高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间
1.设()
ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而
),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,
在n
R 中定义内积βαβα'A =),(,
1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；
2) 求单位向量
)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见
βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，
(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)
∑='A =j
i j i ij y x a ,),(αααα，
由于
A 是正定矩阵，因此∑j
i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量
)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，
的度量矩阵为
)(ij b B =，则
)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε???????
??nn n n n n a a a
a a a a a a Λ
M O M
M ΛΛ2
1222
22112
11)(010j ?
???
???
? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =
。
4) 由定义，知
∑=j
i j
i ij y x a ,),(βα
，
α==
β==
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
2.在4
R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3)
)2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
解 1)由定义,得
012)1(32112),(=?+-+?+?=βα，
所以
2,π
βα>=
<。
2)因为
1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα，
22
36
1818,cos =
>=
<βα，
所以
4,π
βα>=<。 3)同理可得
3),(=βα, 17),(=αα, 3),(=ββ, 773,cos >=
<βα，
所以
773cos ,1
->=<βα。
3.
β
αβα-=),(d 通常为βα,的距离，证明；
),(),(),(γββαβαd d d +≤。 证 由距离的定义及三角不等式可得
),(),(γββαd d +=。
4在R 4
中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。
解 设()4321,,,x x x x =α与三个已知向量分别正交，得方程组
???
??=+++=+--=+-+0
32004321
43214321x x x x x x x x x x x x ， 因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令
x 3,0,414213-===?=x x x ，即()3,1,0,4-=α。
再将其单位化，则 ()3,1,0,426
1
1-=
=
αηa ， 即为所求。 5．设n α
ααΛΛ,,21是欧氏空间
V 的一组基，证明：
1） 如果V ∈γ使()(),,,2,10,n i i ΛΛ==αγ，那么0=γ。
2） 如果V ∈21,γγ使对任一V ∈α有()()αγαγ,,21=，那么21γγ=。 证 1)因为n α
ααΛΛ,,21为欧氏空间
V 的一组基，且对V ∈γ，有
()()n i ,,2,10,ΛΛ=αγ ，
所以可设n n k k k αααγΛΛ++=2211， 且有 即证0=γ。
2)由题设，对任一V ∈α总有
()()αγ
αγ,2
11
=，特别对基i α也有
()()i i αγαγ
,211
=，或者()()n i i ,,2,10,21ΛΛ==-αγγ，
再由1)可得021=-γγ，即证21γγ=。 6设3
,2,1εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
也是一组标准正交基。 证 因为
[]0)2()2(49
1
=-+-+=
， 同理可得 ()()0,,3231==αααα，
另一方面
1)144(9
1
=++=， 同理可得
()()1,,3322==αααα，
即证321,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设54321,,,,εεεεε也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基, ()3221,,αααL V =，其中
511εεα+= , 4212εεεα+-= , 32132εεεα++=，
求1V 的一组标准正交基。
解 首先证明321,,ααα线性无关.事实上，由
???????
? ?
?-=001010100
110
21
1),,,,(),,(54321321εεεεεααα，
其中 ?????
??
?
?
?-=00101010
011
0211A 的秩为3，所以321,,ααα线性无关。 将正交化，可得
5
111εεαβ+==，
=-
=),(),(112222βββααβ5
42121
21εεεε-+-，
单位化，有
)(2
2
511εεη+=
， )22(10
10
54212εεεεη-+-=
， )(2
153213εεεεη-++=，
则321,,ηηη为1V 的标准正交基。
8. 求齐次线性方程组
的解空间(作为5
R 的子空间)的一组标准正交基。 解 由 可得基础解系为
)1,5,0,0,1(1--=α，)1,4,0,1,0(2--=α，)1,4,1,0,0(3=α，
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
)1,5,0,0,1(11--==αβ， )2,1,0,9,7(91
),(),(1111222---=-
=ββββααβ，
)2,1,15,6,7(15
1
),(),(),(),(222231111333=--
=ββββαββββααβ，
再将321,,βββ单位化,可得
)1,5,0,0,1(3
311--=
η，)2,1,0,9,7(15
312---=
η，)2,1,15,6,7(35
313=
η，
则321,,ηηη就是所求解空间的一组标准正交基。 9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=?
