(完整版)经典高考概率分布类型题归纳.doc
经典高考概率类型题总结
一、超几何分布类型
二、二项分布类型
三、超几何分布与二项分布的对比
四、古典概型算法
五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）
六、综合算法
一、超几何分布
1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个 . （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算：①甲抽到判
断题，乙抽到选择题的概率是多少？②甲、乙二人中至
少有一人抽到选择题的概率是多少？
（2）若甲从中随机抽取 5 个题目，其中判断题的个数为X，求 X 的概率分布和数学期望.
二、二项分布
1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可
自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、
丁 4 名参加保险人员所在的地区附近有A， B，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选
择是相互独立的.
（1）求甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率；
（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（3）设 4 名参加保险人员中选择 A 社区医院的人数为X，求 X 的概率分布和数学期望．
2. 某广场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯， 每盏灯出现红
2 1
灯的概率都是 3，出现绿灯的概率都是 3.记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 X ， 当这排装饰灯闪烁一次时：
(1)求 X ＝ 2 时的概率；
(2)求 X 的数学期望．
解 (1)依题意知： X ＝ 2 表示 4 盏装饰灯闪烁一次时，恰好有
2 盏灯出现红
2
灯，而每盏灯出现红灯的概率都是
3，
故 X ＝2 时的概率 P ＝ C 2
2 2 1 2
＝ 8
.
4
3 3 27
(2)法一 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，依题意知
k 2 k 1 4－k
P(X ＝ k)＝C 4 3 3
(k ＝0,1,2,3,4)．
∴ X 的概率分布列为
X 0 1 2 3 4 P
1 8 8 3
2 16 81 81 81 81 81
1
8
8
32
16 8 ∴数学期望 E(X) ＝0×8＋1×81＋ 2× 81＋3×81＋ 4× 81＝3
.
三、超几何分布与二项分布的对比
有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依
次任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 P （ X ）＝
.
辨析：
1.有一批产品，其中有
12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依
次任取 3 件，若 X 表示取到次品的件数，则
P （ X ）＝
2. 有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P （ X ）＝
3.有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P （ X ）＝
四、古典概型算法
1.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有 1，2， 3， 4 四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为 x 1,x 2，记 X=(x 1-2)2+(x 2-2)
2.
（ 1）分别求出 X 取得最大值和最小值的概率；
（ 2）求 X 的概率分布及方差 .
2.（ 2012·江苏高考）设ξ为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两
条棱相交时， ξ =0；当两条棱平行时， ξ的值为两条棱之间的距离； 当两条棱异面时ξ
=1．
（ 1）求概率 P （ξ =0）；
（ 2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）．
3.某市公租房的房源位于 A ， B ， C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，
且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请人中：
（1）恰有 2 人申请 A 片区房源的概率； （2）申请的房源所在片区的个数
X 的概率分布与期望 .
4.设 S 是不等式 x 2－ x － 6≤ 0 的解集，整数 m ， n ∈ S.
(1)记“使得 m ＋n ＝ 0 成立的有序数组 (m ，n) ”为事件 A ， 试列举 A 包含的基本事件；
(2)设 ξ＝ m 2，求 ξ的概率分布表及其数学期望 E(ξ)．
解 (1)由 x 2－ x － 6≤ 0，得－ 2≤ x ≤3，即 S ＝{x| － 2≤ x ≤ 3} ．
由于 m ， n ∈ Z ， m ，n ∈ S 且 m ＋n ＝ 0，所以 A 包含的基本事件为 (－2,2) ，(2，－ 2)， (－ 1,1)， (1，－ 1) ，(0,0) ．
(2)由于 m 的所有不同取值为－ 2，－ 1,0,1,2,3， 所以 ξ＝m 2 的所有不同取值为 0,1,4,9，
且有 P(ξ＝0) ＝1
6，
2
1
P( ξ＝ 1) ＝ ＝ ，
2 1
P( ξ＝ 4)＝ 6＝3，
1
P( ξ＝ 9)＝ 6.
故 ξ的概率分布表为
ξ0 1 4
9 P 1
1 1 1 6
3 3
6
1 1 1 1 19 所以 E(ξ)＝0× 6＋ 1×3＋ 4× 3＋9×
6＝ 6 .
