高等代数北大版第章习题参考答案

高等代数北大版第章习

题参考答案

内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

第七章 线性变换

1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；

3） 在P 3

中，A

),,(),,(2

33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；

5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；

6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++

=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α，

故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令

)()()(x g x f x u +=则

A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.

A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。

7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。

8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则

A (=+=+=+BYC BXC C Y X

B Y X )()A X +A Y ，

A (k X )=k BXC k kX

B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：

A 4=

B 4=

C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。

解 任取一向量a=(x,y,z)，则有

1) 因为

A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，

B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，

C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)，

所以A 4=B 4=C 4=E 。

2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)，

所以AB ≠BA 。

3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，

所以A 2B 2=B 2A 2。

3) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2(a)=(-x,-y,z)，

所以(AB )2≠A 2B 2。

3.在P[x] 中，A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。 证 任取∈)(x f P[x]，则有

(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f

所以 AB-BA=E 。

4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A k B-BA k =k A 1-k (k>1)。 证 采用数学归纳法。当k=2时

A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a ，结论成立。

归纳假设m k =时结论成立，即A m B-BA m =m A 1-m 。则当1+=m k 时，有

A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A 1-m A=)1(+m A m 。

即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。

证 设A 是可逆变换，它的逆变换为A 1-。

若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1-，有a=b ，这与条件矛盾。

其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A 1-b=a 即可。因此,A 是一个双射。

6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关。

证 因A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A ， 故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是

A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无

关.。

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；

2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角

的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基

1ε,2ε下的矩阵；

3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→，

试求A 在基i ε=!

1)1()1(i i x x x +-- (I=1,2, ,n-1)下的矩阵A ；

4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax sin bx ，3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax sin bx ，

1ε=221x e ax cos bx ,1ε=2

1

e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六

维线性空间，求微分变换D 在基i ε(i=1,2, ,6)下的矩阵；

5) 已知P 3中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵

是???

?

? ??-121011101，求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3中，A 定义如下：

???

??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(3

21ηηηA A A ， 其中

???

??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3

21ηηη， 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；

7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。

解 1) A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)= 2ε，

故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为???

?

? ??-001110012。

2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=

211ε+212ε，A 2ε=2

1

1ε+212ε，

故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=?????

?

??212

1212

1。 又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =???

?

??1000，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=

2

1

1ε+212ε，

所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =????

?? ?

?210210。

3）因为 )!

1()]

2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε， 所以A 0110=-=ε，

A 01)1(εε=-+=x x ， A )!

1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n ε

=

)!

1()]

3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }

=2-n ε，

所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =???

??

?

?

?

??011010 。

4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,

D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε,

D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，

所以D 在给定基下的矩阵为D =??????

??

??

?

?---00

0000010000100

001

00

01a b b a a b b

a a

b b a 。 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

?? ??--111101011，所以

(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)???

?

?

??---101110111=(1η,2η,3η)X ，

故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为

B =X 1

-AX=????? ??--111101011????? ??-121011101????? ??---101110111=?????

??--203022211。

6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

??

??--012110301，

所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)???

?? ??--012110301,

但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

?? ??----963110505，

故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)????? ??----963110505????

? ??--0121103011

-

=(1ε,2ε，3ε)??

??? ??----963110505???????

?

??---717

17

2717672

737371

=(1ε,2ε，3ε)??

??

???

?

??-----7247

187

27727574

72072075。 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)??

?

?? ??--0121103011

-，

所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)??

?

?

? ??--0121103011

-????

?

??----963110505 =(1η,2η,3η)???

?

?

??---011101532。

8．在P 22?中定义线性变换A 1(X )=????

??d c b a X, A 2(X )=X ???

?

??d c b a , A 2(X )= ???? ??d c b a X ???

?

??d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。 解 因 A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22,

A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,

故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=??????

?

?

?d c d

c b a b a

00000

00。 又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12,

A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,

故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=????

???

?

?d b c a d

b c

a 00000000

。 又因A 3E 11= a 2E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22，

A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2E 21+cd E 22，

A 3E 21= ab E 11+b 2E 12+ad E 21+bd E 22， A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2E 22，

故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为????

??

?

?

?=22223d bd

cd bc cd ad c ac bd b ad

ab bc ab ac a A 。 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为

A=????

? ??3332

31

232221

131211

a a a a a a a a a ， 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵；

2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵，其中且； 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵。

解 1)因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε， A 2ε=+332εa +222εa 112εa ， A 1ε=+331εa +221εa 111εa ，

故A 在基123,,εεε下的矩阵为????

?

??=1112

13

212223

313233

3a a a a a a a a a B 。 2)因 A 1ε=111εa +

+)(221

εk k

a 331εa ， A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka ， A 3ε=13a 1ε+

k

a 23

(2εk )+333εa ， 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ?????

? ?

?=3332

31232221

1312112a ka a k a a k a

a ka a B 。

3)因

A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε，

A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa ， A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa ，

故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为???

??

?

