121全等三角形(1)练习.docx
人教新课标版（2013教材）初中八上12.1全等三角形同步
练习
?、选择题、
1.如图,AABC 与厶ABD 全等,ZD=ZC,ZDAB=ZABC.将对应顶点写在对 应位置上，则正确的写法是（ ）
2?如图 4 所示，△ABC 竺
△(?￡)￡ AC=7 cm, AB=5 cm, BC=8 cm, 则
AD 的长是( )
A. 7 cm
B. 5 cm
C. 8cm
D.无法确定
3.如图，已^:AABE^AACD,Z1=Z2,ZB=ZC, 不正确的等式是( ) A.AB=AC B. Z BAE= Z CAD C.BE=DC
D.AD=DE
4.如图所示，△ABC9/XAEF, AC 与AF 是对应边，那么ZEAC 等于( )
A.ZACB
B.ZG4F
C.ZBAF
D.ZBAC
5. 如图，已知:AB=AD,ZBAC=ZDAC,ZB=90。.则
AD 与DC 的关系是（ ）
A.相等
B.互相垂直
C.互相垂直平分
D.平行
6. AABC 中，ZA=ZB,若与ZVIBC 全等的三角形中有一个 角为90。，贝IJAABC 中等于90啲角是（
）
A. AABD^ABAC
B. A BDA^ACAB
C. AABD^AABC
D.AADB^ACBA
E
D.ZB 或 ZC
A.ZA
B.ZB
C.ZC
8.图中,AABE^AACD,J1Z1=Z2,不正确的结论 是 （ ） A.BD=CE B.ZADC=Z2
C.ZB=ZC
D.BE=DC
图6
A.ZC 与ZF 互余
C.ZA 与ZE 互余
10.如图,AABC^ABAD,A 和 B,C 和 D 是对 应顶点，如果AB=6cmBD= 5cm,AD=4cm 那么 BC 等于（ ） A.6cm B.5cm C.4cm D.5cm 或 4cm 11?下列判断屮正确的是：（
）
A.全等三角形是等积三角形
B.等积三角形是全等三角形
12. 如图,AABC^AADE,AB 和AD,AC 和AE 是对应边, 那么 ZDAC=（ ）
A.ZACB
B.ZCAE
C.ZBAE
D.ZB AC
13. 已知：AABC 竺△A'B'C, AB=5, BC=7, AD 丄BC 于D,月.AD=4,则AB 上的高为（ ）
C.等边三角形都是等积三角形
D.等积的直角三角形都是全等直角三角形
7.
-定是全等三角形的是（ ）
B.周长相等的三角形
D.能够完全重合的两个三角形
9./\ABC^5DEF,
ZA=30°, ZB=60°, ZC=90°,则下列说法错误的是（
）
E
B.ZC 与ZF 互补
D.ZB 与ZD 互余
22
A.4
B.5
C.6
D.—
5 二、填空题
1-能够完全重合的两个图形叫做__________
2?如图，BE 交AD 于C 点,/\ABC^/\DEC,则, ZE= _
_________________________________
ZBCA=,AB=,BC= , AC=，点c的对应点是点,AB//,若AB 丄BE ,贝IJDE BE.
D
J/
A
/ E
3.如
图，将AABC绕顶点A旋转一定用度得到△ADE,那么△ABC AADE, AB=,AC= ,CB= , ZB=,ZBAC= , ZBAD= __________
10?如图，若△ ABC^ A ADE, ZEAC=30°?则ZBAD=
三、判断题
1?如图，两个三角形全等，则ZA=ZE.(
2?若△ ABC 与厶ABC 全等，贝lj AB=A f
B\ ( 3?周长相等的三角形是金等三角形.( )
4.全等三角形面积相等.(
)
5?面积相等的两个三角形是全等三角形.(
四、解答题
动手做一做：一张三角形纸片，它的三边AB=I3C=AC=6 cm, 角形.
