带电球体电场与电势的分布
带电球体电场与电势的分布
王峰
在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场
强、 一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为
零， 体上的电势处处相等； 但对带电金属导体的内、 缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明； 会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分， 来推导出上述问题的答案，并给出相应的“ E
r ”和“
考。
其所带电荷全部分布在金属球体 的表
面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。
电场分布：
1.1.1内部（r （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006) 电势的分布特点问题时，我们 在电势上金属体是一个等势体， 带电 外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝 而在电场一章的复习中，常常 笔者在此处 利用微积分的数学方法， r ”的关系曲线图，供大家参 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即 U 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时， 中，即相对介电常数 0 1 ； ?/ E 1P K E 2P K 图(1) Q ? (r 1 sin )2 4 R 2 r 12 Qsi n 2 K 4R 2 Q ? (r 2 sin )2 4 R 2 Qsin 2 1、 2 且E 1P 与E 2P 等大反向 二E p 0，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。 1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部 P 点的电场强度， 可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面 ds ，将每个单元面上电荷在 P 点产生的电场 dE 进行叠加，求出 P 点的合场强E P 。由于球面上单元面 ds 的对称性特点，可知 P 点的 电场强度E P 的方向最终应该沿 0P 连线的方向。 图（2） 上述求电场强度 E P 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重 积分的方法；即先要对ds 和ds '所在球面上的带电圆环进行 0 2的环积分，对求出的环 形电场再进行沿直径方向的 0 的积分，最终求出带电球体在 P 点的合场强E P 。积分 过程如下：如图（ 2）所示，设 OA R , OP r ，AP x ，球表面电荷的面密度为 Q 4 R 2 由OAP 可知：x 2 2 r 2 R 2 2rR cos E P ds K 2 cos x 取球面极坐标， 则 ds Rd ? Rsin d 为带电圆环的从 0 2 的还积分。 ，其中 为沿直径方向的从0 积分角, E P E P R 2 sin d d CO S 又 T COS r Rcos r Rcos E P 2 K R 2 又 ??? r Rcos E p 2 R 2 R 2 R 2 R 2 K r 2 r 2 R 2 2rR cos 2 R (r Rcos )sin d 3 2 2 (r 2 R 2 2rRcos )2 (r Rcos )d( cos ) o I (r 2 R 2 2rRcos )2 2 2r 2rR cos 2r r 2 R 2 r 2 R 2 2r r 2 R 2 0 2r ? 壬 (r 2 R 2 2rR cos ) 2 r 2 R 2 ? 1 2r ? 2rR 丄？丄 2r 2rR r 2 R 2 2r 2 R 2rR cos d( cos ) 1 o 2r (r 2 d( cos ) 1 R 2 2rR cos 乂 2 ~2 r E P 1 (r 2 R 2 -?(r 2 R 2 1 1 2r 2R 1 2rRcos )2 1 2rR cos )2 r R (r R) 带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度 由此可以看出， 电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。 E 外= K 号 r 2 当r R 时，有E K 弓 R 2 E ，与其上 ,所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在 r R 处电场强度的值有突变的情况。 1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的 电场强度 E 的大小随P 点到圆心0的距离r 的关系图线。 电势分布： 1.2.1 内部（r 由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场强度从该 点到无穷远的定积分。即： P Edr R)dr K 弓 dr r r R r 2 由上述答案可知，均匀带电金属球在稳定时，其球外任一点的电势等于把全部电荷看 作集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同； 在球体内任一点的电势应与球面上的电势相 等，故均匀带电金属球面及其内部是一个等势体。 1.2.2外部（r >R ）:由上述电势理论同样可得： W p U A q 又 W p E 1 re E 2 々q E 3 r 3q E n r n q U p E 1 r 1 E 2 r 2 E 3 r 3 E n r n 又U p A P E 1 r 1 E 2 r 2 E 3 r 3 E n r n P 的大小可以由电场力做功和电势差关系来确定 内部某点P 的电势 K Q r K Q R I II Edr r K号dr r r2 Q K —r K —r r Q 当r R时，有K二，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的。 