应用泛函分析习题解答

1

泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章

第 一 节

3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞

∈k k x sup 。

证明：0>?ε，0N ?，当0,N n m >时，有εε<-?<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。取0N m =，则有

0 ,0N n x x N n >+<ε，

令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则

1 ,≥

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞

=1

k k

x

（此时称级数∑∞

=1

k k x 绝对收

敛），证明存在E ∈x ，使∑∞

=∞

→=1

lim k k

n x

x （此时记x 为

∑∞

=1

k k

x

，即∑∞

==

1k k

x

x ）.

证明：令∑==

n

k k

n x

y 1

，则∑∑++=++=+≤

=

-p

n n k k

p

n n k k

n p n x

x

y y 1

1

。由于

∞<∑∞

=1

k k

x

绝

对收敛，则它的一般项0→k x 。因此0>?ε，总0N ?，当0,N p n ≥时，有

ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必

存在E ∈x ，使得∑∑∞

==∞

→==1

1

lim

k k n

k k

n x x

x 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。通常用E dim 表示

E 的维数，

并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。证明酉空间n

C 的维数为n ，并问当视n

C 为实线性空间时，其维数是多少？

证明：设n y x C ∈,，C ∈βα,，

则有n

y x C ∈+βα。令)0,0,1,0,0(

项

共项

第n k k =e ，则对任意的),,(21n x x x x =，必有∑==n

k k

k x x 1

e

，因此},,,{21n e e e 是空间n

C

的基，则n n

=C dim 。

当视n

C 为实线性空间时，可令基为},,,,,{11n n i i e e e e ，则对任意的

)

,,(21n x x x x =，有

∑∑==+=n

k k k n k k k i x g x x 1

1

)

)((Im )Re(e e ，所以

n n 2dim =C 。

10．证明∞=],[dim b a C ，这里b a <。

证明：取],[,0,)(b a t k t t x k

k ∈≥=，只需证},,{10 x x 线性无关。为此对

0≥?n ，令01

=∑=n k k k x c 。则00!01

=?=?=∑=n n n n

k k k c c n x c 次求导

。因此必有

01

1

=∑-=n k k k

x c

，求该式求1-n 导后有00)!1(11=?=---n n c c n 。依次类推，有

001====-c c c n n ，所以对任意的0≥n ，都有},,{10n x x x 线性无关，即∞=],[dim b a C 。

第 二 节

2.（点到集合的距离）设A 是E 的非空子集，E ∈x 。定义x 到A 的距离为：

}|inf{),(A A ∈-=y x y x d

证明：

1) x 是A 的内点?0),(>c x d A ；

2) x 是A 的孤立点?A ∈x ，且0}){\,(>x x d A ； 3) x 是A 的外点?0),(>A x d 。

解：

1）必要性：

x

是

A 的内点

内点的定义

?ε

?，使得

2

A

?B ),(εx ?Φ=B c x A ),(ε?

c y A ∈?，都有

x y ≠?0}|inf{>∈-c y x y A ?0),(>c x d A 。

充分性：0

),(>c

x d A 距离的定义

?

ε?，使得Φ=B c x A ),(ε?ε?，使得

A

?B ),(εx 内点的定义

?x 是A 的内点。

2）必要性：x 是A 的孤立点孤立点的定义

?

A ∈x ，且ε?，使得}{),(x x =

B A ε?A

∈x ，

且ε

?，使得Φ

=B }}/{{),(x x A ε距离的定义

?

A ∈x ，且0}){\,(>x x d A 。

充分性：

A ∈x ，且0

}){\,(>x x d A 距离的定义

?

ε?，使得

Φ=B }}/{{),(x x A ε?ε?，使得}

{),(x x =B A ε孤立点的定义

?

x 是A 的孤立

点。

3）必要性：x 是A 的外点

外点的定义

?ε?，使得Φ=B A ),(εx ?A ∈?y ，都

有x y ≠?0

}|inf{>∈-A y x y 距离的定义

?0),(>A x d 。

充分性：0),(>A x d 距离的定义

?ε?，使得Φ=B A ),(εx 外点的定义

?x 是A 的外点。

3．设A 是E 中的非空闭集，证明：A ∈x ?0),(=A x d 。 解

：

必

要

性

：

A

∈x ?A

∈?y ，使得

x y =?0

}|inf{=∈-A y x y 距离的定义

?0),(=A x d 。

充分性：0

),(=A x d 距离的定义

?

0}|inf{=∈-A y x y ?A ??}{k x ，使得

x x k →是闭集

A ?A ∈x 。

7．举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。 解：

∞

==-1

)1,0[]11,0[k k 。

8．证明A A A '= 。

证明：设A ∈x ?A ??}{k x ，使得x x k →。若}{k x ?中有无穷项互异，则

A '∈x ；否则有无穷多相取同一个值，则A ∈x ，由此可知：A A '∈x ，则

A A A '? 。另一方面，由于A A ?且A A ?'，所以A A A ?' 。综上所述，有A A A '= 。

9．证明：1）A 的内部是含于A 的最大开集，即}|{int A B B B A ?=是开集，且

；

2）A 的闭包是包含A 的最小闭集，即}|{A B B B A ?=

是闭集，且 。

证明：1）设G 是含于A 的最大开集，则A A ?int ?G A ?int 。设

G ∈x 是开集

G ?ε

?，使得

G ?B ),(εx A

G ??ε

?，使得

A ?

B ),(εx 内点的定义

?A int ∈x 。所以A G int ?。综上所述，A G int =，则表明A 的内部是含于A 的最大开集。

2）设G 是包含A 的最小闭集，且A A ??A G ?。设A ∈x ?A ??}{k x ，

使得x x k →G A ??G ??}{k x ，使得x

x k →是闭集

G ?G ∈x ，所以G A ?。综上

所述，A G =，则表明A 的闭包是包含A 的最小闭集。

10．利用习题9的结论证明：1）)int()(c

c

A A =，2）)()(int c c A A =。

证明：1）A A ??c c A A ?)(。c

)(A 是开集，而由习题9的结论可知，

)int(c A 是含于c

A 的最大开集，所以)int()(c

c

A A ?。

此外，设)int(c x A ∈，而c x )(A ?。由)

int(c

x A ∈是开集

)int(c A ?

ε?，使得

c

c x A A ??B int ),(ε?ε

?，使得

ΦB ＝A ),(εx 。

（1）

3

而由c

x )(A ??A ∈x ?ε?，都有Φ≠B A ),(εx ，此与（1）式矛盾，故

c x )(A ∈，所以c c )()int(A A ?。综上所述，有)int()(c c A A =。

2）A A ?int ?)int(c c A A ?。这表明)int(c

A 是包含c A 的闭集，而由习题9的结论可知，)(c A 是包含c A 的最小闭集，所以c c )(int )(A A ?。 此外，设c

x )(int A ∈。由c

x )

(int A ∈?A

int ?x 是开集

A int ?ε?，都有

A ?

B ),(εx ?ε?，

都有Φ≠B c x A ),(ε。特别有N ∈Φ≠B k k x c ,)1,(A ，因此取N ∈B =k k x x c

k ,)1,(A ，所以有c k x A ?}{且x x k →，故)(c x A ∈，所以)()(int c c A A ?。综上所述，有)()(int c

c A A =。

12．设)}2,0{(}sin 0),2

,0(|),{( x y x y x <≤∈=π

A 。试写出)int(A ，A 及A

的孤立点的全体。 解：

}sin 0),2,0(|),{()int(x y x y x <<∈=π

A ；

)}2,0{(}sin 0],2

,0[|),{( x y x y x ≤≤∈=π

A ；

A 的孤立点)}2,0{(=。

13．设A 、B 、C 均是E 的子集，且C B ?，证明： 1）若A 在C 中稠密，则A 在B 中稠密 ； 2）若A 不B 中稠密，则A 不在C 中稠密。

证明：1）A 在C 中稠密?C ∈?x ，存在A ?}{k x ，使得x x k →C

B ??B ∈?x ，存在A ?}{k x ，使得x x k →?A 在B 中稠密。

2）A 不在B 中稠密?B ∈?x 和ε，使得Φ=B A ),(εx C

B ??