如何将它剪成四个全等的三
五、大家经常折纸，取一张长方形纸片.
用A 、B 、C 、D 表示它的四个顶点，将其折叠，使点B 与点D 重合，折痕为E 、F,如图 所示.
观察与思考：
???点B 与点D 完全重合，
???“BEF 与△ DEF 完全垂合,
根据全等图形的定义，
得ABEF 与ADEF 全等,
可以写成△ BEF9 'DEF.
则对应顶点分别为：B 与 ______ 对应，E 与 ______ 对应，F 与 _______ 对应. 对应边分别为:BE 与 _________ 对应，BF 与 ______ 对应，EF 与 ______ 对应. 对应角为：ZBEF 与 ________ 对应，ZEBFL _________ 对应，ZEFB 与 ________ 对应. 若ZBE46Q 。则 ______ =60°.
若 BF=2 cm,则 _____ =2 cm.
总结，全等三角形的对应边 _____ ,对应角 ________ .
参考答案
四、 略
五、 D E F DE DF EF ZDEF ZEDF ZEFD ZDEF DF 相等 相等
* 1.A
2.C
3.D
4.C
5.B
6.C
7.D &B
9.A
10.C
11.A 12.C
13. D
二、 1.全等形 2.ZD
ZB ZDCE
DE CE
DC 3.9 AD AE DE ZD
ZDAE ZEAC 4.30°
C DE 丄
三、
3.x 4?< 5.x
初中数学常见的146条定理和公式
初中数学常见的146条定理和公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
初二数学第十三章全等三角形测试题及答案
全等三角形测试题 一．选择题： 1．在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( ) A．BC=B’C’B．∠A=∠A’C．AC=A’C’D．∠C=∠C’ 2．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（） A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对 3．现有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（） A．10cm的木棒B．40cm的木棒C．90cm的木棒D．100cm的木棒4．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（） A．A B＝3，BC＝4，AC＝8； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30； C．∠A＝60，∠B＝45，AB＝4； D．∠C＝90，AB＝6 5．如图3，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C， ∠ADE＝∠AED，则（） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值 D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 二、填空题： 6．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大12度，则这个三角形是＿＿三角形． 7．以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为＿＿＿＿． 8．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿． 9．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB 的距离为＿＿＿＿cm． 10.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是＿＿＿＿；中线AD的取值范围是＿＿＿＿． 三、解答题： 11．已知：如图13－4，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB， 求证：△EAD≌△CAB． 12．如图13－5，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB, △BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形： ①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD； ③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE． A B D C E E A D F C B E D 图13－4 B 图13－3
第13章全等三角形
第十三章全等三角形 13.1全等三角形 学习导航 目标点击 1．通过一个图形的平移、翻折、旋转，体会全等图形和全等三角形位置变化了，但形状、大小没有变化的特点． 2．理解全等三角形概念及表示方法，知道对应顶点、对应边、对应角及其性质． 知识点拨 （1）能够完全“重合”的两个三角形全等． （2）全等三角形的对应边相等、对应角相等． 例1 填空题： (1)如图13－1－1，①△ACF≌△ABE，AB＝AC，则对应角是____，对应边是____． ②△OFB≌△OEC，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－1 图13－1－2 (2)如图13－1－2，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C对应角为____，BD边对应边为____． (3)如图13－1－3，△ABC≌△ADE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－3 解：(1)①对应角是∠A与∠A，∠ABE与∠ACF，∠AEB与∠AFC，对应边是AB与AC，BE 与CF，AE与AF． ②对应角是∠BOF与∠COE，∠BFO与∠CEO，∠OBF与∠OCE，对应边是OB与OC，OF 与OE，BF与CE． (2)∠C的对应角是∠DBE，BD的对应边是CA． (3)对应角是∠B与∠ADE，∠C与∠E，∠BAC与∠DAE．对应边是AB与AD，AC与AE，BC与DE． 点拨：由于在全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角(或公共角)是对应角，结合图形即可判断出． 例2 如图13－1－4，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2． 求∠DFE的度数与EC的长． 图13－1－4