-dx x g x f )()(1
1 求R[X]4的一组标准正交基(由基1.32,,χχχ出发作正
交化)。
解 取R[X]4的一组基为,,,,13
42
321x x x ====αααα将其正交化,可得111==αβ，
x =-
=1111222)
,()
,(ββββααβ，其中(?=?=-01),1112dx x βα，又因为
?=
==-3
2),(),(21
12213dx x βββα， ?=?=-211),(1
111dx ββ， ?=?=-0),(21
123xdx x βα，
所以3
1
),(),(),(),(2222231111333-=--
=x ββββαββββααβ，
同理可得x x 5
3
),(),(),(),(),(),(333334222241111444-=---
=ββββαββββαββββααβ，
再将4321,,,ββββ单位化，即得2
2
1
11
1
=
=
ββη，
x
26
1
22
2=
=
ββη，)13(41023-=x η，)35(41434x x -=η， 则4321,,,ηηηη即为所求的一组标准正交基。 10.设V 是一n 维欧氏空间,0≠α
是V 中一固定向量,
1)证明:V },0),(|{1V x a x x ∈==是V 的一个子空间； 2)证明:V 1的维数等于n-1。
证 1)由于0,01V ∈因而V 1非空.下面证明V 1对两种运算封闭.事实上,任取,,121V x x ∈ 则有 (0),(),21==ααx x ，于是又有(0)()(),2121=+++=+αααx x x x ，
所以121x x V +∈。另一方面，也有 (0),(),11==ααx k kx ， 即11kx V ∈。故V 1是V 的一个子空间。 2)因为0≠α
是线性无关的，可将其扩充为V 的一组正交基2,,n αηηL ，且(0),=αηi
(),3,2n i Λ=，1(2,3,)i V i n η∈=L 。下面只要证明:对任意的ββ,1V ∈可以由n ηηηΛ,,32线性表
出，则1V 的维数就是1-n 。
事实上，对任意的1V ∈β，都有V ∈β，于是有线性关系n n k k k ηηαβ+++=Λ221，且
),(),(),(),(221αηαηαααβn n k k k +++=Λ，
但有假设知 ),,2,1(0),(),(n i i Λ===αηαβ， 所以0),(1=ααk ，又因为0≠α，故01=k ，从而有n n k k ηηβ++=Λ22，
再由β的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。 2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设n ααα,,,21Λ与n βββ,,,21Λ是欧氏空间V 的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是
)(ij a A =和)(ij b B =，另外，设n ααα,,,21Λ到n βββ,,,21Λ的过渡矩阵为)(ij c C =，即
???
??+++=+++=n nn n n n
n
n c c c c c c α
ααβαααβΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ221112121111 ，
=
∑=++n
k n nj j k ki
c c c
111),(αααΛ
=
∑∑==n
k n
s s k sj
ki c c
11),(αα
=
∑∑==n
k n
s ks si
ki c c
11
α，
另一方面,令
)(),(''ij ij e DC AC C d A C D ====，
则D 的元素为
∑==n
k ks ki is c d 1
α，
故AC C '
的元素
∑∑∑=======n s n
n ij sj ks ki n s sj is ij n j i b c c c d e 1
1
1
),2,1,()(Λα，
即证B AC C
='
。再由,,,,;,,,2121n n βββαααΛΛ皆为V 的基，所以C 非退化，从而B 与A 合同。
2）在欧氏空间V 中，任取一组基n ααα,,,21Λ，它的度量矩阵为),(ij a A =其中(,)ij i j ααα=，且度量矩阵A 是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即AC C E '
=。于是只要 C n n ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=，
则由上面1）可知基n βββ,,,21Λ的度量矩阵为E ，这就是说，n βββ,,,21Λ就是所求的标准正交基。
12．设n ααα,,,21Λ是n 维欧氏空间V 中的一组向量，而111212122212(,)(,)
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
(,)m m m m m m αααααααααααααααααα??
?
?
?= ?
?
??
L L M M O M L
证明：当且仅当0?≠时m ααα,,21Λ线性无关。
证 设有线性关系
02211=+++m m k k k αααΛ， 将其分别与i α取内积，可得方程组
),,2,1(0),(),(),(2211m i k k k m i m i i ΛΛ==+++αααααα，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。 13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。 证 设
??????
?
?
?=nn n n a a a a q a A M O
Λ
Λ
222112
11为上三角矩阵，则????
??
?
??=-nn n n b b b b b b A M O
ΛΛ222112111
也是上三角矩阵。由于A 是正交阵，所以'1
A A
=-，即
????
??
?
??=???????