5.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组
选《数学史与不等式选讲》的有
1 人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》
的有 5 人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有
2 人，选《矩阵变换和
坐标系与参数方程》的有 4 人，现从第一、第二两小组各任选 2 人分析得分
情况 .
(1)求选出的 4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；
(2)设 X 为选出的 4 个人中选《数学史与不等式选讲》 的人数，求 X 的分布列
和数学期望．
解 (1)设“从第一小组选出的 2 人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件 A ，“从第二小组选出的 2 人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》 ” 为事件 B.
由于事件 A 、B 相互独立，
2
2
2
C 5
C 4 2
所以 P(A) ＝C 62＝ 3， P(B)＝C 62＝5，
所以选出的 4 人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为
P(A ·B)＝
2 2
4
P(A) · P(B)＝ 3×5＝15.
(2)X 可能的取值为 0,1,2,3，则
4
2
1
1
1
2
22
C 5
C 2·C 4
C 5
C 4
， P(X ＝1)＝
2· 2 ＋ 2·2＝
，
P(X ＝ 0)＝15
C 6 C 6
C 6 C 6
45
1
1
1
P(X ＝ 3)＝ C 5
2· 2＝ .
C 6 C 6 45
2
P(X ＝ 2)＝1－P(X ＝0) －P(X ＝1)－ P(X ＝ 3)＝ 9.
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
4 22 2 1 15
45
9
45
所以 X 的数学期望 E(X) ＝0× 4 ＋1×22＋2×2
＋3× 1 ＝1 (人 )．
15 45 9 45 6.
已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的
2 个红球和 4 个黑球．现在从甲、乙
两个盒内各任取 2 个球．
（ I ）求取出的 4 个球均为黑色球的概率；
（II ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；
（III ）设ξ为取出的 4 个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
解：（ I）设“从甲盒内取出的 2 个球均黑球”为事件 A ，
“从乙盒内取出的 2 个球为黑球”为事件B．
∵事件 A ， B 相互独立，且
．
∴取出的 4 个球均为黑球的概率为
P（AB ） =P （ A ）P（ B）=．
（ II ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中， 1 个是红红， 1 个是黑球”为事件 C，
“从甲盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件D．∵事件 C， D 互斥，且
．
∴取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为
P（C+D ） =P （C） +P （ D ） =．
（III ）解：ξ可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ．
由（ I），（ II ）得
，
又 ，
从而 P （ξ=2 ） =1
P （ξ=0 ） P （ξ=1 ） P （ξ=3 ）= ．
ξ的分布列
ξ的数学期望
．
五、独立事件概率分布之非二 分布（主要在于如何分 ）
1.开 次数的数学期望和方差
有 n 把看上去 子相同的 匙， 其中只有一把能把大 上
的 打开． 用它 去 开 上的 ． 抽取 匙是相互独立且等可能的．
每把 匙 开后不
能放回．求 开次数
的数学期望和方差．
分析： 求 P(
k ) ，由 知前 k 1次没打开，恰第 k 次打开．不 ，一般我 从
的地方入手，如
1,2,3 ， 律后，推广到一般．
解： 的可能取
1， 2，3，?， n ．
P(
1)
1 ,
n
P(
2) 1
1
n 1 1
1
;
(1 )
n 1 n
n 1 n
n
P(
3) (1 1
) (1
1 ) 1
n 1 n 2 1
1 ;
n
n 1 n 2
n n 1 n 2 n
P(
k) (1 1) (1
1 ) (1
1
) (1
1 ) 1 n 1 n
2 n
3 n k 111
n n 1
n 2
n k 2 n k 1
n n 1 n 2 n k 2 n k 1 n
；所以
的分布列 ：
1
2 ? k ? n
P
1 1 1 1 n
n
?
?
