空间角及其求法
空间角及其求法张玉洪异面直线所成角直线与平面所成二面角
图
示
定义在空间任取一点o，分
别作a，b的平行线，
从而形成的的锐（角）
叫作异面直线所成角。
斜线与它在平面
内的射影所成的
锐角。
从一条直线引出的两个半平面所
组成的图形叫做二面角。
表
示
异面直线a、b所成角线a与平面所成角
范
围
备
注
平移、妙选顶点找射影、二足相连用什么度量？
一.用定义求空间角的步骤
1.作出所求的空间角<定位>
2.证明所作的角符合定义<定性>
3.构造三角形并求出所要求角<定量>
简言之，空间角的求解步骤为：“一作”、“二证”、“三算”
二典例分析
例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM 和CN所成角。
解析：
途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△D1EF即可。
途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△ＮＧＣ即可。
方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。
例2.如图棱长是1的正方体，p、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足.
（1）求证：A1p⊥平面AQD；
（2）求直线pQ与平面AQD所成角的正弦值.
解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1p ⊥面AQD，
设A1p交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知
即为所求角，只需解三角形SpQ即可。
方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。
例3. 在四棱锥p-ABCD中，已知ABCD为矩形，pA ⊥平面ABCD，设pA=AB=a，BC=2a，求二面角B-pC-D的大小。
解析1.定义法过D作DE ⊥pC于E，过E作EF ⊥pC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-pC-D的平面角。求解二面角B-pC-D的大小只需解△DEF 即可。
解析2.垂面法易证面pAB⊥面pBC，过A作AM ⊥Bp于M，显然AM ⊥面pBC，从而有AM ⊥pC，同法可得AN ⊥pC，再由AM与AN相交与A得pC ⊥面AMN。设面AMN交pC于Q，则为二面角B-pC-D的平面角；再利用三面角公式可解。
解析3.利用三垂线求解把四棱锥p-ABCD补成如图的直三棱柱pAB-EDC，显然二面角
E-pC-D与二面角D-pC-B互补，转化为求二面角E-pC-D。
易证面pEDA ⊥pDC，过E作EF ⊥pD于F，显然pF ⊥面pDC，在面pCE内，过E 作EG ⊥pC于G，
连接GF，由三垂线得GF⊥pC 即为二面角E-pC-D的平面角，只需解△EFG即可。
解析4. 射影面积法由解析3的分析过程知，△pFC为△pEC在面pDC上的射影，由射影面积公式得，余下的问题比较容易解决！
解析5.在面pDC内，分别过D、B作DE ⊥pC于E，BF ⊥pC于F，连接EF即可。
利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可。
方法提炼3.求二面角的方法比较多，常见的有：
（1）定义法在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１
（2）三垂线求解在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２
（3）垂面法在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３
图示
A．定义法（点在棱上）B.三垂线定理（点在面内） C.垂面法（点在空间内）
（4）射影面积法利用射影面积与斜面的关系求解如图所示，射影DDBC、斜面△ABC
与两面所成的二面角q之间有：
（5）空间余弦定理运用公式
求解，如例3解析5
六.针对训练
针对训练1. 已知正方体中，E、F分别是棱、的中点。求EF与AD所成角的大小为__________，与平面所成角为______________。
针对训练2. 已知二面角a－l－ b ，A为面a内一点，A到b 的距离为 2 ，到l的距离为4。求二面角a－l－b 的大小。
针对训练3 . 如图，三棱锥p-ABC的顶点p在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若pB=AB=1，BC=，求二面角p-AB-C的正切值。
针对训练4. 如图p为二面角α–ι–β内一点，pA⊥α, pB⊥β,且pA=5，pB=8，AB=7，求这二面角的度数。
针对训练5 在直角坐标系中，设A （－2 , 3 ）、B（3 ，－2 ），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后,，则的值为。
七.专题总结
本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：
线线角，用平移，妙选顶点，
线面角，作射影，二足相连。
二面角，求法多，空间余弦，
用定义，三垂线，射影垂面。
熟化归，解三角，算准结果，
作证求，三环节，环环相扣。
求解的基本思路为：
八.课外作业
1.如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，
∠CBD=30°. （2003 年南京市高三第三次质量检测卷数学-18）
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求二面角D—AB—C的大小；（Ⅲ）求异面直线AC和BD所成的角.
2.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G 是EF的中点，（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的正弦值.
（Ⅲ）求二面角B—AC—G的大小（唐山市03 ~ 04年度高三摸底考试－18）
3如图，四棱锥p—ABCD中，侧面pDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，且ABCD为菱形. （1）求证：pA⊥CD；
（2）求异面直线pB和AD所成角的余弦值；
（3）求二面角p—AD—C的正切值.
