二轮复习函数零点的个数问题学案(全国通用)

微专题10 函数零点的个数问题

一、知识点讲解与分析：

1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点

2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号

3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x

4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系

设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若

()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()()

,g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详见方法技巧）二、方法与技巧：

1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程

ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ??

>< ???

即可判定

其零点必在1,12??

???

中

2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理

作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关（2）方程的根：工具：方程的等价变形

作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数

缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数

（3）两函数的交点：工具：数形结合

作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。

缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x 的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7 函数的图像）

3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。三、例题精析：

例1：直线y a =与函数3

3y x x =-的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围为 ( )． A ．()2,2- B ．[]2,2- C ．[)2,+∞ D ．(],2-∞-

思路：考虑数形结合，先做出3

3y x x =-的图像，

()()'233311y x x x =-=-+，令'0y >可解得：1x <-或

1x >，

故3

3y x x =-在()(),1,1,-∞-+∞单调递增，在()1,1-单调递减，函数的极大值为()12f -=，极小值为()12f =-，

做出草图。而y a =为一条水平线，通过图像可得，y a =介于极大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得：()2,2a ∈- 答案：A

小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先分析参数所扮演的角色，然后数形结合，即可求出参数范围。

例2：设函数()()2

22ln 1f x x x x =+-+，若关于x 的方程()2

f x x x a =++在[]0,2上恰

有两个相异实根，则实数a 的取值范围是_________

思路：方程等价于：()()2

22ln 12ln 1x x x x x a a x x +-+=++?=-+，即函数y a

=与()()2ln 1g x x x =-+的图像恰有两个交点，分析

()g x 的单调性并作出草图：()'21

111

x g x x x -=-

++ ∴令()'0g x >解得：1x > ()g x ∴在()0,1单调递

减

，

在

()

1,2单调递增，

()()()112ln2,00,222ln3g g g =-==-，由图像可得，水平线y a =位于()()1,2g g 之

间时，恰好与()g x 有两个不同的交点。 ∴12ln222ln3a -<≤- 答案：12ln222ln3a -<≤-

小炼有话说：（1）本题中的方程为()2

22ln 1x x x x x a +-+=++，在构造函数时，进行

了x 与a 的分离，此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像由于不含x 所以为一条水平线，便于上下平移，进行数形结合。由此可得：若关于x 的函数易于作出图像，则优先进行参变分离。所以在本题中将方程转变为()2ln 1a x x =-+，构造函数

()()2ln 1g x x x =-+并进行数形结合。

（2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意a 能否取到边界值。例3：已知函数()()2,0

ln ,0

kx x f x k R x x +≤?=∈?

>?，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k

的取值范围是（） A. 2k ≤

B. 10k -<<

C. 21k -≤<-

D.2k ≤-

思路：函数()y f x k =+有三个零点，等价于方程()f x k =-有三个不同实数根，进而等价于()f x 与y k =-图像有三个不同交点，作出()f x 的图像，则k 的正负会导致()f x 图像不同，且会影响y k =-的位置，所以按0,0k k ><进行分类讨论，然后通过图像求出k 的范围为2k ≤-。

答案：D

小炼有话说：（1）本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。

（2）本题所求k 在图像中扮演两个角色，一方面决定()f x 左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的位置与x 轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。例4：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)()1,3,ln x f x x ∈=，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（）

A ．ln 31,3e ??

???

B. ln 31,93e ?? ??? C ．ln 31,92e ?? ??? D ．ln 3ln 3,93??

??? 思路：()()()33x f x f x f x f ??=?=

???Q ，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ??

== ?

，所以

()ln ,13ln ,393

x x f x x x ≤

=?≤

个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：

ln31

93a e

答案：B

小炼有话说：本题有以下两个亮点。（1）如何利用 ()3x f x f ??

???

