反比例函数与一次函数的综合应用

反比例函数与一次函数

举一反三：

1.函数y=-x与y=

1

x

在同一直角坐标系中的图象是（）

2.当k>0时，反比例函数

x

k

y=和一次函数y=kx-k的图象大致为（）

3.已知关于x的函数y=k（x+1）和y=-

k

x

（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（?）．

4.函数y＝－ax＋a与

x

a

y

-

=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

5.已知函数

k

y

x

=-中，0

x>时，y随x的增大而增大，则y kx k

=-的大致图象为（）

x x

D

x

A

-4

2、反比例函数与一次函数交点

反比例函数与一次函数交点分两种情况：有两个，或者没有 练习题： 1. 在函数y=

1

x

与函数y=x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个

2. 已知正比例函数x k y 11=和反比例函授x

k y 2

2=

的图像都经过点（2，1），则1k 、2k 的值分别为（ ） A 1k =21，2k =21 B 1k =2，2k =21 C 1k =2，2k =2 D 1k =2

1

，2k =2

3. 反比例函数k

y =与正比例函数2y x =图像的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（ ）

A B C D 4. 已知关于x 的一次函数y=kx+1和反比例函数y=

6

x 的图象都经过点（2，m ），则一次函数的解析式是________． 5. 已知一次函数y=2x －5的图象与反比例函数y=x

k

(k≠0)的图象交于第四象限的一点P （a,－3a ），则这个反比例

函数的关系式为 。

6. 若函数x m y )12(-=与x

m

y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 7. 若一次函数y=x+b 与反比例函数y=k

x

图象，在第二象限内有两个交点，?则k______0，b_______0，（用“>”

、“<”、

“＝”填空）

3、求一次函数和反比例函数的关系式.

例：如图，反比例函数x

k

y =

的图象与一次函数b ax y +=

的图象交于M 、N 两点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式。

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的

取值范围。

解：（1）将点N （﹣1，﹣4）代入x

k

y =

，得

k=4 A ．

B ．

C ．

D ．

图5

m ）

∴反比例函数的解析式为x

y 4= 又∵M 边在x

y 4=上 ∴m=2

由M 、N 都在直线b ax y +=，由两点式可知：

?

?

?=+-=+-224

b a b a ，解得2,2==b a ∴一次函数的解析式为22+=x y

（2）由图象可知

当时和201<<-

举一反三：

1. 如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数m

y x

=

的图象相交于A ，B 两点。 （1）求反比例函数与一次函数的表达式（2）根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时x 的取值范围。 2. 如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A,B 两点,且与反比例函数y=

m

x

(m≠0) 的图象在第一象限交于C 点,CD ⊥x 轴, 垂足为D,若OA=OB=OD=1.求(1)点A,B,D 坐标；（2）一次函数与反比例函数的解析式。

3. 如图，反比例函数4y x =-

的图象与直线1

4

y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作 x 轴的平行线相交于点C 。求（1）点A 、B 的坐标； （2）ABC △的面积。

4. 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=的图象交于(21)(1)A B n -，

，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB △的面积．

5. 已知一次函数b kx y +=的图像与反比例函数x

y 8

-=的图像交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐

标都是－2 ， 求（1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积

4、实际问题与反比例函数

用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。

第2题图

第5题图

第1题图

（1）由题意列关系式

例：某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

分析：（1）题中已知变量P 与V 是反比例函数关系，并且图象经过点A ，利用待定系数法可以求出P 与V 的解析式，得V

P 96

=

，（2）当v ＝8m 3时代入P ＝96v 得P ＝120千帕；（3）问中当P 大于144千帕时，气球会爆炸，即

当P 不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随V 的增大而减小，可先求出气压P ＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于3

2

立方米

举一反三：

1．京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系式为

2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x 人完成这项任务，试写出人均报酬y （元）与人数x （人）之间的函数关系式

3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m 3）是它的体积V （m 3）的反比例函数，当V ＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V ＝2时氧气的密度ρ 4.小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分） （1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

5．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天 （1）则y 与x 之间有怎样的函数关系？ （2）画函数图象

（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

（2）利用图象列关系式

例：为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药

物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与x 成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为 ,自变量x 的取值范为 ；

药物燃烧后，y 关于x 的函数关系式为 . (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?

