2011-北京市中考数学

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．（2011北京市，9，4分）若分式8

x x

-的值为0，则x 的值等于________． 【答案】8

10．（2011北京市，10，4分）分解因式：321025a a a -+=______________． 【答案】a (a -5)2

11．（2011北京市，11，4分）若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是____________．

【答案】圆柱

12．（2011北京市，12，4分）在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为,i j a （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数,i j a ，规定如下：当i ≥j 时，,1i j a =；当i j <时，

,0i j a =．例如：当2i =，1j =时，,2,11i j a a ==．按此规定，1,3a =_____；表中的25

个数中，共有_____个1；计算1,1,11,2,21,3,31,4,41,5i i i i i a a a a a a a a a a ?+?+?+?+?的值为

________．

【答案】0、15、1

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．（2011北京市，13，5分）

计算：10

1()2cos30(22

--?+-π)．

【答案】解：（1

2）-1-2cos30+27+(2-π)0

=2－2×

3

2

+33+1 =2－3+33+1

=23+3

14．（2011北京市，14，5分）解不等式：4(1)56x x ->-． 【答案】解：去括号，得4x －4>5x －6

移项，得4x －5x >4－6 合并，得－x >－2 解得x <2

所以原不等式的解集是x <2

15． （2011北京市，15，5分）已知2220a ab b ++=，求代数式(4)(2)(2)a a b a b a b +-+-的值．

【答案】解：a (a +4b )－(a +2b )(a －2b )

=a 2+4ab －(a 2－4b 2)

=4ab +4b 2

∵a 2+2ab +b 2=0 ∴a +b =0

∴原式=4b (a +b )=0 16．（2011北京市，16，5分）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，A F ∠=∠，AB FD =．

求证：AE FC =．

E

B C D

A

【答案】证明：∵BE ∥DF

∴∠ABE =∠D

在△ABE 和△FDC 中

?????∠ABE =∠D ，AB =FD ， ∠A =∠F ，

∴△ABE ≌△FDC ∴AE =FC

17．（2011北京市，17，5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图

象与反比例函数k

y x =

的图象的一个交点为A （1-，n ）． （1）求反比例函数k

y x

=的解析式；

（2）若P 是坐标轴上一点，且满足PA OA =，直接写出点P 的坐标．

【答案】解：（1）∵点A （-1，n ）在一次函数y =-2x 的图象上，

∴n =-2×(-1)=2

∴点A 的坐标为(-1,2)

∵点A 在反比例函数y =k

x 的图象上，

∴k =-2

∴反比例函数的解析式为y =-2

x

(2)点P 的坐标为（-2，0）或（0，4）

18．（2011北京市，18，5分）列方程或方程组解应用题：

京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的

3

7

．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？

【答案】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x 千米．

依题意，得182x +9=37×18

x

解得 x =27

经检验，x =27是原方程的解，且符合题意．

答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．（2011北京市，19，5分）如图，在△ABC ，∠ACB =90°中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC =2，CE =4，求四边形ACEB 的周长．

【答案】解：∵∠ACB =90°，DE ⊥BC ，

∴AC ∥DE ． 又∵CE ∥AD ，

四边形ACED 是平行四边形． ∴DE =AC =2

在Rt △CDE 中，由勾股定理CD =CE 2－DE 2=23． ∵D 是BC 的中点， ∴BC =2CD =43．

在Rt △ABC 中，由勾股定理AB =AC 2+BC 2=213． ∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ， ∴EB =EC =4

∴四边形ACEB 的周长=AC +CE +BE +BA =10+213 20．（2011北京市，20，5分）如图，在△ABC ，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、

BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且1

2

CBF CAB ∠=∠．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；

（2）若AB =5

，sin CBF ∠=

，求BC 和BF 的长．

【答案】证明：（1）证明：连结AE ．

∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°． ∴∠1=∠2=90°． ∵AB =AC

∴∠1=1

2

∠CAB ．

∴∠CBF =1

2

∠CAB ，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF +∠2=90°． 即∠ABF =90°

∵AB 是⊙O 的直径，

∴直线BF 是⊙O 的切线．

（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G ． ∵sin ∠CBF =5

5

，∠1=∠CBF ， ∴sin ∠1=

55

∵∠AEB =90°，AB =5， ∴BE =AB ·sin ∠1= 5 ∵AB =AC ，∠AEB =90°， ∴BC =2BE =2 5

在Rt △ABE 中，由勾股定理AE =AB 2－BE 2=2 5 ∴sin ∠2=255，cos ∠2=5

5

．

在Rt △CBG 中，可求得GC =4，GB =2，

∴AG =3． ∵GC ∥BF

F

A

B

∴△AGC ∽△ABF ． GC BF =AG AB ． ∴BF =GC ·AB AG =203

21．（2011北京市，21，5分） 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关

数据，绘制统计图的一部分．

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）2008年北京市私人轿车拥有量是多少万辆（结果保留三个有效数字）？ （2）补全条形统计图；