C ∈?x 和ε，使得Φ=B A ),(εx ?A 不在C 中稠密。

第 三 节

2．设B A →:T ，C B →:G ，

且C D ?，证明：))(()()(11

1

D D ---=G T T G 。

证明：设

)()(1D -∈T G x ?D ∈)(Tx G ?)()(1D -∈G x T ?)(11D --∈G T x ?

))(()()(111D D ---?G T T G ；

另一方面，设))((11D --∈G T x ?)(1D -∈G Tx ?D ∈))((x T G ?)()(1D -∈T G x ?

)()())((111D D ---?T G G T 。

综上所述，))(()()(1

11D D ---=G T T G 。

4．设1:E E T →，E x ∈0，证明：

1）T 在0x 处连续?只要E x k ?}{满足0x x k →，则0Tx Tx k →；

2）T 在0x 处连续?对于任意0>ε，存在0>δ，使),()),((00εδTx B x B T ?。 证明： 1）必要性：若E x k ?}{，且0x x k →?对于任意01>ε，存在0N ，使得当0N k >时，有),(10εx x k B ∈。再由T 在0x 处连续?对于任意02>ε，存在0>δ，使得当),(0δx x B ∈，),(20εTx Tx B ∈。若取δε=1，则表明对于任意02>ε，存在0N ，当0N k >时，有),(20εTx Tx k B ∈，因此0Tx Tx k →。

充分性：0x x k →?对于任意0>ε，存在0N ，使得当0N k >时，有

),(0εx x k B ∈；

0Tx Tx k →?对于任意0>ε，存在1N ，使得当1N k >时，有),(0εTx Tx k B ∈，

显然对于特定的δε=，也存在1N ，使得当1N k >时，有),(0δTx Tx k B ∈。因

此取),m ax (10N N N =，对于任意的0>ε，存在0>δ，使得当),(0δx B x ∈，有),(0δTx Tx B ∈，所以T 在0x 处连续。 2）必要性：T 在0x 处连续?对于0>?ε，存在0>δ，使得当),(0δx x B ∈时，

4

有),(0εTx Tx B ∈。所以对于)),((0δx T Tx y B ∈=?，都有),(0εTx Tx y B ∈=，因此),()),((00εδTx x T B ?B 。

充分性：设),(0δx x B ∈?),()),((00εδTx x T Tx B ?B ∈，由条件可知，

0>?ε，存在0>δ，使得当),(0δx x B ∈时，都有),(0εTx Tx B ∈，由T 连续的定义可知，T 在0x 处连续。

5．（集合的边界）称集A A int \为集合的边界，记为A ?，并称A ?中的点为A 的边界点。证明：

1）c

A A A =?，即x x ??∈A 的任何领域内既有A 的点，又有c

A 的点； 2）A ?∈x ?0),(=A x d 且0),(=c

x d A 。 证明：

1） 必要性：A ?∈x ?A ∈x 且c

x A ∈。由A ∈x ?A ??}{k x ，使得

x x k →?ε?，存在0N ，使得当0N k >时，有),(εx x k B ∈?x 的任何领域

内既有A 的点。由c

x A ∈?存在c

k x A ?}{，且x x k →?ε?，存在1N ，使得当1N k >时，有),(εx x k B ∈?x 的任何领域内既有c

A 的点。 充分性：显然成立。

2） 必要性：A ?∈x ?A ∈x 且c

x A ∈。由A ∈x ?A ??}{k x ，使得

x x k →，而0),(lim )

,(==

∞

→A A k k d x d x d 的连续性

。由c x A ∈?c

k x A ??}{，使得

x x k →，而0),(lim ),(==

∞

→c

k k d c

x d x d A A 的连续性

。

充分性：由0}|inf{),(=∈-=A A y x y x d ?A ??}{k x ，使得

x x k →?A ∈x 。

由

}|inf{),(=∈-=c c y x y x d A A ?

c

k x A ??}{，使得

x x k →?c x A ∈。所以， c x A A ∈?A ?∈x 。

6．验证例4中构造的泛函f 满足题给条件。 已知：)

,(),()

,()(211F F F x d x d x d x f +=

，1F 和2F 是E 中互不相交的非空闭集。

验证：由于0),(,0),(21≥≥F F x d x d ?1)

,(),()

,(0211≤+≤

F F F x d x d x d ，且当

1F ∈x 时，()1f x =；2F ∈x 时，()0f x =。

9．证明开集总可以表示为可列个闭集之并，而闭集总可以表示为可列个开集之交。 证明：

（1）设F 是闭集，不妨设Φ≠F 。令}1),(|{n

x d x n

=?1

n n

G

F 。

另

一

方

面

，

设

∞

=∈1

n n

x G ?

)

1(≥∈n x n G ，即

)

1(,1

),(≥

x d F 的连续性d n ∞

→?0),(=F x d 闭

F ?

F ∈x 。因此F

G ?∞= 1

n n 。综上所述，)(1

的可列交G G G F δ?

∞

=== n n 。因此闭

集总可以表示为可列个开集之交。

（2）利用（1）中的结论以及

de Morgan 公式，可得：

)(1

的可列并G G G F σ?

∞

=== n c n c

。显然c F 是开集，c

n G 是闭集，这表明开集总可

以表示为可列个闭集之并。

10．设1,E E 均是实赋范空间，1:E →E T 是连续映射，且满足可加性：对任意E ∈y x ,，恒有Ty Tx y x T +=+)(。证明：T 是线性算子。

（提示：注意到非零有理数r 形如m

n

（N ∈Z ∈m n ,，n 与m 互质），先对有理数r 说明

)()(x Tf rx T =，然后利用连续性。） 证明：令Ty Tx y x T +=+)(为（1）式。则在（1）式中，当0==y x 时，有00=T ；

5

当x y -=时，有Tx x T -=-)(，令此式为（2）式。此外利用（1）式还可得：1,)(≥=n nTx nx T ，令此式为（3）式。又1),1())1(()3(≥==m x m mT x m m T Tx 式

?1),1(1≥=m x m T Tx m 式)3(? )1,(),(≥=n m x m n T Tx m n ?Q r ∈?，且0>r ，有rTx rx T =)(式)2(?Q r ∈?，有rTx rx T =)(，令此式为（4）式。 由Q 在R 中稠密?R ∈?α，Q r n ??}{，使得α→n r 。因此==∞

→)(lim )(x r T x T n n T 连续

α

Tx Tx r n n Q

r n α==∞

→∈)lim (。

由??

??∈=+=+R Tx x T Ty Tx y x T ααα,)()(T 是线性算子。

第 四 节

2．设],[b a C k

表示定义于],[b a 上“直至k 阶连续导数”的函数)(t x 的全体，按通常函数的加法与数乘，],[b a C k

是线性空间。对],[b a C x k

∈，

)(max )

(0

t x x i k

i b

t a ∑=≤≤=，其中)()

0(t x 表示)(t x ，则],[b a C k

成为赋范空间。证明它

是Banach 空间。 证明：

（１） 证明赋范空间。

正定性与绝对齐性是显然的。下证此范数满足三角不等式。 设

]

,[,b a C y x k ∈，则

{}

)()(max )()(max )()(0

)()(0

t y t x t y t x y x i i k

i b

t a i i k

i b

t a +≤+=+∑∑=≤≤=≤≤

y x t y t x i k

i b

t a i k

i b

t a +=+=∑∑=≤≤=≤≤)(max )(max )(0

)

(0

。所以按此范数它是赋范空间。

（２）证明完备性。

设}{n x 是],[b a C k

中的Cauchy 列。则0>?ε，0n ?，当0,n n m ≥时，有

ε<-m n x x ，即ε<-∑=≤≤)()(max )

