人教版高中数学必修4第三章单元综合测试

单元综合测试三

时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α＋β)>cos α＋cos

β

C ．cos(α＋β)

D ．cos(α＋β)

β

解析：当α＝β＝30°时可排除A ，B ；当α＝β＝15°时，代入C 得0

15°＝4×1－cos30°2＝

2－3≈0.268，矛盾．故选D.

答案：D

2．化简cos 2

(π4－α)－sin 2(π4

－α)得到( ) A ．sin2α B ．－sin2α C ．cos2α

D ．－cos2α

解析：原式＝cos2(π4－α)＝cos(π

2－2α)＝sin2α.

答案：A

3.3－sin70°

2－cos 210°＝( ) A.12 B.22 C ．2

D.32

解析：原式＝3－sin70°2－

1＋cos20°2＝23－sin70°

3－cos20°＝2.

答案：C

4．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－2

5，那么tan(β－2α)的值

为( )

A ．－3

4

B ．－112

C ．－98

D.98

解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－1

12.

答案：B

5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象

与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )

A.??????

k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z

B.??????

k π＋5π12，k π＋

11π12，k ∈Z C.??????

k π－π3，k π＋π6，k ∈Z

D.?

?????

k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z

解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π

6

)，由已知得周期T ＝π.

∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π

6)．

由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π

3

≤x ≤k π＋π

6

(k ∈Z )． 答案：C

6．在△ABC 中，sin A sin B

D ．等腰三角形

解析：sin A sin B

答案：B

7.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1

D.12

解析：原式＝2sin2α1＋2cos 2α－1·cos 2α

cos2α

＝2sin α·cos αcos 2α－sin 2α＝2tan α1－tan 2α ＝tan2α. 答案：B

8．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝( ) A ．0 B ．± 3 C ．0或 3

D ．0或± 3

解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或1

2

.

当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±3

2

.

于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D

9．已知等腰三角形顶角的余弦值等于4

5，则这个三角形底角的正

弦值为( )

A.1010

B ．－10

10

C.31010

D ．－31010

解析：设等腰三角形的底角为α(0<α<π

2)，则其顶角为π－2

α.由已知cos(π－2α)＝4

5

，

∴cos2α＝－4

5

.

故1－2sin 2α＝－45，sin 2α＝9

10.

又0<α<π2，∴sin α＝310

10.

答案：C

10．已知sin2α＝35(π2<2α<π)，tan(α－β)＝1

2，则tan(α

＋β)＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．－2

11

D.211

解析：由sin2α＝35，且π

2<2α<π，

可得cos2α＝－45，∴tan2α＝－3

4，

∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝

tan2α－tan α－β

1＋tan2αtan α－β

＝－2.

答案：A

11．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈

(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π

4

)＝( ) A.13 B.27 C.17

D.23

解析：由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝2

5，

解得sin α＝35.又α∈(π

2，π)，

所以cos α＝－45，tan α＝－3

4，

则tan(α＋π

4)＝tan α＋tan

π41－tan αtan

π4＝17

.

答案：C

12．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π

3)的

图象上各点的横坐标缩短到原来的1

2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )

的图象，则函数g (x )在[0，π

4

]上的最大值和最小值分别为( )

A.12，－12

B.14，－1

4 C.12，－14

D.14，－12

解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2

x －12sin 5π6

＝34sin2x ＋12cos 2x －14

＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)， 所以g (x )＝12sin(4x ＋π6

)．

因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝

π

2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－1

4

.

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan

α＝________.

解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，

∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)． ∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α， ∴tan α＝1. 答案：1

14．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π

6)的值为

________．

解析：由已知得

32cos α＋32sin α＝4

5

3，

所以12cos α＋32sin α＝45，

即sin(α＋π6)＝45

，

因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－4

5.

答案：－4

5

15．已知0

2

，化简：

lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2

x

2)＋lg[2cos(x －π

4

)]－lg(1＋sin2x )

＝________.

解析：原式＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(sin x ＋cos x )－lg(sin x ＋cos x )2＝0.

答案：0

16．设函数f (x )＝2cos 2

x ＋3sin2x ＋a ，已知当x ∈[0，π

2

]时，

f (x )的最小值为－2，则a ＝________.

解析：f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π

6

)＋a ＋1.

∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π

6]．

∴sin(2x ＋π6)∈[－1

2

，1]，

∴f (x )min ＝2×(－1

2

)＋a ＋1＝a .∴a ＝－2.