R 1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电 势的大小随P点到圆心 2、带电的绝缘体球: 体密度 处处相同。 电场的分布: 2.1.1内部（r 等于以0为圆心、r为半径的带电球体在此处产生的电场E1和以0为圆心从r到R的 带电球壳在此处产生的电场E2的叠加；又已知带电球壳在内部产生的电场强度处处为 零（即E2 0），所以P点处的电场强度就等于以r为半径的带电球体产生电场E1。 即电荷的 O的距离r的关系图线。 图（4） 这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位, 图（5） Edr r KQr 2 R Q K rdr r R R 3 2R 3 3KQ 2R r KQ 2 2R 3 r 空(R 2 r 2) K Q 2R 3 R 的电场强度是连续分布的；在 r R 处，电场强度最大。 2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电场强度 E 的大小随P 点到 圆心O 的距离r 的关系图线。 旦？？ r 3 4 R 3 3 K^— r 2 KQ r R 3 所以，带电绝缘体内部的电场强度 2.1.2外部（r >R ）:和带电导体球（或球壳）一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在该 处产生的电场。 E 的大小与P 点距球心的半径r 成正比。 E 外=K? 外 r 2 当r R 时，有电场强度的最大值 E max K-5-，所以，带电绝缘体球的内、外部 R 2 电势的分布： 2.2.1内部（r 于对电场场强从该点到无穷远的积分。 即: 当以无穷远点为零势点时，该点的电势等 图（6） 222外部（ r>R）：由上述电势理论同样可得: Q Edr K dr r2 r r r 当r R，即在此球壳处处电势为R紫所以带电绝缘体球的内、外电势的分布曲线是连续的。 2.2.3图景：如图（7）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电势 O的距离r的关系图线。 本文运用数学的积分思想对电场、电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角 度认识物理过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生的物理形象思维和抽象思维。但高三学生复习本节知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对电场、电势推导的结论、图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在选择题中时 间的目的。 参考书目：1赵凯华、陈熙谋《电磁学》1985年6月第二版高等教育出版社 2、普通高中课程标准实验教材《物理3- 1》2004年5月第一版人民教育出 版社 联系方式： 单位:南通市启秀中学物理学科王 峰 K Q r r K Q r 当r 0时，即在球体的圆心处电势最高，有 3KQ "2R 的大小随P点到圆心 图（7） Post:226001 Tele:0513 －（宅）（0） E －mail ＆ 通讯地址：南通市濠景园14 幢102 室王峰226006个人简介：王峰男72 年生南通市启秀中学高中物理教师中学一级 2006 年就读南京师范大学物理科学与技术学院教育硕士研究生 带电球体电场与电势的分布 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 电场分布： 1.1.1内部（r 1.求均匀带电球体的场强分布。电势分布。已知球体半径为R ，带电量为q 。 解 : (运动学３册)例１—1 质点作平面曲线运动,已知m t y tm x 2 1,3-==， 求：（1）质点运动的轨道方程；(２)s t 3=地的位矢;（3)第２s 内的位移和平均速度;（4）s t 2=时的速度和加速度；（5)时刻t 的切向加速度和法向加速度:（６）s t 2=时质点所在处轨道的曲率半径。 解：（1)由运动方程消去t ，得轨道方程为： 9 12 x y -= (2)s t 3=时的位矢j i j y i x r 89)3()3()33(-=+=,大小为 m r 126481|)3(|≈+=，方向由)3(r 与x 轴的夹角'?-==3841) 3() 3(arctan x y a 表示。 （3)第2s 内的位移为j i j y y i x x r 33)]1()2([)]1()2([-=-+-=?，大小m r 2399||=+=?,方向与与x 轴成?-=??=45arctan x y a ，平均速度v 的大小不能用v 表示,但它的y x ,分量可表示为t y v t x v y x ??= ??= ,。 （4）由,,23当时tj i j dt dy i dt dx v -=+= ,43)2(j i v -= 大小'?-=-=?=+= -853)3 4 arctan( ,5169)2(1a s m v 方向为。 j dt dv a 2-== 即a 为恒矢量，.,21 轴负方向沿y s m a a y -?-== （5）由质点在t 时刻的速度22249t v v v y x +=+= ,得切向加速度 2494t t dt dv a +==τ，法向加速度2 2 2496t a a a n +=-=τ。 注意： ||dt dv dt dv ≠,因为dt dv 表示速度大小随时间的变化率,而||dt dv 表示速度对时间变化率的模,切向加速度τa 是质点的(总）加速度a 的一部分,即切向分量,其物理意义是描述速度大小的变化；法向加速度n a 则描述速度方向的变化。 （6）由s t v a n 2,2 == ρ 时所求的曲率半径为 m a v n 8.202 .125)2(|)2(|2===ρ 几种电荷分布所产生的场强和电势 1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R ，带电量为q ） 电场强度矢量：?? ???