()(0

t x t x i m i n

k i b t a ――（１）式。特别的，对于每个i ，

（１）式都成立。所以}{)(i n x 是],[b a C k 中的Cauchy 列。于是],[b a C y i ∈?使0)()(max )

(∞

→≤≤→-n i i n b

t a t y t x ，所以)()(t x i n 一致收敛到)(t y i 。 当0

=i 时有，??∞

→∞→∞

→==

-=-t

a )

1(t a

)1(00d )(lim d )(lim )]

()([lim )()(ξξξξn n n n n n n x x a x t x a y t y 牛－莱公式

?=t a

y ξξd )(1，所以)()(1)

1(0

t y t y =。 同理可得：当1>i 时，有)()()1(1t y t y i i =-。最终有],[)()()

(0b a C t y t y k k ∈=，所

以],[)(0b a C t y k

∈。

综上所述，它是Banach 空间。

5．设A 、B 是赋范空间E 的子集，且B A ?，证明： （１） 若A 是第二纲集，则B 必是第二纲集； （２） 若B 是第一纲集，则A 必是第一纲集； 证明：先证明（２）。B 是第一纲集，则 ∞

==

1

n n

G

B ，其中n G 是稀疏集。令

A G F n n =，则n F 也是稀疏的。下面来证 ∞==1

n n F A 。设A ∈x ，按n F 的定

义必有 ∞

=∈

1

n n

x F

，则 ∞

=?

1

n n

F

A ；另一方面，设 ∞

=∈

1

n n

x F

，则必存在0n ，使

得0n x F ∈，按n F 的定义有A ∈x ，所以

A F

?∞

= 1

n n

。由此可知： ∞

==1

n n F A 。

所以A 必是第一纲集。

（１） 若B 必是第一纲集的话，按（２）中的结论可知A 必是第一纲集，此与A 是第二纲集矛盾，所以A 是第一纲集。

6

6．设A 是赋范空间E 中的闭集，且A 不是稀疏集，证明A 必包含E 中某个闭球。 证明：A 不是稀疏集?存在E 中某个开集G ，使得A 在G 中稠密。取0,>∈r x G ，使得G ?),(~r x B ，所以有A A G A 闭

=??),(~

r x B 。

7．设A 是赋范空间E 的真闭子空间，证明A 是E 中稀疏集。

证明：由习题6的结论可知：如果A 不是稀疏集，则0,0>E ∈?r x ，使得

A ?),(~

0r x B 。因此E ∈?x ，有

A ?∈+),(~

00r x B x x

rx ，则A A A 是子空间

=-∈r

x x x )

(0，所以E ＝A ，此与A 是E 的真闭子空间矛盾。由此

可知：A 是E 中稀疏集。

8．证明],[b a P 是],[b a C 中的第一纲集。

证明：用],[b a P n 表示次数不超过n 的多项式，则],[b a P n 是],[b a C 的真闭子集，由习题7的结论可知],[b a P n 在],[b a C 是稀疏的。又 ∞

==1

],[],[n n b a P b a P ，这表

明],[b a P 是],[b a C 中的第一纲集。

第 五 节

1．证明紧集必是完备子集。

证明：设A 是紧集，且}{k x 是A 中的Cauchy 序列。则0>?ε， 00>?N ，使得当0,N l k >

时，有ε<-l k x x 。又因为A 是紧集，则}{i k x ?及A ∈0x ，使得0x x i k →。因此当0N k i >

时，也有ε<-i k k x x ∞

→?i ε<-0x x k 。由此可知：}{k x 收敛，且极限为A ∈0x 。则A 是完备子集。

2．证明紧集的闭子集是紧集，紧集必是闭集。

证明：设A 是紧集，且A B ?是闭集。B ??}{k x ，有A ?}{k x 是紧集A ?A ??}{i k x ，使得0x x i k →?B ??}{k x ，?子列}{i k x ，使得0x x i k →?B 是列紧的——（1）式。 又因为B 是闭集，则B ∈0x ——（2）式。

由（1）（2）式可知，B 是紧集?紧集的闭子集是紧集。 设A 是紧集。A ??}{k x ，且0

x x k →是紧集

A ?A ??}{i k x ，使得1x x i k →，且

A ∈1x 。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，可知A ∈=10x x ，由此可知A

是闭集。

3．证明列紧集的闭包是列紧集，因而列紧集的闭包是紧集。

证明：设A 是列紧集。A ??}{k x ，由接触点的性质，存在A ?}{k y

，使得

1,1

≥<-k k

y x k k ——（1）式。A

?}{k y 是列紧

A ?

A ??}{i k y ，使得

0x y i k →式

)1(?

A ??}{i k x ，0x x i k →。因此A 是列紧的。又A 式闭集，则A ∈0x ，所以A 是

紧集。

4．证明：若K 是紧集，K ∈α，则K α也是紧集。

证明：K 是紧集?K ??}{k x ，?子列}{i k x ，使得0x x i k →，且

K ∈0x ?K αα??}{k x ，?子列}{i k x α，使得0x x i k αα→，且

K αα∈0x ?K α是紧集。

5．证明紧集的有限并是紧集，紧集的任意交是紧集。 证明：设},,,{21n A A A 是一列有限的紧集，记 n

i i

1

==

A

P 。P ??}{k x ，则必

存在整数)1(n j j ≤≤，使得j A 含有}{k x 的无穷多项，记为j k i x A ?}{。由j A 是紧集，则}{i k x ?的子列}{j

i k x ，使得0x x j

i k →，且j x A ∈0。因此P ??}{k x ，

7

都存在它的子列0}{x x j

i k →，且P ∈0x 。所以紧集的有限并是紧集。

设}1|{≥n n A 是一列紧集，记 ∞

==

1

n n

A

Q 。Q ??}{k x ，则对任意整数)1(≥j j ，

都有j k x A ?}{。由j A 是紧集，则}{k x ?的子列}{i k x ，使得0x x i k →，且

)1(0≥∈j x j A ，即 ∞

==∈1

n n x A P 。因此P ??}{k x ，都存在它的子列

0}{x x i k →，且P ∈0x 。所以紧集的任意交是紧集。

6．设}{n K 是E 中一列不增的非空紧集，证明

Φ≠∞

= 1

n n

K

。若将条件中“紧集”

改为“闭集”，试问结论是否成立？

证明：由n K 非空，可取n n x K ∈。再由题意知 ????n K K K 21，则

)1(+≥∈n i x n i K 。显然11}{K ?=n x l ，由1K 是紧集，则1l ?的子列}{)

1(n

x ，使得)1()1(x x

n

→，且1)

1(K ∈x

；此外取21)1(2}{\}{K ?=x x l n

，由2K 是紧集，

则2l ?的子列}{)2(n x ，使得)2()2(x x n →，且2)

2(K ∈x 。由收敛序列的极限与其子

列的极限一致，则x x x

==)2()

1(，且21K K ∈x 。依此类推，当2>i 时，有

i i i n i x x x l K ?=--},,{\}{11)1( ，i l ?的子列}{)(i n x ，使得)()

(i i n x x →，且i i x K ∈)(。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，则

x x

x x x i i =====-)

()

1()

2()

1( 。由此可知： ∞=∈1

n n x K ，则Φ≠∞

= 1

n n K 。

7．设A 是E 中的非空紧集，映射1:E →E T 连续，证明)(A T 是1E 中的紧集，即紧集的连续像仍是紧集。

证明：设}{k y 是)(A T 中的序列，由像与原像的性质，可知A ??}{k x 是}{k y 的原像，再由A 是非空紧集，可知存在子列0}{x x i k →，而T 是连续的，则

00)()}({}{y x T x T y i i k k =→=，因此)(A T 是1E 中的紧集。

8．设A 是E 中的紧集，映射1:E →E T 连续，证明T 在A 上一致连续，即对于任何0>ε，存在0>δ，当A ∈y x ,，且δ<-y x 时，恒有ε<-Ty Tx 。 证明：用反证法。0>?ε，0>?δ，当A ∈δδy x ,

