高中数学必修4平面向量知识点总结.doc

高中数学必修 4平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1 向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a, b, c来表示，或用有向线段的

起点与终点的大写字母表示，如：uuur uuur

AB 几何表示法AB ，a；坐标表示法

a xi yj

uuur

( x, y) 向量的大小即向量的模（长度），记作| AB |即向量的大小，

记作｜ a ｜

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为 0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向

量 a ＝0

r r

｜ a ｜＝ 0 由于0的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在

有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注

意与 0 的区别）

③单位向量：模为 1 个单位长度的向量

向量 a0为单位向量｜a0｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以

移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 a ∥b由于向量可

以进行任意的平移 ( 即自由向量 ) ，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向

量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为

a b 大小相等，方向相同( x1 , y1 ) ( x2 x1 x2

, y2 )

y2

y1

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

uuur r uuur r r uuur uuur uuur

设 AB a, BC b ，则a +b = AB BC =AC

（ 1）

0 a a

a ；（）向量加法满足交换律与结合律；

2

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与

已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

（2）三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一

个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，

用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AB BC CD L PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”．

3向量的减法

①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量

记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有：（i ）( a) = a ； (ii) a +( a )=( a )+ a =0；

(iii) 若a、b 是互为相反向量，则 a = b ,b = a , a +b =0

②向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做a与

b

的差，

记作： a b a ( b ) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）

4实数与向量的积：

①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ） a a ；

（Ⅱ）当0 时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a

的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

5两个向量共线定理：

向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a

6平面向量的基本定理：

如果 e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量

a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e1 2 e2，其中不共线的向量e1, e2叫做表

示这一平面内所有向量的一组基底

7特别注意 :

（1）向量的加法与减法是互逆运算

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只

与其相对位置有关

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的 运算处理几何问题， 特别是处理向量的相关位置关系， 正确运用共线向量和平面 向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂 直等 由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、 解几等结合 起来进行综合考查，是知识的交汇点

例 1 给出下列命题： r

r r

r ① 若| a | ＝ | b | ，则 a =b ；

uuur uuur

② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边

形的充要条件；

r

r

r r r r

③ 若 a =b ， b = c ，则 a =c ，

r r

r r r r ④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；

r

r

r r r r

⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a // c ， 其中正确的序号是

解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

② 正确．∵ uuur

uuur uuur uuur uuur uuur

AB

DC ，∴ |AB | |DC |且 AB// DC ，

又 A ， B ， C ， D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，

uuur uuur uuur uuur

若四边形 ABCD 为平行四边形，则， AB // DC 且 | AB | | DC |，

uuur uuur

因此， AB DC ．

③ 正确．∵ r r r r

a =

b ，∴ a ， b 的长度相等且方向相同；

r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向相同， r r

r r ∴ a ， c 的长度相等且方向相同，故 a ＝ c ．

④ 不正确．当 r r

r a // b 且方向相反时，即使 | a |=| r r r b | ，也不能得到 a =b ，故 r r r r r

r | a |=| b | 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必要不充分条件．

r r

⑤ 不正确．考虑 b =0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③．

点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．

例 2 设 A 、 B 、 C 、 D 、O 是平面上的任意五点，试化简：

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD

③ OA OC OB CO

解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur

uuur ( AB BC ) CD AC CD

AD

②原式 = uuur

uuur uuur r uuur uuur (DB

BD ) AC 0 AC AC

③原式 = uuur

uuur ( uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur

(OB OA) OC CO) AB (OC CO ) AB 0 AB

r 、 r

r

r

r ， r r r

，若 r ∥ r ，试 例 3 设非零向量 a

b 不共线， c

d

d

=k a +b = a +k b (k R) c

求 k

r

r

解：∵ c ∥ d

∴由向量共线的充要条件得：

r

r

λ

c λ

d R)