<=>=）（球面内，即。）（球面外，即R r r E R r r r q r E 0)( , 41)( 3 επ 电势分布为：()()??? ???? ==（球内）。（球外）， 41 41 0 0 R q r U r q r U επεπ 2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q ） 电场强度矢量：??? ? ??? >=<=）（球体外，即。）（球体内，即，R r r r q r E R r R r q r E 41)( 41)( 3030 επεπ 电势分布为：()()() ??? ? ??? <-=>=即球内）（。即球外）（， 3 81 41 3 2 20 0 R r R r R q r U R r r q r U επεπ 3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ） 电场强度矢量：离无关。）（平板两侧的场强与距 ) (2)(0 i x E ±=εσ 电势分布为： ()()r r r U -= 00 2εσ 其中假设0r 处为零电势参考点。若选取原点（即带电平面）为零电势参考点。即00=U 。那么其余处的电势表达式为： ()()??? ? ??? ≤=≥-=0 2 0 2 00x x x U x x x U εσ εσ 4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R ，单位长度的带电量 为λ。） 电场强度矢量 ?? ??? <=>=，即在柱面内）（。即在柱面外）（，R r r E R r r r r E 0)( , 2 )( 2 επλ 均匀带电球面和载流柱面上场强的计算 摘要：对于均匀带电球面上一点的电场强度和无限 长均匀载流柱面上一点的磁感强度问题，无法采用教材中常用的静电场高斯定理和磁场安培环路定理求解，该文分别用电场和磁场叠加原理进行了求解，得到了该问题的具体表达式。 关键词：均匀带电球面均匀载流柱面高斯定理安培 环路定理叠加原理 中图分类号：O411 文献标识码：A 文章编号：1674-098X （2016）02（c）-0159-02 在求解均匀带电球面上电场强度分布时，一般都是通过静电场的高斯定理求解，但是对于理想的均匀带电球面来讲，这种方法只能求出球面内部和外部的电场强度分布，而对于球面上一点的场强，由于无法确定高斯面内电荷分布而无法利用高斯定理求解，对两边取极限的方法也无法求出，有些教材只指出在球面上场强值不连续或有一突变[1，2]，但并 没给出具体值。同样，在求解无限长均匀载流柱面磁感应强度分布时，一般都是磁场安培环路定理求解，而对柱面上一点的磁感应强度，这种方法也同样由于无法确定环路包围的电流强度大小而无法求解，该文对这两个问题分别采用场叠加原理进行了计算。 1 均匀带电球面上一点的电场强度 图1为一半径为的均匀带电球面，带电量为，根据电场的高斯定理，可求得球面内外的电场强度分布为[3]：该结论并没有给出球面上任一点（即）处的电场强度，原因在于对理想的均匀带电球面，利用高斯定理求解该位置处电场强度时，无法确定高斯面内包围的电荷量。该问题可通过叠加原理进行求解。为求球面上任一点点的电场强度，建立图示的坐标系，并将球面分割为无数多个半径不同的无限窄的环带，在坐标处、取高度为的环带如图1所示，环带面元面积为： 所带电量为： 根据带电圆环轴线上一点的场强公式可得所取环带在 点的电场强度大小。 由于各环带在点产生的电场强度方向均沿轴正方向，所以整个球面在点产生的电场强度为： 利用几何关系及可得点总场强： 与球面内外场强分布比较可知，该处场强发生了一突变。 2 无限长均匀载流柱面上一点的磁感强度 图1所示示为一半径为、电流沿轴向均匀分布的无限长圆柱面的截面图，总电流强度为，根据磁场的安培环路定理，可得柱面内外的磁感强度分布为[3]： 为求柱面上任一点点的电场强度，建立图1所示的坐标 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 电场分布： 1.1.1内部（r 带电球体电场与电势的分布 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中， 遇到带电体的内、 外部场强、电势的分布特点问题时， 我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个 等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大 小的分布特点及带电绝缘介质球的内、 外部电场、 电势的大小分布很少有详细说明； 而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积 分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的 “ E r ”和“ r ”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境 中，即相对介电常数 ．．．． 0 1 ； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即 U 0 。 1、 带电的导体球： 因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金 属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 电场分布： 1.1.1 内部（ r 带电球体电场与电势的 分布 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 带电球体电场与电势的分布 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．． 中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 电场分布： 1.1.1内部（r 摘要 因此均匀带电球体表面电场强度使用高斯定理不能获得，因为高斯定理是一个几何表面，表面电荷也利用几何模型，当高斯分割和表面电荷，表面电荷不能被视为一个几何面，与普通物理的电磁学教材在讨论均匀表面电荷产生的电场强度分布不计算表面电场。