，且δδδ<-y x 时，恒有

εδδ≥-Ty Tx 。不妨取k 1=

δ

，则k

y x k k 1

<-――（１）式。由于}{k x 是紧集A 中的序列，则必存在子列0}{x x i k →，由（１）式可知，0}{x y i k →。再

由T 的连续性，则000=-→-∞

→Ty Tx Ty Tx i k k i i ，此与εδδ≥-Ty Tx 矛盾。所以T 在A 上一致连续。

9．设A 是E 中的非空紧集，泛函R A →:f 连续，证明f 在A 上有界，且f 在

A 可达到其最大值和最小值。

证明：由习题 7结论可知，)(A f 是紧集，则)(A f 必有界。设))((sup x f x A

∈=α，

则必存在一列A ?}{k x ，使得α=∞

→)(lim k k x f 。由A 是紧集，则}{i k x ?及A ∈0x ，

使得0x x i k →。

由f 的连续性，存在)}({i k x f ?及)()(0A f x f ∈，使得)()(0x f x f i k →。由此可知：A ∈===∞

→∞

→)()(lim )(lim 0x f x f x f i k i k k α。

同理可证：存在A A

∈====∞

→∞

→∈)()(lim )(lim ))((inf 1x f x f x f x f i k i k k x β。

11．设K 是E 中的非空紧集，E ∈0x ，证明存在K ∈0y 使),(000K x d y x =-。 证明：显然泛函R K →:d 连续，且K 是非空紧集。再由)|inf(),(00K K ∈-=y y x x d ，根据习题9的结论可知：必存在K ∈0y ，使得),(000K x d y x =-。

第 六 节

5．设),,2,1,}({n j i a ij =是一组实数，满足条件

1)(1

,2<-∑=n

j i ij ij

a

δ，其中

8

?

?

?≠==j i j

i ij ,0,1δ。证明代数方程组

,1( ,1

i b x a

i n

j j ij

==∑=R b ∈=T 1),,(n b b 都存在唯一解。

分析：代数方程组

),,2,1( ,1

n i b x a

i n

j j ij

==∑=等价于n n ij a ?=][A ，T

1),(n x x =x 。显然x x Ax b =+-证明映射x I A b x )(--=T 有唯一的不动点。

证明：令n

n

T R R →:的映射为x I A b x )(--=T ，(1

,=

∑=n

j i θ--=--=-∑∑==1

21

12

2

,,)(,)(())((n

j j j j n

j j j j y x a y x a T T y x I A y x ∑∑∑∑∑======???? ??--≤???? ??--n i n j j j n j ij ij n

i n j j j ij ij y x a y x a 112

12)1(12

1)()())((δδx 2

)

2(y x -=θ。所以10 ,<≤-≤-θθy x y x T T 。

上述推导过程中，（1）应用了许瓦尔兹不等式，（2由T 是压缩映射，且n

R 动点。

6．已知]1,0[C ∈?，证明函数方程)()(sin 2

1

)(t t x t x ?+=在[连续解。

证明：令]1,0[]1,0[:C C T →为：)()(sin 21

))((t t x t Tx ?+=

。sin 2)()(cos )(sin )(sin 21))(())((t y t x t y t x t Ty t Tx +=-=-2)()(cos max 2)()(sin 2)()(cos ]1,0[t y t x t y t x t y t x t t ?+=-?+=∈)()(2

1

)()(max 212)()(sin

max ]1,0[]1,0[t y t x t y t x t y t x t t -=-≤-≤∈∈。

所以T 是]1,0[]1,0[C C →上的压缩映射，且]1,0[C 是完备的。由压缩映射原理可知：映射T 存在唯一的不动点]1,0[)(0C t x ∈。

7．设),}({N ∈j i a ij 是一组实数，满足1||sup

1

1<∑∞

=≥i ij

j a

。证明无穷代数方程：

N ∈+=∑+∞

=i b x a x i j j ij i ,1

，对任何l b i ∈=)(b 必存在唯一解l x x i ∈=)(。

证明：令N ∈=j i ij a ,][A ，)(k x =x ，θ=∑∞

=≥1

1sup

j ij

j a

。方程组

N ∈+=∑+∞

=i b x a x i j j ij i ,1

等价与。

令l l T →:为b Ax x +=T 。则对)(k x =x 和)(k y =y 有：

)

(y x A y x -=-T T ∑∑∑∑∑∑∞

=∞

=∞

=∞

=∞

=∞

=??

?

??-=-=-=111111)(j i ij j j i j j j ij i j j j ij a y x y x a y x a y x y x a j j j j ij j -=-???? ??≤∑∑∞

=∞=≥θ1

11sup ，10<≤θ。 由上述推导可知T 是压缩l l →上的压缩映射，又l 是完备的。所以T 在l 上有唯一的不动点。

8．（第二类Fredholm 方程解的存在唯一性）设有线性积分方程：

?+=b s s x s t k t t x a d )(),()()(λ?， 其中),(2b a L ∈?，λ是参数，积分核),(s t k 在],[],[b a b a ?上连续，且满足： ∞

，

则上述积分方程对绝对值充分小的λ，在

)

,(2b a L 中存在唯一解。（提示：令

9

{}1],[,|),(max +∈=b a s t s t k M ，)

(1

a b M -≤

λ。） 证明：令],[],[:2

2

b a L b a L T →为：?

+=b

s s x s t k t t Tx a

d )(),()())((λ

?。则

2

1

2

d d ))()()(,(d ))()()(,())(())((????

??-=-=-???b a b a b

a

t s s y s x s t k s s y s x s t k t Ty t Tx λλ 2

122)

1(21

2d d )()(d ),(d d )()(),(??? ????? ??-???? ??≤???

? ????? ??-≤?????b a b a b a b a b a t s s y s x s s t k t s s y s x s t k λλy x t s s t k s s y s x t s s t k b a b a b a b a b a -??

? ??=??? ??-??? ??≤?????2

1221221

2d d ),(d )()(d d ),(λλ。 上述推导过程中，（1）利用的Holder 不等式。 令

{}1

],[,|),(max +∈=b a s t s t k M ，

则

(

)

2

122

2

1

2)(d d ),(a b M t s s t k b

a b

a -

? ??=??λλθ

)(a b M -=λ。显然，如果)

(1

a b M -≤

λ，则10<≤θ。所以T 是],[],[:22b a L b a L T →上的压缩映射，又因为],[2b a L 是完备的，所以T 在],[2b a L 存在唯一的不动点。

9．（V olterra 积分方程解的存在唯一性）设),(s t k 在],[],[b a b a ?上连续，则Volterra 积分方程：)(d )(),()(t s s x s t k t x b

a

?λ

+=?

对任意],[b a C ∈?及任何参数λ都存

在唯一的连续解（提示：令]},[,|),(max{b a s t s t k M ∈=，映射

],[],[:b a C b a C T →为

)(d )(),())((t

a t s s x s t k t Tx ?λ+=?。

然后用归纳法说明1212}!/)({))(())((x x n a t M t x T t x T n

n

n

n

n --≤-λ。取n 充分大使

1!/)(<-n a b M n n n

λ。在利用定理4。

） 证明：令映射],[],[:b a C b a C T →为)(d )(),())((t

a

t s s x s t k t Tx ?λ

+=?，且

]},[,|),(max{b a s t s t k M ∈=。 利用数学归纳法：当1=n 时，

??-=-=-≤≤t

b t a t

s s x s x s t k s s x s x s t k t Tx t Tx a

12a

1212d ))()()(,(max d ))()()(,())(())((λλ

1212a

12)(d )()(max d )()(),(max x x a t M s s x s x M s s x s x s t k t

a b

t a t b t a --=-≤-≤??≤≤≤≤λλλ

设12111

1121})!1/()({))(())((x x n a t M t x T t x T n n n n n ---≤------λ

，

则： ))(())(())(())((112112t x T T t x T T t x T t x T n n n n ---=-

??--≤≤--≤≤-≤-≤t

n n b

t a t n n b t a s

s x T s x T M s s x T s x T s t k a 1121a

1121d ))(())((max d ))(())((),(max λλ??------≤

-≤t

a

n n n

t

n n s a s n x x M s s x T

s x T

M d )

()!