n
n
E 1
1
2
1
3
1
n 1 n 1 ；
n
n
n
n
2
D
(1
n 1 2 1
n 1 2
1 n 1 2
1
(k
n 1 2
1 n 1
)
2
1
)
( 2
2 )
( 3
)
n )
n
(n
n
2
n
n
2
2
2
1 (1
2 22
3
2
n 2
) ( n 1)(1 2 3
n) (
n 1
) 2 n
n
2
1 1
n(n 1)(2n 1) n( n 1) 2 n( n 1)2 n 2 1
n 6
2 4 12
2. 射 中耗用子 数的分布列、期望及方差
某射手 行射 ，每射 5 子 算一 ，一旦命中就停止射 ，并 入下一 的 ，否 一直打完 5 子 后才能 入下一 ， 若 射手在某 中射 命中一次，
并且已知他射 一次的命中率
0.8，求在 一 中耗用子 数 的分布列，并求出 的
期望 E
与方差 D
（保留两位小数） ．
分析： 根据随机 量不同的取 确定 的概率，在利用期望和方差的定 求解．
解：
耗用的子 数
随机 量，
可以取
1， 2， 3， 4， 5．
＝ 1，表示一 即中，故概率
P ( 1)
0.8;
＝ 2，表示第一 未中，第二 命中，故
P ( 2) (1 0.8) 0.8 0.2 0.8 0.16;
＝ 3，表示第一、二 未中，第三 命中，故
P (
3) (1 0.8)2 0.8 0.22 0.8 0.032;
＝ 4，表示第一、二、三 未中，第四 命中，故
P (
4) (1 0.8)3 0.8 0.23 0.8 0.0064
＝ 5，表示第五 命中，故
P ( 5) (1 0.8) 4 1 0.24 0.0016.
因此，的分布列为
1 2 3 4 5
P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016
E 1 0.8 2 0.16 3 0.032 4 0.0064 5 0.0016
0.8 0.32 0.096 0.0256 0.008 1.25,
D (1 1.25)2 0.8 (2 1.25)2 0.16 (3 1.25 )2 0.032 (4 1.25) 2 0.0064 (5 1.25)2 0.0016
0.05 0.09 0.098 0.0484 0.0225 0.31.
3. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第
三次 . 某同学在 A 处的命中率 q 1为 0. 25，在 B 处的命中率为q 2，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求 q 2的值；
（2）求随机变量的数学期望E；
（ 3）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小．
解 :（ 1）设该同学在 A 处投中为事件A，在 B 处投中为事件B，则事件 A，B 相互独立，且 P(A)=0. 25，P( A)0.75 ，P(B)= q2，P( B)1q2．
根据分布列知：=0时P( ABB )P( A)P( B)P(B)0.75(1 q2 ) 2=0. 03，所以1 q20.2 ，q2=0. 8．
（ 2）当=2 时， P1= P( AB B ABB) P(ABB) P( ABB)
P( A) P( B)P( B) P( A) P(B) P( B) =0. 75q2(1 q2)×2=1.5q2(1q2)=0. 24．当=3 时， P2= P( ABB )P( A) P( B)P( B)0.25(1 q2 )2=0. 01，
当 =4 时， P 3 = P( ABB) P( A) P( B)P( B) 0.75q 2 2 =0. 48，
当 =5 时， P 4 = P( ABB AB)
P( ABB ) P( AB)
P( A) P( B)P( B) P( A) P(B) 0.25q 2 (1 q 2 ) 0.25q 2 =0. 24．
所以随机变量
的分布列为：
随机变量
的数学期望 E 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63 ．
（ 3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P(BBB
BBB BB)
P(BBB ) P( BBB ) P(BB )
2(1 q 2 )q 22 q 22 0.896 ；
该同学选择（ 1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0. 48+0. 24=0. 72．
由此看来该同学选择都在
B 处投篮得分超过 3 分的概率大．
4. 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙
两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这
2 些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为 被乙小组攻
3
克的概率为
3
.
4
（1）设 X 为攻关期满时获奖的攻关小组数，求 X 的概率分布及
V(X)；
（2）设 Y 为攻关期满时获奖的攻关小组数的 2 倍与没有获奖的攻关小组数之差，求 V(Y).
5. 某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是
0.4,0.5,0.6 ，且客人是否游览哪个景点互不影响，设
表示客人离开该城市时游览的
景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求
的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数 f ( x)
x 2 3 x 1在区间 [2,
) 上单调递增”为事件 A ，求事件 A
的概率 .