，已知[)()1,3,x f x ∈的解析式求[)()3,9,x f x ∈的解析式。

（2）参数a 的作用为直线y ax =的斜率，故数形结合求出三个交点时a 的范围

例5：已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00,Y 上的偶函数，当0>x 时，

()?????>-≤<-=-2,22

0,12)(|1|x x f x x f x ，则函数1)(4)(-=x f x g 的零点个数为（）

A ． 4

B ．6

C ．8

D ．10

思路：由()f x 为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当

(]0,2x ∈时，可以利用2x y =利用图像变换作出图像，2x >时，()()1

f x f x =

-，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出(]2,4，(]4,6，……的图像，()

g x 的零点个数即为()14f x =根的个数，即()f x 与14

y =的交点个数，观察图像在0x >时，有5个交点，根据对称性可得0x <时，也有5个交点。共计10个交点

答案：D 小炼有话说：

（1）()()1

f x f x =

-类似函数的周期性，但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可（2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期，在图像中要准确标出，便于数形结合。

（3）巧妙利用()f x 的奇偶性，可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时，只需分析正半轴的情况，而负半轴可用对称性解决

例6：对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()1

242

x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范

围是（）

A.11m ≤≤+

B. 1m -≤≤

C. m -≤≤

D. 1m -≤≤ 思路：由“局部奇函数”可得： 2

2422342230x

x m m m m ---?+-+-?+-=，整理可

得：(

)()2

260x x

m m

--+-++-=，考虑到()

x --+=+-，从而可将

22x x -+视为整体，方程转化为：()()2

222222280x x x x m m --+-++-=，利用换元设

22x x t -=+（2t ≥），则问题转化为只需让方程222280t mt m -+-=存在大于等于2的解

即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设()2

2280g t t mt m =-+-=。

（1）若方程有一个解，则有相切（切点x m =大于等于2）或相交（其中交点在2x =两侧），即0

2m ?=??

≥?

或()20g ≤

，解得：m =

11m ≤≤+（2）若方程有两解，则()0

202

g m ?>??

≥??>?

，解得：1112m m m m m ?-<??

综上所述：1m ≤≤答案：A

小炼有话说：本题借用“局部奇函数”概念，实质为方程的根的问题，在化简时将22x

-+视

为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于22x x -+的二次方程，将问题转化为二次方程根分布问题，进行求解。

例7：已知函数()y f x =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，

()()'0f x f x x +

>，则关于x 的函数()()1

g x f x x

=+的零点的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2

思路：()()()()()()'

000xf x f x xf x f x f x x x x

++>?>?>，结合()

g x 的零点个数即为方程()1

0f x x

=，结合条件中的不等式，可将方程化为()10xf x +=，可设()()1h x xf x =+，即只需求出()h x 的零点个数，当 0x >时，()'0h x >，即()h x 在

()0,+∞上单调递增；同理可得：()h x 在(),0-∞上单调递减，()()min 01h x h ∴==，故

()()010h x h ≥=>，所以不存在零点。

答案：A 小炼有话说：

（1）本题由于()f x 解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决。（2）所给不等式()()

0f x f

x x

>呈现出()f x 轮流求导的特点，猜想可能是符合导数的乘法法则，变形后可得

()()'

0xf x x

>，而()g x 的零点问题可利用方程进行变形，从而与条件中

的()xf x 相联系，从而构造出()h x

例8：定义域为R 的偶函数()f x 满足对x R ?∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()2

21218f x x x =-+-，若函数()()

log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点，

则a 的取值范围是（）

A. 2??

??? B. ? ?? C. ? ?? D. ? ??

思路：()()()21f x f x f +=-体现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差()1f ，联想到周期性，考虑先求出()1f 的值，由()f x 为偶函数，可令1x =-，得()()()111f f f =--

()10f = ()()2f x f x ∴+=， ()f x 为周期是2的周期函数。已知条件中函数()()log 1a y f x x =-+有三个零点，可将零点问题转化为方程()()log 10a f x x -+=即

()()log 1a f x x =+至少有三个根，

所以()f x 与()log 1a y x =+有三个交点。先利用()f x 在[]2,3x ∈的函数解析式及周期性对称性作图，通过图像可得：1a >时，不会有3个交点，考虑01a <<的

图

像

。

设

()log a g x x

=，则

()()log 11a y x g x =+=+，利用图像变换作图，通

过观察可得：只需当2x =时，()

log 1a y x =+的图像

在

()

f x 上方即可，即

()()2log 2122log 32log a a a f a -+>=-?>-= 所以

213

303

a a >?<< 答案：B

小炼有话说：本题有以下几个亮点：

（1）()f x 的周期性的判定： ()()()21f x f x f +=-可猜想与()f x 周期性有关，可带入特殊值，解出()1f ，进而判定周期，配合对称性作图

（2）在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择能够做出图像的函数，例如在本题中，

()f x 的图像可做，且()log 1a y x =+可通过图像变换做出

例9：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当(]1,3x ∈-时，

()(]()(]

21,1,112,1,3x x f x t x x ?-∈-?=?