1(d ))(())((1

1

2a

11

21

λλ

12!

)(x x n a t M n

n n

--=

λ。

因此当n 充分大时，1!/)(0<-≤

n a t M n n n

λ。所以n T 为],[],[b a C b a C →上

的压缩映射，又],[b a C 是完备的，所以n

T 在],[b a C 上有唯一的不动点。由书P30页上的定理4可知：T 在],[b a C 上有唯一的不动点。

第 七 节

2．设)(t α是],[b a 上的实函数，对],[b a C x ∈，令],[ ),()())((b a t t x t t Tx ∈=α，证明],[(b a C T β∈等价于],[b a C a ∈。

证明：充分性显然。下证必要性。令1)(0≡t x ，则)())((0t t Tx α=，由于

],[)(0b a C t x ∈，且],[(b a C T β∈，则],[))(()(0b a C t Tx t ∈=α。

10

3．定义]1,0[]1,0[:C C T →为?

=1

d )())((s s x t

t Tx ，再定义]1,0[]1,0[:C C S →为

)())((t tx t Sx =，试问S 与T 是否可换（即S T T S =）？并求S ，T ，T S 及S T 。

注：定义域空间中的范数为：?=

1

d )()(s s x t x ；值域空间中的范数为：

))((max )(]

1,0[t x t x t ∈=。

解： ?==1

2

d )())((())()((s s x t

t x T S t x T S 。

?==10

d )())((())()((s s sx t t x S T t x S T 。取1)(0≡t x ，则

))()((2

))()((020t x S T t

t t x T S =≠

=，因此S 与T 是不可换。 （1）)()(max )(max )(max )())((]

1,0[]

1,0[]

1,0[t x t x t x t t tx t tx t Sx t t t =≤===∈∈∈，所以1≤S ；又当1)(0≡t x 时，1)(0=t x ，故1)(0==≥t t Tx S 。综上所述，1=S 。

（2）????=≤==∈∈1

]

1,0[10

10

]

1,0[1

d )(max )d )((d )(max d )())((s

s x t s s x s s x t s

s x t

t Tx t t

x s x s s x s ==≤??∈1

1

0]

1,0[d d )(max ，所以1≤S ；又当1)(0≡t x 时，1)(0=t x ，

故1)(0==≥t t Tx T 。综上所述，1=T 。 （

3

）

???

?

=≤==∈∈1

2

]

1,0[1

1

2

]

1,0[1

2

d )(max )d )((d )(max d )())()((s s x t s s x s s x t

s s x t

t x T S t t

x s x s s x s ==≤??∈1

01

0]1,0[d d )(max ，

所以1≤T S ；又当1)(0≡t x 时，1)(0=t x ，故1))()((2

0==≥t t x T S T S 。综上所述，1=T S 。

（4）

????∈∈≤≤==1

0]

1,0[1010]1,0[10

d )(max d )(d )(max d )())()((s s sx s s sx s s sx t s s sx t t x S T s t

x s s s x s s s x s s 21d )(max d ))(max (1

0]1,0[1

0]1,0[=

=≤??∈∈，

所以2

1

≤S T ；又当1)(0≡t x 时，1)(0=t x ，故2

1

21d ))()((100===≥?t s s t t x S T S T 。综上所述，

21

=S T 。

4．设无穷矩阵)(ij a 满足：

∞<∑∞

=N ∈1

sup j ij

i a

。定义∞

∞→l l T :为：对∞∈=l x i )(ξ，

)(i Tx η=，其中)( ,1

N ∈=∑∞

=i a j j ij i ξη。证明：∑∞

=N ∈=1

sup j ij i a T 。

证明：

???

?

??≤≤==∑∑∑∑∞

=≥≥∞

=≥∞

=≥∞

=11111111

)sup (sup sup sup )(j j j ij i j j ij i j j ij i j j ij a a a a Tx ξξξξ ∑∞

=N

∈=1

sup j ij i a x 。所以∑∞

=N ∈≤1

sup j ij i a T 。另一方面，对任意固定的10≥i ，令

∞

∈=l a x j i )(sgn 00，且10≤x 。则∑∑∞

=∞===≥1

1

0000)sgn (j j i j j i j i a a a Tx T ，

由0i 的任意性，所以∑∞

=≥≥1

1

sup

j ij

i a

T 。综上所述，∑∞

=≥=1

1

sup

j ij

i a

T 。

5．（Hilert-Schmidt ）型积分算子）设]),[],([),(2

b a b a L s t k ?∈，令

],[],[:22b a L b a L T →为

：

?=b

s

s x s t k t Tx a

d )(),())((。证明

2

1a 2

d d ),(?

?

? ??≤??b a b

t s s t k T 。（提示：利用Holder 不等式

11

2

12

2

1

2

d )(d )()()(??

? ?????? ??≤???

b

a b

a b

a

t t g t t f t g t f 。

） 证明：

2

12

a 2

12

a a d d )(),(d d )(),(d )(),())((???? ????? ?

?≤???? ??==?????b a b b a b b

t s s x s t k t s s x s t k s s x s t k t Tx 2

122

1

22)

1(d ds ),(d ds )(ds ),(??? ??=??? ?

???? ????? ?????? ??≤?????b a b a b a b a b a t s t k x t s x s t k 。 所以2

1

a 2d d ),(??

? ??≤??b a b t s s t k T 。上述推导过程中，（1）利用了Holder 不等式。

6．设]),[],([),(b a b a C s t k ?∈，定义],[],[:b a C b a C T →为：

?=b

s s x s t k t Tx a

d )(),())((。证明：?

≤≤=b

a

b

t a t s t k T d ),(max

。

证明：

???

≤≤≤≤≤==

b

b t a b

b

t a b

s s x s t k s s x s t k s s x s t k t Tx a

a

a

d )(),(max d )(),(max d )(),())((

()??≤≤≤≤≤≤≤≤b

b t a b

b

s a b t a s

s t k x s s x s t k a

a

d ),(max d )(max ),(max 。所

以

?

≤≤≤b

a

b

t a t s t k T d ),(max

。令一方面，令1)(0≡t x ，则1)(0=t x 。因此

??

≤≤=≥b

a

b t a b

a s

s t k s s t k T d ),(max d ),(；再令

1

)(0-≡t x ，又有

??

-=≥

≤≤b

a

b t a b

a

s s t k s s t k T d )),((max d ),(。由此可知：

?≤≤≥b a

b

t a s s t k T d ),(max 。

综上所述，?

≤≤=b

a

b

t a t s t k T d ),(max

。

7．证明E 上的非零线性泛函f 不是连续的等价于)ker(f 在E 中稠密。 证明：必要性：f 不连续?f 无界?}{k x ?，且1=k x ，使得k x f k ≥)(。

E ∈?x ，令k k k x x f x f x y )

()

(-

=，则)ker(f y k ∈，且x y k →，由稠密性定义可知：)ker(f 在E 中稠密。

充分性：若f 连续?)ker(f 是E 上的闭子空间。又因为)ker(f 在E 中稠密，所以0)ker()ker(=?==E f f f 。此与0≠f 矛盾。故若f 不连续。

第 八 节

1．设k 是非负整数，证明],[b a 上次数不超过k 的多项式全体],[b a P k 是],[b a C 的闭子空间。 证明：容易验证],[b a P k 按],[b a C 上的范数成为赋范空间，下面要证明它是闭的。

令]),[,0(b a t k n t x n

n ∈≤≤=，则容易验证},,{10k x x x 是],[b a P k 的基，且

1],[dim +=k b a P k 。又因为有限维空间是闭集。所以],[b a P k 是],[b a C 的闭子

空间。

2．证明定理3（赋范空间E 是有限维的充要条件是：E 中的有界闭集都是紧集。） 证明：不妨设n =E dim ，},,,{21n e e e 为它的基。构造n

T K →E :为

],,,[21n Tx ξξξ =，这里∑==n

k k k x 1e ξ由此可知E 与n K 拓扑同构。又因为n K 有

界闭集都是紧集与n

K 是有限维是等价的，所以E 是有限维等价与E 中的有界闭集都是紧集。

3．设∞

Φ≠B A 。 证明：不妨设A 是闭集，B 是紧集。定义R B →:f 为),()(A y d y f =，由于d 是连续映射，且紧集的连续像是紧集，则必存在B ∈0y ，使得

12

r y f y d y f y ?