??=nn n n nn n n b b b b b b a a a
a a a A M O ΛΛΛ
O M M 222112112122
1211
， 所以)(0j i a ij ≠=，因而
??????
?
?
?=nn a a a A O
22
11
为对角阵。再由,'
E A A =知12=ii a ，即证1=ii a 或-1。 14．1）设A 为一个n 阶矩阵，且0≠A ，证明A 可以分解成
A=QT ，
其中Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵
????
??
?
??=nn n n t t t t t t T M O
ΛΛ
22211211， 且),2,1(0n i t ii Λ=>，并证明这个分解是唯一的； 2)设A 是n 阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T ，使
T T A '=。
证 1)设A 的n 个列向量是,.,21n a a a Λ由于0A ≠，因此n a a a ,,,21Λ是线性无关的。从而它们也是V
的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
?????
?
??
???
+
---=+-==--n n n n n n n n αβηβηαηβηαηαβηαβηααη1
),(),(1),(11111122
122211
1ΛΛ， 其中
??
??
???
---=-==--1
111122211),(),(),(n n n n n n ηηαηααβηηααβαβΛΛ，
??
??
???+++=+==n
nn n n n t t t t t t ηηηαηηαηαΛΛ221122*********，
其中),,2,1(0n i t i ii
Λ=>=β。即
????
??
?
?
?==nn n n n n t t t t t t A M O
ΛΛ
ΛΛ222112112121),,,(),,(ηηηααα， 令???
?
?
?
?=nn n t t t T M O Λ111，则T 是上三角矩阵,且主对角线元素0>ii t 。 另一方面，由于i η是n 维列向量，不妨记为
),2,1(21n i b b b ni i i i ΛM =????
??
? ??=η，
且令
),,,(211111n nn n n b b
b b Q ηηηΛΛM O
M Λ=???
?
?
??=， 则有QT A =,由于n ηηη,,,21Λ是一组标准正交基，故Q 是正交矩阵。
再证唯一性，设QT T Q A ==11是两种分解，其中1,Q Q 是正交矩阵，1,T T 是主对角线元素大于零的上三角阵，则1
11
1--=T T Q Q ，由于1
111,--T
T Q Q 从而是正交矩阵也是正交矩阵,且1
1-T
T 为上三角阵，
因此, 1
1-T
T 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是1T T 与的主对角线元大于零，所以1
1-T
T 的主对角线
元只能是1，故E T T =-1
1，即证T T =1。进而有1Q Q =,从而分解是唯一的。
2)因为A 是正定的，所以A 与E 合同，即存在可逆阵C 使C C A '=,再由1)知QT C =,其中Q 是正交矩
阵T 为三角阵，所以T T QT Q T A '''==。
15.设η是欧氏空间中一单位向量，定义ηαηαα),(2-=A ， 证明:1)A 是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2)
A 是第二类的；
3)如果n 维欧氏空间中正交变换A 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间1V 的维数为
1-n ，那么A 是镜面反射。
证:1)βα,?,有:ηβαηβαβα),(2)(212121k k k k k k A +-+=+
βαηβηηαηβαA k A k k k k k 212121),(2),(2+=--+=， 所以
A 是线性变换。
又因为 ]),(2,),(2[),(ηβηβηαηαβα--=A A
),)(,)(,(4),)(,(2),)(,(2),(ηηβηαηβηαηβηαηβα+--=， 注意到1),(=ηη，故),(),(βαβα=A A ,此即A 是正交变换。
2)由于η是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基n εεη,,,2Λ,则
??
?==-=-=-=),,3,2(),(2),(2n i A A i i i i
Λεηεηεεη
ηηηηη， 即 ??????
?
?
?-=111
),,,(),,,(22O
ΛΛn n A εεηεεη， 所以
A 是第二类的。
3)
A 的特征值有n 个，由已知A 有1-n 个特征值为1，另一个不妨设为0λ，则存在一组基
n εεε,,,21Λ使??????
?
?
