数的深入理解和应用，能够帮助我们更好地理解和解决与之相关的问题，提高我们的数 学素养和创新能力。
幂函数知识点大一
幂函数知识点大一 幂函数知识点 幂函数是数学中的一种基本函数，其形式为$f(x) = a^x$，其中a为常数且a ≠ 0。 在大一的数学学习中，我们需要了解幂函数的一些重要概念和性质，下面将逐一介绍。 一、幂函数的定义域和值域 1. 定义域： 幂函数的定义域为实数集R，即幂函数在整个实数轴上都有定义。 2. 值域： 当指数为实数时，若a > 1，则幂函数的值域为(0, +∞)，即正实数集； 若0 < a < 1，则幂函数的值域为(0, 1)，即开区间(0, 1)； 若a = 1，则幂函数的值域为{1}，即只有一个取值。
二、幂函数的图像特点 1. 当a > 1时，幂函数为增函数： - 当指数x趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于0； - 当指数x趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大。 2. 当0 < a < 1时，幂函数为减函数： - 当指数x趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大； - 当指数x趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于0。 3. 当a = 1时，幂函数为常函数： - 不论指数x的取值如何变化，幂函数的值始终为1。 三、幂函数的性质 1. 偶次幂函数和奇次幂函数： - 当幂函数的指数为偶数时，其图像关于y轴对称； - 当幂函数的指数为奇数时，其图像关于原点对称。
2. 幂函数的性质： - 幂函数f(x) = a^x与指数函数g(x) = b^x（a, b > 0）具有相同的图像性质； - 幂函数中，底数a为实数且a ≠ 0，指数x为实数。 四、求解幂函数相关问题 1. 求幂函数的零点： 当幂函数$f(x) = a^x$等于零时，即$a^x = 0$，此时幂函数没有实数解。 2. 求幂函数的解析式： 当已知幂函数通过两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$时，可以根据这两个点的坐标来求解幂函数的解析式。 五、典型例题 例题1：已知幂函数$y = 3^x$，求函数在x = 2处的函数值。 解：将x = 2代入幂函数的解析式中，得到$y = 3^2 = 9$，所以函数在x = 2处的函数值为9。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数 在数学中，幂函数和指数函数是两种重要的数学函数，它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和深远的影响。本文将对幂函数和指数函数进行介绍和比较，分析它们的特点和应用。 一、幂函数的概念和特点 幂函数是指函数的自变量为底数，函数式中只有一个幂的函数。幂函数的一般形式可以表示为：y = x^a，其中x为自变量，a为幂指数。幂函数中，底数为正数且不等于1，指数a可以是任意实数。 幂函数具有以下特点： 1. 幂函数的定义域为所有实数，即对于任意实数x，幂函数都有定义。 2. 当指数a为正数时，幂函数是严格递增的；当指数a为负数时，幂函数是严格递减的。指数a决定了幂函数的增减规律。 3. 幂函数图像可分为两种情况：当指数a为正数时，幂函数图像从左下方无穷趋向于渐近线y=0；当指数a为负数时，幂函数图像从右上方无穷趋向于渐近线y=0。 二、指数函数的概念和特点 指数函数是指自变量作为指数的函数。指数函数的一般形式可以表示为：y = a^x，其中a为底数，x为自变量。 指数函数具有以下特点：
1. 指数函数的定义域为所有实数，即对于任意实数x，指数函数都 有定义。 2. 当底数a大于1时，指数函数是严格递增的；当底数a介于0和 1之间时，指数函数是严格递减的。底数a决定了指数函数的增减规律。 3. 指数函数图像可分为两种情况：当底数a大于1时，指数函数图 像从左上方无穷趋向于渐近线y=0；当底数a介于0和1之间时，指数 函数图像从右上方无穷趋向于渐近线y=0。 三、幂函数与指数函数的关系与应用 幂函数和指数函数之间存在着密切的关系，它们互为反函数。即对 于一个幂函数y = x^a来说，对应的指数函数是y = a^(1/x)。 幂函数和指数函数在数学和实际应用中都有广泛的应用，例如： 1. 在金融领域，复利计算中的利息增长可以用指数函数来描述，而 本金的变化可以用幂函数来描述。 2. 在物理学中，许多自然现象的增长和衰减过程可以用指数函数来 描述，例如原子衰变、生物种群的增长等。而一些物理量的关系可以 用幂函数来描述，例如功率与电流的关系等。 3. 在工程领域，比如电路中的电压和电流的关系可以用幂函数来描述，而电阻的功率与电流的关系可以用指数函数来描述。 总结：
高一数学知识点之幂函数的定义与性质
高一数学知识点之幂函数的定义与性质 高一数学知识点之幂函数的定义与性质 定义： 形如=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量， 指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必 须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的`定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函 数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数 的值域的不同情况如下： 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次 根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是 偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=-， 则x=1/（x^），显然x≠0，函数的定义域是（-∞，0）∪（0，