（山东济南市2004年1月高三统一考试-数学（文）－20）
空间角的求法
空间角的求法 一、异面直线所成角的求法 平移法 常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点）；补形平移法。“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 （1）直接平移法 例1 如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的正切值。（ 5 2 4） （2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 例2 设S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值。（5 10） （3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。 例3在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1CC 的中点，求直线AC 与ED 1所成角的余弦值。（ 5 10 ） B M A N C S
二、线面角的三种求法 1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB 的中点，求：（1）BC 与平面SAB 所成的角；（60°） （2）SC 与平面ABC 所成的角。（ 7 7 ） （“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线。作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2.利用公式l h = θsin ：其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，l 是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中AB=3，BC=2，A 1A= 4，求AB 与面AB 1C 1D 所成的角的正弦值。（ 5 4） 3.利用公式21cos cos cos θθθ?= ：如图，若OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，1θ为OA 与OB 所成的角，即 B M H S C A A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 2 3 B A D
三个空间角公式
三个空间角公式 1.三余弦定理的基础知识 三余弦指的是空间中的三个角的余弦值，在上方链接投影法求一面直线夹角中，三个角分别为直线l1与特定平面所成的夹角θ1,直线l2与特定平面所成夹角θ2，两条直线在特定平面上投影的夹角为α，此时两条异面直线的夹角余弦值公式为： cosX=cosαcosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2，关于该公式的证明自己查看上述链接即可。 在这个异面直线夹角余弦值的公式中，两条直线异面且不在同一个特定平面内，若其中一条直线不在平面内且另外一条直线在平面内，此时在平面内的那条直线与平面的夹角θ2就是0，所以正弦值也为0，余弦值为1，此时公式为
cosX=cosαcosθ1，这就是典型的三余弦定理的公式，一定要知道该公式是怎么来的，图示如下图所示： 从公式中知道需要有三条线，这三条线形成三个角，三个角又形成三个面，我们求得就是与这三个角有关的内容，这三条线分别为平面内的一条线，平面外的一条线与该直线在平面内的射影，这么一看是不是和三垂线定理一样，没错，如果把平面内的一条直线与平面外直线的射影垂直，那么利用这个公式就能判定斜线和平面内的直线夹角为90°。 2.三余弦定理在求直线夹角中的应用 这个公式更多应用在求异面直线夹角的余弦值当中，在同一个面中直接利用三角函数求更容易，因此三余弦定理在高中立体几何中的应用更多体现在异面直线夹角和所推广开的二面角中，有关三余弦定理在异面直线中的应用可参考链接中的这个典型题目：
例1：如下图中正方体中，点M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，点P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM之间所成角的余弦值 解析：点P为A1B1上运动，无论点P在哪个位置，OP在左侧面上的投影均为O'A1,此时发现AM和O'A1之间的夹角为90°，所以此时直线OP和AM 所成角的余弦值就等于OP与左侧面夹角的余弦值，考虑到AM就在左侧面上，所以AM与左侧面的夹角为0，正弦值也为0，所以可知异面直线OP和AM之间夹角的余弦值等于0，所以两条直线的夹角为90°。 第二题是一道看似简单但很容易做错的题目，根据已知的条件，AB=√3,BC’=4,在三角形ABC'中直接利用余弦定理可得到：
空间角的几何求法
空间角的几何求法 一、 异面直线所成角（线线角）范围： (0, ]2 π θ∈ 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。 【典例分析】 例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； 【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。 二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2 π θ∈ 【典例分析】 例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°， A 1A =4，C 1C =1，A B =B C =B 1B =2． （1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ； （2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； 1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB
例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD ； (2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。 【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点， 且AC BC a ==，π02VDC θθ? ?=<< ?? ?∠． （1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π 6 ． 三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈ （1）定义法：当点A 在二面角α-λ-β的棱λ上时，可过A 分别在α、β内作棱λ的 垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （2）三垂线法：当点A 在二面角α-λ-β的一个面α内时，可作AO ⊥β于O ， 再作OB ⊥λ于B ，连结AB ，由三垂线定理可得AB ⊥λ， 故∠ABO 即为二面角α-λ-β的平面角。 （3）垂面法：当点A 在二面角α-λ-β内时，可作AB ⊥α于B ，AC ⊥β于C ， 设1过AB 、AC 的平面与λ交于点O ，连结OB 、OC ，可证平面， ABOC 是λ的垂面，则λ⊥OB ，λ⊥OC ，∠BOC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （4）射影面积法：原 射影S cos S = α 【典例分析】 l a b c Ｖ A Ｃ Ｂ
空间角及其求法
空间角及其求法张玉洪异面直线所成角直线与平面所成二面角 图 示 定义在空间任取一点o，分 别作a，b的平行线， 从而形成的的锐（角） 叫作异面直线所成角。 斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。 从一条直线引出的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。 表 示 异面直线a、b所成角线a与平面所成角 范 围 备 注 平移、妙选顶点找射影、二足相连用什么度量？ 一.用定义求空间角的步骤 1.作出所求的空间角<定位> 2.证明所作的角符合定义<定性> 3.构造三角形并求出所要求角<定量> 简言之，空间角的求解步骤为：“一作”、“二证”、“三算” 二典例分析 例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM 和CN所成角。 解析： 途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△D1EF即可。 途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△ＮＧＣ即可。 方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。 例2.如图棱长是1的正方体，p、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足. （1）求证：A1p⊥平面AQD； （2）求直线pQ与平面AQD所成角的正弦值.