?=11),,,(),,,,(0
2121O
ΛΛλεεεεεεn n A ， 因为
A 是正交变换，所以),(),(),(11201111εελεεεε==A A ，
但00≠λ，所以10-=λ，于是 现令11
1
ηεε=，则η是单位向量，且与n εε,,2Λ正交，则n εεη,,,2Λ为欧氏空间 V
的 一组
基。又因为
n
n k k k A A A εεηαη
εεεεεεη+++=-=-=
=
=Λ22111
11
11
)(1
1
)1
(
，
n n n n k k k A k A k A k A εεηεεηα+++-=+++=ΛΛ221221， 1221),(),(k k k k n n =+++=ηεεηηαΛ，
所以
n n k k k εεηηαηα+++-=-Λ221),(2，即证。
16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。 证:设ξ是属于特征值λ的特征向量，即λξξ=A ，则
ξξξξξξξξξξ)'()'('')'(''A A A A A -=-=-=-=，
于是
λ
λξξλξξλ-=?-=''，
令a bi λ=+，可得0=a
，即证bi =λ。
17.求正交矩阵T 使AT T '成对角形，其中A 为
1)???
?
? ??----020212
022 2) ????? ??----542452
222
3)??
?
?
?
?
?
?
?004100144100
1400
4) ??????
?
??------------1333313333133331 5)
???
?
??
?
?
?1111111111111111
解1）由
()()()24120212022
+--=???
?
? ??--=-λλλλλλλA E ，
可得A 的特征值为2,4,1321-===λλλ。 对应的特征向量为
将其正交单位化，可得标准正交基为 故所求正交矩阵为
????? ??---=21222112231T 且????
?
??-=241'
AT T 。
2）由
()()1015424522222
--=????
? ??----=-λλλλλλA E ，
可得 A 的特征值为10,1321===λλλ。
103=λ的特征向量为 121λλ==的特征向量为
正交化，可得
()()??
?
??=-=--=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ，
再单位化，有:()()()5,4,25
31,0,1,251,2,2,131
321=-=--=
ηηη， 于是所求正交矩阵为
??
???
???
? ?
?-
-
-=5350325345
132
5325
231T 且?????
??=1110'AT T 。 3）由()()()()3355041014410
140+-+-=?????
?
?
??--------=-λλλλλλλλλA E ， 可得 A 的特征值为3,3,5,54321-==-==λλλλ，
相应的特征向量为 ()()1,1,1,1,1,1,1,121--==αα，
()()1,1,1,1,1,1,1,143--=--=αα，
将其正交单位化，可得标准正交基为
()()1,1,1,121,1,1,1,121
21--==
ηη， ()()1,1,1,1,1,1,1,12
1
43--=--=ηη，
故所求正交矩阵为
???
???? ??------=1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,121T 且?????
?? ??--=3355'
AT T 。 4）由()()8413333
133331333313
-+=?????
?
? ??+-+--+-+=-λλλλλλλA E ， 可得A 的特征值为4,84321-====λλλλ。 相应的特征向量为
()()0,0,1,1,1,1,1,121=--=αα， ()()1,0,0,1,0,1,0,143=-=αα，
正交化后得
()()0,0,1,1,11,1,121=--=ββ，
??
?
??-
=??? ??-
=1,31,
31
,31
,0,1,21,21
43ββ， 再单位化，可得
??
?
??=??? ??
--
=0,0,21
,21
,21,21,
21,2121ηη，
???
?
??-=???? ?
?-
=323,
3
21,321
,3
21,,0,62
,
6
1,
6143ηη， 故所求正交矩阵为
??
??????
??
?
??---
-=3230
2
13216202132161212
1321
6
12121T 且 ??????
? ??---=4448'AT T 。 5）由()411111
1111111111
13
-=?????
?
? ??----------------=-λλλλλλλA E ， 可得
A 的特征值为0,44321====λλλλ。
相应的特征向量为 ()()0,0,1,1,1,1,1,121-==αα，
()()1,0,0,1,0,1,0,143-=-=αα，
将其正交化，可得
()()0,0,1,1,1,1,1,121=--=ββ，
??
?
??-
=??? ??-
=1,31,
31,
31
,0,1,21,2143ββ， 再单位化后，有
???
? ?
?=???
??--=0,0,
21,21,21,
21
,
21`
,21
21ηη，
???
?
??-=???? ?
?-
=323,
3
21,321,3
21,0,62
,
6
1,
6
143ηη， 故所求正交矩阵为
??
??????
??
?
??---
-=3230
2
13216202132161212
1321
6
12121T 且??????
? ??=0008'AT T 。 18用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1）32212
322214432x x x x x x x --++； 2）3231212
32
22
184422x x x x x x x x ++---； 3）432122x x x x +；
4）4342324131212
42
32
22
1264462x x x x x x x x x x x x x x x x -+--+-+++。 解 1)设原二次型对应的矩阵为A ，则
????
