泛函分析的应用
现代数学基础学习报告
泛函分析应用
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摘要
信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍
1.1泛函分特点和内容[1]
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自
由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
1.2泛函的理论[2]
1.2.1 集合
集合是泛函理论的基础，所以首先介绍集合。
集合：具有共同特征的元素汇到一起构成了集合。那么任意一类信号就可形成信号集。例如周期余弦表示成的周期余弦信号集为：
连续时间信号可构成连续时间空间，记作C[T]空间，能量有限信号则可形成可积空间，记作等等。
1.2.2 度量空间
设X是非空集合是二元函数，如果满足
（1）
（2）
（3）
则称是X上的一个度量，称（X，）为一个度量空间。
例如在空间可定义如下度量：
1.2.3 线性空间
对加减运算封闭的空间是线性空间。
1.2.4 线性空间的维数
如果X空间中有n个向量无关且任何n+1个向量都相关，那么我们称X是n维的。
1.2.5 赋范线性空间
假设X是线性空间，设：是一个映射，若满足：
(1)
(2)
(3)
则称为X上的一个范数，称(X,)为赋范线性空间。并称
为由范数导出的度量。
1.2.6 线性算子
设X、Y是线性空间，T：X Y是映射，若都有
(1)T(x+y)=Tx+Ty；
(2)T(x)=Tx
则称T为从X到Y的一个线性算子。若Y=R或C，则称T是线性泛函。
那么在信号处理中我们可以将线性系统可看作线性算子，冲激信号的取样特性可看作在空间中的线性泛函。
1.2.7 不动点
设X是度量空间，T：X X是映射，，如果,则称为一个不动点。那么我们求得某个泛函导数的不动点也就求出了输出信号的极值。
2.课题介绍
2.1微型扑翼飞行器的相关概念
目前的飞行器根据翼型运动方式的不同可以分为三类，分别为固定翼，旋翼和扑翼。其中固定翼和旋翼是两种常规飞行普遍采用的方式，两者都是通过机翼产生升力，目前大多数的飞行器均采用以上两种方式，扑翼飞行器目前并不常见，但这种飞行方式被自然界中的鸟类和昆虫广泛所采用，被认为是生物进化的最优飞行方式，从仿生学角度讲，自然界进化淘汰后的结构才是最优选。它的升力产生机理与固定翼和旋翼有很大的不同。扑翼式飞行器的优势在于[3-6]:
（1）扑翼同时产生升力与推力，举升，悬停和推进功能集成于一个扑翼系统，具有较强的机动性和灵活性。
（2）通过调整扑翼系统的扑动参数就可以灵活的改变飞行状态，从而可以省略部分控制面，大大简化结构，减轻机身重量。
（3）微扑翼飞行器的扑翼可以在水平位置锁定,在高空进行翱翔以利用势能，故比起直升机的螺旋桨必须不停旋转来说可以节省能量。
（4）扑翼产生推力的效率高。理论研究表明，扑翼推进效率比常规推进系统的推进效率要高，最高可达85%。
具有以上优点的扑翼飞行器非常适合微型飞行器。而且随着科技发展，原来困扰扑翼飞行器发展的强度，动力等问题已经可以得到较好的解决。微型扑翼飞行器开始成为研究热点之一。
微型扑翼飞行器目前存在着一些缺点。
（1）理论不够完整。按照传统的空气动力学理论,微型扑翼飞行器无法有效地利用空气的升力和阻力,因而就很难起飞。仿生扑翼动力学理论需要进一步研究。
（2）机构设计复杂。鸟类和昆虫在飞行过程中翅膀并不是单纯的上下扑动,而是具有复杂的运动规律。真正实现鸟类或昆虫那样复杂的扑动方式,给机构设计带来一定的难度。
（3）动力、能耗要求比较高。微型扑翼飞行器要求外形较小、质量轻、驱动元件效率高、能耗少,因此对动力、能耗提出了相当高的要求。
（4）飞行性能需进一步改善。目前微型扑翼飞行器还不能像昆虫或鸟类一样利用大气中的上升气流翱翔,实现自主飞行。
所以，对于扑翼式飞行器的研究，存在着很多巨大的挑战。但是，通过学习泛函，用泛函的思想去考虑问题，定会客服一切理论和技术难题，使研究过程越来越清晰，最终设计符合社会发展和科技要求的扑翼式机器人。
2.2课题简单介绍
介电弹性体驱动器作为一种人工肌肉驱动器，具有能量密度大、变形量大和效率高等优点，在航空、机器人和医疗等领域有广阔的应用前景。介电弹性体薄膜通电时，在平面和厚度方向都有变形，利用不同方向的变形，可以制作不同类型的驱动器。应用于扑翼式机器人的介电弹性体驱动器至今在国内外还属于空白，并且介电弹性体变形需要几千伏的高压，而现有的高压控制电路多为面向高压送电计，不适合扑翼机器人采用。
所设计的电路示意图如图1所示[7]，该电路主要由输入电路、变压器功率转换电路、控制电路、反馈比较电路、负载电路六个主要电路组成。能够将直流电池3V电压，升压至2.5KV，带有负载电压监测功能，并且能实现输出和输入之间的隔离，有效的保护低压电路。
图1 输出2.5KV的高低压转换电路
但是图1所实际的电路，最高只能达到4KV的输出，无法满足介电弹性体材料的变形所需施加的电压，故通过分析讨论，得出一下的一款方案。该高压电源共由电源、电压逆
变电路、PWM控制电路、变压器电路、倍压整流电路、EMI滤波电路、保护电路电路、采样反馈电路和高压频率控制电路9部分组成，电路转换流程如图2所示。该高压电源的工作原理如下：由24V直流电压输入，经过H桥芯片MAX13256逆变为幅值为12V频率为50KHz的高频交流电，H桥内部集成了MOSFET开关管，其控制通过PWM芯片TL494 产生固定的PWM波形来进行驱动，为了防止低频信号的干扰，在变压器变压过程中造成谐波影响和电磁损耗，经过高通滤波器之后，将低频的电流过滤掉之后，交流电通过高频变压器进行升压，该变压器的匝数比为1:150，升压过后变为1800V的高频的高压电。由于负载需要的是直流电，此时高频的电流不能直接接到负载之上，需要进行整流滤波才可以接到负载上。因此在高频变压器之后要接倍压整流电路，在此处放置一个10倍压的整
图2 电路转换流程图
