湖北中职技能高考 数学知识总汇(上)

湖北技能高考数学基础知识总汇(上)

预备知识：

1.完全平方和（差）公式： (a +b)2=a 2+2ab +b 2 (a -b)2=a 2-2ab +b 2

2.平方差公式： a 2-b 2=(a +b)(a -b)

3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a +b)(a 2-ab +b 2) a 3±b 3=(a -b)(a 2±ab +b 2)

4.韦达定理：

; 求根公式：

。

第一章 集合与简易逻辑

一． 集合

1、集合的有关概念和运算

（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性； （2）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ?A ； （3）常用数集及其符号：自然数集N 、整数集Z 、正整数集、有理数集Q 、实数集R 。

（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

2、子集定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ?B ， 注意：A ?B 时，A 有以下可能：A ＝φ、A=B 、A 的元素比B 少且A 的元素都属于B 。

3、真子集定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：A ?B 。

4、补集定义：

。

5、交集与并集：交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且I ；并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或Y

6、集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为)个，所有真子集的个数是

个，所有非空真子集的个数是

个。

二．简易逻辑：充分条件与必要条件： 若q p ?，则p 叫q 的充分条件； 若q p ?，则p 叫q 的必要条件； 若q p ?，则p 叫q 的充要条件；

第二章 不等式

一、不等式的基本性质：

1.特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

2.中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小。

3.实数大小的基本性质:

4.不等式的性质： （1）传递性：

（2）加法性质：

（3）乘法性质：

（4）作差法比较两数（或两式）的大小或证明不等式成立：作差→变形（通分、配方、分解因式等→判断符号。也可以求比来比较大小。 二．均值定理：

1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若0,>b a ，则ab b

a ≥+2

（当且仅当b a =时取等号）

2.基本变形：①),(2+

∈≥+R b a ab b a （当且仅当b a =时取等号）；②若R b a ∈,，则

ab b a 222≥+ 。

三、区间的概念：区间、区间的端点、开区间、闭区间、半开半闭区间、无（有）限区间以及它们的数轴表示。如{x|x≥-1}∩{x|x<3}=[-1，3)可表示为：

四、绝对值不等式： （1）

（3）

五、一元一次不等式的解法：依据不等式性质：去分母、去括号、移项、合并同类项将其化为

的形式求解；一元一次不等式组的解则是各不等式解的交

集。

六、一元二次不等式的图解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）

判别式：△=b 2-4ac

0>?

0=? 0

二次函数

)0()(2>++=a c bx ax x f

的图象

一元二次方程

)0(02

>=++a c bx ax 的根

有两相异实数根

)(,2121x x x x < 有两相等实数根

a

b x x 221-

== 没有实数根

一元二次不等式

)0(02

>>++a c bx ax 的解集

},|{21x x x x x ><

“＞”取两边

}2|{a

b x x -

≠ R

一元二次不等式

)0(02

><++a c bx ax 的解集

}|{21x x x x <<

“＜”取中间

φ φ

注意：①带等于号的情况；②先化为a ＞0的形式；③若，则a ＞0

且△＜0。若

，则a ＜0且△＜0。

七、分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； (1)

?>0)

()

(x g x f f(x)>0且g(x)>0或f(x)<0且g(x)<0即f(x)g(x)>0； x 1

x 2 x

y

O x 1=x 2

x y

O

x

y

O

第三章 函数

1、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ），

2、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；两个函数相同，则定义域、对应法则要相同，最终值域也相同。