--∈??，其中0t >，若方程()3f x x =恰有三个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（）

A. 40,3?? ??

? B. 2,23

?? ???

C. 4,33

?? ???

D. 2,3

??+∞ ???

思路：由

()()

2f x f x +=-可得

()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4，所

解方程可视为()y f x =与()3

g x =

的交点，而t 的作用为影响()

12y t x =--图像直线的斜率，也绝对此段的最值（max y t =），先做出3

y =

的图像，再根据三个交点的条件作出()f x 的图像（如图），可发现只要在2x =处，()f x 的图像高于()g x 图像且在6

x =处()f x 的图像低于()g x 图像即可。所以有()()()()

6622f g f g

>??(6)(2)2

2(2)3f f t f t ==

=>??

，即2

t << 答案：B

例10：（2014甘肃天水一中五月考）已知函数()()sin 1,0

2log 0,1,0a

x x f x x a a x π???

-≠>? 的图像上

关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）

A. 50,5?? ???

B. 5,15?? ???

C. 3,13?? ???

D. 30,3??

???

思路：考虑设对称点为00,x x -，其中00x >，则问题转化为方程()()00f x f x =-至少有三个解。即

sin 1log 2

a x x π??

--= ???

有三个根，所以问题转化为()sin 12

g x x π

??=-

- ???与()log a h x x =有三个交点，先做出sin 12

y x π??

=-- ???

的图像，通过观察可知若log a y x =与其有三个交点，则01a <<，进一步观察图像可得：只要

()()55g h <，则满足题意，所以

511sin 1log 52log 5log log 552

a a a a a a π??

-- ???

，所以55a <

答案：A

三、近年模拟题题目精选：

1、已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈

时，()f x =

(1,3)-内，

关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围是( )．

A ．104k <≤

或k =．1

04k <≤

C ．104k <<

或k =．1

k <<

2、（2014吉林九校联考二模，16）若直角坐标平面内A,B 两点满足条件：①点,A B 都在函数()f x 的图像上；

点,A B 关于原点对称，则称(),A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”（(),A B 与(),B A 可看作同一点对），已知()22,0

2,0x x x x f x x e

=?≥??，则()f x 的“姊妹点对”有______

个

3、（2015，天津）已知函数()()2

2,2,

2,2,x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（）

A. 7,4??

+∞

??? B. 7,4?

?-∞ ??? C.

70,4?? ??? D. 7,24??

???

4、（2015，湖南）已知()3

2,,x x x a

f x x a

?≤?=?>??，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个

零点，则a 的取值范围是______

5、（2014，新课标全国卷I ）已知函数()3

31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，

且00x >，则a 的取值范围是（）

A. ()2,+∞

B. ()1,+∞

C. (),2-∞-

D. (),1-∞- 6、（2014，山东）已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（）

A. 10,2?

? ??

? B. 1,12?? ???

C. ()1,2

D. ()2,+∞ 7、（2014，天津）已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是_________

8、（2015，江苏）已知函数()()20,01

ln ,42,1

x f x x g x x x <≤??==?-->??，则方程()()1

f x

g x +=实根的个数为__________

9、已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x > ，则a 的取值范围是（）

A. ()2,+∞

B. ()1,+∞

C. (),2-∞-

D. (),1-∞- 10、对于函数()(),f x g x ，设(){}(){}

|0,|0m x f x n x g x ∈=∈=，若存在,m n 使得

1m n -≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”

，若函数()()12log 1x

f x x e -=+-与()23

g x x ax a =--+互为“零点关联函数”

，则实数a 的取值范围是（） A. 72,3?????? B. 7,33??

???? C. []2,3 D. []2,4

11、已知偶函数()f x 满足对任意x R ∈，均有(1)(3)f x f x +=-且

2(1),[0,1]

()1,(1,2]

m x x f x x x ?-∈=?

-∈?，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则实数m 的取值范围是 .

12、（2016，河南中原第一次联考）已知函数()cos2sin f x x a x =+在区间()()

0,n n N π*∈内恰有9个零点，则实数a 的值为________

13、（2014，四川）已知函数()2

1,,, 2.71828x

f x e ax bx a b R e =---∈=L 为自然对数的

底数

（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值（2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围

习题答案： 1、答案：B

解析：根据周期性和对称性可作出()f x 的图像，直线()()f x kx k k R =+∈过定点()1,0-

结合图像可得：若(1,3)-内有四个根，可知10,4

k ??∈ ??