奥数-全等三角形-教师版11
几何——三角形专题练习 在上一讲中，我们对三角形问题进行了相关讨论，这一节主要是就三角形的各类问题进行练习，巩固上一节所讲的内容。三角形的证明与求解是几何问题的基础，希望大家好好掌握。 一、 典型例题 角平分线 例1（奥数教程初二，P108）如图所示，AD 平行于BC ，DAE=EAB ∠∠，ABE=EBC ∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________. 例 2 (奥数教程初二，P121)如图所示，AD 是ABC ?的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ??和的高，0DEF 20∠=，则BAC ∠等于________. 例3（希望杯，P141）如图所示，在ABC ?中，AB=AC=9，0BAC 120∠=，AD 是ABC ?的中线，AE 是ABD ?的角平分线，DF 平行于AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______. 例4（同步，P155）（1998，四川省）如图，在ABC ?中，AB=AC ，GE 平行于BC ，BE 平分ABC ∠，GC 平分ACB ∠。求证：DE=FG 。
例5（希望杯，P126）如图所示，在ABC ?中，0BAC 90∠=，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，FG 平行于BC 交AB 于G 。AE=4，AB=14，则BG=______. 角度的求解 例6（奥数教程初二，P115）如图所示，ABC ?中，AD BC ⊥于D ，AB+BD=CD 。求证：B 2C ∠=∠。 例7（奥数教程初二，P118）如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，BC=BD=ED=EA 。求A ∠的大小？ 例8（奥数教程初二，P118）如图所示，ABC ?的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若0 BAC DAE 150∠+∠=，则BAC ∠等于多少？
华东师大版八年级上册数学试题：第13章全等三角形复习题
1 / 3 第13章复习 全等三角形 一、选择题： 1、只用无刻度的直尺就能作出的图形是（ ） A.延长线段AB 至C ，使BC ＝AB B.过直线L 上一点A 作L 的垂线 C.作已知角的平分线 D.从点O 再经过点P 作射线OP 2、下列命题中，真命题是（ ） A.相等的角是直角 B.内错角相等 C.两直线平行，同位角互补 D.经过两点有且只有一条直线 3、如图1所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5 4、已知△ABC ≌△DEF ，BC ＝EF ＝6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是（ ） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 5、如图2所示，∠1＝∠2，BC ＝EF ，欲证△ABC ≌△DEF ，则还须补充的一个条件是（ ） A 、A B ＝DE B 、∠ACE ＝∠DFB C 、BF ＝EC D 、∠ABC ＝∠DEF 6、用尺规作已知角的角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 7、如图3，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为BC 中点，则以下结论不正确的是（ ） A.△ABD ≌△ACD B.∠B ＝∠C C.AD 是 BAC 的平分线 D.△ABC 是等边三角形 图1 F E C B A 图3 图4 图2
2 / 3 8、如图4，在△ABC 中，AB ＞AC ，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， AB ＝10，△BCD 的周长为18，则BC 的长为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2 二、填空： 1、如果等腰三角形的一个角为90°，那么其余两个角分别是________和_________。 2、某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为_____________。 3、把“互为邻补角的两个角的平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_______________． 4、如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠B=∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，?需要补充的一个条件是____________． 5、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=8cm ，BD=?5cm ，则D 点到直线AB 的距离是______cm ． 三、解答题: 1、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明. （1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. （2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形. 2、如图，作出线段AB 的垂直平分线EF ，作出∠BCD 的平分线CN ．（利用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
