立体几何专题一空间角

立体几何专题一：空间角

第一节：异面直线所成的角（2课时）

一、基础知识

1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： ??

?

??∈2,

0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a =

><=,cos cos θ

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 ?

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

),,(111z y x = ),,(222z y x =2

2

22222

1

2

12

12

12121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21= 二、例题讲练

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111

ABCD A BC D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，

求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC

方法二：过AC 的中点作BD1平行线

方法三：（向量法）

例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，

//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且

1

2

PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间

直角坐标系，则各点坐标为

B

1

B 1A

1D 1

C C D

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2

A B C D P M

（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=?==所以故

由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面

PCD

（Ⅱ）解：因),1,2,0(),

0,1,1(-==

.

510,cos ,2,5||,2||=>=<=?==PB AC 所以故

例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，

AB =1BC =，2PA =， E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、

B 、,0)

C 、(0,1,0)

D 、

(0,0,2)P 、1

(0,,1)2

E ，

从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设与的夹角为θ，则

,14

7

37

23cos =

=

=

θ ∴AC 与PB 1、P219 T12 P234 三基能力强化 T1

1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 {}

οοο60,45,90 。

2.正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。

3.已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的距离为5 ，则异面直线a 与b

4.如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1A 1B 1，A 1C 1的中点，则AM 与CN

5.如图PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD AB=2AD=2DP ，E 为CD 中点。 （1）AP 与BE 所成的角为

（2）若∈F 直线PD ，且AF 与BE 所成角为1. θ=30?行吗？

2. θ=75?时；

DP

DF

= 。

6.空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 与各边长均为1，O 为BCD ?的重心，M 是AC

的中点，E 是 AO 的中点，求异面直线OM 与BE

7.空间四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠BCD=∠ABC=120?，AB ⊥CD ，M 、N 分别是中点（1）AC 和BD 所成的角为 。（2）MN 与BC 所成的角为 。

8.已知正方体AC 1中，

（1）E 、F 分别是A 1D 1，A 1C

1的中点，

则AE 与CF 所成的角为 （2）M 、N 分别是AA 1，BB 1的中点，

则CM 和D 1N 所成的角是 。

9、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；（3

π） 解法一：(I) ∵PC ⊥平面ABC ，?AB 平面ABC ， ∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面PCB ．

(II) 过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．

则 PAF ∠为异面直线PA 与BC 所成的角．

由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF ．由三垂线定理，得PF ⊥AF ．

则AF=CF=2，PF=6 CF PC 2

2

=+，

在PFA Rt ?中， tan ∠PAF=

26

AF PF =

=3， ∴异面直线PA 与BC 所成的角为3

π

．

解法二：(II) 由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC=2．以B 为

原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），

C （2，０，0），P （2，０，2）．),22,2(AP -=，)0,0,2(BC =．

则22?=

?+0+0=2．

,cos >=

<=

2

222?=

2

1

． ∴异面直线AP 与BC 所成的角为3

π．

D

A

B

C

D

P

E F

第二节、直线和平面所成的角 （2课时）

一、基础知识

1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③αα//l l 或?）

2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）

4. 求法： 几何法 公式法 问量法

（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角

（2

AB （3,, 则>

m =

><=cos sin θ二、例题讲解

例1、在长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1，求

（1）CD 与面ABC 1D 1所成的角 （2）A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角 （3）A 1C 与平面BC 1D 所成的角

例2、四面体ABCD 中，所有棱长都相等，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的

余弦值。

例3、（P236例2）

（2007高考全国卷1）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =

∠，2AB =，BC =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．

例4、如图,2,1l l 是互相垂直的异面直线，M 、N 分别在,1l AB 在1l 上，C 在2l 上，AM=MB=MN 。 （1）证明：AC ⊥NB

（2）若∠ABC=60?，求NB 与平面ABC

1、三基能力强化 T3

2、P239 T7 (利用公式求解)

3、P239 T3

（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为三角形ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值等于 4、P240 T10

（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是

1BC 的中点。求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

5.过点P 作平面α的两条斜线段PA 和PB ，则PA=PB 是斜线PA 和PB 与平面α成等角的 条件。

6.如图所示，∠BOC 在平面α内，OA 是α的斜线，∠AOB=∠AOC=60?，OA=OB=OC=a ，BC=2a ，求OA 和平面α所成的角的大小。

7.如图，已知正方形ABCD ，SA ⊥现面ABCD ，且SA=AB ，M 、N 分别为SB 、SD 的中点，

求SC 和平面AMN 所成的角

8.给出下列命题，其中正确命题序号是 。

（1）若PA 、PB 、PC 与平面α成等角，则迠P 在平面α上的射影O 是?ABC 的外心 （2）已知直线上l 与平面α所成角是

4

π

，直线a 是α内与l 异面的任一直线，则l 与平面α 所成角范围是??