? ??----=320222021A ，
且A 的特征多项式为
)5)(1)(2(-+-=-λλλλA E ，
特征值为
5,1,2321=-==λλλ，
相应的特征向量为
()()1,2,2,2,1,221=--=αα， ()2,2,13-=α，
单位化后，有
()()()2,2,13
1,1,2,231,2,1,231
321-==--=
ηηη， 令X=TY ，其中
????
?
??--=21222112231T ，
则
2
3222152'y y y AX X +-=。
2)原二次型对应的矩阵为
???
?
?
??---=242422221A ，
且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，
特征值为
2,7321==-=λλλ。
相应的特征向量为
()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，
正交化,可得
()()??
? ??=-=-=1,54,
52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有
???
?
??=???? ?
?-=???
??-=535,534,532,0,51
,52,32,32,
31
321ηηη， 令X=TY ，其中
????????
?
?
?--
=5350325345
132
5325
231
T ， 则
2
32
22
1'
227y y y AX X ++-=。 3)原二次型对应的矩阵为
??
?
?
?
?
?
?
?=010*********
0010A ，
且A 的特征多项式为
22)1()1(-+=-λλλA E ，
特征值为
1,14321-====λλλλ。
相应的特征向量为 ()()1,1,0,0,0,0,1,121==αα， ()()1,1,0,0,0,0,1,143-=-=αα，
标准正交基为
()()1,1,0,02
1,0,0,1,
12
12=
=
ηη，
()()1,1,0,0,0,0,1,
12
143-=-=
ηη，
令X=TY ，其中
??
?
?
?
?
? ?
?--=
10101010010101
0121T ，
则
2
4232221'y y y y AX X --+=。
4)原二次型对应的矩阵为
??????
?
??--------=1132112332112311A ，
且A 的特征多项式为
)7)(3)(1)(1(++-+=-λλλλλA E ，
特征值为
3,1,7,14321-=-===λλλλ。
相应的特征向量为
()()1,1,1,1,1,1,1,121--==αα， ()()1,1,1,1,1,1,1,143--=--=αα，
标准正交基为
()()1,1,1,12
1,1,1,1,121
21--==
ηη， ()()1,1,1,12
1,1,1,1,
12
143--=
--=
ηη，
令X=XY ，其中
??????
? ??------=11111
1111111111121T ， 故
2
42
32
22
1'
37y y y y AX X --+=。
19.设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零。
证明 二次型AX X
'
经过正交变换X=TY ，可使
2
222211'n
n y y y AX X λλλ+++=Λ， 其中n λλλ,,,21Λ为A 的特征根。由于A 为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是0(1,2,,)i i n λ>=L ，即证。 20.设A 是n 级实矩阵，证明：存在正交矩阵T 使AT T '
为三角矩阵的充分必要条件是A 的特征多项式的
根是实的。
证明 为确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。 先证必要性，设
???
?
??
?
??-=nn n n
c c c c c c AT T λM O
ΛΛ
22211211'
， 其中T ，A 均为实矩阵，从而ij c 都是实数。又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以
)())((2211222112
11
1nn nn n n c c c c c c c c c AT T E A E ---=????
??
?
?
?------=-=--λλλλλλλλΛM O
Λ
Λ从而A 的n 个特征根nn c c c ,,,1211Λ均为实数。
再证充分性，设s λλλ,,,21Λ为A 的所有不同的实特征根，则A 与某一若尔当形矩阵J 相似，即存在可逆实矩阵0P ，使
J AP P =-010，
其中
????
?
?
?=S J J J O 1
， 而
),,2,1(111
s i J i i
i
i i ΛO
O
=?????
??
?
?
?=λλλλ， 由于i λ都是实数,所以J 为上三角实矩阵。
另一方面，矩阵0P 可以分解为 000S T P =， 其中0T 是正交矩阵，0S 为上三角矩阵，于是
J S AT T S AP P ==---001
01
001
0， 即
1
0001
0--=JS S AT T 。
由于1
00,,-S J S 都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。
21.设A ，B 都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T 使B AT T =-1
的充分必要条件是A ，B
的特征多项式的根全部相同。
证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。
现证充分性，设n λλλ,,,21Λ是A 的特征根，则它们也是B 的特征根。于是存在正交矩阵X 和Y ，使
BY
Y AX X 1
411--=??????
?
?
?=λλ
λ，
所以
YX
1
-AXY
1
-=B 。
令T=XY
1
-则T 也是正交矩阵，从而T
1
-AT=B,，即 证。
22.设A 是n 级实对称矩阵，且A 2
=A ，证明：存在正交矩阵T 使得
T 1
-AT=??????????