人教版中考数学几何题,记住140多条公式定理
人教版中考数学几何题，记住140多条公式定理! 初中数学公式定理多，知识点杂，定理熟背是必须要做的，这样看到试题自然了然于心，提高学习效率，先要学会分类归纳整理，今天为大家带来了一套初中数学定理大全，大家来看一看，有不会的记得查漏补缺。 初中几何公式定理：线 1.同角或等角的余角相等 2.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3.过两点有且只有一条直线 4.两点之间线段最短 5.同角或等角的补角相等 6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 10.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
11.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 12.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 13.定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 14.定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 15.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 初中几何公式定理：角 16.同位角相等，两直线平行 17.内错角相等，两直线平行 18.同旁内角互补，两直线平行 19.两直线平行，同位角相等 20.两直线平行，内错角相等 21.两直线平行，同旁内角互补 22.定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 23.定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 24.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
三角形全等的条件(一)
八年级数学第二学期阶段教学质量检测 试题卷 一.选择题：(每小题3分,共30分) 1.若 3 22007 +x 有意义,则( ) A.23- ≥x B. 23-≤x C. 23->x D.2 3>x 2.下列方程0762 =++x x ，配方正确的是（ ） A.2)3(2 -=+x B.16)3(2 =+x C. 2)3(2 =+x D.16)3(2 -=+x 3.一个容量为80的样本，最大值是141 ，最小值是50，取组距为10，可分成（ ）组 A.10组 B.9组 C. 8组 D.7组 4.一棵大树在一次强台风中离地5米处折断,倒下部分与地面成30°夹角,这棵大树在折断前的高度是( ) A.10米 B.15米 C.25米 D.30米 5.平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m, 则m 的取值范围是（ ） A.1 八年级数学华师版 全等三角形章节测试 学校 （满分 100分，考试时间 班级 60分钟） 姓名 一、选择题（每小题 3 分，共 21 分） 1. 如图，在△ ABC 和△ BDE 中，点 C 在边 BD 上，边 AC 交边 BE 于点 F ．若 AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ，则∠ ACB=（ ） A ．∠ EDB B ．∠ BED C ． 1 AFB D ．2∠ABF 2 A E A A F C P B C D O D B B D C 第 1 题图 第 2 题图 第 4 题图 2. 尺规作图作∠ AOB 的平分线的方法如下：以点 O 为圆心，任意长为半径 画弧，交 OA ， OB 于点 C ，D ，再分别以点 C ， D 为圆心，大于 1 CD 长为 2 半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点 ≌△ ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA P ，作射线C ． AAS OP ．由以上作法得△ D ．SSS OCP 3. 下列命题是假命题的是（ ） A ．角平分线上的点到角两边的距离相等 B ．有两个角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等 C ．有两条边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等 D ．有两条边和其中一条边上的高对应相等的两个三角形全等 4. 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D 为 BC 中点，∠ BAD=35 °，则∠ C 的度数为 （） A ．35 ° B ．45 ° C ． 55 ° D ．60 ° 5. 如图，在△ PBC 中，D 为 PB 上一点， PD=PC ，延 B 长 PC 到点 A ，使得 PA=PB ，连接 AD 交 BC 于点 D O ，连接 PO ，则图中的全等三角形共有（ ） O A ．1 对 B ． 2 对 C ． 3 对 D ． 4 对 P C A 12．1全等三角形 教学目标： 1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质； 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉； 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程： 一、观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形。（略，看ppt ） 问题1：你还能举出生活中一些实际例子吗？这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。引导学生完成课本思考。 归纳:一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用“≌”表示，读作“全等于”。