。若直线与()f x 在()2,3相切，联立

方程：230y ky y k y kx k

?=?

-+=?

=+??，令0?=

可得：6k =

，当6k =时，解得()52,3x =?，综上所述：10,4k ??

∈ ???

2、答案：2

解析：关于原点对称的两个点为(),x y 和(),x y --，不妨设0x >，则有()222x y e y x x ?=???-=--?

，从而2

22x x x e -=-

，所以“姊妹点对”的个数为方程2

22x x x e

-=-的个数，即曲线22y x x =-与2

x y e

=-的交点个数，作出图像即可得有两个交点

3、答案：D

解析：由()()2

2,2,

2,2,x x f x x x -≤??=?->??得222,0(2),0x x f x x x --≥??-=?

2,0

()(2)42,

0222(2),2

x x x y f x f x x x x x x x ?-+

=+-=---≤≤??--+->?，即222,0()(2)2,

0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+

=+-=≤≤??-+>?

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象

的4个公共点，由图象可知

b <<. 4、答案：()(),01,a ∈-∞+∞U

解析：()()g x f x b =-由两个零点，即方程()f x b =有两个根，从而()y f x =与y b = 有两个交点。可在同一直角坐标系下作出3

,y x y x ==，观察图像可得：0a <时，水平线与

2y x =有两个交点，故符合题意；当01a ≤≤时，()f x 为增函数，所以最多只有一个零点，

不符题意；当1a >时，存在水平线与32

,y x y x ==分别有一个交点，共两个符合题意。综上所述：()(),01,a ∈-∞+∞U 5、答案：C

解析：3

331310ax x a x x -+=?=

-，令1

t x

=，依题意可知y a =与33y t t =-应在有唯一交点且位于0t >的区域。设()33g t t t =-，所以()()()'233311g t t t t =-=-+，则()g t 在()()1,0,0,1-单增，在()(),1,1,-∞-+∞单减，()()12,12g g =-=-，作出图像可知只有当2a <-时，y a =与3

3y t t =-有唯一交点，且在0t >的区域。 6、答案：B

解析：方法一：方程()()f x g x =有两个不等实根可转化为函数()y f x =与()y g x =的图像有两个不同交点，其中k 为直线的斜率。通过数形结合即可得到1,12k ??

∈ ???

方法二：本题还可以先对方程进行变形，再进行数形结合，21x kx -+=中0x =显然不是

方程的解，当0x ≠时，21x k x -+=，设()1

1,2

2131,2

x x x

h x x x x

?-≥?-+?==??-

解析：方程为：2

31x x a x +=-，1x =显然不是方程的解，所以1x ≠时，231

x x

a x +=-，

即4151a x x =-+

+-，令1t x =-，则y a =与4

5y t t

=++有4个交点即可，作出图像数形结合即可得到()()0,19,a ∈+∞U 8、答案：

解析：方程等价于()()1f x g x +=±，即()()1f x g x =-+或()()1f x g x =--共多少个

根，()2

21,0111,127,2x y g x x x x x <≤??=-=-<

()221,0113,125,2x y g x x x x x -<≤??

=--=-<

，同理可得()f x 与()1y g x =--有两个交点，所以共

计4个 9、答案：C

解析：3

13310ax x a x x

??-+=?=-+ ???，令1t x =，依题意可知3

3a t t =-+只有一个零

点0t 且00t >，即y a =与()3

3g t t t =-+只有一个在横轴正半轴的交点。()233g t t -=-+可

知()g t 在()(),1,1,-∞-+∞减，在()1,1-增，()12g -=- 作出图像可得只有2a <-时，

y a =与()33g t t t =-+只有一个在横轴正半轴的交点。

10、答案：C

解析：先从()()12log 1x

f x x e

-=+-入手，可知()f x 为单增函数，且()10f =，所以()

f x 有唯一零点1x =，即1m =；所以1102n n -≤?≤≤，即()2

3g x x ax a =--+在[]