分析：（ 2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，
3
2 即可．
就本题而言，只需
2
解：（ 1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点” ，“客人游览丙景点”为事件 A1, A2 , A3．由已知 A1 , A2 , A3 相互独立， P( A1 ) 0.4, P( A2 ) 0.5, P( A3 ) 0.6 . 客人游览的景点数的可能取值为0， 1， 2， 3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能
取值为 3， 2， 1， 0，所以的可能取值为 1， 3．
P( 3) P( A1 gA2 gA3 ) P( A1 gA2 gA3 )
[
P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3) 2 0.4 0.5 0.6 0.24
P( 1) 1 0.24 0.76
1 3
所以的分布列为
P 0.76 0.24
E( ) 1 0.76 3 0.24 1.48
（Ⅱ）解法一：因为 f ( x) (x 3 )2 19 2 , 所以函数
2 4
f ( x) x2 3 x 1在区间[ 3
, ) 上单调递增，要使 f (x)在 [2, ) 上单调递增，2
当且仅当3
2,即 4 .从而 P( A) P( 4 )P( 1) 0.76.
2 3 3
解法二：的可能取值为1， 3.
当 1 时，函数 f ( x) x2 3x 1在区间 [2, ) 上单调递增，
当 3 时，函数 f (x) x2 9x 1在区间 [2, ) 上不单调递增.
所以 P( A) P( 1) 0.76.
6.甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为
1，乙每次击中目标
2
2
的概率为3.
(1)求乙至多击中目标 2 次的概率；
(2)记甲击中目标的次数为 Z ，求 Z 的分布列、数学期望和标准差．
解 (1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标
2 次的
3 2 3
19
概率为 1－C 3 3 ＝27.
0 1 3 1 (2)P(Z ＝0)＝C 3 2 ＝8；
P(Z ＝1) 1 1 3 3
＝C 3 2 ＝ 8； P(Z ＝2) ＝C 32 1 3＝
3
2 8；
P(Z ＝3) ＝C 33 1 1
2 3＝ . 8
Z 的分布列如下表：
Z 0 1 2 3 P 1 3 3 1
8
8
8
8
1
3
3
1 3
E(Z)＝0× 8＋1×8＋2×8＋3×8＝ 2，
D(Z) ＝ 0－ 3 1 3 3 3
3 3 1 3 D Z ＝
3
2 2× ＋ 1－ 2 2× ＋ 2－
2 2× ＋ 3－
2
2× ＝ ，∴ 2 .
8 8 8
8 4
7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当
第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术
水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为
0.5，0.6， 0.4.经过
第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为
0.6,0.5,0.75.
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为
ξ，求随机变量 ξ的期望与方差．
解
分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A 1、A 2、 A 3 .
(1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
P(E)＝ P(A 1 A 2 A 3)＋ P( A 1A 2 A 3) ＋ P( A 1 A 2A 3)
＝ 0.5× 0.4× 0.6＋ 0.5× 0.6× 0.6＋0.5× 0.4×0.4＝ 0.38.
(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ＝ 0.3，所以 ξ～B(3,0.3) ．
故 E(ξ)＝np ＝3× 0.3＝0.9，
V( ξ)＝np(1－p)＝ 3× 0.3×0.7＝ 0.63.
8.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；
每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为
0.6， 0.7， 0.8，0.9，
求在一年内李明参加驾照考试次数
的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的
概率 .
解： 的取值分别为 1， 2， 3，4.
1 ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故
P （
1） =0.6.
2 ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
P(
2) (1 0.6) 0.7 0.28.
ξ =3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P(
3) (1 0.6) (1 0.7) 0.8 0.096.
ξ =4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
P(4) (1 0.6) (1 0.7) (1 0.8) 0.024.
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
ξ
1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096
0.024
∴ξ的期望 E ξ=1× 0.6+2 ×0.28+3 ×0.096+4×0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为
1－ (1－ 0.6)(1－ 0.7)(1 -0.8)(1－ 0.9)=0.9976.
9.某先生居住在城镇的 A 处 ,准备开车到单位 B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独
立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图． ( 例如： Ａ
Ｃ
Ｄ算作两个路段：路段Ａ C 发生堵车事件的概率为
1
，路段 CD 发生堵车事件
的概率为
1
10
)．
15
（１） 请你为其选择一条由Ａ到Ｂ的路线，使得 途中发生堵车事件的概率最小； （２） 若记ξ路线Ａ
Ｃ
Ｆ
Ｂ中遇到堵
车
次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Ｅξ．
解： (1)记路段 MN 发生堵车事件为
MN.