3、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。

4、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R ；②分式：分母0≠；③0次幂：底数0≠； ④偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=；⑤对数：真数0>，例：)11(log x

y a -= ⑥正切函数：

；⑦指数函数、对数函数：底数（a>0且a ≠1）；⑧

其他实际要求：例如三角形的内角0<α<、人的个数、工件个数、工作天数等x ∈N 。 5、求值域的一般方法： ①图象观察法：

；②单调函数法： ]3,3

1[),13(log 2∈-=x x y

③二次函数配方法：)5,1[,42∈-=x x x y ， 222++-=x x y 6、求函数解析式f （x ）的一般方法：

①待定系数法：把已知点（x,y ）值代入f （x ）=ax+b 或f （x ）= 解析式中求

解。

②奇偶性法：f （x ）是左路函数，且在（0，+∞）上解析式是f （x ）=x-2，则在（-∞，0）上解析式是f （x ）=x+2 7、函数的单调性：

（1）定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数；

若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。（一致为增，不同为减）

（2）区间D 叫函数)(x f 的单调区间，单调区间包含于定义域； （3）证明函数单调性的方法：在定义域上取21x x <，作差法（

）比较大小。

（4）一次函数a >0时是增函数，反之是减函数；二次函数a >0时在对称轴左边是减函数，右边是增函数，a <0时则反之。

8、奇偶性：定义域一定关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系；要会用奇偶性比较大小。

f(x) -f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称； f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数，其图象关于原点对称。

9、周期性：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f (x)，则T 为函数f(x)的周期。

正

弦、余弦函数周期为2，正切函数周期为。 10、函数图像变换：

（1）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b ；（2）法则：加左减右，加上减下；（3）还可以通过特殊值法，描点定性作出函数图象，分析其单调性、奇偶性等。

11、分段函数：在实际应用问题中常涉及：水费、电费、商品售价优惠等。不同区间上解析式不相同，但整体是一个函数。注意每段定义域的端点是否包含。 12、二次函数：

（1）二次函数的三种解析式 ①一般式：（a ≠0）;

②顶点式： (a ≠0)，其中（k,h ）为顶点;

③两根式：

（a ≠0），其中x 1,x 2是f(x)=0的两根

（2）图像与性质：二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： 开口 ： a>0?开口向上 a<0?开口向下 对称轴：

顶点坐标：

?与x 轴的交点：

④ 根与系数的关系：（韦达定理）

⑤为偶函数的充要条件为b =0

⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0，用于解二次不等式）

?图象位于x 轴上方；

?图象位于x 轴下方。

⑦若二次函数对任意x 都有，则其对称轴是x=t 。

第四章 指数函数与对数函数

1.根式与实数指数幂：

(1)n 次根式：如果x n

=a(n>1,且n ∈N *

)，则称x 是a 的n 次方根。 ①0的n 次实数方根等于0，即

。②若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作：

。

③若n 是偶数，且a>0，则a 的n 次实数方根为，其中

叫做a 的n 次算术根。

(2) 根式的性质： ①

。 ②

,(a ≥0)。

③当n 为奇数时，

；当n 为偶数时，?

??<-≥==)0()

0(||a a a a a a n

n

。

(3)分数指数幂：①正分数指数幂：n m

n

m

a a =；负分数指数幂：n

m n

m a a

1=

-

②

③

(4)实数指数幂运算法则： ①

; ②

; ③; ④; ⑤

。

2.对数及其运算法则：

（1）定义：如果)1,0(≠>=a a N a b ，则。以10为底叫常用对数，记为lgN ，以

e=…为底叫自然对数，记为lnN

（2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：01log =a ，③底的对数等于1：

1log =a a ，④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，

商的对数：N

M

N

M

a

a

a

log

log

log-

=，

幂的对数：M

n

M

a

n

a

log

log=，方根的对数：M

n

M

a

n

a

log

1

log=，指数和对数：(a>0,a≠1)，(a>0,a≠1)。

（3）换底公式： ,(a,b,N>0,a,b≠1)。

3.幂函数的图象和性质：

图像

定义域R R R[0,+∞）x≠0(0,+∞)

值域R[0,+∞）R[0,+∞）y≠0(0,+∞)

单调性增先减后增增增减先增后减

奇偶性奇偶奇无奇偶

过定点（0，0）和（1，1）（1，1）

象限1，31，21，311，31，2

4.指数函数和对数函数的图象性质：

函数指数函数对数函数

定义x a

y=（1

0≠

>a

a且）x

y

a

log

=（1

0≠

>a

a且）

图象

a>1010

O1

y=log a x

x

y

O1

y

x

y=log a x

1

y=a x

x

y

O

1

y

x

y=a x

O

性

质 定义域 （-∞，+∞） （0，+∞） 值域 （0，+∞）

（-∞，+∞）

单调性 增函数

减函数

增函数

减函数

函数值

变化

???