+∞）。因此可以看到x所受到的限制于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>；0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<；0和x>；0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数 幂函数与指数函数是高等数学中的重要概念，它们在数学和实际问 题中有广泛的应用。本文将介绍幂函数和指数函数的定义、性质以及 它们在不同领域的应用。 一、幂函数的定义与性质 幂函数是指形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。幂函 数的定义域为正实数集。当a>0时，幂函数是严格递增的；当a<0时，幂函数是严格递减的。特别地，当a=0时，幂函数为常函数。 幂函数的图像可以分为几种不同的情况。当a>1时，幂函数的图像 在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0 得平缓；当底数a<0时，指数函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。 三、幂函数与指数函数的应用 1. 科学领域 幂函数与指数函数在科学领域的应用非常广泛。在物理学中，幂函数与指数函数可以描述天体运动、物体的增长规律等。在化学中，幂函数与指数函数可用于描述化学反应速率、物质的衰变等。 2. 经济领域 在经济学中，幂函数与指数函数常用于描述经济增长、人口增长等问题。其中，指数函数可以用来描述指数增长，而幂函数则可以用来描述多项式增长。 3. 网络领域 在网络传输中，幂函数与指数函数可以用于描述网络带宽的分配、传输速度的控制等问题。指数函数在网络拓扑中也有广泛的应用，如指数递增的网络节点连接数量等。 四、总结 幂函数与指数函数是数学中重要的概念，它们不仅具有丰富的性质和特点，还在各个领域中发挥着重要的作用。通过本文的介绍，我们对幂函数与指数函数的定义、性质以及应用有了更深入的了解。在实 幂函数与指数函数的基本概念幂函数与指数函数是数学中常见的两种函数类型。它们在解决实际问题中发挥着重要的作用，具有着不可替代的地位。本文将分别介绍幂函数与指数函数的基本概念，以及它们的性质和应用。 一、幂函数的基本概念 幂函数是指形如f(x)=x^n的函数，其中n为实数。其中，x为自变量，n为幂指数。幂函数的特点是x的幂指数为常数。当n为正数时，幂函数的图像呈现出上升的趋势；当n为负数时，幂函数的图像呈现出下降的趋势。 幂函数的定义域为实数集，值域根据幂指数的正负性而有所不同。在幂指数为正数时，值域为正数集；而在幂指数为负数时，值域包括0和正数，但不包括负数。幂函数还具有以下性质： 1. 当n=0时，幂函数为常值函数； 2. 当0 指数函数是指形如f(x)=a^x的函数，其中a为常数且大于0且不等 于1。其中，x为自变量，a为底数。指数函数的特点是底数为常数。 当底数大于1时，指数函数的图像呈现上升趋势；当底数介于0和1之间时，指数函数的图像呈现下降趋势。 指数函数的定义域为实数集，值域为正数集。指数函数还具有以下 性质： 1. 当x为负无穷大时，指数函数的值为0； 2. 当x为正无穷大时，指数函数的值趋近于正无穷大； 3. 当x为0时，指数函数的值为1。 指数函数在实际应用中也扮演着重要的角色。例如，人口增长模型、物质衰变、金融利率等都可以使用指数函数进行描述。 三、幂函数与指数函数的关系 幂函数与指数函数之间存在着密切的关系。事实上，幂函数可以看 作是指数函数的特殊情况，其中底数为x。 当幂指数为分数时，幂函数可以转化为指数函数形式。例如，对于 函数f(x)=x^0.5，可以转化为f(x)=sqrt(x)，即幂指数为1/2的指数函数。 幂函数与指数函数的关系还体现在对数函数的概念中。对数函数可 以看作是指数函数的逆运算，它描述的是幂函数的幂指数。 四、幂函数与指数函数的应用 幂函数函数 幂函数函数是一种值得关注的数学函数，它利用隐射关系将特定的数学问题转化为更具体的操作。它是数学的一个基本概念，在许多领域都有广泛的应用，如概率论、微积分和复变函数等。 一般来说，幂函数是指给定正整数指数n，依据某函数f(x)计算a^n中系数a取值。一般来说，如果f(x)是定义在实数域上的函数，那么a^n=f(x)也有数值解。因此，幂函数函数f(x)就是求解 “a^n=f(x)”问题的函数。 幂函数函数的基本公式是f(x)=a^x，x>0，a>0。它有两个特殊情况：当x是负数时，得到的a^x是0或1；当x=0时，a^x的值为1。根据幂函数函数的定义，可以得出当x>0，a>0时，a^x的值介于0和∞之间，以此推出当x<0时，a^x的值介于正无穷大和0之间。 根据幂函数函数定义，x=0时，a^x=1，这反映了一个重要的概念，即“任何数的0次方都等于1”。这表明，当指数值等于0时，其结果总是1，并且任何一个数的0次方都等于1，这是一个重要的数学原理。 从上述概念中可以看出，幂函数函数的主要优势之一就在于它能够将特定的数学问题转化为更加具体的解决方案，从而帮助解决许多问题。例如，在求解a^n=f(x)的问题时，将可以使用幂函数函数f(x)来计算a^n的值，从而解决此问题。此外，在求解复杂函数的问题时，也可以使用幂函数函数来计算。 幂函数函数在概率论、微积分和复变函数等很多领域也有应用， 例如在概率论中，可以用它来计算概率函数的幂；在微积分中，可以用它来求解实值复变函数的导数；在复变函数中，可以用它来求解复变函数的值，等等。简而言之，幂函数函数在很多领域都有着广泛的应用，从而成为数学的一个非常重要的概念。 在实际应用中，幂函数函数的主要用途是用于计算函数f(x)在特定点的指数函数值。使用幂函数函数，可以更加简便地求解函数函数指数值，而不需要考虑运算复杂度，从而大大减少计算时间。 总之，幂函数函数是一个非常有用的数学概念，它可以方便、快捷、准确地求解数学问题，在很多领域都有广泛的应用，为人们提供了一种新的思路。 2019高考数学：幂函数定义与性质知识点归纳2019高考各科复习资料 2019年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2019年高考复习，2019年高考一轮复习，2019年高考二轮复习，2019年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。 形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各 自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 高中数学幂函数题解题方法 一、幂函数的基本概念 幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数。在幂函数中，指数n的取值范围可以是整数、分数、负数等。 二、幂函数的图像特点 1. 