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次， 所以路线Ａ Ｃ D Ｂ中遇到堵车的概率 P 1 为
1－Ｐ ( AC ? CD ? DB )=1－Ｐ ( AC ) ? Ｐ ( CD ) ?Ｐ ( DB )
＝１－［１－Ｐ (AC)］［１－Ｐ (CD)］［１－ P(DB)］＝１－
9
14 5 ＝ 3 ； 10 15 6 10
同理：路线Ａ
Ｃ Ｆ Ｂ中遇到堵车的概率 P ２为
1－Ｐ ( AC ? CF ? FB )=
239
（小于
3
）；
800 10
路线Ａ
Ｅ
Ｆ
Ｂ中遇到堵车的概率 P 为
３
1－Ｐ ( AE ? EF ? FB )=
91 （大于 3 ）
300
10 显然要使得由Ａ到Ｂ的路线途中发生堵车事件的概率最小，
只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线Ａ
Ｃ Ｆ Ｂ ,可使得途中发生堵车事件的概率最小.
(2) 路线Ａ Ｃ Ｆ
Ｂ中遇到堵车次数ξ可取值为
0,1,2,3．
Ｐ (ξ＝０ )＝Ｐ ( AC ? CF ? FB )＝
561
， 800
Ｐ (ξ＝ 1)＝Ｐ (AC ? CF ? FB )＋Ｐ ( AC ? ＣＦ ? FB )＋Ｐ ( AC ? CF ? ＦＢ )
＝
1
17 11 ＋ 9 3 11 ＋ 9 17 1 ＝ 637 ，
10 20 12
10 20 12 10 20 12 2400
Ｐ (ξ＝２ )＝Ｐ (AC ? ＣＦ ? FB )＋Ｐ (ＡＣ ? CF ? ＦＢ )＋Ｐ ( AC ? ＣＦ ? ＦＢ )
＝
1
3 11 ＋ 1 17 1 ＋ 9 3
1 ＝ 77 ， 10 20 1
2 10 20 12 10 20 12 2400
Ｐ (ξ＝ 3)＝Ｐ ( AC
? CF ? FB )＝
1
3 1 ＝
3 ．
10 20 12
2400
∴Ｅξ＝０×
561
＋１×
637 ＋２× 77
＋３× 3 ＝ 1
。 800
2400 2400 2400 3
答: 路线Ａ
Ｃ Ｆ Ｂ中遇到堵车次数的数学期望为
10.分类题型中的难题
1
3
在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断
正确的概率为 p ，判断错误的概率为 q ，若判断正确则加 1 分，判断错误则减 1 分，现记“该 明星答完 n 题后总得分为 S n ”． （1）当 p=q= 1
2 时，记ξ =|S
3 | ，求ξ的分布列及数学期望及方差；
（2）当 p= 1 3 ， q= 2 3 时，求 S 8 =2且 S i ≥ 0（ i=1， 2， 3， 4）的概率．
解：（ 1）∵ξ=|S 3|的取值为 1 ， 3 ，
又
；
∴
， ．
∴ξ的分布列为：
∴E ξ=1 × +3 × = ；
D ξ= =
（ 2 ）当 S 8 =2 时，即答完 8 题后，回答正确的题数为
5 题，回答错误的题数是
3 题，
又已知 S i ≥0（ i=1 ，2 ， 3 ， 4 ），若第一题和第二题回答正确，则其余
6 题可任意答对 3 题；
若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后
5 题可任意答对 3 题．
此时的概率为
．
. 六．拓展
1.某车站每天 8∶ 00~9∶ 00，9∶ 00~10∶ 00 都恰有一辆客车到站， 8∶00~9∶ 00 到站的客车
A 可能在 8∶ 10，8∶ 30，8∶50 到站，其概率依次为 1 , 1 , 1
;9∶ 00~10∶ 00 到站的客车 B
6 2 3 可能在 9∶ 10， 9∶ 30,9∶ 50 到站，其概率依次为 1 , 1 , 1 .
3 2 6
(1) 旅客甲 8∶ 00 到站，设他的候车时间为 ，求 的分布列和 E ； (2) 旅客乙 8∶ 20 到站，设他的候车时间为
,求 的分布列和 E .