两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如⊿ABC 和⊿DEF 全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作⊿ABC ≌⊿DEF 。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 思考2：如课本思考中，⊿ABC ≌⊿DEF ，对应边有什么关系？对应角呢？ 归纳:全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 思考3： （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 D D D （2）将⊿ABC沿直线BC平移，得到⊿DEF，说出你得到的结论，说明理由？ B （3）如图，⊿ABE≌⊿ACD, AB与AC，AD与AE是对应边，已知： ∠A=43°，∠B=30°，求∠ADC的大小。 B C 全等三角形 教学目标 知识与技能 帮助学生总结一般三角形全等的判定条件，使他们自觉运用各种全等判定法进行说理；通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 过程与方法 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系.习题分析与解答先由学生完成，教师解答疑点。 情感态度与价值观 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物 间存在着的因果关系和制约的关系. 教学重点 让学生识别三角的哪些元素能用来确定三角形的形状与大小，因而可用来判定三角形全等. 教学难点 灵活应用各种判定法识别全等三角形 教学内容与过程 教法学法设计 一、基础知识复习 1.全等三角形 1、全等三角形的概念及其性质 1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。 2）.全等三角形性质： 例．如图, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于 G, 105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数. 二.导入课题，研究知识： 本节课我们来复习全等三角形的有关知识 面向全体学生提出相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。 三.归纳知识，培养能力： 2.全等三角形的判定方法 1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ） 2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA ) 3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS ) 4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS ) 5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L ) 四.运用知识，分析解题： 例：如图，在ABC 中,∠ACB=90?,D 是AC 上一点，AE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，又AE= 2 1 BD ，求证：BD 是∠ABC 的平分线。 五.课堂练习：请见教材 六.课后小结：《全等三角形》复习 七.课后作业：. 复印给学生. 基础知识复习由学生们以成语接龙的方式完成。教师做最后补充。 教学时应尊重学生已有的经验，鼓励学生探索，适时渗透类比的方法和转化的数学思想。树立辩证唯物主义思想。培养学生刻苦学习的精神。 方法由学生回忆，例题分析由学生完成后，书写解题过程 教学反思 D E C B A 八年级数学上册第13章《全等三角形》单元综合测试1（新版） 华东师大版 【本检测题满分：100分，时间：90分钟】 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等.其中真命题有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.已知ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，则BOC ∠一定（ ） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3.已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（ ） A.23 B.34 C.32 D.6 4.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ） A.∠1=50°，∠2=40° B.∠1=50°，∠2=50° C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°，∠2=40° 5.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ） A.垂直 B.两条直线 C.同一条直线 D.两条直线垂直于同一条直线 6.如图，在△ABC 中，>AB AC ，∥DE BC ，12= DE BC ,点F 在BC 边上，连结DF ，EF ，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等（ ） A.∥EF AB B.=BF CF C.∠=∠A DFE D.∠∠=B DEF 7.如图，在△ABC 中，=AB AC ，∠ABC ，∠ACB 的平分线BD ，CE 相交 于点O ，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出 以下结论：①△≌△BCD CBE ；②△≌△BAD BCD ； ③△≌△BDA CEA ；④△≌△BOE COD ；⑤△≌△ACE BCE .