流电路，经过倍压之后达到至少5000V的高压输出，通过选择倍压电路的输出时串联电容的个数，可以分五档输入下一环节。将倍压整流的高压接上频率控制电路，控制直流高压变为频率可调的矩形波，最后接负载。在输出端接电阻进行分压，采样得到的电压值通过差分比较器，通过比较后反馈回PWM控制端，此时，一旦电压发生了一定幅度的波动之后，就会使得芯片关断，对电路起到了过压的保护作用，过电流和过热的保护通过芯片内部的保护得到实现。该电路通过控制高压工作组的交替工作，来实现将输入的低压直流电转换到5KV以上的高压电，且频率1到50HZ可调的高压交流电，电流小于2mA。
以上电路方案是本人本科时期的毕业课题，而研究生的课题则围绕适用于扑翼式飞行器的高低压电源转换模块。由于飞行器的局限性，将会给电源的设计提供很大的挑战。同时，通过对泛函的学习和查阅相关资料，发现泛函理论和知识，能够很好的解决简单数学无法解决的问题，这将为扑翼飞行器携带电路的设计提供重要的设计思路。下面将从信号处理和低功耗电源设计两个方面浅谈泛函在电路设计中的应用。
3.泛函分析在所做课题中应用
3.1度量空间在信号处理中的应用[8-10]
在进行扑飞行器信息采集和处理的过程中，难免会出现处理错误，而泛函中的度量空间的理论，可以很好的解决这个问题。
由n个二进制码元可组成个码组。码组集合表示为，那么我们可以将看做度量空间。采用海明定义码间度量为：
式中，，。这样，我们容易知道相同码组的度量为零，不同码组的度量至少为1。在信息的传输过程中为了提高传输的可靠性，可增加检验码，即加大码间度量，形成校验码。我们取n=3为例，那么码组集合中有8个元素，它的信息码和校验码如表1。
在表中令，。于是得到，两列。由图易知，仅增加后，从到每个码组都有两个1和两个0，且有
。其中任意两个正常码组间的最小度量为2。如果，任意码组中发生一位错误码，其与相邻组的度量缩小为1，从而得到检验，故此得校验码。当增加后，任意两个正常码组见的最小度量为3，若有一组发生错误码，则其与原正确码间的度量为1，而与相邻码组间的度量为2，这样不仅得到了检验，而且便于纠正，故此为纠错码。
表1信号码表
3.2泛函在电源设计中的应用
3.2.1 交叉理论
任意信号可看作某个有限维空间内的一个点，由有限个数值表示，以便于分析处理。如果信号处于空间中的某个n维子空间内，且由已知的基集生成，其中为时间函数，则信号可表示为：
式中，系数可以由内积公式求得。若基集为某个完备的归一化正交函数集，则有足够大的n即可无限逼近信号。例如，若选取
那么会得到的Fourier级数展开式。
信号的极值问题就是优化某种信号波形，以使信号的某个泛函达到极值。而系统的极值问题就是优化系统算子，以使输出信号的某个泛函达到极值。
3.2.2 设计耗能最小的充电电源
设电路如图所示，其中电源电压为，电容电压为。
不妨设，，，并将电源波形记做，其中
由电路可知：
上式表明电路具有约束条件。电源的耗能应为电阻的耗能与电容储能之和，将其作为泛函，即
因此，最佳电源波形设计成在约束条件下寻求的不动点。由必要条件可得，可得代入约束条件，可得
及，最后得耗能最小的电源电压为：
结论
信号与系统的一般分析方法建立在普通函数的基础上,它以微分方程、积分变换和线性代数为手段,描述与研究信号的特征及系统的响应,数学逻辑严密,物理概念清晰,不失为较好的分析方法。但是,一般分析方法仍具有局限性,这就是:概念较为狭窄;方法不够概括;各种变换不能统一;综合问题比较困难等。
泛函理论是本世纪发展起来的独立数学分支。它以集合论为基础,研究无穷维抽象空间内的函数集合、函数代数以及集合算子特性,是定量分析具有无穷自由度的一切事物的有力工具。
信号与系统的广泛性与泛函理论的抽象性相结合,形成了更加严密而概括的分析方法,称为信号空间理论,或称信号与系统的泛函分析。这种方法将信号抽象为无穷维空间中的一个点,而将系统抽象为算子,使信号与系统的表述更加概括与简便,从而得到广泛的应用。
对于研究生做课题来说，泛函分析在理论研究部分可以提供很好的支持，有利于对电路进行有效设计开辟新思路，在其他领域也有很多地方等待探索和开发，将数学应用于工程实践在未来也必将成为一种趋势，通过计算机和经验分析无法解决的问题必将通过数学来进行最基础的理论研究，从而实现更高的精确度。
认真学好应用泛函分析这一重要的课程可以使我们更好的掌握搞好科研的重要工具，从而以帮助自己更加顺利、更加高质量的完成研究生课题。虽然应用泛函分析课程教学已经结束，但是泛函分析在工程应用中的巨大潜力不觉明历，所以在今后的研究过程中，我将会不断学习，努力让自己揭开泛函所隐藏的巨大奥秘。
在此，真心感谢秦老师的把我们领进泛函的世界。
参考文献
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[2] 薛小平，孙立民，武立中。应用泛函分析：电子工业出版社。
[3] 刘岚. 微型扑翼飞行器的仿生翼设计技术研究[J]. 西安: 西北工业大学, 2007.
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[9] 向敬成，刘醒凡，《信号理论》，成都：电子科技大学出版社，1988年。
[10] 王宝祥。信号与系统：哈尔滨工业大学出版社。
泛函分析在控制系统及算法中的应用
课程:应用法泛函分析题目:泛函分析在控制系统及算法中的应用 学院：自动化与电气工程学院 专业：控制理论与控制工程 姓名： 学号： 指导老师： 二○一三年十二月十日