分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y 是x 的正比例函数，设x k y 1=，将点（8，6）代人解析式，求得x y 4

3

=，自变量0＜x ≤8；药物燃烧后，由图象看出y 是x 的反比例函数，设x

k y 2=

，用待定系数法求得x y 48=

（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先

将药含量y ＝1.6代入x

y 48

=，求出x ＝30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y 随时间x 的增大而减小，求得时间至少要30分钟

（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y ＝3时，代入x y 4

3

=中，得x ＝4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y ＝3时，代入x

y 48

=，

得x ＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒有效

举一反三：

1．某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数x 之间的函数关系是（ ） A x y 300=

（x ＞0） B x

y 300

=（x ≥0） C y ＝300x （x ≥0） D y ＝300x （x ＞0） 2．已知甲、乙两地相距s （千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a （升），那么从甲地

到乙地汽车的总耗油量y （升）与汽车的行驶速度v （千米/时）的函数图象大致是（ ）

3．一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a 米3

/分，且排水时间为5～10分钟

（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围； （2）请画出函数图象

（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？

4．某学校接受3600册的捐赠图书，分给x 名学生，平均每名学生分得的图书册数为y 册。 （1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）如果学生为720名，平均每人分得图书多少册？ 5．某空调厂的装配车间计划组装9 000台空调,

（1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位：台/天）与生产的时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系？ （2）原计划用两个月时间（每月以30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那

么装配车间每天至少要组装多少空调？

6．小明家离学校1.5km ，小明步行上学需min x ，那么小明步行速度(m /min)y 可以表示为1500y x

=；水平地面上

重1500N 的物体，与地面的接触面积为2

m x ，那么该物体对地面压强2(/m )y N 可以表示为1500y x

=； ，函

数关系式1500y x

=还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1．例．

7．有一容量为180升的太阳能热水器，设其工作时间为y （分），每分钟的排水量为x （升）。 （1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）若热水器可连续工作的最长时间为1小时，求自变量x 的取值范围； （3）若每分钟排放热水4升，则热水器不断工作的时间为多少？

课堂检测（一）

一、选择题（每小题3分，计18分） 1、下列函数是反比例函数的是( )

A 、y=

3x B 、y=x

36 C 、y=x 2+2x D 、y=4x+8 2、如图，这是函数（ ）的大致图像。

A 、y=-5x

B 、y=2x+8

C 、y=x 5

D 、y=x

3

- 3、如图，函数)1(+=x k y 与x

k

y =

在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ）

4、已知反比例函数()0<=

k x

k

y 的图象上有两点A （11,y x ）、B （22,y x ），且21x x <，则21y y -的值是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、不能确定 5、在电压一定时，通过用电器的电流与用电器的电阻之间成（ ）

A 、正比例

B 、反比例

C 、一次函数

D 、无法确定 6、函数y kx =-与

y k

x =

（k ≠0）的图象的交点个数是（ ）

A.、2 B 、1 C 、0 D 、不确定 二、填空题（每小题4分，计32分）

7、一般地，函数 是反比例函数，其图象是 ，当k <0时，图象两支在 象限内。 8、反比例函数y=

x

2

，当y=6时，x =_________。 9、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n

x

(n ≠0)的图象有一个交点为点(2,3)，则m =______，n =_________ . 10、若反比例函数y=(2m-1)22

m x

- 的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________.

11、反比例函数的图像过点（－3，5），则它的解析式为_________。

12、在函数x

k y 22--=（k 为常数）的图象上有三个点（-2，1y ），(-1，2y )，（21，3y ），函数值1y ，2y ，3

y 的大小为 ； 13、函数y=x

2

的图象，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数y=

x

2

的图象的交点共有 个 14、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：y 随x 的增大而减小；丁：当2y 。已知这四人叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数_______________。

三、解答题（共50分） 15、（6分）反比例函数x

k

y =

的图象经过点)3,2(A . （1）求这个函数的解析式；

（2）请判断点)6,1(B 是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.

