立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题

题型一证明平行关系

(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别

是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

(2)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.

思考题1(1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，

△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD 的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.

(2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且

AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.

题型二证明垂直关系(微专题)

微专题1：证明线线垂直

(1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC

中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.

(2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB

＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的

点，求证：DF⊥AE.

微专题2：证明线面垂直

(3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.

(4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD.

微专题3：证明面面垂直

(5)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，

求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1.

(6)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB

＝12PD ，求证：平面PQC ⊥平面DCQ.

思考题2 (1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，

底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，

作EF ⊥BP 交BP 于点F ，求证：PB ⊥平面EFD.

(2)(2019·济南质检)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC

的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，

AO ＝3，OD ＝2.

①证明：AP ⊥BC ；

②若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明平面AMC ⊥平面BMC. 题型三 探究性问题

在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD

为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．

(1)求证：EF ⊥CD ；

(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB.若存在，确

定G 点的位置；若不存在，试说明理由．

思考题3 (2019·山西长治二模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面

是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE

＝2ED.

(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；

(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

专题二 求解异面直线所成角和线面角问题

题型一 异面直线所成的角

(1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F

分别是CC 1，AD 的中点，则异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．

(2)(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠A 1AC ＝∠BAC ＝60°，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝AB ，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为

思考题1 (2019·湖南雅礼中学期末)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点；如图2，将△DAE 沿AE 折起，使折后平面DAE ⊥平面ABCE ，则异面直线AE 和BD 所成角的余弦值为________．

题型二 定义法求线面角

(1)(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，

且△AB 1C 1为等边三角形，B 1C 1＝2AA 1＝2，则直线AB 与平面B 1C 1CB 所成角的正切值为

( ) A.3

2 B.22 C.64 D.62

(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设

点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sinα的取值范

围是( )

A ．[33，1]

B ．[63，1]

C ．[63，223]

D ．[223，1]

思考题2 (1)(2019·河北石家庄一模)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1

中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与

平面AB 1C 1所成的角的大小为________．

(2)把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

题型三 向量法求线面角

(1)(2019·河南郑州月考)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面

ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝PD ＝5，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是

PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是

________．

(2)如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥

平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线FO 与平面BED 所成的角为

45°，则AE ＝________．

思考题3 (1)正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点S 在底面上的射影，P

为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．

(2)(2019·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD ＝60°，∠BAD ＝90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为( ) A.34 B.134 C.3913 D.393

(1)(2019·太原模拟一)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥BD.

①求证：PB ＝PD ；

②若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．

(2)(2019·湖南长郡中学选拔考试)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，

BA ＝BC ＝5，AC ＝8，D 为线段AC 的中点．

①求证：BD ⊥A 1D ；

②若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为45，求AA 1的长．

思考题4 (2019·石家庄质检二)如图，三棱柱ABC －

A 1

B 1

C 1中，侧面BB 1C 1C 为∠CBB 1＝60°的菱形，AB ＝AC 1.

(1)证明：平面AB 1C ⊥平面BB 1C 1C ；

(2)若AB ⊥B 1C ，直线AB 与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，求直线AB 1与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．

专题三 求解二面角问题

题型一 定义法求二面角

(1)(2019·台州一模)在边长为a 的等边三角形

ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，沿AD 折成二面角B －AD －C ，

若此时BC ＝12a ，则二面角B －AD －C 的大小为________．

(2)如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ?α，B ∈l ，

AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是

(3)已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P －ABC 的体积最大时，设二面角P －AB －C 的大小为θ，则sinθ＝( )

A.23

B.53

C.63

D.73

思考题1 (1)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝

3，点E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△

DCE 翻折，使得点A ，D 重合于F ，此时二面角E －BC －F 的余弦值为( )

A.721

B.74

C.32

D.34

(2)如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周

上，若PA ＝AB ＝2，AC ＝BC ，则二面角P －AC －B 的正切值是________．

题型二 向量法求二面角

(1)已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝

2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的锐二面角的正切值为________．

(2)(2019·河南安阳)二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为

( )

A ．150°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

思考题2 (1)设平面α的一个法向量为n 1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n 2＝(－

2，－4，k)，若α和β所成的锐二面角的余弦值为23，则k ＝________．

(2)(2019·辽宁丹东模拟)如图，正方形A 1BCD 折成直二面角

A －BD －C ，则二面角A －CD －

B 的余弦值是________．

(3)(2019·广东中山模拟)在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，AD

＝22，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，沿MN 把平面ABNM 折起，若折起后|AC|＝6，则二面角A －MN －C 的大小为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

(2019·惠州二次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底

面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PA ⊥PB ，PC ＝2.