?
?
?00111O
O 。 证 设λ是A 的任一特征值，ξ是属于λ的特征向量，则
A ξ=λ
ξ, A 2ξ=A(λξ)=λA ξ=λ2ξ，
由于
A 2
=A ?λ
2
ξ=λξ?(λ
2
-λ)ξ=0，
又因为0ξ≠，所以λ
2
-λ=0，即得
λ
1
=0,λ
2
=1。
换句话说，A 的特征值不是1就是0。故存在正交矩阵T ，使
T 1
-AT=??????????
?
?
?00111O
O 。 上式中，对角线元素中1的个数为A 的特征值1的个数，0的个数是A 的特征值0的个数.。 23.证明：如果A 是n 维欧氏空间的一个正交变换，那么A 的不变子空间的正交补也是的A 不变子空间。
证 设W 是A 的任意一个不变子空间，现证W ⊥
也是A 的不变子空间。 任取∈αW ⊥
, 下证A ∈αW ⊥
。取ξ1
，ξ
2
，K ξ
m
是W 的一组标准正交基，再扩充成V 的一组
标准正交基为ξ1，ξ
2
，K ξ
m
，ξ1+m ，
K ，ξn ，则
W=L (ξ1，ξ
2
，K
ξ
m
), W ⊥
=L (ξ
1+m ，
K ，ξn )。
因为A 是正交变换，所以A ξ
1
，A ξ
2
K A ξn 也是一组标准正交基，由于W 是A ——子空间，
A ξ
1
，A ξ
2
K A ξ
m
∈W ，且为的一组标准正交基，于是
北大版高等数学第4章习题集解答
习题 4.1 3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33 2.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+===+''= ∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列 解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32 ),(0). 3 3.()ln [1,],?11 (),()(1)ln ln11(1), 1. https://www.360docs.net/doc/e113030751.html,grange (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2); (3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||. (3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()cos cos 2cos (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
北大版高数答案
习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
高等代数(北大版第三版)习题答案III
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
北大版高等数学课后习题答案完整版
习题 1.1 22 22222222222222 223. 33,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b ====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11n n n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.: 6.120000(1)(1)(1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+ ∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
高等代数北大版习题参考答案
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
北大版高等数学第5章习题解答
习题5.1 1.,,,,,().11 ,,().22 ABCD AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=- =-+设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b () 2.,1 (). 2 11 22 1 ().2 M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 证 3.,,1 (). 3 221 () 332 1 (), 3 1(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+?+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1 (). 3 1 3,(). 3 CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++ 4.,1 ,(). 4 1 (), 2 11 (),(), 221 (). 2 4ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1 ,(). 4 OM OA OB OC OD =+++
2222225.?(1)()();(2)();(3)()(). (1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==?=?======0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,1122 11 ().22DE DA AE BA AC BA AC BC =+= +=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证 2227.: (1),;(2).(1)()()()()||||0. ()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB AD AB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2, ||()cos cos . ||||||||||| ,. a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB AD AB AC AB AC a AC βααβαβ+++=====与都是锐角故 22 2 2 2 (2)||()()||||2||||. AC AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+ 2222222222222222228.()()||||. ()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα?+=?+=+=+=?=?证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11 的面积= 的面积22 证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2222222 2 2210.,,,()()2(). ()()()()()()222(). =++-=+++-=+++--=-+给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b
高等代数北大版第章习题参考答案
高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈，X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题