?+----+-=3332

3231132312

2212

11222113

1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 。 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换，如果A ε1-k ≠0,但A εk =0，求证：

ε,A ε,, A ε1-k (k >0)线性无关。

证 设有线性关系0121=+++-εεεk k A l A l l ， 用A 1-k 作用于上式,得

1l A ε1-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立)， 又因为A ε1-k ≠0,所以01=l ,于是有

01232=+++-εεεk k A l A l A l ，

再用A 2-k 作用之,得2l A ε1-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得 021====k l l l ,

即证ε,A ε,, A ε1-k (k >0)线性无关。

11.在n 维线性空间中，设有线性变换A 与向量ε使得A ε1-n 0≠，求证A 在某组

下的矩阵是 ???

??

??

?

??0101010

。 证 由上题知, ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 线性无关，故ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 为线性空间V 的一组基。又因为A ?+?+?=010εεεA A ε2+?+0 A ε1-n ，

A (A ε)=ε?0+?0 A ε+?1 A ε2+?+0 A ε1-n ，

……………………………

A （A ε1-n ）=ε?0+?0 A ε+?0 A ε2+?+0 A ε1-n ，

故A 在这组基下的矩阵为

???

??

??

?

??0101010

。 12． 设V 是数域P 上的维线性空间，证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。

证 因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE ，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K 。

13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。 证

设A 在基n εεε,,,21 下的矩阵为A=(ij a )，只要证明A 为数量矩阵即可。

设X 为任一非退化方阵，且

(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21 )X ，

则12,,,n ηηη也是V 的一组基，且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-，从而有AX=XA ，这说明A 与一切非退化矩阵可交换。 若取

???

?

?

?

?

??=n X 211，

则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j)，即得

A=??????

? ?

?nn a a a

22

11， 再取

2X =???????

?

??0001100001000010

由A 2X =2X A ，可得 nn a a a === 2211。

故A 为数量矩阵，从而A 为数乘变换。

14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 在这组基下的矩阵为

????

???

?

?---21225521312112

01， 1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵； 2) 求A 的核与值域；

3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵； 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩

阵。 解 1)由题设,知

(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)???

?

??

?

?

?---21110110003

20001

，

故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为

B=AX X 1-=1

21110110003

20001-???

???

?

?

?---???????

??---21225521312112

01

???

?

??

?

??---211

1011

000320001 =?????

?

?

?

?

?-----871

03403403163831031034322332。 2) 先求A 1-(0).设∈ξ A 1-(0)，它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ)，且

A ε

在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,)，则

???????

?

?---21225521312112

01

??????? ??4321x x x x =???

?

??? ??0000。

因rank(A)=2，故由 ??

?

=+++-=++032024321

431x x x x x x x ，

可求得基础解系为X 1=)0,1,2

3

,2('--,X 2=)1,0,2,1('--。 若令1α=(321,,εεε,4ε)X 1，2α=(321,,εεε,4ε)X 2， 则12,αα即为A 1-(0)的一组基，所以 A 1-(0)=12(,)L αα。 再求A 的值域A V 。因为

A 1ε=43212εεεε++-， A 2ε=432222εεε-+， A 3ε=432152εεεε+++，

A 4ε3ε=4321253εεεε-++，

rank(A)=2，故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2，且A 1ε ,A 2ε线性无关，故A 1ε ,A 2ε可组成A V 的基，从而A V=L(A 1ε ,A 2ε)。

4) 由2)知12,αα是A 1-(0)的一组基，且知,1ε2ε, 12,αα是V 的一组基，

又

(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)??????

?

?

?--

-1000010022310

120

1， 故A 在基,1ε2ε, 12,αα下的矩阵为

B=1

100

0010022310120

1

-??????? ?

?--

-???????

??---212

25521312112

01??????

?

??--

-10

0001002231012

1

=????

?

?

?

??-0022002100129002

5

。

4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基，且

(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)???

?

??

?

?

?--10210121002

10001

， 故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为

C=

1

1021012100210001

-???

???

?

?

?--???????

??---21225521312112

01

????

??

?

??--102

1012

100210001

=??????

? ?

?00

0000002231291225。 15. 给定P 3的两组基

?????===)1,1,1()0,1,2()1,0,1(321εεε ???

??--=-=-=)1,1,2()1,2,2()

1,2,1(3

21ηηη， 定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)，

1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵； 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵； 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵。

解 1)由(321,,ηηη)=(321,,εεε)X ，引入P 3的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0),

3e =(0,0,1)，则

(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )???

?

?

??101110121=(1e ,2e ,3e )A ，

所以

(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )???

?

? ??----111122221

=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B ，

故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为

X= A 1-B=1

101110121-????? ??????

? ??----111122221

=????

???

?

?

?

---252112323

1

23232。 2)因

A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)????

???

?

??

---252112323

1

23232， 故A 在基321,,εεε下的矩阵为

A=????

???

?

?

?

--

-252112323

123232。 4) 因A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X ，

故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.。 16.证明

??????? ?

?n λλλ

2

1与????

??

?

?

?n i i

i λλλ

2

1相似，其中(n i i i ,,,21 )是1,2,n , 的一个排列。

证 设有线性变换A ，使

A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ????