(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；

(2)若PA ＝PB ，求二面角A －PC －D 的余弦值．

思考题3 (2019·河北五一名校联考)

在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥

底面ABC ，底面△ABC 是边长为2的正三角形，A 1A ＝A 1C ，A 1A ⊥A 1C.

(1)求证：A 1C 1⊥B 1C ；

(2)求二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值．

题型三 空间角的综合问题

(2019·唐山五校联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底

面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E

是PB 的中点．

(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；

(2)若二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．

思考题4 (2019·江南十校素质检测)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F

为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC ＝FB ，四边形ABCD 为

平行四边形，且∠BCD ＝45°.

(1)求证：CD ⊥BF ；

(2)若AB ＝2EF ＝2，BC ＝2，直线BF 与平面ABCD 所成角为45°，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值．

专题四 综合问题

题型一 空间的距离

(1)(2019·江西九江期末)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA

⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，F 为PA 的中

点，且PA ＝AB ＝2.则点P 到平面BEF 的距离为( )

A.55

B.255

C.214

D.42121

(2)已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，

F 分别是AB ，AD 的中点，求点B 到平面GEF 的距离．

思考题1 (1)(2019·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )

A.34

B.32

C.334

D. 3

2.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，

且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A －PB －C 的余

弦值．

(2)(2019·湖南长沙一模)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F

分别为BB 1，CD 的中点，求点F 到平面A 1D 1E 的距离．

题型二探究性问题

(2019·湖南重点校联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA

⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD,且AD ＝CD ＝22,BC ＝42，PA

＝2.

(1)求证：AB ⊥PC ；

(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M －AC －D 的大小为45°，如果存在，

求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

思考题2 (2019·西安八校联考)已知几何体ABCC 1B 1N 的直观

图如图所示，CB ⊥底面ABB 1N ，且ABB 1N 为直角梯形，侧面BB 1C 1C

为矩形，AN ＝AB ＝BC ＝4，BB 1＝8，∠NAB ＝∠ABB 1＝90°.

(1)连接B 1C ，若M 为AB 的中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得MP ∥平面CNB 1？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．

(2)求二面角C －NB 1－C 1的余弦值．

题型三 翻折问题

(2019·安徽合肥调研性检测)平面四边形ABCD 中，

∠DAB ＝π2，AD ＝AB ，△BCD 为等边三角形．现将△ABD 沿

BD 翻折得到四面体P －BCD ，点E ，F ，G ，H 分别为PB ，PD ，

CD ，CB 的中点．

(1)求证：四边形EFGH 为矩形；

(2)当平面PBD ⊥平面CBD 时，求直线BG 与平面PBC 所成角的正弦值．

思考题3 如图，在直角梯形ABCP 中，∠A ＝∠B

＝90°，AB ＝BC ＝3，AP ＝6，CD ⊥AP 于D ，现将△PCD

沿线段CD 折成60°的二面角P －CD －A ，设E ，F ，G 分

别是PD ，PC ，BC 的中点．

(1)求证：PA ∥平面EFG ；

(2)若M 为线段CD 上的动点，求直线MF 与平面EFG 所成角的最大角，并确定成最大角时点M 在什么位置？

高考题呈现

1．(2014·全国Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，

PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

(1)证明：PB ∥平面AEC ；

(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P －ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．

2．(2016·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，

PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.

(1)求证：PD ⊥平面PAB ；

(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；

(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说

明理由．

3.(2018·浙江)如图，已知多面体ABC －A 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均

垂直于平面ABC ，∠ABC ＝120°，A 1A ＝4，C 1C ＝1，AB ＝BC ＝B 1B ＝2.

(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；

(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．

4.(2016·课标全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，

AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM

＝2MD ，N 为PC 的中点．

(1)证明：MN ∥平面PAB ；

(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．

5．(2018·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF.

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

6．(2016·课标全国Ⅰ，理)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶

点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面

角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.

(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

(2)求二面角E－BC－A的余弦值．

7.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，

且∠BAP＝∠CDP＝90°.

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C

的余弦值．

8．(2018·课标全国Ⅱ，理)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，

PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM

所成角的正弦值．

9．(2018·北京，理)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝5，AC

＝AA1＝2.

(1)求证：AC⊥平面BEF；

(2)求二面角B－CD－C1的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交．

10．(2017·北京，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B－PD－A的大小；

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．