第一章总练习题 221.:581 2. 3|58|1422.|58|6,586586,. 3552 (2)33,5 2 333,015. 5 (3)|1||2| 1 (1)(2),2144,. 2 2|2|,. 2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2. 解22231231 2,4,(2). 3 2,41 (2), 4.3 1 3.1. 2 2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222 121 1,.22 123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤??=?->??<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则 解证1231111 12 1 2 112 22 11231222222 2124(1)(1)3222,2222 1..1(1)(2)123(1). (1)1(11)1(1)1,(1)(1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1 21 2 .1(1)123(1)(1)(1) n n n n n n n x nx x x nx n x n x x +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则
北大版高等数学第一章-函数及极限答案-习题1.2
习题 1.2 2 22 2 22 ln(4);(2) 40,||4,||2,(,2)(2,). 1010 1 (2)0..11,(1,1). 1010 1 5 (3)1,540.540,( 4 y x y y y x x x D x x x x D x x x x x x x x x x =-=== ->>>=-∞-?+∞ ->-< ?? + >-<<=- ?? +>+< -?? - >--<-+= 求下列函数的定义域 或 1.: (1) 解(1) 12 2 12 2 1)(4)0,1, 4. (1,4). (4)2530.(21)(3)0,3,1/2.(,3)(1/2,). (), ()1,(0,3).()(1,10). (2)()ln(1sin),(/2,],()(,ln2]. (3)( x x x D x x x x x x D f X X f x x X f X f x x X f X f x ππ --=== = +->-+==-==-∞-?+∞ =+== =+=-=-∞ 求下列函数的值域其中为题中指定的定义域 2.. (1) 22 12 2 )[1,3],320,230,(1)(3)0, 1,3,()[0,(1)][0,4]. (4)()sin cos,(,). ()cos(/4)cos sin(/3))/4),()[ ln (1)(),(1) ln10 X x x x x x x x x f X f f x x x X f x x x x f X x f x f πππ ==-+-=--=+-= =-=== =+=-∞+∞ =+=+= =- 求函数值： 设求 3. 2 ,(0.001),(100); (2)()arcsin,(0),(1),(1); 1 ln(1),0, (3)()(3),(0),(5). , 0, cos,01, (4)()1/2,1,(0),(1),(3/2),(2). 2, 13 (1)()l x f f x f x f f f x x x f x f f f x x x x f x x f f f f x f x - =- + --∞<≤ ? =- ? -<<+∞ ? ?≤< ? == ? ?<≤ ? = 设求 设求 设求 解264 og,(1)log10,(0.001)log(10)6,(100)log10 (2)(0)0,(1)arcsin(1/2)/6,(1)arcsin(1/2)/6. (3)(3)ln4,(0)0,(5) 5. (4)(0)cos01,(1)1/2,(3/2)(2) 4. 2 4.(), 2 x f f f f f f f f f f f f f x f x x x ππ - -==-==-= ===-=-=- -===- ===== + =≠ - =4.设函数 11 2,(),(1),()1,,. () 2213 (),2;(1),1,3, 2211 f x f x f x f x f x x x x f x x f x x x x x x ?? ±-++ ? ?? -+++ -=≠±+==≠≠- +--- 求 解
最新北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题
北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总 练习题
第四章总练习题 000000001..()()[()()]. ()(),[0,].()()(),(0)0. Lagrange ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y=f(x)在[x -h,x +h](h>0)内可导证明存在,0<<1使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得 证00000 ()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞ ''+--=++-≥= ≤≤=== = =+=++=+即证明当时中的满足且 00). 11()(12), 441 11()(12)(1(1)2). 442 11 lim ()lim (12).44 1 lim ()lim (12)4 1 lim 4x x x x x x x x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞≥+=-=+≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得 2 2 111lim lim .442 3,012 3.()()[0,2]1, 1,01 (2)(0)1().12 0, 1x x x x f x f x x x x x f f f x x x = ===?-≤≤??=??<<+∞??-≤≤?-? '==?--<<+∞??设求在闭区间上的微分中值定理的中间值. 解2/23/21. 221111,;,()[0,2]222x x x f x x -=--=-=-=-=1 在闭区间上的微分中值定理的中间值为2
高等数学( 北大版)答案一习题1.3
习题1.3 1.(1,2,),lim 1,0,,2 |-1|,: n n n n n x n x N n n N x εε→∞= ==>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得 当时有 并填下表 220,1,|-1|| 1|,2,2222,,|-1|. 2.lim 0,lim ||||. 3.{}(1)n n n n n n n n x n n n N n N x a N a l a εεεε εεε→∞ →∞ ?><=-=<>-++?? =->?=不妨设要使只需取则当时就有设设证证(2){}(1) ||||| 1. (2) -31(1)lim 23n n n a l l l M N n n εε→∞-+<+=+-对于令4.用证23/23/2(3)lim 1(5)lim 1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)3 1311(1),2322(23)n n n n n q n n n n n n n n εεε→∞→∞→∞?+ ?-????++= ?+?? +?-=<-- 不妨设要使只需证>0,<1,311 3, 2113133133,,,lim . 22322321 (2),,, n n n N n N n n n εεεεεεε →∞>+++?? =+>-<=??--?? ?<≤<>取当时故>0,
32222333331,. 1 (3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)126 6242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4) ,,. n n n n N n N q n n n n q n n n n n n n n N n n n n n N εεαααααααεααεαεαε?? =>>+==---++++++?? <<<>=??--???? ≤<>=?? 取当 5. n =2222226.4.(1)(1)(1)12 7.: (1)l n n n n n n n εεεεεεεε? ??-+-?? ++故而 求下列各极限的值证证32232244 432 220. 310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞ →∞==+-+-==-+-+++==++?? ????+=+=?? ? ??? ??????