??

??2,4ππ (3)在三棱锥P-ABC 中，若二面角P-AB-C ，P-BC-A ，P-CA-B ，大小相等，则点P 在平面ABC 上射影O 是?ABC 内心。

（4）坡度为α的斜坡，有一条与坡脚水平线成30?的小道，若沿小道每前进100m ，高度就

上升25m,那么此坡坡度为30?。

9、（2007湖北高考）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ??<< ??

?

． （I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；

（II ）试确定θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为

6

π。 （Ⅲ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB

E B 1

D 1 D C 1 A 1 B

C

第7题图

第6题图

第三节 平面与平面所成的角

一、基础知识

1.定义：

二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角

叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .

注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB 为二面角βα--l 的平面角”。 2.求法：几何法 向量法 公式法

（2）向量法：

①分别求出α和β的法向量,，则二面角βα--l 的大小为><或π—>

〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标

〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量 〈3〉当βα--l 为锐角时=θ>

或

π—>

②在平面α内????

?∈⊥EF

A 在平面β内，BD ⊥EF ，且

B ∈EF 分别求出BD A

C ,，则

>

即为二面角βα--EF 的大小

（3）公式法： ①设二面角β

α--l 的大小为

,θ,

,,,l CD l AB CD AB ⊥⊥??βα令

,,,d BD n CD m AB ===则

注意：BA 与DC 所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA 和

CD 所成角的大小。

②面积法： 设二面角βα--l 的平面α内某一图形（一般取三角形）面积为S ，该图形在平面β上射影面积为S '，二面角

β

α--l 的大小为

θ

，则

)(cos )(cos 为钝角或为锐角θθθθS

S S S '-='=

Q

O N

P E D

C

B

A

M 二、例题讲练

例1、如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ， 60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1AA 的中点，M 为线段

1

BD

的中点， （1）求证：⊥MF 面11B BDD ；

（2）求面1BFD 与面ABCD 所成二面角的大小．

（1）证明： 底面是菱形， BD AC ⊥∴

又⊥B B 1 面ABCD ，?AC 面ABCD

B B A

C 1⊥∴，⊥∴AC 面11B BD

D 又AC MF // ⊥∴MF 面11B BDD

（2）延长F D 1、DE 交于点E F 是A A 1的中点且ABCD 是菱形AB AE DA ==∴

又 60=∠DAB 90=∠∴DBE

由三垂线定理可知 BE B D ⊥1 BD D 1∠∴为所求角

在菱形ABCD 中， 60=∠DAB BD BC 3=∴ 3t a n

11==∠BD

D

D BD D 601=∠∴BD D

例2、如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。

（1）求证：AE ⊥平面BCE ；

（2）求二面角B —AC —E 的大小； 解：（1）如图，∵ BF ⊥平面ACE ∴ BF ⊥AE 又∵ 二面角D —AB —E 为直二面角，且CB ⊥AB ∴ CB ⊥平面ABE ∴ CB ⊥AE

∵ B BF BC =? ∴ AE ⊥平面BCE （2）连BD 交AC 于G ，连FG

∵ 正方形ABCD 边长为2 ∴ BG ⊥AC ，2=BG ∵ BF ⊥平面ACE 由三垂线定理逆定理得FG ⊥AC ∴ ∠BGF 是二面角B —AC —E 的平面角 由（1）AE ⊥平面BCE ∴ AE ⊥EB

又∵ AE=EB ∴ 在等腰直角三角形AEB 中，2=

BE

又∵ Rt △BCE 中，622=+=

BE BC EC

∴ 33

26

22=

?=?=EC BE BC BF ∴ 在Rt △BFG 中，36

sin =

=∠BG BF BGF ∴ 二面角B —AC —E 等于3

6

arcsin

例3、如图所示的几何体ABCDE 中,⊥DA 平面EAB ，

DA CB //,CB AB DA EA 2===，AB EA ⊥，M 是EC 的中点.