泛函分析在控制系统及算法中的应用 【摘要】泛函分析的理论、思想和方法在应用数学、物理理论、现代工程技术等众多领域都有广泛的应用。它不仅为控制算法优化以及系统性能分析等建立了严密的理论体系，而且为控制工程实用的数值计算和控制算法的建立，提供了明确的理论依据，并对算法实现的有效性、收敛性提供了各种实用方法。本文从遗传算法的优化，控制系统性能分析和最优控制三方面简要分析了泛函在控制理论与控制工程中的应用。 【关键词】泛函分析控制理论与控制工程遗传算法最优控制 【中图分类号】O177.92- TL361 Through the study of functional analysis, knowing that functional analysis is widely used in many fields, it not only builds a strict theoretical system for the optimization of controlling algorithm and the analysis of systematic performance but also provides a definite theoretical basis for the establishment of numerical calculation and control algorithm of the useful Controlling Engineering.At the same time,a variety of practical methods are put into the algorithm’s effectiveness and convergence. In order to grasp and understand the application of the theory of functional analysis and learn the methods of application of functional analysis. From the point of genetic algorithm , the analysis of performance of controlling system and optimal control briefly analyse that functional is applied in the fields of controlling theory and controling engineering 一、遗传算法的优化 设一个系统的种群为 12 ,..... n X x x x ?? =?? （1-1） 满足约束条 () () 01,2,, 01,2,, 01,2,, j k i X j l X k m i n g h x ?≤= ? ? ≤= ? ? ≥= ?? （1-2） 使目标函数： ()min W X→（1-3）上述问题称为遗传算法的一个优化问题，其中约束条件是一个工程结构中的各项参数，（如系统的动态性能指标、静态性能指标）应该满足的条件。目标函数是用来评价系统的优劣；在寻求目标函数满足约束条件下达到最小值，传统的遗传算法，按照适者生存的原理从给出的种群中不断进化寻求满足约束条件的新解，最后找出收敛的最优解。寻求最优解的过程汇总，当变量增多或者种群取值范围大时，寻求收敛的速度就会相应降低，无法精确的确定最优解的位置。因此采用一解空间到另一解空间的映射, 改进遗传算法求解的迭代过程，从映射角度对分析遗传算法的收敛性，上述问题可以得到相应的解决。 定义 1 度量: d S S R ?→，其中 d 的表达式定义如下： ()() ()() () 22 , i i i i d c f c f x x x x ++ =--- (1-4) 其中i x,2i S x+∈ ,c 是一个大的正数。
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《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
泛函分析在力学和工程中的应用
泛函分析在力学和工程中的应用 陆章基 （复旦大学应用力学系） 摘要 本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。并介绍当前非线性分析中部分动态。 $ 1 泛函分析概述 泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p （Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，≥1，m≥0）[3]。它是由L p 并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。 泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算
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泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16）
2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间
泛函分析在控制工程的应用
泛函分析在控制工程中的 应用 作者：景苏银 学号： 0211443 单位：兰州交通大学 日期：2011.12.1
泛函分析在控制工程中的应用 【摘要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 【关键词】泛函分析控制工程控制优化 泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技 术等许多专业领域。 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 Functional analysis in water conservancy of application
Abstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。 Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector <(Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields. 【正文】