0,2有零点。考虑方程22

301211

x x ax a a x x x +--+=?=

=++-++，即y a = 与4

121

y x x =++

-+在[]0,2有公共点即可，数形结合可得：[]2,3a ∈ 11

、答案：8448(,(,6666

++++-

-U 解析：当0m >时，方程恰有5个解?方程2

3[1(4)]m x x --=有两个解且方程

23[1(8)]m x x --=无解，

m <<；由对称性，当0m <时，方程恰有5

个解的范围是m <

837415415837

(,)(,)6666

++++-

-U 12、答案：1a =±

解析：由()0f x =，得cos2sin 0x a x +=，即2

2sin sin 1=0x a x --．设

2()2sin sin 1

g x x a x =--，令

sin t x

=，则

2()21g x t at =--．考察(0,2)x π∈的函数()g x 的零点个

数，即如下图所示为sin t x =，(0,2)x π∈的图象，易知：（1）方程2

210t at --=的一个根为1，另一个根为(1,0)-时，()g x 在(0,2)π内有三个零点，此时

211102(1)(1)10

a a ?-?-=???--?-->?，解得1a =；（1）方程2

210t at --=的一个根为－1，另一个根为(0,1)时，()g x 在(0,2)π内有三个零点，此时22(1)(1)10

21110

a a ??--?--=??-?->?，解得

1a =-．综上可知当1a =±时，()cos 2sin f x x a x =+在(0,2)π内有3个解．再由9

=可

知，236n =?=．综上可知1a =±，6n =． 13、解析：（1）()()'

2x g x f

x e ax b ==--

()'2x g x e a ∴=-

当[]0,1x ∈时，()[]'

12,2g x a e a ∈--

∴当11202

a a -≥?≤

时，()'

0g x ≥ ()g x ∴单调递增 ()()min 0g x g b ∴==-

当1120222

e a e a a -<<-?

<<时 ()g x 在()()0,ln 2a 单调递减，在()()ln 2,1a 单调递增 ()()()()min ln 222ln 2g x g a a a a b ∴==--

当202

e e a a -≤?≥

时，()'

0g x ≤

()g x ∴单调递减

()()min 12g x g e a b ∴==--

综上所述：1

a ≤

时，()()min 0g x g b ==- 122

a <<时，()()()()min ln 222ln 2g x g a a a a

b ==-- 2

a ≥时，()()min 12g x g e a

b ==--

（2）()()10,00f f ==Q 且()f x 在区间()0,1内有零点 .()f x ∴在()0,1不单调，且至少有两个极值点

()()'g x f x ∴=在()0,1至少有两个零点

由（1）可得：若12a ≤

或2

a ≥，则()g x 在()0,1单调，至多一个零点，均不符题意 122

a ∴<< ()g x ∴在()()0,ln 2a 单调递减，在()()ln 2,1a 单调递增 ()()()()ln 2022ln 2000102010g a a a a

b g b e a b g ?->????-->>??

由()10f =可得：101e a b b e a ---=?=--，代入到不等式组可得：

()()()22ln 21021101210

a a a a e a e e a a e a e a -++--??--->???

---->? 由()()110

21210e a a e a e a e a --->?>-?????<---->???

下面判断：()2,1a e ∈-时，()22ln 210a a a a e -++-<是否恒成立设()()()22ln 2132ln 21h a a a a a e a a a e =-++-=-+-

()()()'1

322ln 212ln 2h a a a a a

∴=-?

-=- 令()'

0h a >

解得：2

a <

()h a ∴在2e ?- ??单调递增，在2?? ???

单调递减

()

max 311022h a h e e ?∴==?-+-=-< ??

()()22ln 210h a a a a a e ∴=-++-<在()2,1a e ∈-时恒成立 ()2,1a e ∴∈-

新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之

新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课后课时精练新人教B 版必修第一册 A 级：“四基”巩固训练一、选择题 1．下列说法中正确的有( ) ①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1； ③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标． A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 答案 B 解析根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．因此，说法②④正确．故选B. 2．函数f (x )＝x 2 －x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个答案 C 解析 Δ＝(－1)2 －4×1×(－1)＝5>0，所以方程x 2 －x －1＝0有两个不相等的实根，故函数f (x )＝x 2 －x －1有2个零点． 3．函数f (x )＝2x 2 －3x ＋1的零点是( ) A ．－1 2，－1 B.12，1 C.1 2，－1 D ．－12 ，1 答案 B 解析方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2 －3x ＋1的零点是1 2 ，1. 4．函数y ＝x 2 －bx ＋1有一个零点，则b 的值为( )