当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，且当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。 2. 当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，且当a>0时，图像在第一象限和第三象限上；当a<0时，图像在第二象限和第四象限上。 3. 当指数n为0时，幂函数的图像为一条水平直线，即y = a。 三、幂函数的常见题型及解题方法 1. 求函数的定义域和值域 对于幂函数y = ax^n，其定义域和值域的求解方法如下： - 当指数n为正整数时，定义域为全体实数集R，值域为(0, +∞)。 - 当指数n为负整数时，定义域为全体非零实数集R*，值域为(0, +∞)。 - 当指数n为正分数时，定义域为全体非负实数集[0, +∞)，值域为[0, +∞)。 - 当指数n为负分数时，定义域为全体非零实数集R*，值域为(0, +∞)。 例如，对于函数y = 2x^3，其定义域为全体实数集R，值域为(0, +∞)。 2. 求函数的单调性和极值点 对于幂函数y = ax^n，其单调性和极值点的求解方法如下： - 当指数n为正数时，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。无极值点。 - 当指数n为负数时，当a>0时，函数递减；当a<0时，函数递增。无极值点。 - 当指数n为正分数时，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。无极值点。 - 当指数n为负分数时，当a>0时，函数递减；当a<0时，函数递增。无极值点。 例如，对于函数y = 3x^(-2)，其单调递减，无极值点。 3. 求函数的对称轴和图像开口方向 对于幂函数y = ax^n，其对称轴和图像开口方向的求解方法如下： - 当指数n为偶数时，对称轴为y轴，图像开口方向由a的正负确定。 - 当指数n为奇数时，对称轴为原点，图像开口方向由a的正负确定。 例如，对于函数y = 2x^4，其对称轴为y轴，图像开口向上。 4. 求函数的零点和交点 对于幂函数y = ax^n，其零点和交点的求解方法如下： - 当指数n为正数时，当a>0时，函数无零点；当a<0时，函数有一个零点x = 0。 - 当指数n为负数时，当a>0时，函数有一个零点x = 0；当a<0时，函数无零点。 - 当指数n为正分数时，当a>0时，函数有一个零点x = 0；当a<0时，函数无 零点。 幂函数 1.幂函数概念 形如 的函数，叫做幂函数，其中 为常数.、 2.幂函数的性质 (1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图 象关于原点对称)；是非奇非偶函数 时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过 点 . (3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数.如果，则幂函数的图象 在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与 轴. (4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当 (其中 互质， 和 )，若 为奇数为奇数时，则 是奇函数，若为奇数为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数. (5)图象特征：幂函数，当 时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下 1. 在下列给出的函数：（1）y = （2） 2 1 y x = ；（3）2 y x x =+中，幂函数的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2. 若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a =0 D ．不能确定 3．设α∈｛－2，－1，－12 ,13 ,1 2 ,1,2,3｝,则使()f x x α=是奇函数且在(0,)+∞上是单减 的a 的个数（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4.一幂函数的图象经过点（2，1 4 ）,则它的单调递增区间是( ) . A ()0,+∞ . B [)0,+∞ . C (),-∞+∞ . D (),0-∞ 5．下列函数在(0,)+∞上是增函数并且是定义域上的偶函数的是( ) A ． B ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．ln y x = D ． 2 23y x x =++ 6.下图为两幂函数y x α=和y x β=的图像，其中α,β∈{－12 ,12 ,2,3}， 则不可能的是（ ） (A) (B) (C) (D) 填空 1.函数f (x )=(m 2 －m －1)221 m m x -+是幂函数，且在x ∈(0,+∞)上是增函数，则实数m _____ 2．已知幂函数)(x f y =的图象经过点)2,2(，则=)9(f 解答 1已知幂函数(2)*()(N )k f x x k -=∈满足(2)(3)f f <。 （1）求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式； （2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间[0,1]上的最大值为5。若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。 2 3 y x = 幂函数知识总结 幂函数学问总结 幂函数复习 yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是一、幂函数定义：形如 常数。 留意：幂函数与指数函数有何不同？ 【思索提示】本质区分在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．观看图： 归纳：幂函数图像在第一象限的分布状况如下： 二、幂函数的性质 归纳：幂函数在第一象限的性质： 0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（0,）上单调递增。0，图像过定点（1,1），在区间（0,）上单调递减。 