16、（9分）作出函数x

y 8

=

的图象，并根据图象回答下列问题： （1）当4-=x 时，求y 的值.（2）当32<

17、（8分）若正比例函数ax y =的图象与反比例函数x

a

y -=6的图象有一个交点的横坐标是1.求（1）两个函数的解析式.（2）它们两个交点的坐标.

18、（8分）已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋3n 和反比例函数x n m y 52+=

图象都经过点(1,－2)，求这个一次函数与反比例函数的解析式

19、（9分）如图，正比例函数()0y kx b k =+>与反比例函数x

y 1

=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线于B ，连接BC ，求△ABC 的面积 20、（10分）在压力不变的情况下，某物承受的压强P （Pa ）是 它的受力面积S （m 2）的反比例函数，其图象如右图所示.

（1）求P 与S 之间的函数关系式；

（2）求当S =0.5m 2时物体所受的压强P .

（第19题图）

（第20题图）

课堂检测（二）

一、选择题（每小题3分，计18分） 1、若函数x

k

y =

的图象过点（3，-7），那么它一定还经过点 （ ） A 、（3，7） B 、（-3，-7） C 、（-3，7） D 、（2，-7）

2、反比例函数x

m

y 21-=

（m 为常数）当0m D 、2

1

≥m

3、若点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)都是反比例函数y=-x

1

的图象上的点,并且x 1<0

A 、y 1

B 、y 2

C 、y 3

D 、y 1

k

5、已知力F 所做的功是15焦,则力F 与物体在力的方向上通过的距离S 的图象大致是如图中的( )

6、下面关于反比例函数的意义或性质的综述，错误的是( )

A 、自变量x 扩大(或缩小)几倍，函数y 反而缩小(或扩大)几倍

B 、反比例函数是形如y ＝

x

k

(k 是常数，k≠0)的函数 C 、若x 与y 的积是一个常数，则y 是x 的反比例函数 D 、当k ＞0时，y 随x 的增大反而减小 二、填空题（每小题4分，计32分） 7、如果点（3，1）在反比例函数y=x

k

的图象上，则y 与x 之间的函数关系__________ 8、已知反比例函数()0≠=

k x

k

y 的图象经过点（2，－3），则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 9、已知反比例函数x

m y )23(1

-=

，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m 时，其

图象在每个象限内y 随x 的增大而增大；

10、已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x

k

y =

(k≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 11、已知正比例函数y=kx(k≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y=k

x

,当x< 0时,y 随x 的增大而_______.

12、已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2的图象经过点(1,2),(2, 1

2

),则8k 1+5k 2的值为________.

13、若m ＜－1，则下列函数：①()0>=x x

m

y ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随x 增大而增大的是___________。

14、当k ＞0,x ＜0时，反比例函数x

k

y =的图象在__________象限。 三、解答题（共50分） 15、（6分）在反比例函数y=

x

k 2008

2-图象的每一条曲线上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围。 16、（9分）已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝3时，y ＝8,求：

(1)y 和x 的函数关系式；(2)当322

=x 时，y 的值；(3)当x 取何值时，23

=y ? 17、（8分）已知反比例函数x

m y 3

+=经过点A (2,－m )和B (n ,2n )，求：(1)m 和n 的值；(2)若图象上有两点P 1(x 1,y 1)

和P 2(x 2,y 2)，且x 1＜0＜ x 2，试比较y 1和 y 2的大小．

18、（8分）已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点A (0,1)和点B (a ,－3a )(a ＞0)，且点B 在反比例函数x

y 3

-=的图象上，求a 及一次函数式． 19、（9分）如图，点P 是直线221+=

x y 与双曲线x k y =在第一象限内的一个交点，直线22

1

+=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、C ，过P 作PB 垂直于x 轴，若AB ＋PB ＝9．

(1)求k 的值；(2)求△PBC 的面积．

20、（10分）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y （℃），从加热开始计算的时间为x （分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

（第19题图）