解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1p ⊥面AQD， 设A1p交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知 即为所求角，只需解三角形SpQ即可。 方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。 例3. 在四棱锥p-ABCD中，已知ABCD为矩形，pA ⊥平面ABCD，设pA=AB=a，BC=2a，求二面角B-pC-D的大小。 解析1.定义法过D作DE ⊥pC于E，过E作EF ⊥pC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-pC-D的平面角。求解二面角B-pC-D的大小只需解△DEF 即可。 解析2.垂面法易证面pAB⊥面pBC，过A作AM ⊥Bp于M，显然AM ⊥面pBC，从而有AM ⊥pC，同法可得AN ⊥pC，再由AM与AN相交与A得pC ⊥面AMN。设面AMN交pC于Q，则为二面角B-pC-D的平面角；再利用三面角公式可解。 解析3.利用三垂线求解把四棱锥p-ABCD补成如图的直三棱柱pAB-EDC，显然二面角 E-pC-D与二面角D-pC-B互补，转化为求二面角E-pC-D。 易证面pEDA ⊥pDC，过E作EF ⊥pD于F，显然pF ⊥面pDC，在面pCE内，过E 作EG ⊥pC于G， 连接GF，由三垂线得GF⊥pC 即为二面角E-pC-D的平面角，只需解△EFG即可。
空间角的求法
P C D B A 空间角的求法 空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。 空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。 异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法 【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =， 1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。 【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。 CE BD ==PE =∴由余弦定理得 222c o s 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==? ∴PC 与BD 所成角的余弦值为 6 3 （二）补形法 【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值。 【答案】125 A 1 C 1 C B A B 1 D
直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影） 【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。 【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。 AB BC CA ==，所以CD AB ⊥ 90,60APB PAB ∠=∠= ，所以PAD ?为等边三角形。 不妨设2PA =，则1, 4OD OP AB == = CD OC ∴== = 在Rt OCP ? 中，tan 13OP OCP OC ∠=== 【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。 2AB BC ==，1CD SD ==，求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 【解】由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE 作SF DE ⊥ ，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，2 SD SE SF DE ?== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则1FG DC == 连结SG ，则SG BC ⊥，又BC FG ⊥，SG FG G = 故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 7SF FG FH SG ?= =，即F 到平面SBC 的距离为7 由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d 也为 7 设AB 与平面SBC 所成的角为α ，则sin 7d EB α= =，则arcsin 7 α=
空间角的求法
空间角求法 空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想. ●锦囊妙计 空间角的计算步骤：一作、二证、三算 1.异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法. 2.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影. 3.二面角 方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=S cosθ来计算 ［例1］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点. (1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角； (4)求面B′EDF与面ABCD所成的角. 命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目. 知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角. 错解分析：对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面. 技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法. 1二面角α-l-β内有一点P，若P到面αβ的距离分别为5,8且P在面αβ内的射影的距离为7，则二面角α-l-β的度数是 解：设P在平面α，β的内的射影分别为A和B， 过A作α与β交线的垂线，垂足为C，连接BC， ∵PA=5，PB=8，AB=7， ∴cos∠APB= 1／2即∠APB=60° 而∠ACB即为二面角α-l-β的平面角， ∵∠ACB与∠APB互补， ∴∠ACB=120°， 故选C．
空间角的求法
空间角的求法 （1）定义法:求解空间角的大小，一般都是根据有关角的定义（如异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角），把空间角转化为平面角来求解的。 例1、如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-中，O是底面ABCD的中心，E、 F分别是 1 CC、AD的中点，那么异面直线OE和 1 FD所成的角的余弦值等于（） A、 5 10 B、 5 15 C、 5 4 D、 3 2 解：（方法一）如图2，取 1 1 C D的中点M，连结MO O为底面中心，∴O为BD中点，从而FO为DAB ?的中位线 M D AB FO 1 // 2 1 // ∴，∴四边形FOM D 1 为平行四边形 F D MO 1 // ∴，故MOE ∠（或其补角）即为异面直线F D 1 和OE所成的角。 在MOE ?中，2 ,5 1 22 1 = = + = =ME F D OM OE3 )2 ( 12 2 2= + = + =OC EC由余弦定理得： 5 15 3 5 2 2 3 5 2 cos 2 2 2 = ? ? - + = ? - + = ∠ OE OM ME OE OM MOE故选B （方法二）如图3，取C D 1 的中点N，连结NF、N D 1 ，易知NF//EO，FN D 1 ∠ ∴（或其补角）即为异面直线F D 1 和OE所成的角。 在FN D 1 ?中，3 ,2 2 1 ,5 1 1 1 = = = = =OE NF C D N D F D，由余弦定理得： 5 15 3 5 2 2 3 5 2 cos 1 2 1 2 2 1 1 = ? ? - + = ? ? - + = ∠ NF FD N D NF FD FN D故选B A 1 图1 C A 1 图2 A 1 A 1 D
空间的角的求法