∈===)(inf ),()(00B

A 。

令A C )1,(~

0+=r y B ，则C 是有界闭集，又因为C 是有限维的，所以C 是紧集。由C 的取法显然有),(),(00A C x d x d =。

C 紧C ∈??0x ，使),(),(),(0000B A A C d y d y x y d ==-=。

第 二 章

第 一 节

4．设赋范空间}0{≠E ，证明：对于任何E ∈x ，恒有)(sup *

1x f x f ==。

证明：由Ｐ49页的推论1可知：存在*

0E ∈f ，使得10=f ，且x x f =)(0。

另一方面有x x f x f x f f ≤??≤=)()(1

，所以)(sup *

1x f x f f E ∈==。

5．设M 是赋范空间E 中的子空间，E ∈0x 。证明M ∈0x ?只要*

E ∈f 满足

0|=M f ，则0)(0=x f 。

证明：必要性。用反证法。设?*

E ∈f 满足0|=M f ，但0)(0≠x f ，由Ｐ50页

的推论2的结论可知M ?0x ，这与M ∈0x 矛盾。所以只要M ∈0x 这一条件成

立，必可推出只要*

E ∈f 满足0|=M f ，则0)(0=x f 。

充分性：同样用反证发。M ?0x 则由Ｐ50页的推论2的结论可知：存在*

E

∈f 满足0|=M f ，且0)(0≠x f ，显然这与0)(0=x f 矛盾。所以只要*

E ∈f 满足

0|=M f ，则0)(0=x f 这一条件成立，必可推出M ∈0x 。

6．设A 是赋范空间E 的非空集，E ∈0x 。证明0x 可用A 中元的有限线性组合

逼近的充要条件是：只要*

E ∈f 满足0|=A f ，则0)(0=x f 。

证明：该题即要证明)(span 0A x ∈?只要*

E ∈f 满足0|=A f ，则0)(0=x f 。

必要性。设)(span 0A x ∈，则由习题5的结论可知：只要*

E ∈f 满足0|)(span =A f ，

则0)(0=x f 。而由)(span A 的构造可知：0|0|)(span =?=A A f f 。 充分性：由0|0|)(span =?=A A f f 以及习题5的结论直接可得。

7．设n x x x ,,,21 是赋范空间E 中有限个线性无关向量，证明存在

*21,,,E ∈n f f f 使ij j i x f δ=)(，n j i ,,2,1, =。

证明：以1x 为例来说明。令),(span 2n x x M =，则它为E 中的子空间。因为

n x x x ,,,21 线性无关，所以0),(1>M x d 。由泛函延拓定理知：*1E ∈?f ，使

得1)(11=x f ，0|1=M f 。再由M 的构造方法可知)2(,0)(1≥=j x f j 。同理可得：ij j i x f δ=)(。

8．设E 是赋范空间，E ∈0x 满足条件只要*

E ∈f

且1=f ，则c x f ≤)(0，证明c x ≤0。

证明：由习题4的结论可知：)(sup 0*

1

0x f x f ==，又由于c x f ≤)(0，所以c x ≤0。

第 四 节

3．设]1,0[C 按范数1?是Banach 空间，且当01

→-x

x k 时，对一切]1,0[∈t 恒

有0)()(→-t x t x k 。证明范数1?与范数])1,0[( )(max ]

1,0[C x t x x t ∈=∈等价。（提

示：先证)],1,0[()],1,0[(:1?→?C C I 是闭算子，再用必图像定理知该算子有界，最后用逆算子定理得结论。）

证明：令)],1,0[()],1,0[(:1?→?C C I 为x Ix =。显然I 是线性双映射。设

)],1,0[(}{??C x k ，且x x k →，y Ix k →。由（?],1,0[C ）的完备性可知，

)],1,0[(?∈C x 。且)],1,0[(?C 中的收敛等价于一致收敛，所以)()(t x t x k →。

此外

0)()(lim lim 0lim 11=-?-?=-∞

→∞

→∞

→t y t x y x y Ix k k k k k k 。再由

13

)()(t x t x k →，可得Ix y =。所以I 是闭算子。根据闭图像定理，则I 是有界的。

所以x I x Ix ≤=11。又根据逆算子定理，1-I 也是有界的。所以

111x I x x I --≤=。

综上所述，1?与范数])1,0[( )(max ]

1,0[C x t x x t ∈=∈等价。

4．设21,,E E E 均是Banach 空间，),(2E E ∈βA ，),(21E E ∈βB ，若对于任意的E ∈x ，方程By Ax =都有唯一的解Tx y =。证明),(1E E ∈βT 。

证明：设E ?}{k x ，且0x x k →，0y Tx k →。由B A ,的连续性意知T 是连续的。由于E 是Banach 空间，所以E ∈0x 。由解的唯一性可知：k k BTx Ax =连续

B A ,?

00By Ax =?

00Tx y =。所以T 是闭算子。根据闭图像定理，则),(1E E ∈βT 。

5．设E 是Banach 空间，M 、L 均E 的闭子空间，且L M ⊕=E （即对于任意的E ∈x ，x 都有唯一的表示z y x +=，其中M y ∈，L z ∈）。又设

k k k z y x +=，M y k ∈，L z k ∈， ,2,1=k 000z y x +=，M y ∈0，L z ∈0。

证明：x x k →的充要条件是0y y k →且0z z k →。（提示：对E ∈+=z y x ，其中M y ∈，L z ∈，令z y x +=1，说明),(1?E 是Banach 空间。） 证明：首先说明),(1?E 是赋范空间。正定性和绝对齐性是显然的。下面证明满足三角不等式。设E ∈21,x x ，则1

2

1211

2

1z z y y x x +++=+。由于

M y y ∈+21，

L

z z ∈+21，

所

以

21211

21,2

1211

2

1z z y y x x z z y y x x L M ＋＋＋是闭子空间

≤+?

+++=+

12111

22111x x z y z y +=+++＝。由此可知),(1?E 是赋范空间。

下面再进一步说明它还是Banach 空间。

设}{k x 是),(1?E 中的Cauchy 列。则0>?ε，0N ?，当0,N n m ≥时，有ε<-1m n x x 。

ε<-1m n x x ?ε<-+-m n m n z z y y ――（１）式。这表明}{k y 和}{k z 分别是M 和L 中的Cauchy 列，又M 和L 是完备的，所以L z z M y y k k ∈→∈→00 ,。令（１）式中∞→m ，则

εεε<-?<--+?<-+-1010000x x z y z y z z y y n n n n n 。

这表明E ∈→0x x k ，所以),(1?E 是Banach 空间。 下面要说明的是范数?与1?是等价的。

令),(),(:1

?E →?E I 为x Ix =。则I 是线性双映射。取),(}{?E ?k x ，且

0x x k →，s Ix k →。显然有)

,(0?E ∈x 。011→-+-=-=-s k s k k k z z y y s x s Ix ，所以在),(?E 有s k y y →，

s k z z →，则必有s z y z y x s s k k k =+→+=，而0x x k →，所以s Ix =0。由

此可知，I 是闭算子。根据闭图像定理可知I 有界。再根据逆算子定理1-I 也有界。由此可以容易推出?与1?是等价的。 最后我们来证明题目的结论。

必要性：已知

x

x k ?