上述结论一 定正确的是（ ） 第6题图 第7题图 八年级数学上册第十三章全等三角形练习题 &地基在同一水平面上，高度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学，有一天，甲对乙 说：“从我住的这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底 部到我住的这幢楼的顶部的直线距离. ”你认为甲的话正确吗？答： __________________________________ . 9.如图6,直线AE // BD ,点C 在BD 上，若AE = 4, BD = 8, △ ABD 的面积为16,则△ ACE 的面积为 ________ . 二、选择题（每小题 3分，共24分） 1 .如图7, P 是/ BAC 的平分线 AD 上一点，PE 丄AB 于 E , PF 丄AC 于F ，下列结论中不正确的是（ ） A . PE=PF B . AE=AF C . △ APE ◎△ APF D . AP 二 P E P F 2. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据 “AAS ”来判定全等， 那么一定也可以依据“ ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角 一、填空题（每小题 3分，共27分） 1 .如果△ ABC 和厶DEF 全等，△ DEF 和厶GHI 全等，则△ ABC 和厶GHI ________ 全等， 如 果厶ABC 和厶DEF 不全等，△ DEF 和厶GHI 全等，则△ ABC 和厶GHI _______ 全等.（填“一 疋或不一疋或一疋不 ） 2. 如图〔，△ ABC ◎△ ADE ，/ B = 100°,/ BAC = 30°，那么/ AED = __________ . 3. △ ABC 中，/ BAC :/ ACB :/ ABC = 4 : 3 : 2,且厶 ABC ◎△ DEF ,则/ DEF = _________. 4. 如图 CD 是厶ABC 的高，且 BD = EC ,判定△ BCD ◎△ CBE 的依据是“ 5. 如图 补充的条件 6. 如图 7. 如图 CD 相交于点 O , AD = CB ，请你补充一个条件，使得△ AOD ◎△ COB .你 4, AC , BD 相交于点 5, ^ ABC 中，/ C = 90° O , AC = BD , AB = CD ，写出图中两对相等的角 ,AD 平分/ BAC , AB = 5, CD = 2,则厶ABD 的面积是 2， BE ， 图1 3, AB , 图2 B 图4 图5 C 13.2.1 全等三角形及其性质 教学目标 【知识与技能】 1.了解全等形及全等三角形的概念. 2.理解全等三角形的性质. 【过程与方法】 在图形变换以及操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉. 【情感态度】 使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣. 【教学重点】 探究全等三角形的性质. 【教学难点】 掌握两个全等形的对应边\,对应角. 教学过程 一、情境导入,初步认识 问题1 观察下列图形,指出其中形状与大小相同的图形. 问题2 从上面的图形中你有什么感受?在实际生活中,你能找到形状、大小相同的图形的应用的例子么? 二、思考探究，获取新知 让学生交流问题1,问题2的答案,并带着问题“这些图形有什么共同特征？”自学课本内容. 【教学说明】变化的图形易引起学生的注意,使它们很快地投入到学习的情境中,并通过观察发现其中的共同特点,形成猜想.再结合自学课本,从而认识全等形、全等三角形的定义及记法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”. 思考1 把三角形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化,什么没有变? 思考2 全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么? 【教学说明】让两个学生在黑板上引导全体学生操作并画图,从中找到答案.这个过程利用三角形的平移、旋转、翻折的不变性,让学生通过具体操作直观感知全等三角形的概念,然后让学生通过操作和观察,猜测并验证全等三角形的性质.利用基本三角形变换出各种图形,然后观察对应边、角的变化,利于提高学生的识图能力. 思考1 得到的基本图案如图: 【归纳结论】 1.能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.“全等”用“≌”表示，读作“全等于”. 把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫对应角. 2.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 三、运用新知，深化理解 【教学说明】出示下列问题,让学生通过交流\,思考寻找问题的答案,并共同讨论:全等三角形的对应顶点\,对应边之间有什么关联. 1.下列每对三角形分别全等,看看它们是怎样变化而成的,并指出对应边、对应角. 2.两个全等的三角形按如下位置摆放,指出它们的对应顶点,对应角,对应边. 初中几何公式、定理复习指导1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 ** 《全等三角形》导学案 【学习目标】 1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。 2.掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，并运用这一性质解决有关的问题。 3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养学生的符号意识。 学习重点：全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质， 学习难点：会运用性质解决有关的问题，书写过程中培养学生的符号意识 一、自主预习课本内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成） 二、通过预习课本内容，回答下列问题： （1）叫做全等三角形。 （2）当两个全等三角形时，叫做对应顶点，叫做对应边，叫做对应角。 