(Ⅰ)求证:EB DM ⊥;

(Ⅱ)求二面角A BD M --的余弦值. 解法一:

(Ⅰ)证明:取BE 的中点N ,连接AN MN ,,则DA CB MN ////,

A B C

D

A 1

B 1

C 1

D 1 F M O E

故D A N M ,,,四点共面，∵⊥DA 平面EAB ，EB DA ⊥∴. 又AB EA = EB AN ⊥∴ 由N AN MN =?， ⊥∴EB 平面ANMD EB DM ⊥∴; (Ⅱ)取AC 的中点P ,连MP ,则,//EA MP

⊥∴MP 平面ABCD 过P 作BD PQ ⊥,连QM ,则BD QM ⊥ MQP ∠∴是二面角A BD M --的平面角.

设a CB =, AC 与BD 的交点为O ,记 =∠AOD θ,=∠CAB α,则有

11()23OP AC ∴=-==

sin sin(45)cos )22θααα?∴=+=

+=+=a OP PQ 42

sin ==θ, 又a

EA MP ==21 在MPQ Rt ?中,31

cos ,22tan =∠∴==∠MQP PQ MP MQP

即二面角A BD M --的余弦值为3

1

.

解法二: 分别以直线AD AB AE ,,为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设a CB =，则

)2,0,0(),,2,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(a D a a C a B a E A ，所以)2

,,(a

a a M . (Ⅰ)证:),0,22(),2

3

,-,(a a a a a DM -==

002)(-2=+?+?=?a a a a ⊥∴,即EB DM ⊥.

(Ⅱ)解:设平面

M B D 的法向量为

),,(z y x n =,),-22,0(a a = ，由⊥,⊥得

??

???=-+=??

?

???=+=?==?0z 23

0z 23-y x 0

z 2-y 2y x z

y a a a a a

取2z =得平面MBD 的一非零法向量为)2,2,1(=

又

平

面

BDA

的

法

向

量

为

)0,0,1(1=n

3

10012210

01,cos 2222221=

++?++++>=

<∴n ， ∴二面角A BD M --的余弦值为3

1

.

例4、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90

底面

ABCD ，且1

2

PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；

AC CO AD CB AO CO 3

1

,21===

A

B

C D

P A B

C D

P

x

y

z （Ⅱ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小

证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则 各点

坐标为 1

(0,0,0),(0,2,0),

(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),

(0,1,)2

A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=?==所以故

由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD

又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD

（Ⅱ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,λ=

..2

1

,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x

要使14

,00,.25

AN MC AN MC x z λ⊥=-== 只需即解得

),5

2

,1,51(),52,1,51(,.

0),5

2

,1,51(,54=?-===?=MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ

.,0,0MC BN MC AN ⊥⊥=?=?得由 为ANB ∠∴所求二面角的平面角

4

|||.

5

2

cos(,).

3||||2

arccos().

3

AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-

故所求的二面角为 例5、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2， AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求二面角C-PA-B 的大小．

解法一：(I) ∵PC ⊥平面ABC ，?AB 平面ABC ，

∴PC ⊥AB ．

∵CD ⊥平面PAB ，?AB 平面PAB ，

∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． (II) 取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．

∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2．

∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得 DE ⊥PA ． ∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角．由(I) AB ⊥平面PCB ，

又∵AB=BC ，可求得BC=2．在PCB Rt ?中，PB=6BC PC 2

2

=

+， 3

2622PB BC PC CD =

?=?=． 在CDE Rt ?中， sin ∠CED=3623

2

CE CD ==． ∴二面角C-PA-B 的大小为arcsin 3

6

解法二：（I ）同解法一．

(II) 设平面PAB 的法向量为m = (x ，y ，z)．

A

B

C D

P

E F

)0,2,0(-=，),22,2(-=， 则?????=?=?0.

m ,0m 即?????=+-=-.02z y 2x 2,0y 2

解得???-==z

2x ,0y 令z = -1, 得 m = (2，0，-1)．

设平面PAC 的法向量为n =('''z ,y ,x )．)0,-2,0(=，),02,2(-=，

则?????=?=?0.

n AC ,0n 即?????=-=-.0y 2x 2,02z '

''解得?????=='''y x ,0z 令'x =1, 得 n = (1，1，0)．

n m n m n ,m c o s ?>=<=332

32=

?． ∴二面角C-PA-B 的大小为arccos 33

．

1.如图：三棱锥A-BCD 中，AC=AB=BD=DA=2，BC=CD=3，则二面角A-BD-C 大小为

12

26

arccos 。二面角B-AC-D 大小为 397arccos

2.已知,α?a 直

线，l a 与直线所成角为)900(1ο

οθθ≤≤，α与β所成角为θ2，βα--l 大小为θ3则恒成立的是（ ） A. 312cos cos cos θθθ= B. 312sin sin sin θθθ=