按，由

?

与

1

?等价，则

01→-x x k ?0100→--+z y z y k k ? 0 ,000→-→-z z y y k k 。

充分

性

：

由

0→-y y k 且

00→-z z k ?000→--+z y z y k k ?0→-x x k 。

第 五 节

1．设实数列}{k a 对任何满足∞<∑∞

=1

2

k k

b

的实数列}{k b ，都有∞<∑∞

=1

2

2k k k b a 。证

明：∞<≥k k a 1

sup 。

14

证明：令R →2

:l f n 为

n n n b a x f =)(，其中2)(l b x k ∈=。则

∞<=n n n b a x f )(。由一致有界原理可知：∞<≥n k f 1

sup ――（１）式。

此外x a b a b a x f n n

k k

n n n n ≤??

?

??

≤=∑=2

112)(。所以n n a f ≤；另一方面取)sgn(n n a b =，则n n n

a x f f =≥)(。由此可知：n n a f =

由（１）式可知：∞<≥k k a 1

sup 。

2．设实数列}{k a 对任何满足∞<∑∞

=1

2k k

b

的实数列}{k b ，都有∞<∑∞

=1

k k k b a 。证

明：

∞<∑∞

=1

2k k

a

。

证明：令l l T n →2

:为),0,,,,()(2211 n n n b a b a b a x T =，其中2

)(l b x k ∈=。则∞<=

∑=n

k k

k

n b

a x T 1

。由一致有界原理可知∞

此外

x

a b a b a x T n

k k n

k k n

k k n

k k k n 2

1122

1122

1121??

? ??≤??? ????? ??≤=∑∑∑∑====，所以

2

112??

? ??≤∑=n k k n a T 。

另一方面，令),0),sgn(,),sgn(),sgn((2211)

( n n n a a a a a a b

=，

)

()

(n n n n b

b T T ≥

则

2

11221

121

2??

? ??=??

? ??=

∑∑∑===n

k k n k k n

k k

a a a

。综上所述，2

112??? ??=∑=n

k k n a T 。根据（１）式有，∞

? ??∑∞

=2

1

12k k a ，即∞<∑∞

=12k k a 。

第 六 节

2．设M 是赋范空间E 的子空间，M x k ?}{。若0x x w

k →。证明M x ∈0。

证明：若M x ?0，则由泛函延拓定理可知，存在*

E ∈f ，使得0)(0>x f ，

0|=M f 。再由0x x w

k →?)()(0x f x f k →。已知f 是连续的，且M x k ?}{，

所以0)(lim )(0==∞

→k k x f x f 。此与0)(0>x f 矛盾，故M x ∈0。

3．设0x x w

k →，且∞<∞

→k k x lim 。证明：k k x x ∞

→≤lim 0。

证明：由泛函延拓定理可得：存在*

E ∈f ，使得00)(x x f >

，1=f 。由

x x w

k →?

)

()(0x f x f k →。又

f

是连续的，所以

k k k k x f x f x f x ∞

→∞

→≤==lim )(lim )(00 k k x ∞

→=lim 。

4．定义算子2

2:l l T →为),,,0,0()(:21 ξξξ→=k x T 。证明)(2l T β∈，并求?

T 。

证明：已知*2)(l 与2

l 是等距同构的，所以*

2)(l f ∈?，2l ∈?α，使得

2,)(l y y y f T ∈=α。

15

))(()()())((1

23

2x T Tx Tx f x f T T c i i i i i i T

αξαξαα=====∑∑∞

=+∞=-?

，式中c T 为

对序列的左移两步算子，即),,()(:43 ξξξ→=k c

x T 。所以c T T =?。

第 七 节

3．设)(E ∈βT ，λ是T 的特征值，证明n

λ是n T 的特征值，这里N ∈n 。 证

明

：

0)(=-x T I λ?

Tx x =λ。0))((=-x T I T λ?x T x T 2)(=λ?x T x 22=λ。依此类推，可得x T x n n =λ，

所以n

λ是n

T 的特征值。

7．定义2

2

:l l T →为??

?

??= ,,,2,1,

021k Tx k ξξξ，2)(l x k ∈=ξ，证明T 是紧

线性算子，且C =)(T σ。（注：原题要证明}0{)(=T σ，本人认为有误。）

证明：令2

2:l l T n →为??

? ??→= 0,0,,,2,1,0)(:21n x T n k n ξξξξ。则n T 是线性

算子，且是有限秩算子，所以n T 是紧线性算子。

x n k Tx x T n k k n 112

112

+≤???

? ????? ??=-∑∞+=ξ，所以11

+≤-n T T n ?T T n →。由

于)(2

0l β是Banach 空间，所以)(20l T β∈。

0),2

,,()(2

3121=-

-=- ξλξξλξλξλx T I ?0)(==k x ξ，所以T I -λ是

单映射，又}0|){()},2

,1,0{()(12

12

===ηηξξk l T 是2

l 的真子空间。再由λ的

任意性，C =)(T σ。

第 三 章 第 一 节

2．设实数列}{k x 满足

∞<∑∞

=1

2k k

x

，证明：∑∑∞

=∞=+≤1

2

1

1k k k k k x x x 。

证明：设},,{210 x x x =，},,{320 x x y =。

则∑∞

=+=

1

100,k k k

x x

y x ，

∑∞

==1

200,k k

x

x x

，

∑∞

=+=1

2

1

00,k k x y y 。由Schwarz 不

等

式

00002

0,,,y y x x y x ≤可得：

∑∑∑∑∑∑∞

=∞

=+∞=∞

=+∞

=∞

=+≤???

? ??≥≤1

2

1

12

121

21

1

2

2

1

1k k

k k k

k k k k k k

k k k

x x x

x x

x

x x

。

3．设}{k x 是内积空间V 中的点列，且对一切V y ∈，y x y x k ,,→。证明：

x x x x k k k k =?=∞

→∞

→lim lim 。

证明：必要性是显然的。下证充分性。

x x x x x x x x x x x

x k k k k k k +--=--=-≤,,,02

――（１）式。

由于当∞→k 时，x x k →，x x x k →,

，x x x k →,。所以由（１）式可得：x x x x k k k =?→-∞

→lim 0。

4．证明]1,0[C 按范数)(max 1

0t x x t ≤≤=不能成为内积空间，即该范数不能由内积导

出。

解：取t t x +=1)(0，t t y -=1)(0。则2)()(00=+t y t x ，t t y t x 2)()(00=-。

200000=-=+=y x y x x ，10=y 。82

02

00=-++y x y x

)(2102

02

y x +=≠。这表明不满足平行四边形法则，即该范数不能由内积导

出。

16

第 二 节

2．设M 是

Hilbert

空间H 的非空子集，⊥

⊥?)

(M M ，

⊥⊥⊥==)span ()span (M M M 。

证明：已知M x ∈?，⊥

⊥M x ，显然⊥

⊥∈)(M x ,所以⊥

⊥?)(M M 。

⊥

∈?M x ，有M x ⊥，而由M span 构造方法可知：M x span ⊥。所以⊥∈)span (M x ，⊥⊥?)span (M M 。另一方面，⊥∈?)span (M x ，

M

x span ⊥M

M span ??

