工程力学习题集

第9章思考题

在下面思考题中A、B、C、D的备选答案中选择正确的答案。（选择题答案请参见附录）

9.1若用积分法计算图示梁的挠度，则边界条件和连续条件为。

(A) x=0: v=0; x=a+L: v=0; x=a: v

左=v右，v/左=v/右。

(B) x=0: v=0; x=a+L: v/=0; x=a: v

左=v右，v/左=v/右。

(C) x=0: v=0; x=a+L: v=0，v/=0; x=a: v

左=v右。

(D) x=0: v=0; x=a+L: v=0，v/=0; x=a: v/

左=v/右。

9.2梁的受力情况如图所示。该梁变形后的挠曲线为图示的四种曲

线中的（图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线）。

9.3等截面梁如图所示。若用积分法求解梁的转角和挠度，则以下结论中

(A) 该梁应分为AB 和BC 两段进行积分。 (B) 挠度的积分表达式中，会出现4个积分常数。 (C) 积分常数由边界条件和连续条件来确定。

(D) 边界条件和连续条件的表达式为：x=0:y=0; x=L,v

左

=v

右

=0,v/=0。

9.4等截面梁左端为铰支座，右端与拉杆BC 相连，如图所示。

以下结论中

(

(

(

(

(A) AB 杆的弯矩表达式为M(x)=q(Lx-x 2)/2。 (B)

挠

度

的

积

分

表

达

式

为

：

y(x)=q{∫[∫-(Lx-x 2)dx]dx+Cx+D} /2EI 。

(C) 对应的边解条件为：x=0: y=0; x=L: y=?L CB (?L CB =qLa/2EA)。

(D) 在梁的跨度中央，转角为零(即x=L/2: y /=0)。

9.5已知悬臂AB 如图，自由端的挠度vB=-PL 3/3EI –ML 2/2EI,则截面C

(A) -P(2L/3)3/3EI –M(2L/3)2/2EI 。 (B) -P(2L/3)3/3EI –1/3M(2L/3)2/2EI 。 (C) -P(2L/3)3/3EI –(M+1/3 PL)(2L/3)2/2EI 。 (D) -P(2L/3)3/3EI –(M-1/3 PL)(2L/3)2/2EI 。

9.6 图示结构中，杆AB 为刚性杆，设ΔL1,ΔL2, ΔL3分别表示杆（1），（2

形协调条件为。

B

M

(A) ΔL 3=2ΔL 1+ΔL 2。 (B) ΔL 2=ΔL 3-ΔL 1。 (C) 2ΔL 2=ΔL 1+ΔL 3。 (D) ΔL 3=ΔL 1+2ΔL 2。 9.7 一悬臂梁及其所在坐标系如图所示。其自由端的