??<<==>>0,10,10,1x x x a x ???

??<>==><0,10,10,1x x x a x ???

??<<<==>>10,01,01,0log x x x x a ??

?

??<<>==><10,01,01,0log x x x x a

图

象 定 点 ∴=,10a Θ过定点（0，1） ∴=,01log a Θ

过定点（1，0） 特 征 ∴>,0x a Θ图象在x 轴上方 ∴>,0x Θ图象在y 轴右边

图 象 关 系 x a y =的图象与x y a log =的图象关于直线x y =对称

的图象与

的图象关于y 轴对称，例与。

5.幂函数

和指数函数

的特征都可归纳为：“因变量、自变量的系数都为1，

只有一项”。即等式左右两边都只有一项且系数都为1 。

6.函数的应用：一次函数、二次函数、分段函数用来解决水费、电费问题，商品优惠问题，一般先列出相应解析式，确定定义域，再计算相应函数值并求解最值。指数函数、对数函数一般用于处理增长率问题、利息问题，先按通式，再取常用对数求解，它跟等比

数列还可以发生联系，比如房贷问题。

第五章 三角函数

1、角的定义：①概念：角、始边、终边、顶点、正角、负角、零角、象限角、界限角。②终边相同的角：与α终边相同的角的集合为{Z k k ∈?+=,360|οαββ}，一般:

。处理方法是：去整留零。

2、弧度制：(1)定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

(2)度数与弧度数的换算：π=ο

180弧度，

,1弧度180

(

)π

=o

(3)弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数）

扇形面积：2

||2

121r lr S α===

3、任意角的三角函数：（如图）

α

P （x ，y ）

x

02

2>+=y x r

y

4、同角三角函数基本关系式

（１）平方关系,（２）商数关系,（３）倒数关系：

1

cos sin 22=+αα

α

α

αcos sin tan =

用于弦化切、切化弦。 5、诱导公式（理解记忆方法：把α“看成锐角”，则-α、+α、-α分别是第四、第三、第二象限角，再确定其符号。三角函数的形式不变。）

公式一： ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=??+=??+=??+k k

k 公式二： 公式三： 公式四：(奇偶性)

ααααα

αtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-?-=-?=-? α

αααα

αtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(=+?-=+?-=+? ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-

6、三角函数值的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

7、三角函数的图象性质：（Z k ∈）

函数

定义域

值域

周期

性

奇偶

性 递增区间

递减区间

x

y sin =

R x ∈ [-1，1]

π

2=T

奇函数 ??

????++-ππππk k 22,22???

???++ππππk k 223,22

x

y cos =

R x ∈

[-1，1] π

2=T

偶函数 []ππk k 2,)12(-

[]ππ)12(,2+k k

x

y tan =

}2|{ππ

k x x +≠

（-∞,+∞）

π

=T

奇函数 ??

?

??++-

ππππk k 2,2

x y sin =图象的五个点：（0，0），（

2，1），（π，0），（2，-1），（π2，0）； x y cos =图象的五个点：（0，1），（

π，0），（π，-1），（3π，0），（π2，1）；

1

-1

x

y

π

π

2

2

π

2

3π

2

π-

π

-

x

y sin =

8、灵活运用三角函数的图象比较大小：例如：，

。

9、牢记0

内特殊角的三角函数值、

、勾股定理：3、4、5

和5、12、13的关系。

1 -1

x

y

π

π

2

2

π

2

3π

2

π-

π-

x y cos =

o -

2

π

2

π

- 2

3π- 23π π

x

y

x y tan =