（1）旅客 8∶00 到站，他的候车时间
的分布列为：
E 10
1 30
1 1 100 (分钟 )
6 50
3
3
2
（2）旅客乙 8∶ 20 到站，他的候车时间
的分布列为：
10 30 50 70 50
P
1
1
1 1 1 1 1 1
6
3
6 2
2
3
6
6
E
10 1 30 1 50 1 70 1 90 1
235 (分钟 )
2 3 18 12 36 9
2.A 、 B 两个投资项目的利润率分别为随机变量
X 1 和 X 2，根据市场分析， X 1 和
X 2 的分布列分别为
X 1
5% 10% P
0.8
0.2
X 2 2% 8% 12% P
0.2
0.5
0.3
(1)在 A ， B 两个项目上各投资 100 万元， Y 1 和 Y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 V(Y 1 、 2 ；
) V(Y )
(2)将 x(0≤x ≤100)万元投资 A 项目， 100－x 万元投资 B 项目， f(x) 表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和． 求 f(x) 的最小值，并指出 x 为何值时， f(x) 取到最小值．
解 (1)由题设可知 Y 1 和 Y 2 的分布列分别为
Y 1
5 10 P
0.8
0.2
Y 2
2 8 12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y 1 )＝ 5× 0.8＋ 10×0.2＝6，
V(Y 1)＝ (5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y 2 )＝ 2× 0.2＋ 8× 0.5＋12×0.3＝8，
V(Y 2)＝ (2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
x － x
(2)f(x) ＝V 100Y 1 ＋ V 100 100 Y 2
＝x 2V(Y 1)＋100－x
2V(Y2)
100 100
＝1004
2[x
2＋3(100－x)2]
＝1004
2(4x
2－ 600x＋3×1002)，
当 x＝600
＝ 75 时， f(x)＝3 为最小值 . 2× 4
3.
0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有
据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为
台大型设备，为保护设备有以下三种方案。
方案 1 ：运走设备，此时需花费3800 元。
方案 2：建一保护围墙，需花费2000 元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为 60000 元。
方案 3 ：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000 元，小洪水来临损失 10000 元。
试比较哪一种方案好。
解：比较三者费用的期望值即可
A 方案：费用为3800
B 方案：设 B 为费用，则列出分布列如下：
B
0 2000 6000
P 0.74 0.25 0.01
所以 E B 0 0.74 2000 0.21 6 10 4 0.01 500 620 1120
C 方案：设 C 为费用，则列出分布列如下：
C 0 1000 60000
P 0.74 0.25
0.01
所以 E c 0 0.74 104 0.25 6 10 4 0.01 3100
故 : 方案 A 的费用 >方案 C 的费用 >方案 B 的费用所以采用方案 B。
六、综合算法
1.2015 年期末考试题
长时间用手机上网严重影响学生的健康，如果学生平均每周手机上网的时长超过 5 小时，则称为“过度用网” ，某校为了解A,B 两班学生手机上网的情况，分别从这两个班中随机抽取
6 名学生样本进行调查，
1 , 1 由样本数据统计得到 A,B 两班学生“过度用网”的概率分别为3 2
（1）从 A 班的样本数据中抽取 2 个数据，求恰有 1 个数据为“过度用网”的概率
（2）从 A 班， B 班的样本中随机抽取 2 名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出其分布列和数学期望 E 。
2.国家公务员考试，某单位已录用公务员5 人，已安排到 A,B,C 三个科室工作，但甲必须安
排在 A 科室，其余 4 人可以随机安排.
（1）求每个科室安排至少 1 人至多 2 人的概率；（分为 A 和非 A 两种情况，非 A 需要讨论，所
以用古典概型）
（2）设安排在 A 科室的人数为随机变量 X，求 X 的概率分布及数学期望和方差 .（分为 A 和非 A 两种情况，非 A 不再需要讨论，所以部分用二项分布）
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：概率
概率 1.（2019全国II文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只 兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A．2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 2.(2019全国III文3）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A．1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3 4．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7 5．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 6．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 7．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 8．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰 好选中2名女生的概率为 ． 9．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 10．（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个 数x ，则x D ∈ 的概率是 ． 11．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 12．（2018天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 13．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元， 售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求
概率论与数理统计知识点总结!