(A) 挠度为正，转角为负； (B) 挠度为负，转角为

正；

(C) 挠度和转角都为正； (D) 挠度和转角都为

负。

9.8

图示悬臂梁AB ，一端固定在半径为R 的光滑刚性圆柱面上，另一端自由。梁AB 变形后与圆柱面完全吻合，而无接触压力，则正确的加载方式是

(A) 在全梁上加向下的均布载荷； (B) 在自由端B 加向下的集中力； (C) 在自由端

B 加顺时针方向的集中力偶； (D) 在自由端

B 加逆时针方向的集中力偶。

9.9 一铸铁简支梁，如图所示．当其横截面分别按图示两种情况放置时，梁的

(A) 强度相同，刚度不同； (B) 强度不同，刚度相

同；

(C) 强度和刚度都相同； (D) 强度和刚度都不同。

第9章 习题

积分法

9.1 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。

(1) 试根据梁的弯矩图与支持条件画出挠曲轴的大致形状; (2) 利用积分法计算梁的最大挠度与最大转角。

习题9.1图

解：（a ）

（

1

M A ＝M e

（2）画剪力图和弯矩图

x

(

B

（3）画挠曲轴的大致形状

（4）列弯矩方程

],0[)(a x M x M e

∈=

（5）挠曲线近似微分方程

EI M dx v d e

=

2

2 （6）直接积分两次

C x EI

M v e

+=

'=θ D Cx x EI M v e ++=2

2

（7）确定积分常数

边界条件：

0 ,0 :0===v x θ

求解得积分常数

0 , 0==D C

转角和挠曲线方程是

x EI

M v e ='=θ, 22

x EI M v e =

（7）最大转角与最大挠度。

EI

a

M v e =

'=max θ, EI M a v e 22max = M

（b ）

（1）求约束反力

F A ＝F B ＝q a/2

（2）画剪力图和弯矩图

（3）画挠曲轴的大致形状

（4）列弯矩方程

],0[2

2)(2

a x qx x qa x M ∈-

=

（5）挠曲线近似微分方程

)22

(12

22qx x qa EI dx v d -=

（6）直接积分两次

x

C qx x qa EI v +-='=)6

4(13

2θ

D Cx qx x qa EI v ++-=)24

12(14

3

（7

）确定积分常数 边界条件：

0 :0==v x 0 :==v a x

求解得积分常数

0 , 243

=-=D EI

qa C

转角和挠曲线方程是

24EI

qa -)64(13

32qx x qa EI v -='=θ x

qx x qa EI v 24EI qa -)2412(13

43-=

（8）最大转角与最大挠度。

EI qa v 243=

'=θ,

EI qa v 38454-=

9.2 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。 (1) 试写出计算梁位移的边界条件与连续条件;

(2)

(

F (

习题9.2图

解：（a ） （1）边界条件：

0 :0==v x

0 :==v l x

（2）连续光滑条件：

+-+-===

θθ; :2

v v l

x （3

F A =F B ＝M e /l

（4

（5）画挠曲轴的大致形状

(

F

x

(

（b ）

（1）边界条件： 0 :0==v x

0 :2==

v l

x

（2）连续光滑条件：

+-+-===

θθ; :2

v v l

x （3

F A =F, F B ＝2F （4）画剪力图和弯矩图

（5）画挠曲轴的大致形状

F

(

C

F

(

x

（c ）

（1）边界条件：

0 0,

:0===v x θ （2）连续光滑条件：

2121; :2

θθ===

v v l

x （3）求约束反力

F A =ql/2, M A ＝3ql 2/8 （4）画剪力图和弯矩图

（5）画挠曲轴的大致形状

（d ）

（1）边界条件：

x

S

x

l 2/8

(

M

(

C

0 :0==v x 0 0, :===v l x θ

（2）连续条件：

21 :2

v v l

x ==

（3）求约束反力

F A =ql/4 =F B , M B ＝ql 2/8

（4）画剪力图和弯矩图

（5）画挠曲轴的大致形状

叠加法

x

(

B

x

(

B M

9.3 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数，试用叠加法计算截面B 的转角与截面C 的挠度。

习题9.3图

（1）F 单独作用时

EI Fl v EI Fl F

C F

B

48163

)2)-

==

θ

（2）Me 单独作用时

EI l M v EI l M e Me

C e Me B 48332))-

==

θ

（3）P 和Mo 共同作用时

(

F

(

(

(

EI

l M EI Fl

v v v EI l M EI Fl e Me C F

C C e

Me B F

B B 4834831623

))2

))-

-=+=+=+=θθθ

（b ）

EI

Fl EI Fl l

EI Fl EI Fl l l EI l

F v v v e C C C 4811

325243

)23(6)2(33232

)2()1(=

+-=+--=+=

(

(

F

(

F

(

(

(

(1

EI

Fl EI l

Fl EI l M e

B 42222=

==θ

9.4 图示外伸梁，两端承受载荷F 作用，弯曲刚度EI 为常数，试问： (1) 当x/l 为何值时，梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等； (2) 当x/l 为何值时，梁跨度中点的挠度最大。