??

?

?

?n λλλ

2

1=)21,,,(n εεε D 1， 则A ( ,,21i i εε,n i ε)=( ,,21i i εε,n i ε)????

??

?

?

?n i i

i λλλ

2

1

=( ,,21i i εε,n i ε)D 2， 于是D 1

与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故

??????? ?

?n λλλ

2

1

与????

??

?

?

?n i i

i λλλ

2

1相似。

17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似。

证 因A 可逆,故A 1-存在，从而A 1-(AB)A=( A 1-A)BA=BA ，所以AB 与BA 相似。 18.如果A 与B 相似，C 与D 相似，证明：0000A B B D ????

? ?????

与相似。 证 由已知，可设B=X 1

-AX, D=Y 1

-CY ，则???? ??--1100Y X ???? ??C A 00???? ??Y X

00=???

? ??D B 00， 这里???? ??--1100Y X =????

??Y X

01-，故???? ??C A 00与???

?

??D B 00相似。 19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为：

1)A=???? ??2543 2)A=???? ??-00a a 3)A=?

??

?

??

? ??------111111*********

1 4)A=?????

??---121101365 5)A=????? ??001010100 6)A=????? ??---031302120 7)A=????

? ??----284014013

解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且A 的特征多项式为

A E -λ=

2

5

4

3

----λλ=2λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)，故A 的特征值为7，-2。

先求属于特征值λ=7的特征向量。解方程组??

?=+-=-0

550

442121x x x x ，它的基础解系

为???

? ??11，因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=1ε+2ε。

再解方程组??

?=--=--0450452121x x x x ，它的基础解系为???

?

??-54，因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠)，其中2ξ=41ε-52ε。

2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且当a=0时，有A=0，所以A E -λ=

λ

λ00

=2λ， 故A 的特征值为1λ=2λ=0。解方程组??

?=+=+0000002121x x x x ，它的基础解系为???? ??01,???

?

??10，因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε，2ξ=2ε，故A 以V 的任一非零向量为其特征向量。

当a ≠0时，A E -λ=

λ

λa a -=2

λ+a 2=(ai +λ)(ai -λ)，故A 的特征值为1λ=ai ， 2λ= -ai 。

当1λ=ai 时，方程组??

?=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为?

??

?

??-1i ，故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠)，其中1ξ=-1εi +2ε。

当2λ= -ai 时，方程组???=-=--002121aix ax ax aix 的基础解系为???

?

??1i ，故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠)，其中2ξ=1εi +2ε。

3)设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A ，因为A E -λ=(2-λ)3(2+λ)，故A 的特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ。

当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ????

??

?

??=??????? ??=??????? ??=1001,0101,0011321X X ，故A

的属于特征值2的全部特征向量为 11εk +22k ε+k 33ε (k 321,,k k 不全为零)，其中

1ξ=1ε+2ε，2ξ=1ε+3ε，3ξ=1ε+4ε。

当2-=λ时，特征方程组的基础解系为X =4????

??

? ??---1111，故A 的属于特征值-2的

全部特征向量为 k 4ξ (k 0≠)，其中4ξ=1ε-2ε-43εε-。

4）设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因

A E -λ==+-----1

21

11

3

6

5λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ)， 故A 的特征值为1λ=2，2λ

=3λ

。

当1λ=2时, 方程组???

??=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?

???

?

??-012，故A 的属于特

征值2的全部特征向量为 k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=12ε-2ε。

当λ=1+3时, 方程组??

?

??=++--=-++=+-+-0

)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?????

??--3213，

故A 的属于特征值1+3的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠)，其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε。

当λ=1-3时, 方程组??

?

??=-+--=--+=+---0

)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为????? ??+-3213，

故A 的属于特征值13-的全部特征向量为 k 3ξ (k 0≠)，其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε。

5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因

A E -λ=λ

λλ0

1

010

1

0---=(1-λ)2(1+λ)，

故A 的特征值为1,1321-===λλλ。

当12

1==λ

λ，方程组??

?=+-=-00313

1x x x x 的基础解系为,101?

???? ??010?? ?

? ???

，故A 的属于特征值1的全部特征向量为112212(,)k k k k ξξ+不全为零，其中311εεξ+=,22εξ=。

当13-=λ时，方程组?????=--=-=--0020

31

231x x x x x 的基础解系为101?? ?

? ?

-??，故A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中313εεξ-=。

6) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因

A E -λ==---λ

λλ31321

2)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ，

故A 的特征值为i i 14,14,0321-===λλλ。

当01=λ时，方程组?????=+=-=--030320221

3132x x x x x x 的基础解系为312??

?

- ? ?

??，故A 的属于特征值0

的全部特征向量为)0(1≠k k ξ，其中321123εεεξ+-=。

当i 142=λ时，该特征方程组的基础解系为????

??

?

?

?-+-+101432146i

i

，故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ，其中

321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i 。

当i 14-=λ时，该特征方程组的基础解系为????

??

?

?

?----101432146i

i ，故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中

321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 。

7) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因