= (

r

r

r

r

r rr 即 k a + b =λ ( a +k b )∴(k λ)

a + (1 λk)

b = 0

r r

又∵ a 、 b 不共线

k 0 k

1

∴由平面向量的基本定理

k

1

二 .平面向量的坐标表示

1 平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与

x 轴、 y 轴方向相同的两个

r r r 单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可表示

r r r

r r 成 a xi yj ，由于 a 与数对 (x,y)是一一对应的，因此把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，

r r

记作 a =(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、 终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关

2 平面向量的坐标运算：

(1) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2 ，则 r r x 1 x 2 , y 1 y 2

若 a ,b a b uuur

(2) 若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1

(3) r =(x,y)，则 r y)

若 a a =( x,

(4) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2 ，则 r r x 1 y 2 x 2 y 1 0

若 a ,b a // b (5) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2 ，则 r r x 1 x 2 y 1 y 2

若 a ,b a b

r r 0

若 a b ，则 x 1 x 2 y 1 y 2

3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算

的坐标表示和性质

运 几何方法 坐标方法

算 类

型

r

向

1 平行四边形法则 r

量 2 三角形法则

a b (x 1 x,y 21 y)2

的 加 法

向

三角形法则

r r

量

a b (x 1 x 2,y 1 y 2)

的 减 法

向

a 是一个向量 ,

a ( x, y)

量 满足 :

的 >0 时 , a 与 a 同 乘 向;

法

<0 时 , a 与 a 异 向;

=0 时, a =0

向

a ?

b 是一个数

r r

x 1x 2 y 1y 2

量

a?b

的

a

0 或 b 0时,

数

量

a?b =0

积

a

0且 b 0 时,

a?b | || b |cos ,

a

a b

例 1 r r r r r r 已知向量 a (1,2), b ( x,1),u a 2b ， v 值 r r r r r r r r

解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a

b

r

(2 x 1,4) r

2(1,2) (x,1) 所以 u (1,2) 2( x,1)

， v r r

又因为 u // v

所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5

运算性质

a b b

a

(a b) c a (b c) uuur uuur uuur AB BC AC

a b

a (

b )

uuur uuur AB

BA

uuur uuur uuur OB OA AB

( a) (

)a

(

)a

a a ( a

b )

a b

a ∥ b

a

b a ? b b ? a ( a) ?b a?( b)

(a?b)

(a b) ?c a ?c b ?c

a 2 | a |2 , | a| x 2 y 2

| a ? b | | a || b | r r r r

2a b ，且 u // v ，求实数 x 的

(2 x,3)

解得 x

1 2

例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB （ O 为坐标原 点）交点 P 的坐标 uuur uuur

解：设 P( x, y) ，则 OP ( x, y), AP (x 4, y)

因为 P 是 AC 与OB 的交点

所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上

uuur uuur uuur uuur

即得 OP // OB, AP // AC

uuur

uuur 由点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4) 得方程组

6( x

4) 2y 0

4 x 4 y 0

解之得

x

3 y 3

故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3)