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ： “每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444 443==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 36424)(1== ∴A P A 2所含样本点数： 363423=??C 16 9 6436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3 =?C 16 1644)(3== ∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0
P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3： P （A ）=1－P （A ） 推论4：若B ?A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）： 对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律： n n A A A A A A ???=???......2121 n n A A A A A A ???=??? (2121) §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式：P(A/B)= )()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= ) () (A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ） 有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。 全概率与逆概率公式： 全概率公式： ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式： ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = （注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。） §1.5 独立试验概型 事件的独立性： )()()(B P A P AB P B A =?相互独立与 贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本P24 另两个解题中常用的结论—— 1、定理：有四对事件：A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ，如果其中有一对相互 独立，则其余三对也相互独立。 2、公式：)...(1)...(2121 n n A A A P A A A P ???-=??? 第二章 随机变量及其分布
最新高中概率高考真题总结
全国各地高考及模拟试卷试题分类----------概率 选择题 1．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 （ B ） A ． 12 1 B ． 2 1 C ． 6 1 D ． 3 1 2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概 率是 （ D ） A ． 45 2 B. 15 2 C. 3 1 D. 15 7 3．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是 21,p p ,那么至少有1人解对的概率 是 （ D ） A. 21p p + B. 21p p ? C. 211p p ?- D.)1()1(121p p -?-- 4．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率 是 ( B ) A. 51 B. 52 C. 53 D. 5 4 5．有2n 个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和 为偶数的概率是 （ C ） A 、 12 B 、12n C 、121n n -- D 、121 n n ++ 6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名 女生的概率是 （ C ） A ． 45 2 B ． 15 2 C ． 15 7 D ． 3 1 7．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色 外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的 （ B ） A ． 5 1 B ． 1009 C ．100 1 D ． 5 3 8．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A 中任取一个元素 用a i (i=1，2，3，4，5)表示，在B 中任取一个元素用b j (j=1，2，3，4，5)表示，则 所取两数满足a i >b I 的概率为（ B ）
最新统计概率文科题型总结
精品文档 统计和概率高考题型总结 题型一、频率分布直方图 1.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计， 随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： （Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值； （Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 [25,30)内的概率. 题型二、古典概型 2.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： （I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值； (Ⅱ)在（I ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 题型三、回归方程 3.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5
精品文档 （I ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，求事件“，均小于25”的概率； （II ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程???y bx a =+； （III ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方 程是可靠的，试问（II ）所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式：回归直线方程式???y bx a =+，其中1 2 2 1 ???,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑） 题型四、独立性检验 4. 为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表： （1（2(参考公式：2 () ()()()() n a d b c K a bc d a cb d -=+ +++，其中na b cd =+++ ) 题型五、茎叶图 5.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量它们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图所示。 甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 （1） 根据茎叶图判断哪两个班的平均身高较高； （2） 计算甲班的样本方差； （3） 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率。 题型六、分层抽样 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1） 求x 的值；
概率知识点总结及题型汇总-统计概率知识点总结
概率知识点总结及题型汇总 一、确定事件：包括必然事件和不可能事件 1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。 2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。这是不可能事件。 3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 二、随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。 三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？ ①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破； ②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上； ④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达． 解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①② 三、概率 1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性 都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = m n ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
概率论中几种具有可加性的分布及其关系
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 几种常见的具有可加性的分布 (1) 1.1 二项分布 (2) 1.2 泊松分布（Possion分布） (3) 1.3 正态分布 (4) 1.4 伽玛分布 (6) 1.5 柯西分布 (7) 1.6 卡方分布 (7) 2 具有可加性的概率分布间的关系 (8) 2.1 二项分布的泊松近似 (8) 2.2 二项分布的正态近似 (9) 2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3 小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)
概率论中几种具有可加性的分布及其关系 概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数 Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship with Additive Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of https://www.360docs.net/doc/a21567154.html,bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function 引言 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1 几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式 设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示
概率专题历年高考真题汇总.docx