（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．如：一辆排量为1．6L 的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它的碳排放量约为2．7吨．于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示．如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市．．．仅排量为1．6L 的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？

【答案】解：（1）146×（1+19%）

=173．74 ≈174（万辆）

所以2008年北京市私人轿车拥有量约是174万辆． （2）如图

（3）276×75

150

×2．7=372．6（万吨）

估计2010年北京市仅排量为1．6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为372．6万吨． 22．（2011北京市，22，5分）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形的面积．

C

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BDE 的面积等于 ． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF ． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ．

【答案】解：△BDE 的面积等于 1 ．

（1）如图

以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是 △CFP ．

B

P

图1

图2

（2）以AD 、BE |、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于3

4

．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．（2011北京市，23，7分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数

2(3)3(0)

y m x m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．

（1）求点A 的坐标；

（2）当45ABC ∠=?时，求m 的值；

（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数

2(3)3(0)

y m x m x m =+-->的图象于N ．若只有当22n -<<时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．

【答案】解：（1）∵点A 、B 是二次函数y =mx 2+(m -3)x -3(m >0)的图象与x 轴的交点，

∴令y =0，即mx 2+(m -3)x -3=0

解得x 1=-1，x 2=3

m

，

又∵点A 在点B 左侧且m >0， ∴点A 的坐标为（-1，0）

2)由(1)可知点B 的坐标为(3

m ，0)，

∵二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，-3)． ∵∠ABC =45° ∴3m

=3 ∴m =1

(3)由(2)得，二次函数解析式为 y =x 2-2x -3 依题意并结合图象可知，一次函数的图象

与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2， 由此可得交点坐标为(一2，5)和(2，-3)．

将交点坐标分别代入一次函数解析式y =kx +b 中，

得?

??-2k +b =52k +b =-3

解得???k =-2b =1

∴一次函数的解析式为y =-2x +1．

24．（2011北京市，24，7分）在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．

（1）在图1中证明CE CF =；

（2）若90ABC ∠=?，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；

（3）若120ABC ∠=?，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．

【答案】(1)证明：如图1．

∵AF 平分∠BAD ， ∴∠BAF =∠DAF

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ．

∴∠DAF =∠CEF ，∠BAF =∠F ． ∴∠CEF =∠F ． ∴CE =CF

(2)∠BDG =45°

(3)解：分别连结GB 、GE 、GC （如图3） ∵AB ∥DC ，∠ABC =120° ∴∠ECF =∠ABC =120° ∵FG ∥CE 且FG =CE ．

∴四边形CEGF 是平行四边形． 由(1)得CE =CF ，

G

平行四边形CEGF 是菱形．

∴EG =EC ，∠GCF =∠GCE =1

2

∠ECF =60°

∴△ECG 是等边三角形 ∴EG =CG ， ① ∠GEC =∠EGC =60°

∴∠GEC =∠GCF ．∴∠BEG =∠DCG ． ②

由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE =∠AEB ． ∴AB =BE ．

在平行四边形ABCD 中，AB =DC ． ∴BE =DC ． ③

由①②③得△BEG ≌△DCG ．

∴BG =DG ．∠1=∠2．∴∠BGD =∠1 +∠3=∠2+∠3=∠EGC =60°

∴∠BDG =180°－∠BGD

2

=60°．

25．（2011北京市，23，8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C ．（注：不含AB 线段）已知A （1-，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上． （1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；

（2）当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；

当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围； （3）已知□AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围．

【答案】解：(1)分别连结AD 、DB 则点

D 在直线A

E 上， 如图1．

∵点D 在以AB 为直径的半圆上， ∴∠ADB =90° ∴BD ⊥AD ．

在Rt △DOB ，由勾股定理得BD =OD 2+OB 2= 2 ∵AE ∥BF ，

∴两条射线AE 、BF 所在直线的距离为 2 .

图1

(2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1

(3)假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：

①当点M在射线AE上时，如图2．

∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的上方．

∴P、Q两点都在 AD上，且不与点A、D重合．

∴0

∵AM∥PQ且AM=PQ，

∴0

∴-2

Q

P

M

图2

②当点M在 AD(不包括点D)上时，如图3．

∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的下方．此时，不存在满足题意的平行四边形．

M

图3

③当点M 在DB 上时

设 DB

中点为R ，则0R ∥BF i)当点M 在 DR

（不包括点R )上时，如图4． 过点M 作DR 的垂线交 DB

于点Q ，垂足为 点S ，可得S 是MO 的中点．

连结AS 并延长交直线BF 于点P ．

∵O 为AB 的中点，可证S 为AP 的中点． ∴四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形． ∴0≤x <

22

ii)当点M 在 RB

上时，如图5． 直线PQ 必在直线AM 的下方

此时，不存在满足题意的平行四边形．

④当点M 在射线BF (不包括点B )上时，如图6． 直线PQ 必在直线AM 下方．

此时，不存在满足题意的平行四边形． 综上，点M 的横坐标x 的取值范围是 -2

22

． M R P 1

P 2

P 3

图5

图4

M R

S Q

P

M

P1

P2

P3

图6