本文介绍了叠加原理，点电荷球形均匀一个任意点的磁场强度值，表面磁场强度为球形面很近球形点电场强度平均值，并从外地叠加原理的两种方法求出了均匀带电球面电场强度值。 关键词： 带点球面；电场强度；叠加原理；电荷面密度；高斯定理；突变 I Abstract pick due to uniform charged sphere surface electric field intensity using Gauss theorem cannot be obtained, because Gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when Gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching materials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. This paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength value, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle by two kinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value. Keywords: with spherical; electric field intensity; superposition principle; surface charge density; Gauss theorem; mutation II 几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R，带电量为q） 电场强度矢量： 电势分布为： 2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q） 电场强度矢量： 电势分布为： 3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ） 电场强度矢量： 电势分布为： 其中假设处为零电势参考点。若选取原点（即带电平面）为零电势参考点。即。那么其余处的电势表达式为： 4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R，单位长度的带电量为λ。） 电场强度矢量 电势分布为： 其中假设处为零电势参考点。且处位于圆柱柱面外部。（即>R）。若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。（即）。那么，其余各处的电势表达式为： 5、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为ρ、半径为R。） 电场强度矢量： 电势： 其中假设圆柱体轴线处为零电势参考点。即。 6、均匀分布的带电圆环（带电量为；圆环的半径为。）在其轴线上x 处的电场强度和电势 电场强度矢量： 。其中为轴线方向的单位矢量。 讨论： （a）当 。此时带电圆环可视为点电荷进行处理。 （b）当 。即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零。 电势： 。其中电势的零参考点位于无穷远处。 带电圆环在其圆心处的电势为： 。 7、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度λ，直线长为l） （1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为d的P点处：电场强度矢量： 。 。 （2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d的Q点处： 电场强度矢量为： 。 电势： 。 （3）在直线外的空间中任意点处： 电场强度矢量： 。 其中： 。 或者改写为另一种表示式: 即: 。 其中： 电势： 。 （4）若带电直线为无限长时，那么，与无限长带电直线的距离为d的P点处： 电场强度矢量： 。 电势： 。其中假设d0或（r0）为电势的零参考点。 （5）半无限长带电直线在其端点处：（端点与带电直线的垂直距离为d） 电场强度矢量： 。 8、电偶极子的电场强度和电势 （1）在电偶极子的延长线上x处：其中（X >>） 电场强度矢量： 。 电势： 。 带电球体电场与电势的分布 带电球体电场与电势的分布 王峰 （南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006） 在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．． 中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 1.1电场分布： 1.1.1内部（r ∵ 2 22 121214sin )sin (4R Q K r r R Q K E P θθππ=?= 2 222 2 2224sin )sin (4R Q K r r R Q K E P θθππ=?= 且P E 1与P E 2等大反向 ∴0=P E ，即均匀带电导体球（或球壳） 内部的电场强度处处为零。 1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds ，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场dE 进行叠加，求出P 点的合场强P E 。由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的电场强度P E 的方向最终应该沿OP 连线的方向。带电球体电场与电势的分布
求均匀带电球体的场强分布
几种典型带电体的场强和电势公式
均匀带电球面和载流柱面上场强的计算
带电球体电场与电势的分布
带电球体电场及电势的分布.docx
带电球体电场与电势的分布
均匀带电球体表面电场强度的计算 论文
几种典型带电体的场强和电势公式
带电球体电场与电势的分布