泛函分析大纲
《泛函分析》教学大纲
数学与应用数学（师范类）专业用
一、说明部分
（一）课程性质、目的和教学任务
泛函分析是数学学科的一门专业限选课程。本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
泛函分析的前期课程是《数学分析》《高等代数》《实变函数》。泛函分析课程主要讲授第一章度量空间和赋泛线性空间，第二章有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间三章内容。通过泛函分析的教学，具体使学生了解和掌握度量空间，赋泛线性空间，有界线性算子，连续线性泛函的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础。
（二）课程的教学原则和方法
本课程的教学原则是逻辑推理和理论分析相结合、讲解法与自学相结合的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论
法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配
本课程为一学期课程，总学时为48学时，其中授课38学时，习题课10学时，各章节安排如下
第一章度量空间和赋范线性空间 32学时第二章有界线性算子和连续线性泛函 10学时第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间 6学时
（四）课程大纲的编写执笔人
执笔人孙丽男黑河学院数学系函数论教研室审定。
二、正文部分
第一章度量空间和赋范线性空间
（一）教学的目的和要求
1.理解泛函分析研究的对象，掌握度量空间的定义及度量空间中极限,稠密集,可分空间的概念，能够对具体的问题进行判断；
2.进一步了解连续映射的概念；
3.掌握完备的度量空间；
4.理解压缩映射原理，掌握压缩映射原理，能够应用压缩映射原理证明实际问题；
5.掌握线性空间、赋范线性空间和Banach空间；
（二）教学重点
1.度量空间
2.完备度量空间
3.压缩映射原理
4.赋范线性空间
5.Banach空间
（三）教学难点
1.完备度量空间
2.压缩映射原理
3.赋范线性空间
（四）主要教学内容及学时分配
1.度量空间 2学时
2.度量空间的极限,稠密集,可分空间 4学时
3.连续映射 4学时
4.柯西点列和完备度量空间 4学时
5.度量空间的完备化 2学时
6.压缩映射原理及其应用 2学时
7.线性空间 4学时
8.赋范线性空间和Banach空间 4学时
9.习题课 6学时
第二章有界线性算子和连续线性泛函
（一）教学的目的和要求
1.掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念；
2.掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间；
3.掌握线性同构的概念；
（二）教学重点
1.有界线性算子
2.连续线性泛函
3.有界线性算子空间
4.共轭空间
（三）教学难点
1.有界线性算子空间
2.共轭空间
（四）主要教学内容及学时分配
1.有界线性算子和连续线性泛函 4学时
2.有界线性算子空间和共轭空间 4学时
3.习题课 2学时
第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间
（一）教学的目的和要求
1.熟练掌握内积空间中的基本概念
2.了解逼近理论并熟练掌握投影定理及其应用
（二）教学重点
1.内积空间的基本概念
2.投影定理
（三）教学难点
1.投影定理
（四）主要教学内容及学时分配
1.内积空间的基本概念 2学时
2.投影定理 2学时
3.习题课 2学时
三、考核方式和成绩记载说明
考核方式为考试。严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。平时成绩占30％，期末成绩占70％。
四、推荐的教材和参考书目
教材：
程其襄等编，《实变函数与泛函分析》，第二版，北京：高等教育出版社。
主要参考书：
[1]刘培德编，《泛函分析基础》，第一版，武汉：武汉大学出版社。
[2]张恭庆编，《泛函分析讲义》，第一版，北京：北京大学出版社。
[3]夏道行等编，《实变函数论与泛函分析》，北京：人民教育出版社。
[4] 王声望编,《实变函数论与泛函分析概要》, 第二版，高等教育出版社。
泛函分析讲义
第三章赋范空间 3.1. 范数的概念 “线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。 为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？ 3.1.1. 向量的长度 为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。
图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向 矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,, ,)n x x x x =的如下三种长度（称为“范数”）： ● 2-范数（也称为欧氏范数） ：2x = ● 1-范数：11 n k k x x ==∑； ● ∞-范数：1max k k n x x ∞ ≤≤=。 图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式 下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。 我们注意到：通常将 2 或 3 中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的 长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此，
博士生入学考试泛函分析考试大纲
博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理
4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。
泛函分析答案
泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定
(完整版)泛函分析复习与总结,推荐文档
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
泛函分析答案
泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。
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泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16）
2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间
泛函分析习题解答
第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此
泛函分析学习心得
泛函分析学习心得 学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度. 在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习： 第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义： 设X 为一集合，ρ是X X ?到n R 的映射，使得使得X z y x ∈?,,，均满足以下三个条件： （1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性） （2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性） （3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式）， 则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离. 学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连
泛函分析重要内容