M x ⊥?⊥∈M x 。

综上所述，有⊥

⊥

=)span (M M 。由内积的连续性，很容易得到⊥

⊥

=)span (M M 。 3．设M 是Hilbert 空间H 的凸子集，}{k x 是M 中的点列，且满足条件：

}|inf{lim M x x x k

k ∈=∞

→。证明}{k

x 是H 中的收敛点列。（提示：仿定理3的

证明。）

证明：

5．设M 是Hilbert 空间H 的子空间，证明⊥⊥=)(M M 。（提示：利用投影定理。）

证明：由于⊥

⊥=)(M M 。不妨设M 是闭集，否则用M 代替。由习题2的结论

有⊥⊥?)(M M ，所以只要证明M M ?⊥⊥)(。设⊥

⊥∈)(M x ，则x 关于M 的

投影为⊥∈∈+=M y M x y x x 0000,,。由于⊥

⊥?)(M M ，所以上式也可理解

为x 关于⊥M 的投影⊥⊥⊥∈∈+=M y M x y x x 0000,)(,，又因为x 关于⊥

M 的投影也可写成：⊥

⊥∈+=)(,0M x x x ，而投影是唯一的，所以

0,00=∈=y M x x 。这表明M M ?⊥

⊥)(。

综上所述，⊥

⊥=)(M M 。 6．设M 是Hilbert 空间H 的子空间，且对任何H x ∈，x 在M 上的投影都存在，证明M 是H 的闭子空间。（提示：利用投影定理。） 证明：实际上只要证明M 是闭集即可。设}{k x 是M 中的收敛点列，且满足x x k k =∞

→lim 。由条件知：x 关于M 有唯一的分解，

⊥

∈∈+=M y M x y x x 0000,,。所以

有

)

1(00≥⊥-k y x x k 。0

,lim ,lim ,0000002

=-=-=-=∞

→∞

→y x x y x x y x x y k k k k 。

所

以

00=y ?M x x ∈=0。这表明M 是闭集。

第 三 节

1． 设},,{21 e e F =是Hilbert 空间H 中的标准正交系，证明F 是完备的标准正

交系等价于H F =span 。

证明：F 完备的

是Hilbert H ?F 完全?}

0{=⊥F 。而

H F F F ===⊥⊥

⊥⊥span span ? }0{=⊥F 。所以F 是完备的标准正交系等价于H F =span 。 第 四 节 1． 设2

2l l →定义为),,,0(21 ξξ=Tx ，2)(l x k ∈=ξ。求T 的共轭算子。 解：令),,(21 ηη=y 。则 ++==32212121),,(),,,,0(,ηξηξηηξξy Tx ),,(,),,(),,,(323221 ηηηηξξx ==。 所以),,(32*

ηη=y T 。 2． 设2

2:l l T →定义为),,(32 ξξ=Tx ，2)(l x k ∈=ξ。求T 的共轭算子。

解：令),,(21 ηη=y 。则 ++==23122132),,(),,,(,ηξηξηηξξy Tx

),,,0(,),,,0(),,,(212121 ηηηηξξx ==。

所以),,,0(21*

ηη=y T 。

第 五 节

1． 设T 是Hilbert 空间H 上的自伴算子且T 有有界逆算子。证明1-T 也是自伴算

子。

证明：y T x y T x T T y T

T x T y x T 1111

11,),()(,,------===。所以1-T 也

17

是自伴算子。

2． 设}{k e 是2

l 中的完备标准正交系，其中)(ki k e ξ=。令},,{span 42 e e M =，求出M 上投影算子的具体形式。 解

：

∑∑∑∞

=--∞=∞=+==1

1

2121

221

,,,k k k k k k k k k e e x e x e e x x 。显然

M e e x k k k ∈∑

∞

=1

22,，所以∑∞

==1

22,k k k e e x Px 。

第 四 章

第 一 节

1． 设D 是E 的子集，1:E →D A ，D x ∈0，证明下述条件等价：

1）A 在0x 处连续；

2）对D 中任何收敛于0x 的点列}{k x ，恒有0Ax Ax k →； 3）对任何0>ε，存在0>δ，使),()),((00εδAx B x B D A ? 。 证明：1）?2）。A 在0x 处连续?01>?ε，0>?δ，当δ<-0x x 时，

10ε<-Ax Ax 。

设0x x k →?02>?ε，00>?N ，当0N k ≥时，20ε<-x x k 。特别得取

δε=2，有01>?ε，当0N k ≥时，10ε<-Ax Ax k 。所以0Ax Ax k →。

2）?1）。若A 在0x 处不连续?0>?ε，0>?δ，当δ<-0x x 时，但

ε≥-0Ax Ax 。特别得对于k 1＝δ也成立，取)1,(0k x B x k ∈，但ε≥-0Ax Ax k 。因此有0x x k →，k Ax 不收敛于0Ax ，这与0Ax Ax k →矛盾。所以对D 中任何收敛于0x 的点列}{k x ，恒有0Ax Ax k →。 1）?3）。设)),((0δx B D A y ∈，则必有),(0δx B D x ∈，且y Ax =。由A 在0x 处连续?0>?ε，0>?δ，当),(0δx B x ∈时，),(0εAx B Ax y ∈=。

所以),()),((00εδAx B x B D A ? 。

3）?1）。由算子连续性的定义显然成立。

第 三 节 2． 设1:E →D A 在D 上F －可微，D x ∈0，证明A '在0x 处连续等价于：对

任何0>ε，存在0>δ，当δ

k h k h x A k x A h x A -≤-'-+-+ε))(()()(000。

证明：A '在0x 处连续?0>?ε，0>?δ，当δ

ε≤'-+')()(00x A h x A 。此外当δ

δ<-+k t th )1(。从而有：0>?ε，0>?δ，当δ

1,0[∈t 时，有ε≤'--++')())1((00x A k t th x A 。

))(()()(000k h x A k x A h x A -'-+-+ t k h x A t k h k t th x A d ))((d ))()1((1

01

0??

-'---++'=

[]k h x A k t th x A t k h x A k t th x

A -?'--++'≤-'--++'≤

?)())1((d )()())1((001

00

k h -≤ε

第 五 节

1． 设),(u t f 在]1,1[]1,1[-?-上连续，且1),(max ]

1.1[,=-∈u t f u t 。证明

????

?==0

)0())(,()

(x t x t f dt t dx 在]1,1[-上必有连续可微解。 证明：略。（方法同下题，并可参考P152页例2。）

2． 设),(u t f 在]1,0[]1,0[?上非负连续，且1),(max ]

1,0[,=∈u t f u t ，证明积分方程

18

?=t

s s x s f t x 0

d ))(,()(

在]1,0[上必有连续解。

证明：令}1|]1,0[{非负，且x x C x D ≤∈=。显然D 是非空有界闭凸集。 则1d ))(,(max d ))(,())((0

]1,0[0

≤≤=??

∈t

t t

s s x s f s s x s f t Ax 。则D D A →:

为?

=

t s s x s f t Ax 0

d ))(,())((。

下面要证A 是全连续的，为此要证A 是紧算子且连续。首先来说明它是紧算子。 实际上由于]1,0[C D ?有界，则只要说明)(D A 有界且是等度连续的即可。 由于D 有界，则D D A ?)(有界，所以)(D A 有界。

0>?ε，取εδ=，则当δ<'-t t 时，对一切D x ∈有： εδ=<'-≤=

'-?

'

t t s s x s f t Ax t Ax t t

d ))(,())(())((。所以)(D A 是等度连续

的。由以上两个方面可知，A 是紧算子。最后来说明A 是连续的。 设D x k ?}{，且0x x k →，只要能说明0Ax Ax k →即可。

0>?ε，由),(u t f 在]1,0[]1,0[?上连续知：0>?δ，当]1,0[,,∈'u u t ，且

δ<'-u u 时，

有δ<'-),(),(u t f u t f 。由0x x k →?00>?N ，当0N k >时，有δ<-x x k 。由此

可知：0>?ε，00>?N ，当0N k >，有ε<-))(,())(,(t x t f t x t f k 。 则

ε<-≤-=

-??

1

))(,())(,())(,())(,())(())((s x s f s x s f s x s f s x s f t Ax t Ax k t

k k 。

所以0Ax Ax k →，这表明A 是连续的。

综上所述，由Leray-Schauder 不动点原理可知：积分方程在]1,0[上必有连续解。