如图：△ABC≌△DEF，则对应顶点：，对应角：， 对应边： （3）全等三角形的性质：。 三、巩固练习 变换方式图形对应点对应边对应角 将△ABC沿AB所在 的直线折叠得到△ ABD A B C D A A B B C D AB=AB AC=AD BC=BD ∠BAC= ∠C= ∠ABC=∠ABD 将△ABC沿射线BC 的方向平移，得△ DEF A B C D E F A B C AB=DE AC= BC= ∠A=∠D ∠B= ∠ACB= A B C D E F 将△ABC 绕点C 旋转180°，得△EDC A B C E D A E B C AB= AC=EC BC= ∠A= ∠B= ∠ACB=∠ECD 四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，你学会了吗？） 五、达标检测 1. 如图所示，若△OAD ≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD= . A B C D O E C B E A D (1题图) （2题图） 2. 如图：Rt △ABC 中，∠ A=90°，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C= 3. 如图4，若△ABC ≌△DEF ，回答下列问题： （1）若△ABC 的周长为17 cm ，BC=6 cm ，DE=5 cm ，则DF = cm （2）若∠A =50°，∠E=75°，则∠B= 4. 如图，△AOB ≌△COD ，那么∠ABD 与∠CDB 相等吗？为什么？ 六、课后延伸： P33习题12.1 图.4 B D O A C 第1页，共1页 第13章全等三角形知识网络 命题与定理 命题是 ★边角边（SAS ） 文字语言： 几何语言：如图1 在 和 中： ∴ ≌ （ ） 全等三角形的判定 等腰三角形 尺规作图 逆命题与逆定理 真命题是 假命题是 命题由 和 两部分组成。 ★边角边（ASA ） 文字语言： 几何语言：如图1 在 和 中： ∴ ≌ （ ） ★边角边（AAS ） 文字语言： 几何语言：如图1 在 和 中： ∴ ≌ （ ） ★边角边（SSS ） 文字语言： 几何语言：如图1 在 和 中： ∴ ≌ （ ） 图1 ★作线段等于已知线段 A B ★斜边直角边（H.L ） 文字语言： 几何语言：如图2在 和 中： ∴ ≌ （ ） ★等腰三角形的性质 文字语言： （简写成： ） 几何语言：如图3 在△ABC 中 ∵ = ∴ = （ ） ★等腰三角形的判定 文字语言： （简写成： ） 几何语言：如图3 在△ABC 中 ∵ = ∴ = （ ） ★等腰三角形三线合 一是指： ★等边三角形的性 质： ★等边三角形的判定： 图3 图2 ★作一角等于已知角 ★作角平分线 ★过点A 作直线L 的的垂线 .A L ★作线段的垂直平分线(中垂线) A B ★一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的 是第二个命题的 ，而第一个命题的 是第二个命题的 ，如果把其中一 个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 。 ★垂直平分线定理 文字语言： 几何语言：如图4 ∵ ⊥ 点C 为AB 中点 ∴ = （ ） 图4 ★垂直平分线逆定理 文字语言： 几何语言：如图4 ∵ = ∴点C 在线段AB 的中垂线上（ ） ★角平分线定理 文字语言： 几何语言：如图5 ∵OC 为∠AOB 平分线 ⊥ ， ⊥ ∴ = （ ） 图5 ★角平分线逆定理 文字语言： 几何语言：如图5 ∵ = ⊥ ， ⊥ ∴OC 为∠AOB 平分线（ ） 华东师大版八年级数学上册 第13章 全等三角形 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 专题检测题 1．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是( ) A ．6＜AD ＜8 B ．2＜AD ＜14 C ．1＜A D ＜7 D ．无法确定 2．如图，在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，E 为AC 的一点，BE 与AD 交于点F ，若AE ＝EF.求证：AC ＝BF. 3．如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G .若BG ＝CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线． 4．如图，CE ，CB 分别是△ABC ，△ADC 的中线，且AB ＝AC.求证：CD ＝2CE. 5．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠BAC ，∠ACB 的平分线AD ，CE 交于点F ，试猜想AE ，CD ，AC 三条线段之间的数量关系，并加以证明． 6．已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD ＝∠FAE.求证：BE ＋DF ＝AE. 7．如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD ＝CD ，∠BDC ＝120°，E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝60°. (1) 证明：BE ＋CF ＝EF ； (2)求△AEF 的周长． 三、过角平分线上一点向角两边作垂线 8．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，BD 平分∠ABC ，求证：AB ＝BC ＋CD. 9．如图，AB ＜BC ，BD 平分∠ABC ，AD ＝DC ，求证：∠BAD ＋∠BCD ＝180°. 10．如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD. 11．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，且AD ⊥BC 于D.求证：CD ＝AB ＋BD. 12．如图，在△DEF 中，DE ＝DF ，过EF 上一点A 作直线分别与DE ，DF 的延长线交于点B ，C ，且BE ＝CF.