们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。 Chp.1 距离线性空间 SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理 有序集的定义： （1）若a在b之先，则b便不在a之先。 （2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。 这种先后关系记作 良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。 良序集的超限归纳法： （1）为真，这里是A中最先的元素。 2）对一切,为真，则亦真 那么对一切皆真。 选择公理 设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有 部分有序 称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质： 例如X中包换关系 在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序 其中完全有序的C：。 例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。 佐恩引理 设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋线性空间。 SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基 线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。 线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。 线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。 线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N 如果,则称M与N是代数互补的线性流形。 于是有下述定理：
定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式 x=m+n, m∈M,n∈N. 定理2.2 若，则dimX=dimM+dimN Hamel基的定义： 设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果 （1）H是线性无关的。 （2）H成的线性流形是整个空间。 则有Hamel基和线性无关子集的关系： 定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得 推论任何非零线性空间必有Hamel基 由定理2.3，可有 定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。 SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间 定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为
数学专业参考材料书汇总整编推荐
学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的：
1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。
应用泛函分析相关习题
泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
泛函分析课程总结
泛函分析课程总结 数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯 一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足 ()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=?? ??=????≤+?? 、的充要条件是、、对任意都成立。 则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。 2. 度量空间的例子 ①离散的度量空间(),X d 设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令 ()1,,0,x y d x y x y ≠?? =??=?? 当当 ②序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点 ()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令 ()11,21i i i i i i d x y ξηξη∞ =-=+-∑ ③有界函数空间B （A ） 设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义 (),()()sup t A d x y x t y t ∈=- ④可测函数空间m(X) 设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令 ()()(),1()() X f t g t d f g dt f t g t -=+-?
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
泛函分析试题一
泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
《泛函分析》课程教学大纲-黎永锦
《泛函分析》教学大纲 Functional Analysis 课程编号： 适用专业：数学与应用数学 总学时数：学分： 一、本课程简介 《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础. 二、本课程与其他课程的关系 《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础. 三、教学内容、学时安排和基本要求 本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等.
本课程学时为54学时. (一)度量空间(12学时) 1、具体内容 度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理. 2、基本要求 (1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念. (2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等. (3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质. (5)熟练掌握压缩映照原理及其应用. 3、重点、难点 重点：度量空间的紧性、不动点定理. 难点：具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用. (二)赋范线性空间(10学时) 1、具体内容 赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等. 2、基本要求 (1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子. (2)掌握范数的等价性及判别方法. (3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质. (4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理. 3、重点、难点 重点：有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理. 难点：Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用. (三) 有界线性算子(10学时) 1、具体内容
泛函分析试题
1． 对于积分方程 ()()() 1 t s x t e x t ds y t λ--=?为一给定的函数，λ为 常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。 2． 设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为 ()11,21+k k k k k k x y ξηρξη=-=-∑，其中， ()() 11,,,=,,n n x y ξξηη=??????。求证s 为 一完备的距离空间。 3． 在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>， 存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。求证{}n x 收敛。 4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的* B 空间 5． 为了()F C M ?使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的 且等度连续的函数族。 6． 设 () ,A x y ?∈，求证（1）. 1 sup x A AX ≤=，（2 ） 1 sup x A AX <=。 7． 设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数， 并存在0M >，使得( ),a x y M x y ≤，则存在唯一的()A x ?∈， 使得 ()() ,,a x y x Ay =且 ()(),0,0 ,sup x y X X x y a x y A x y ∈?≠≠=。 8． 求证()2f L ?∈Ω，方程() 0u f u ?Ω?-?=Ω?? =??在内若解存在唯一。 9． 设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ?∈≠。求 证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()() ()02.x f x x ρρ≤ 。 10． 叙述开映象定理并给出证明。 11． 叙述共鸣定理并给出证明。