三．平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：

已知两个非零向量 r 与 r ，它们的夹角为 ，则 r r

r ︱·︱ r ︱cos

b

· ︱

b a a b = a

r r r r

叫做 a 与 b 的数量积（或内积） 规定 0 a 0

r r r r r

=

a r

2 向量的投影： ︱ b ︱ cos

b ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对

| a |

值称为射影

3 数量积的几何意义： r r r r r

a ·

b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积

4 向量的模与平方的关系： r r

r 2 r 2 a a

a | a |

5 乘法公式成立：

r r r r r 2 r 2 r a b a b a b

a r r 2 r 2

r r r 2 r a b

a

2a b b a 2 r 2 b ；

2 r r r 2 2a b

b

6 平面向量数量积的运算律：

r

r

r

r

①交换律成立： a b b a

②对实数的结合律成立：

r r r r r r a b

a b

a

bR

r r

r r r r r r r r ③分配律成立： a b

c a c b c

c a b

特别注意 ：（1）结合律不成立： r r r

r r r a b c

a b c ；

（ 2）消去律不成立 r r r r

不能得到 r r

a b a c

b c

r

r

r

r

r r

（ 3） a b =0 不能得到 a = 0 或 b =0

7 两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量

r r

r r

a ( x 1 , y 1 ),

b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · = x 1x 2 y 1 y 2

b

8 向量的夹角： 已知两个非零向量

r

r uuur r uuur r

a 与

b ，作 OA = a , OB = b , 则∠ AOB=

（ 0 0 180 0

r r ）叫做向量 a 与 b 的夹角

r r r r x 1 x 2 y 1 y 2

cos = cos a ?b =

a,b r r 2 2 2 2

a ?

b x 1 y 1 x 2 y 2 当且仅当两个非零向量 r r 同方向时，θ

r r a 与 b =00，当且仅当 a 与 b 反方向时

θ r

=1800，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

r r 0

r r r r 9 垂直：如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b

10 两个非零向量垂直的充要条件 ：

a ⊥ b

a ·

b ＝ O x 1x 2 y 1 y 2 0 平面向量数量积的性质

例 1 判断下列各命题正确与否：

（ 1） r r r 0 ；

0 a 0 ；（2） 0 a

（ 3）若 r r r

r r r

r

a 0, a

b a

c ，则 b c ；

⑷若 r r r r r r r r 时成立； a b

a c ，则

b

c 当且仅当 a 0

（ 5） r r r r r r 对任意 r r r

(a b )

c a (b c) a,b ,c 向量都成立；

r r 2 r 2

（ 6）对任意向量 a ，有 a a

解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对

r r 120 0

，若 r r r r r r

r 与

例 2 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 c 2a

b, d 3b a ，试求 c

r

d 的夹角

解：由题意，

r

r

r r 0

，

a

b

1 ，且 a 与 b 的夹角为 120

r

r

r r

1 ， 所以， a b

a b cos120 r 2 r r r r r r 2 r

r r

r 2

2

7 ，

Q c c c

(2a b) (2 a b)

4a 4a b b

r 7 ， c

r 13

同理可得

d

r

r

r rr r r r r 2 r 2 17

，

而 c d

(2 a b ) (3b a) 7a b 3b

2a 2

r

r

设 为 c 与 d 的夹角，

则 cos

2 17 1

3 17 91 arccos 17

91

7 182

182 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑

例 3 r 4,3

r 1,2 r r r r r r 已知 a ， b ， m a b , n 2a b ，按下列条件求实数

的值

r r r r r r （1） m n ；（2） m // n ； (3) m n r r r 4 ,3 2 r r r 7,8

解： m a b , n 2a b

r r 4 7 3 2 8 0 52 ；

（ 1） m n 9

r r 4 8 3 2 7 0 1 ；

（2） m // n

2

r r 4 2 3 2 2 2 5 2 4 88 0 (3) m n 2 7 8

2 2 11

5

点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算

（七）向量中一些常用的结论：

1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

r r r r r r r r

2. ||a| | b|| | a b| | a| |b|，特别地，当a、b同向或有

r r r r r r r r r

0 |a b| |a| |b| ||a| |b|||a b|；

r r r r r r r r r r r

当 a、b反向或有

0 |a b| |a| |b| ||a| |b|| |a b|；

r r r r r r r r

当 a、b不共

线||a| |b|| |a b| |a| |b|(这些和实数比较类似).

3.在 ABC 中，①若A x1, y1, B x2, y2, C x3, y3，则其重心的坐标为

G x1 x2 x3, y1 y2 y3。

3 3

uuur 1 uuur uuur uuur

② PG 3 (PA PB PC)

G 为ABC的重心，特别地

uuur uuur uuur r

P 为ABC的重心；

PA PB PC 0

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

③PA PB PB PC PC PA P 为ABC的垂心；

uuur uuur

AB AC )( 0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分

④向量 ( uuur uuur

|AB| |AC|

线所在直线 ) ；