空间角的求法 求空间角的一般步骤是：（一“作”；二“证”；三“求”）即(1)找出或作出有关的图形;(2)证明此角为所求角;(3)计算。 一、异面直线所成的角 定义：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ,分别引直线'a ∥a ，'b ∥b .我们把直线'a 和' b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角。异面直线所成角的范围是（00 ，0 90] 方法：①平移法 ②割补法。 线线角抓平行线，使之成为相交直线所成的角将空间角转化为平面角。. 例1．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AB =AA 1=2cm ， AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值. 例2．(2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA= 90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________ 例3．点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是 。 例4．如下图所示，在直三棱柱ABC －111C B A 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． (1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1；(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值 二、斜线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。范围：（0， 2 π ） 线面角抓面垂线（射影）。要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。斜线与平面所成的角求法：定义法 例1．已知四面体ABCD 的各棱长均为a ，E 是AD 边的中点，连结CE ，求CE 与底面BCD 所成角的正弦值。 例2. 例2、（1）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60O 的角，且b 与a 在α内的射影成45 O 的角时，a 与α所成的角为( B ) (A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O （2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===， M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．（45°） 三、二面角大小：二面角的范围： ；作二面角的平面角的常用方法：①点P 在棱上——定义法； ②点P 在一个半平面上——垂线法；③点P 在二面角内——垂面法 []π ,
空间角的概念与计算
空间角的概念与计算 在几何学中，角是一个基本的概念，用于描述物体之间的相对方向。而空间角则是在三维空间中描述物体之间方向关系的重要指标。本文 将介绍空间角的概念及其计算方法。 一、空间角的概念 空间角是用来描述三维空间中两个矢量之间的夹角关系。在二维空 间中，我们可以通过一条射线和一条直线之间的夹角来描述角度，而 在三维空间中，空间角则需要考虑更多的因素。 具体而言，对于任意两个非零矢量a和b，它们之间的空间角被定 义为它们的夹角θ，满足0 ≤ θ ≤ π。其中，θ=0时表示a和b共线， θ=π/2时表示a和b正交，θ=π时表示a和b反向。 二、空间角的计算 1. 余弦定理计算空间角 余弦定理是空间角计算中常用的方法之一。对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系： cosθ = (a·b) / (|a|·|b|) 其中，·表示矢量的点积，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长。通过 求解上式，我们可以得到空间角θ的值。 2. 向量叉积计算空间角
另一种常用的空间角计算方法是利用向量的叉积。对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系： sinθ = |a×b| / (|a|·|b|) 其中，×表示矢量的叉积。通过求解上式，我们可以得到空间角θ的正弦值，进而计算出空间角的值。 三、实例演示 下面通过一个实例来演示如何计算空间角。 假设有两个矢量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)。我们希望计算出它们之间的空间角θ。 首先，我们可以通过求解余弦定理来计算空间角的余弦值： cosθ = (1×4 + 2×5 + 3×6) / √(1² + 2² + 3²) × √(4² + 5² + 6²) = (4 + 10 + 18) / √14 × √77 = 32 / √1078 ≈ 0.979 然后，通过反余弦函数可以求得空间角的弧度值： θ = arccos(0.979) ≈ 0.199 rad 最后，将弧度值转换为度数，即可得到空间角的度数表示： θ ≈ 0.199 × (180/π) ≈ 11.4° 因此，矢量a和b之间的空间角约为11.4°。 结论：
空间几何角度计算公式
空间几何角度计算公式 在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。 1. 点和直线的夹角 设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式： cosθ = |AB| / |OB| 其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。 2. 直线与直线的夹角 设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式： cosθ = |a·b| / (|a| |b|) 其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。 3. 平面和平面的夹角 设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：
cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|) 其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2 的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。 4. 空间向量的夹角 设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用 以下公式： cosθ = (a·b) / (|a| |b|) 其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。 以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。根据具体情况， 选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。
空间几何中的角度与距离计算
