高考数学专题复习立体几何专题空间角

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角 一、基础知识

1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直

角）叫做 。

2.范围： ??

? ??∈2,0πθ

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。

（2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a =

><=,cos cos θ

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

b a ?

代入上式

方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2

2

22222

1

2

12

12

12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++=

∴θ

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角

斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 2

1=

二、例题讲练

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱

1111ABCD A B C D -中，

12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为

例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a

b >,AA 1=

c ，求异面直线D 1B 和AC 所成

的角的余弦值。

方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法）

A

B

1

B 1

A 1D 1

C C

D

方法二：过AC 的中点作BD1平行线 方法三：（向量法）

例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，

//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且

1

2

PA AD DC ===

，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

证明：以

A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间

直角坐标系，则各点坐标为

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2

A B C D P M

（Ⅰ）证明：因

.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知

AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD

（Ⅱ）解：因

),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC

.

510

|

|||,cos ,2,5||,2||=?>=<=?==PB AC PB

AC PB AC PB AC PB AC 所以故

例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面

ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，

1BC =，2PA =， E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则

,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、

C

D

(3,0,0)B 、(3,1,0)C 、(0,1,0)D 、

(0,0,2)P 、1

(0,,1)2

E ，

从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC

设

PB AC 与的夹角为θ，则

,14

7

37

23|

|||cos =

=

?=

PB AC PB AC θ ∴

AC 与PB 所成角的余弦值为

14

73

1. 正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是

{}ο

οο

60,45,90

。

2. 正方体

1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。

3. 已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的

距离为

5 ，则异面直线a 与b 所成的角为 。

4. 如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=

2AA 1，M 、N 分别是

A 1

B 1，A 1

C 1的中点，则AM 与CN 所成角为 。

5. 如图PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形， AB=2AD=2DP ，E 为CD 中点。 （1）

AP 与BE 所成的角为

（2）若∈F 直线PD ，且AF 与BE 所成角为θ

1. θ=30?行吗？

2. θ=75?时；

DP

DF

= 。 训练题 A'

C1

A

B

C

M

N B

D A

C

P

E

6. 空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 与各边长均为1，O 为BCD ?

E 是

AO 的中点，求异面直线OM 与BE 所成的角 。

7.空间四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠BCD=∠ABC=120?，AB ⊥CD ，M 、N 分别是中点（1）AC 和BD 所成的角为 。（2）MN 与BC 所成的角为 。

8.已知正方体AC 1中，

（1）

E 、

F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，

则AE 与CF 所成的角为 （2）M 、N 分别是AA 1，BB 1的中点，

则CM 和D 1N 所成的角是 。

9、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；（3

π

） 解法一：(I) ∵PC ⊥平面ABC ，?A B 平面ABC ，

∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，?A B 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC =I ，

∴AB ⊥平面PCB ．

(II) 过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．

则 PAF ∠为异面直线PA 与BC 所成的角．

D

A

B

C

D

P

E F

由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF ．由三垂线定理，得PF ⊥AF ． 则AF=CF=

2，PF=6 CF PC 22=+，

在PFA Rt ?中， tan ∠PAF=

2

6AF

PF

==

3，

∴异面直线PA 与BC 所成的角为

3

π． 解法二：(II) 由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC=2．以B 为原点，如图建

立坐标系．则Ａ（０，

2，０），Ｂ（0，0，0），

C （

2，０，0），P （2，０，2）．),22,2(AP -=，)0,0,2(B C =．

则22BC AP ?=?+0+0=2．

,cos >=

<=

2

222?=

2

1

． ∴异面直线AP 与BC 所成的角为3

π．

第二节、直线和平面所成的角

一、基础知识

1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③αα//l l 或?）

2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）

4. 求法： 几何法 公式法 问量法

（1

（2）公式法：θθθθθθcos cos cos cos cos cos 212

1

=?=

21,,,θθθα=∠=∠=∠⊥BOC AOC AOB B AB 于点

（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）

（3）向量法：设直线a与平面α所成角为θ，直线a的方向向量与面α的法向量分别是n

m,,则>

m,的余角或其补角的余角即为a与α所成的角θ，

二、例题讲解

例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求

（1）CD与面ABC1D1所成的角

（2）A1C与平面ABC1D1所成的角

（3）A1C与平面BC1D所成的角

例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。例3、（2007高考全国卷1）四棱锥S ABCD

-中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知45

ABC=o

∠，2

AB=，BC=SA

（Ⅰ）证明SA BC

⊥；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

例4、如图,2,1l l 是互相垂直的异面直线，M 、N 分别在2,1l l 上，且MN

1上，

C 在2l 上，AM=MB=MN 。 （1）证明：AC

⊥NB

（2）若∠ABC=60?，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。(3

3)

1、已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为三角形ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值等于

2、如图，在棱长为2的正方体

1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点。求直线DE 与平面ABCD

所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

3、过点P 作平面α的两条斜线段PA 和PB ，则PA=PB 是斜线PA 和PB 与平面α成等角的 条件。

L2C

A

E

B 1

D 1 D C 1

A 1

B C