泛函分析在数值分析中的应用
泛函分析在数值分析中 的应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
泛函分析在数值分析中的应用 刘肖廷工程力学 一、数学概述 数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自 然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学 又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应 用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。 基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数 学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界 的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式；分 析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑学则包含点集拓扑，代数 拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。 应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨 物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数 理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数 值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样 不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。 由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大 基本方法，代数学、几何学、分析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的 支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数学 的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。 泛函分析的基本内容和基本特征 （一）度量空间和赋范线性空间 1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽 象空间。19 世纪末，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的 建立奠定了基础。20 世纪初期，法国数学家M. R. 弗雷歇发现许多分析学的 成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的 d?→。若对于任何x， 概念。定义：设x 为一个集合，一个映射: X X R y，z属于x，有(1) (正定性)(x,y)0 d=。当且仅当x y d≥，且(x,y)0 =； (2)
泛函分析的应用
现代数学基础学习报告 泛函分析应用 院系： 专业： 导师： 姓名： 学号：
摘要 信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍 泛函分特点和内容[1] 泛函分析是20世纪30年代形成的分科，是从变分问题，积分方程和的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和。它可以看作无限维向量空间的解析几何及。泛函分析在，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个的系统的运动，实际上需要有新的来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多力学系统的例子。一般来说，从力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在、概率论、函数论、连续介质力学、、计算数学、、等学科中都有重要的应用，还是建立理论的基本工具，也是研究无限个自由度的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、、、、等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。 泛函的理论[2]
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空 间或距离空间(metric space )。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为 度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例
应用泛函分析习题解答
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞
应用泛函分析相关习题
泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
泛函分析在电气工程中的应用