北大版高等数学课后习题答案完整版
习题1.1 2 222 2 2222 22222 2 22 2 . ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,3 1.3,93,3,3., ,. ,,,, p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b === =+=+=++=++ === === 为互素自然数除尽 必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾. 设是正的素数 为互素自然数,则素 证 2. 证 1. 2 22222 2 ,, .,.., : (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0); 01,13,13,(0,1); 1,13,3/2,(1,3/2). (1,0)(0,1) p a p a a pk p k p b pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X === +-<-< <-+-<>->-- <<+-<< >+-<< =-? 数除尽故除尽 类似得除尽此与为互素自然数矛盾. 解下列不等式 若则 若则 若则 3. 解 (1) 222 (1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1). ,(1)||||||;(2)||1,|||| 1. (1)|||()|||||||||,||||||. (2)|||()|||||| x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ? -<-<<<<<<<=?- +≥--<<+ =++-≤++-=+++≥- =+-≤+-< 设为任意实数证明设证明 证 4. , | 1. (1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,). (2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11 x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a + +>-> +>+<->-<-=-∞-?-+∞ >=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞ - ><< >=>-=-= 解下列不等式 或或 若若若 若证明其中为自然数 若 解(1) 证 5.: 6. 12 00 00 1)(1)1). (,),(,). 1/10. {|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10, /10(1)/101/10 n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m -- +++> <- =∈?=?=?=?≥ =?≤-∈ -≤- Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数 取自然数 满足考虑有理数集合 =若则 中有最小数 -= 证 7. (,),(,). 1/10.|}. 10 n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数 取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题. 8. 证 习题1.2
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V的一组基，并求它的对偶基。 证：设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2，ε3）A 由已知，得 A＝ 110 011 111????????-?? 因为A≠0，所以α1，α2，α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1- ＝（f1,f2,f3） 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：?α∈V，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。 当s＝1时，f1≠0,所以?α∈V，使fi(α)≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即?α∈V，使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立，若f 1 k+ (α)＝0，则由f 1 k+ ≠0知，一定?β∈V 使f 1 k+ (β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+，则γ∈V，且
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的，即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有 b K ， ab K ，且当b 0时，a/b K ，则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 K ，且 a 0。于是 进而 最后， m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集，记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集，记做A B 。 的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为 B, f (a). 如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像，记做 f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号： 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 习题3.2
习题3.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2111.ln ln ln ln 2 2 2 111 ln ln ln .2 2 222 4 1 1112 2.1212212 a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x xd x xd x x x d x x x x x x x d x x xd x x C x x e d x x d e x e e d x x e xe d x a a a a a x x e xd e x e e e d x a a a a a x e a == - =- =-= -+==- = - =-=-+=- ??? ???????? 求下列不定积分 ：2 2 2 3 2232 122 122.1 11 3.sin 2co s 2co s 2co s 22 2 2 11co s 2sin 2. 2 4 4.arcsin arcsin arcsin arcsin 1arcsin 2 a x a x a x a x a x x xd e x e e e C a a a a x e x C a a a x xd x xd x x x xd x x x x C xd x x x xd x x x x x x = - + +??=-++ ? ??=-=- + =- + +=-=- =+ =? ????? ? ? arcsin . x C + 2 2 2 2 222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln (1).2 12 1116.co s 3co s 3co s 3co s 32 2 2 1313co s 3sin 3co s 3sin 3222 4 1x x x x x x x x xd x xd x x x xd x x x x d x x x x x x C x I e xd x xd e e x e d x e x e xd x e x xd e =-=- ++=-=- +++== =- =+= + =?? ?? ?????() ()22222223 co s 3sin 33co s 324 139co s 3sin 3, 24 44131co s 3sin 32co s 33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33co s 3sin 33co s 3sin 33x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e xd x e x e x I I x x e C x x e C x I d x xd e e x e xd x e e x xd e e x e -------+-=+ - ??= ++=++ ? ?? ==-=-+=--=--?? ???( )co s 33sin 3x x e xd x -+?