答案：－2

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π

4)．

(1)求sin x 的值； (2)求sin(2x ＋π

3

)的值．

解：(1)∵x ∈(π2，3π4)，∴x －π4∈(π4，π

2)，

∵cos(x －π4)＝210，∴sin(x －π4)＝72

10.

∴sin x ＝sin[(x －π4)＋π

4]

＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4

＝

7102×22＋210×22＝45

. (2)由(1)可得cos x ＝－35，

∴sin2x ＝－2425，cos2x ＝－7

25

，

∴sin(2x ＋π3)＝sin2x cos π3＋cos2x sin π

3

＝－24＋73

50

.

18．(12分)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π

2

.

(1)求tan2α的值； (2)求β的值．

解：(1)∵0<α<π2且cos α＝1

7，

∴sin α＝1－cos 2

α＝43

7

，

∴tan α＝sin α

cos α＝4 3.

tan2α＝2tan α1－tan 2α＝

2×43

1－43

2＝－83

47

. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π

2，

由cos(α－β)＝13

14.

得sin(α－β)＝1－cos

2

α－β＝33

14

，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，

∵0<β<π2 ∴β＝π3

.

19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(x －π

12)，x ∈R .

(1)求f (－π

6

)的值；

(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π

3

)．

解：(1)f (－π6)＝2cos(－π6－π

12)

＝2cos(－

π4)＝2cos π

4

＝1. (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π

12)

＝2cos(2θ＋π

4)

＝cos2θ－sin2θ.

因为cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，所以sin θ＝－4

5.

所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－24

25

，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－7

25

. 所以f (2θ＋π3)＝cos2θ－sin2θ＝－725－(－2425)＝17

25.

20．(12分)已知函数f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π

3

)，g (x )＝2sin 2

x

2

.

(1)若α是第一象限角，且f (α)＝33

5，求g (α)的值；

(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解：f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π

3)

＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋3

2

sin x

＝3sin x ，

g (x )＝2sin 2

x

2

＝1－cos x ，

(1)由f (α)＝335，得sin α＝3

5

，又α是第一象限角，所以cos

α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15

.

(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin(x ＋π6)≥1

2

.

从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π

6，k ∈Z ，

即2k π≤x ≤2k π＋2π

3，k ∈Z .

故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为 {x |2k π≤x ≤2k π＋2π

3

，k ∈Z }．

21．(12分)点P 在直径为AB ＝1的半圆上移动，过点P 作圆的切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？

解：

如图，因为AB 为直径，PT 切圆于P 点，所以∠APB ＝90°，PA ＝cos α，PB ＝sin α，

S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB

＝12PA ·PB ＋1

2

PT ·PB sin α ＝12sin αcos α＋12sin 2

α＝14sin2α＋1－cos2α4 ＝14(sin2α－cos2α)＋14 ＝24sin(2α－π4)＋14

. 因为0<α<π2，因为－π4<2α－π4<3π4

，

所以当2α－π4＝π2，即α＝3π

8时，四边形ABTP 的面积最大．

22．(12分)已知向量a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )．

(1)若x ∈(7π24，5π12)时，a ·b ＋12＝－3

5，求cos4x 的值；

(2)cos x ≥12，x ∈(0，π)，若方程a ·b ＋1

2＝m 有且仅有一个实

根，求实数m 的值．

解：(1)∵a ·b ＝3sin2x cos2x －cos 22x ∴a ·b ＋12＝3sin2x cos2x －cos 2

2x ＋12

＝32sin4x －1＋cos4x 2＋1

2

＝32sin4x －1

2cos4x ＝sin(4x －π6)＝－35

，

∵x ∈(724π，512π)，∴4x ∈(76π，5

3π)，

4x －π6∈(π，32π)，∴cos(4x －π6)＝－45，

∴cos4x ＝cos[(4x －

π6)＋π

6

] ＝cos(4x －π6)cos π6－sin(4x －π6)sin π

6

＝(－45)×32－(－35)×12＝3－43

10

.

(2)因为cos x ≥1

2，又余弦函数在(0，π)上是减函数，

所以0

3

，

令f (x )＝a ·b ＋12＝sin(4x －π

6)，g (x )＝m ，

在同一坐标系中作出两个函数的图象， 由图可知m ＝1或m ＝－1

2

.