探究：整数m,n的奇偶与幂函数yx(m,nZ,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？ 结果：形如yx(m,nZ,且m,n互质)的幂函数的奇偶性 （1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称； （3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法： 关键先画第一象限，然后依据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结： yx(0,1)的图像：1、幂函数 mnmn yx(q,p,qZ,p,q互质)p的图像： 2、幂函数 3、比拟幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需查找一个恰当的数作为桥梁来比拟大小． 题型一：幂函数解析式特征 例1.以下函数是幂函数的是（）A．y=x xB.y=3xC.y=x+1D.y=x 221232m2m1y(mm1)x练习1：已知函数是幂函数，求此函数的解析式． 2a9f(x)(a9a19)x练习2：若函数是幂函数，且图象不经过原点，求 高考数学考点归纳之幂函数 一、基础知识 1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为1； (3)只有一项． 2．五种常见幂函数的图象与性质 二、常用结论 对于形如f(x)＝x n m(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 考点一幂函数的图象与性质 [典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3 3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是 减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2 [解析] (1)设f (x )＝x α ，将点(3，3 3)代入f (x )＝x α ，解得α＝1 3，所以f (x )＝x 1 3，可知函 数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C. (2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n 在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩ ⎪⎨⎪⎧ n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2 的图象关于y 轴对称，故n ＝1. [答案] (1)C (2)B [解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略 (1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减． (3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． (4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等． [题组训练] 1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x － 4 B ．y ＝x － 1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 1 3 解析：选A 函数y ＝x － 4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x － 1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 1 3 为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． 明目标、知重点 1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x－1，y＝ 1 2 x的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用． 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质 由幂函数y＝x、y＝ 1 2 x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点(1,1)； (3)当α>0时，幂函数图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调递减． [情境导学] 我们知道对于N＝a b，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝a x；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝log a x.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题． 探究点一幂函数的概念 问题(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w 的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝ 1 2 s，这里a是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1 km/s，这里v是t的函数．思考1上述5个问题中函数的对应关系分别是什么？ 答(1)乘以1；(2)求平方；(3)求立方；(4)求算术平方根；(5)求－1次方． 思考2上述5个问题中的函数有什么共同特征？ 答问题中涉及到的函数，都是形如：y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数． 小结幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 思考3判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？幂函数与指数函数的基本概念
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