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。通过正确计算角 度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。 一、角度计算 在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。常 见的角度计算方法有以下几种： 1. 余弦定理 余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。在空间几何中，如果 已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。 余弦定理的公式如下： cos A = (b² + c² - a²) / (2bc) 其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。 2. 矢量法 矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。通过将空间中的两个 向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。常见的向量法角度计算包 括点乘法和叉乘法。 （1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它 们之间的夹角的余弦值。可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它 们之间的夹角的正弦值。可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。 3. 三角函数 在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。通过 正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。三角 函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利 用相应的三角函数公式进行计算。 二、距离计算 在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。常见的 距离计算方法有以下几种： 1. 欧几里得距离 欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。对于二维或三 维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的 差值的平方和再开方的方式得到。欧几里得距离的公式如下： d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²] 其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。 2. 曼哈顿距离 曼哈顿距离也是用于计算空间中两点距离的一种方法。它是指两点 在各坐标轴上的差值绝对值之和。曼哈顿距离的计算公式如下： d = |x₂-x₁| + |y₂-y₁| + |z₂-z₁|
空间中夹角及求法
空间中夹角及求法 1.与求夹角有关的定理 （1）等角定理 （2）最小角定理：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）三余弦公式（cos=cos θ1cos θ2） （4）斜面面积和射影面积的关系公式：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角) （5）余弦定理：bc a c b A 2cos 2 22-+=三角形中 2.空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，大体步骤为：“作、证、求”三步曲。 （1）异面直线所成的角的范围是]2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题 转化为共面问题来解决，最终通过解三角形求角 练习1..如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).6 2 (D).63 练习2.已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有 条. 练习3.异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o 角，则c 与b 所成角的范围是 . （2）直线与平面所成的角的范围是]2 ,0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 要点：确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)； c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 练习5.平面α与直线a 所成的角为 3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 练习6．PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成 角的余弦值是（ ）A. 21 B. 22 C. 33 D. 36 （4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法 D B A C α θ θ1 θ2 B 1 D 1 A D C 1 B C A 1
求空间角的常用方法
求空间角的常用方法（两课时） 张一生 1.定义法————根据定义，把空间角转化为平面角求解. 例1.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的正弦值大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离． ] 例2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值大小． 2.选点平移法——选择适当的点，通过作平行线，构造出所要求的空间角. 例3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD ＝ ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥ AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点. （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PD 与CD 所成角的正切值；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为 AQ QD 的值；若不存在，请说明理由. 3.垂线法————当已知条件中出现二面角中一个半平面内一点到另一个半平面垂线时（或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能作出这样的线），可依据三垂线定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解. 例4．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的正切． A C B D P A C D P E A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 F H G
空间角的求法
空间角的求法 一、二面角的常见求法： （1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法1、定义法： 例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1 C 1 D ！ 中，E为CC 1 中点，求截 面A 1 BD和EBD所成二面角的度数。 2、垂面法 例2如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。 3、三垂线法： 例3如图6，设正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中，E、F分别是AB、C 1 D 1 的中点。 （1）求证：A 1 、E、C、F四点共面； （2）求二面角A 1 -EC-D的大小。 4、延伸法
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D 为CC 1中点，求平面A'BD 与平面ABC 所成二面角的度数。 5、射影法 例5如图12，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成二 面角。 二、练习 1、如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,M 为棱BB 1的中点,则下列结论中错误的是 （ ） A ．D 1O ∥平面A 1BC 1 B ．D 1O ⊥平面MAC C ．异面直线BC 1与AC 所成的角为60° D ．二面角M -AC -B 为90° 【答案】D 2、已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ） A ． 14 B ．24 C ．34 D ．1 2 【答案】B. 3、如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中