概率专题历年高考真题汇总（小题） 1.（ 2013 ·新课标Ⅰ， 3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生 进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况 差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()． A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D ．系统抽样 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．故选 C. 2. （ 2017 ·新课标Ⅱ， 6）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12 种B． 18 种C． 24 种 D ．36 种 【答案】 D 解析：解法一：将三人分成两组，一组为三个人，有 3 6 种可能，另外一组从三人在选调一人，A3 有 C31 3 种可能；两组前后在排序，在对位找工作即可，有A22 2 种可能；共计有 36 种可能 . 解法二：工作分成三份有C42 6 种可能，在把三组工作分给 3 个人有 A33 6 可能，共计有 36 种可能 . 3.（ 2018 ·新课标Ⅱ，理 8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫 猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 723 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是（） A ．1 B ． 1 C． 1 D． 1 12141518 【答案】 C 解析： 30 以内的素数有 10 个，满足和为30 的素数对有 3 对，概率为 331 2 45 ，选 C. C1015 4.（2017·新课标Ⅰ， 2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则 此点取自黑色部分的概率是（） A．1 B． π C． 1 D． π4824 【答案】 B 解析：设正方形边长为 2 ，则圆半径为 1 ，则正方形的面积为 2 2 4 ，圆的面积为π12π，图ππ 2π，故选 B ； 中黑色部分的概率为，则此点取自黑色部分的概率为 248 【解题技巧】解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．几何概型计算公式：P(A)构成事件 A的区域长度 ?面积或体积 ? ＝试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积 ?。 5.(2018 新·课标Ⅰ，理 10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三
概率统计大题总结
概率与统计大题总结 一、 知识点汇编： 1.线性回归分析 （1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． （2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： 回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R 2，选择R 2大的模型作为这组数据的模型． 说明：r 只能用于线性模型，R 2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，2 2 =R r . 3、独立性检验 （1）对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别，像这类变量称为分类变量． （2）假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}11x ,y 和{}12y ,y 其样本频数列联表
称为 y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d （3）构造随机变量()()()()()() 2 2 +++-= ++++a b c d ad bc K ,a b c d a c b d 利用K 2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为 如：如果k ＞7.879，就有99.5％的把握认为“X 与Y 有关系”. 4、概率 事件的关系： ⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ?（或B A +） ； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ?（或 AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥；
概率统计常见题型及方法总结
常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 i A ”可以导致 B 这 个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因 i A 的概率问题 全概率公式：()()() 1 B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式： 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑｜｜ 一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球，2分 则 b a a B P += )(1，2分 111++++ ++++=b a a b a b b a a b a a b a a +=2分 依次类推2分 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？ 、解记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++，()1P A B =，()1 2r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品 进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。 解设A 表示“任取一件产品被检验为正品”，B 表示“任取一件产品是正品”，则 ()96100P B = ，()4100 P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B =
2019年高考专题：概率与统计试题及答案
2019年高考专题：概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为70÷ 100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，解得1 5 n = ，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ． 2 3 B ． 35 C ．25 D ． 1 5 【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ， 则从这5只中任取3只的所有取法有 {,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ， 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为 63 105 =，故选B ．
概率统计大题题型总结(理)学生版
统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t
(最全)高中数学概率统计知识点总结
概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+= ++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数：1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ()() ()() ()() n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i x x y y x y nx y r x x y y x x y y ======---?∑∑= = ----∑∑∑∑ 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 1x 2x 合计 1y a b a b + 2y c d c d + 合计 a c + b d + n
概率高考题(理科)
1某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16 ．甲、乙、丙三位 同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么 . 216 25 )65(61)()()()(,6 1 )()()(2=?==??= ==C P B P A P C B A P C P B P A P 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 216 25 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3。 的分布列为 所以中奖人数ξξ. 3,2,1,0,)6 5 ()61()(343===-k C k P k k ξ 0 1 2 3 P 216 125 7225 72 5 216 1 . 21 216137252722512161250=?+?+?+?=ξE 2如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过 T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ； （Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率； （Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望． ）解：
记A 1表示事件，电流能通过.4,3,2,1,1=I T A 表示事件：321,,T T T 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过。 （I ）321321,,,A A A A A A A ??=相互独立， .)1()()()()()(3321321p A P A P A P A A A P A P -==??= 又,001.0999.01()1)(=-=-=P A P 故.9.0,001.0)1(2==-p p （III ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立。 故)9.0,4(~B ξ .6.39.04=?=ξE 3 设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望． 解：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了． （Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =?-+-?0.20.30.5=+= （Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---= （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3． 033(0)(10.8)0.008P C ξ==?-= 1 23(1)(10.8)0.80.096P C ξ==?-?= 223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==?-?= 3 33(3)0.80.512P C ξ==?= ξ的分布列为
概率论中几种常用重要分布
概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值
统计与概率高考真题试题
统计与概率高考真题练习 1.（2014全国1） (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<； （ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表 示这100件产品中质量指标值为于区间（,）的产品件 数，利用（i ）的结果，求EX . 2.（2014全国2）（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y （Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣． 3.（2015全国1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 x y w 821()i i x x =-∑ 821()i i w w =-∑ 81()()i i i x x y y =--∑ 81()()i i i w w y y =--∑ 563 1469
统计概率知识点归纳总结大全
统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.