C. 213sin sin sin θθθ=

D. 213cos cos cos θθθ=

3.如图，四边形BCEF 、AFED 都是矩形，且平面AFED ⊥平面BCEF ，

θβα=∠=∠=∠BAC ABF ACF ,,

A ．θβαcos cos cos =

B ．θβαcos sin sin =

C ．θαβcos cos cos =

D ．θαβcos sin sin =

3.如图，四棱锥P-ABCD 中所有的棱长都相等。求： ①二面角C-PD-B 大小

②设M 、N 分别为AD 、PC 中点，

试求MN 与底面AC 及平面BDP 所成的角 ③平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小

C

4. 如图，四边形ABCD 为直角梯形，AD//BC ∠BAD=90?，PA ⊥底面ABCD ，且

PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点 ①求证：PB ⊥DM

②求BD 与平面ADMN 所成角的大小 ③求二面角A-PB-C

5.如图所示多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面

，

BC=2，C C 1=3，BE=1 （补形成正方体）

①求BF

②求二面角A-EF-B

6.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱CC1上

①求证：AE ⊥BD

②当A 1E 与面BED 所成角为多大时，面A 1

BD ⊥面EBD ③在（2）的结论下，求此时二面角A-A 1D-E 的大小

8.如图，在棱长AB=AD=2，AA 1=3的长方体AC 1中点E 是平面BCC 1B 1上动点，点F 是CD

的中点

①试确定E 的位置，使D 1E ⊥平面AB 1F ②求二面角B 1-AF-B 的大小

9、 如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,

平面VAD ⊥底面ABCD （Ⅰ）证明：AB ⊥平面VAD ；

（Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小

证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系

（Ⅰ）证明：不防设作(1,0,0)A ，则(1,1,0)B ， )2

3

,

0,21(V ，

)2

3

,0,21(),0,1,0(-==由,0=?得AB VA ⊥，又AB AD ⊥，

因而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA ，AD 都垂直 ∴AB ⊥平面VAD （Ⅱ）解：设E 为DV 中点，

则)4

3

,0,41(E ，).23,0,21(),43,1,43(),43,0,43(=-=-=

由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=?又得因此，AEB ∠是所求二面角的平面角，

,721),cos(=

=

解得所求二面角的大小为.7

21arccos

10、（2008年高考天津卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，

2AD =，2PA =，PD =60PAB = ∠．

（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD

A --的大小． 11、（2008高考山东卷）如图，已知四棱锥P -ABCD ， 底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?, E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正E —AF —C 的余弦值. （Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形.因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .

又 BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为P A ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以P A ⊥AE . 而 P A ?平面P AD ，AD ?平面P AD 且P A ∩AD =

A ，所以 AE ⊥平面P AD ， 又PD ?平面P AD .所以 AE ⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH .

由（Ⅰ）知 AE ⊥平面

P AD ，则∠EHA 为EH 与平面

P AD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE

所以 当AH 最短时，∠EHA 最大，即 当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大. 此时 tan ∠EHA =

AE AH ==因此 AH 又AD=2，所以∠ADH =45°，所以 P A =2.

解法一：因为 P A ⊥平面ABCD ，P A ?平面P AC ，所以

平面P AC ⊥平面ABCD . 过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ，

过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E-AF-C 的平面角，

A

B

C

D

P

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°

=

2，AO=AE·cos30°=

3

2

,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°

=

4

,

又SE===在Rt△ESO中，cos∠

ESO=

SO

SE

==

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为

坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别

为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所

以A（0，0，0），B

-1，0），C

1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E

0，0），F

1

,1

2

），

所以

1

,1).

2

AE AF

==

设平面AEF的一法向量为

111

(,,),

m x y z

=

则

0,

0,

m AE

m AF

?=

?

?

=

??

因此

1

111

0,

1

0.

2

x y z

=

++=

取

1

1,(0,2,1),

z m

=-=-

则

因为BD⊥AC，BD⊥P A，P A∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，

故BD

为平面AFC的一法向量.又BD

=（

），

所以cos＜m,BD

＞

=

||||

m BD

m BD

==

因为二面角E-AF-C