泛函分析在电气工程中的应用 薛平 11S106023 摘要：根据电气工程领域所涉及的相关问题，结合实际解决方案，简要论述了泛函分析在该领域中的应用。 0 引言 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论、几何学和现代数学的观点，来研究无限维向量和向量空间上的函数、算子和几线理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，对解决工程领域相关计算问题也做出了不少贡献。一级学科电气工程下辖5个二级学科，分别为电机与电器、电力系统及其自动化、高电压与绝缘技术、电力电子与电力传动、电工理论与新技术。各学科研究方向不一，所面临的问题也各不相同，但是都或多或少存在计算上的难题。泛函分析的出现为解决这些难题提供了方法上的支持。 1 泛函分析在电机定子温度场分析中的应用 电机损耗所产生的热量，直接影响绝缘的电气性能和寿命。为了使这部分热能够由流体带走，需要设计合理的通风结构。在电机构件中，径向通风沟是散热的主要途径。但由于径向通风沟截面积较小、结构复杂，流体通常是以紊流状态流过径向通风沟并带走热量的，即流体在径向通风沟内以三维矢量速度流动。其流动的快慢影响到电机构件表面散热系数，进而影响电机的散热量。因此，研究流畅的变化对电机通风结构的设计具有十分重要的意义。 由于流体的流速是非线性的，所以不可以简单地将其视为常量。文献[1]采用三维等参元法和流体相似理论，对大型大电机温度场进行了理论分析，得出了一些对于电机故障预报和诊断有益的结论。 在直角坐标系下，各向异性媒介中稳态导热微分方程一般形式为 x y z q x x y y z z θθθλλλ????????????++=-???????????????? ?? 式中：θ为物体的温度，x λ、y λ、z λ分别为x 、y 、z 方向的导热系数，q 为热源密度。 根据变分原理可得与上述微分方程对应的泛函表达式为 ()()222212min 2222y x z V V S f J q d dS x y z λλλθθθθθαθθθ???????????=++-+-=?? ? ? ?????????????? ?? 对上述方程进行三维等参元分析，若采用六面体八节点等参单元进行剖分，经推导可得 ()12 T T J K F θθθθ=-
泛函分析在桥梁工程中的应用
应用泛函分析解决桥梁工程中的一个问题 摘要：本文简单介绍泛函分析方法和在力学和桥梁工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法等。并通过两个例子来说明泛函在力学和桥梁工程当中的应用。 关键词：泛函变分法桥梁工程 中图分类号：U441.5 一泛函分析概述 泛函分析（Functional Analysis）其研究的主要对象是函数构成的空间，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和桥梁工程中常见的有： 1、度量空间：现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。 3、巴拿赫空间理论（Banach space） 巴拿赫空间理论是1920年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广sup n n x x ，巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。 4、内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和桥梁工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导范数，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间； 5、Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel 不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。
泛函分析在小波理论中的应用
现代数学基础报告 泛函分析在小波理论中的应用 通过《应用泛函分析》课程的学习，了解到泛函分析是本科高等数学的推广，它综合了函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论。半个多世纪以来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材提取自己研究的对象和某些手段，并形成了自己的许多重要分支；另一方面，它也强有力地推动着其他分析学科的发展。它的观点和方法已经渗入到不少工程技术的学科之中，成为近代分析的基础之一。 小波分析作为一个新的数学分支，它与Fourier 分析、函数理论、泛函分析、数值分析、神经网络以及计算机科学等众多学科分支都有着密切的联系，已成为人们解决科技问题的又一有力的数学工具。工程技术领域中，小波分析的理论得到了广泛的应用，尤其在信号处理中应用广泛，包括信号的检测、识别以及去噪等，比如语音信号、雷达信号、医学信号、天文信号、地震探矿信号、机械故障信号等等。 小波理论的研究难点之一就是小波基的构造，这又需要对小波理论有深入的理解，而小波理论需要数学分析、实变函数与泛函分析的基础知识。因此，泛函分析课程的学习对小波理论的认识非常重要，对信号处理专业的学生有着广泛的实际应用。因此学习好泛函分析课程，对研究生期间的研究方向——高频地波雷达的信号处理有重要应用。 下面就三方面讨论泛函分析在小波中的应用： 一、希尔伯特空间的正交分解及投影算子在构造小波基中的作用 泛函分析中希尔伯特空间的正交分解及投影算子的概念如下： 定义1 设H 是希尔伯特空间,E 是H 的非空线性闭子空间,则任意的x ∈X 有唯一的正交分解式 x y z =+，y E,z E ⊥∈∈ 即H E E ⊥=⊕，记号⊕称为直和。令Px y =，称P 为H 上的正交投影算子，称为投影算子。容易证明P 为定义在H 上的有界线性算子。 正交分解与投影算子应用广泛，这里即论述他们在构造小波基中的作用。构造小波基的一般方法是多分辨分析，即满足下面四个条件的L 2空间的闭子空间族{}j j V Z ∈