习题9.4图

解：

（1）自由端的挠度

EI

x l Fx EI Fx EI x x l M EI x x l M EI Fx v v v A A A 2)2(33)2(6)2(3233)

2()1(--

-=-----=+=

（2）中点的挠度

EI

x l Fx EI x l M v M

8)2(16)2(222-=-=

(

＝

x

D (

B

F

M B F

（3）中点的挠度与自由端的挠度数值相等时

M A v v =

EI

x l Fx EI x l Fx EI Fx 8)2(2)2(32

23-=-+ x (1)=0.705l （舍去）， x (2)=0.152l （4）跨度中点的最大挠度

0=dx

dv M

08)

812(22=+-=EI

l xl x F dx dv M x (1)= l/2（舍去）， x (2)= l /6

9.5 试计算图示刚架截面A 的水平与铅垂位移。设弯曲刚度EI 为常数。

习题9.5图

解：

（1）水平位移δx

分析CB 杆，由B 点水平位移引起

A

F

B

F M A

EI Fah EI h M v B B x 222

2=

==δ

EI Fah EI h M B B -=-

=θ

（2）铅垂位移δx

分析AB 、CB 杆，由AB 杆A 点铅垂位移与CB 杆B 点转角引起A 点铅垂位移

EI h a Fa EI Fah a EI Fa a v B

AB A y 3)3(323

)(+-

=--

=+=θδ

9.6 试用叠加法计算图示各阶梯梁的最大挠度。设惯性矩I 2＝2I 1。

习题9.6图

解：（a

1

3

)

1(3EI Fa v A -=

(

(

A

F

(

F

+

1

3

1212)

21(4323)2(3)

22()2(3EI Fa a I E Faa a

a I E a M v B A -

=-

=--=

1

312

)

22(125)

23()2(6EI Fa a a I E Fa v A -

=-?-=

1

3

131313)

22()21()1(23125433EI Fa EI Fa EI Fa EI Fa v v v v A A A A -

=-

--=++=∴

（b

由梁的对称性，其右半端的变形与图中悬臂梁的变形相同。 由上题结论得：

B

F B B

(

(

1

313

max 432)2(3EI Fa EI a F v v v B C -=-=-==∴

9.7 一跨度l=4m 的简支梁如图所示，受集度q ＝10 kN/m 的均布载荷和P ＝20kN 的集中载荷作用。梁由两槽钢组成。设材料的许用应力[σ]=160MPa ，梁的许用挠度[ f ]=l/400。试选定槽钢的型号，并校核其刚度。梁的自重忽略不计。

习题9.7图

解：(1)求约束反力

30 2

20

4102kN P ql F F B A =+?=+=

= (2)画出剪力图和弯矩图

(3)按正应力强度条件计算

[][]3

346

3

max max

max 125 1025.110

160210

402 2cm m M W W M =?=???=≥∴≤=

-σσσ

查槽钢表，选用18号，其抗弯截面系数是W=152 cm 3，I ＝1370 cm 4；

(4) 按刚度进行校核： 用叠加法求梁的最大挠度

m ql Pl EI EI ql EI Pl v v C 0109.038441010548410201013702102001

3845481384548214333894343max =???

? ?????+??????=????

??+=--==-

刚度校核

∵[ f ]=l /400=4/400＝0.01m ∴][m 0109.0max f v >=

轴的刚度不够。 (5) 按刚度条件计算 4

433394343max c 150001

.038441010548410202102001

384548138454821m I I

ql Pl EI EI ql EI Pl v v C

≥∴

? ?

????+?????=

???

?

??+=--== 查槽钢表，应选用20a 号，其抗弯截面系数是W=178 cm 3，I ＝1780 cm 4；

(6) 结论：强度与刚度都足够；

9.8 试求图示梁的支反力，并画剪力图和弯矩图。设弯曲刚度EI 为常数。