A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3 答案 C 解析因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2 －4＝0，所以b ＝±2. 5．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )? ?? ??x －1a <0的解集为( ) A ．(－∞，a )∪? ?? ??1a ，＋∞ B ．(a ，＋∞) C.? ????－∞，1a ∪(a ，＋∞) D.? ?? ??－∞，1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )? ????x －1a <0?(x －a )? ?? ??x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，由函数f (x ) ＝(x －a )·? ?? ??x －1a 的图像可得所求不等式的解集为(－∞，a )∪? ?? ??1a ，＋∞. 二、填空题 6．函数f (x )＝? ???? 2x －4，x ∈[0，＋∞， 2x 2 －3x －2，x ∈－∞，0的零点为________．答案 2，－1 2 解析当x ≥0时，由2x －4＝0，得x ＝2；当x <0时，由2x 2 －3x －2＝0，得x ＝－12或 2(舍去)．故函数f (x )的零点是2，－1 2 . 7．已知函数f (x )＝ax 2 －5x ＋2a ＋3的一个零点为0，则f (x )的单调递增区间为________．答案 ? ????－∞，－53 解析由已知，得f (0)＝2a ＋3＝0，∴a ＝－32，∴f (x )＝－32x 2 －5x ，∴f (x )的单调递增区间为? ????－∞，－53. 8．已知a 为常数，则函数f (x )＝|x 2 －9|－a －2的零点个数最多为________．答案 4 解析令g (x )＝|x 2 －9|，h (x )＝a ＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示．

高中数学函数的零点教学设计

第4讲与函数的零点相关的问题函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1

答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当01,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞). 答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞) 确定函数零点所在的区间 5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-, 则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0, 得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B. 6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是 f(x),g(x)的零点,则( A )

高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数()

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<-

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案课题：3.1.1 方程的根与函数的零点教材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

函数与方程、零点

函数与方程一、考点聚焦 1．函数零点的概念对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。（2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。（3）一般我们只讨论函数的实数零点。（4）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。 2、函数零点的判断如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(

高中数学人教A版必修1函数的零点及二分法(无答案)学案

优质资料---欢迎下载函数的零点及二分法 1、引入：已知函数26y x x =-- （1）当x 取何值时，0y =；（2）当x 取何值时，0,0y y >< 2、零点：如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α＝，则α叫做这个函数的零点。 3、二次函数()20y ax bx c a =++≠ （1）方程的根与函数的零点: （2）二次函数零点的性质：注： ①任意的图像是连续不间断的函数，上述性质成立。 ②通过奇数重零点时，函数值变号，这样的零点叫变号零点；通过偶数重零点时，函数值不变号。 ③相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 4、二分法： (1)原理：若函数()y f x =在区间[],a b 上连续不间断，且()()0f a f b ?<，则在[],a b 内至少有一个零点α，使()0f α=。 (2) 定义：对于在区间[],a b 上连续不断，且()()0f a f b ?<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 (3)变号零点：曲线通过零点时变号，此零点叫变号零点；曲线通过零点时不变号，此零点叫不变号零点。 (4)二分法的步骤：见教材P73 三、例题：例1：已知函数3222y x x x =--+（1）求此函数的零点；（2）解不等式y>0 小结：形如：()()()()1200n x x x x x x ---><数轴标根。（系数为1）例2、解不等式：（1）()()()2110x x x --+<3（2）()()()21210x x x --+>

高中数学《方程的根与函数的零点》导学案

3．1.1方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念函数的零点：□1对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根． 2．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根?□2函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?□3函数y＝f(x)有零点． 3．零点的存在性定理 □4如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立． (2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．() (2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．() (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有

f(a)·f(b)<0.() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)(教材改编P88T1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________． (2)(教材改编P88例1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________． (3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案(1)0和－3(2)1(3)(1.25,1.5) 『释疑解难』 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c. (2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (3)零点的存在性定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函

方程的根与函数的零点》说课稿

《方程的根与函数的零点》说课稿 1教材分析 1.1地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课. 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课.所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识. 之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要.本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础. 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合

从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台. 1.2教学重点基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理. 2学情分析 2.1学生具备必要的知识与心理基础. 通过前面的学习，学生己经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础. 方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础. 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点. 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位. 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象.函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成