求证：AB ＝AC. 答案： 1. C 2. 证明：延长AD 至G ，使DG ＝AD ，连结BG ， 在△BDG 和△CDA 中，∵?????BD ＝CD ∠BDG ＝∠CDA DG ＝DA ， ∴△BDG ≌△CDA(，∴BG ＝AC ，∠CAD ＝∠G ，又∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，又∠BFG ＝∠AFE ，∴∠CAD ＝∠BFG ，∴∠G ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∴AC ＝BF 3. 延长FE ，截取EH ＝EG ，连结CH ，∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，∴∠BEG ＝∠CEH ，在△BEG 和△CEH 中，?????BE ＝CE ∠BEG ＝∠CEH GE ＝EH ，∴△BEG ≌△CEH(，∴∠BGE ＝∠H ，∴∠BGE ＝∠FGA ＝∠H ，∵BG ＝CH ，∵CF ＝BG ，∴CH ＝CF ，∴∠F ＝∠H ＝∠FGA ，∵EF ∥AD ，∴∠F ＝∠CAD ，∠BAD ＝∠FGA ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴AD 平分∠BAC 4. 证明：延长CE 到F ，使EF ＝CE ，连结FB.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝EB ，又∵∠AEC ＝∠BEF ，∴△AEC ≌△BEF(，∴∠A ＝∠EBF ，AC ＝FB.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF ，∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD ，又∵AB ＝AC ，AC ＝FB ，∴FB ＝BD ，又∵CB ＝CB ，∴△CBF ≌△CBD(，∴CD ＝CF ＝CE ＋EF ＝2CE 全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC A B C D E F 4 图A B C D N M P 5 图12A B C D E 6 图O 六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图7：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。 七有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 图8 八、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 A B C D 7 图1 2 3 4 D C B A 110 图O 第十三章全等三角形 、概念 : 全等能够完全重合的图形叫做全等形 . 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 对应顶点、对应边、对应角： 把两个全等的三角形重合到一起 ?重合的顶点叫做对应顶点; 重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角 二、 全等三角形的性质： 全 等三角形的对应边相等、对应角相等 ? 三、 三角形全等的条件： 1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“ SSS”）? 2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“ SAS ”） 3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA ”） 例2.如图所示，直线 AD 、BE 相交于点C , AC=DC , BC=EC. 求证：AB=DE 例3.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, / B= / C. 求证：AD=AE 例 4.如图，AB 丄 BC, AD 丄 DC, / 1 = / 2. 求证：AB=AD 4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 例1.在△ ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的中线. 求证：△ ABD ACD （可以简写成“角角边”或“ AAS ”）. 练习: 1.如图（1）,如果△ AOC也△ BOD，则对应边是 _____________ ,对应角是 _______________ 如图（2）, △ ABC也△ CDA,则对应边是________________ ,对应角是 _________________ 2.已知ABC = A B C , A与A , B与B是对应顶点，厶ABC的周长为10cm, AB =3cm, 3.已知ABC也厶DEF , A与D, B与E分别是对应顶点，.A = 52°, . B = 67° , BC =15cm，则一F = __________ , FE = __________ cm. 4.已知，如图，△ AEC也△ ADBABEC也△ CDB.你能写出它们的对应边和对应角吗？ 5.如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, / B= / C. 求证：/ A= / D 7.如图，△ ABC = △ A' B' C', / C =25° ,BC =6cm, AC =4cm,你能得出厶A' B C'中哪些角的大小、哪些边的长度？A BC =4cm.则A B = cm，B C = cm，A C = cm. 6.如图，△ ABC也ADE , ■ B和.D是对应角, 对应 边和对应角. AB = D (2) D E C D华师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》章节测试含答案.docx
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