高中数学三维设计必修5：(三) 解三角形的实际应用举例

课时跟踪检测（三） 解三角形的实际应用举例

层级一 学业水平达标

1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，

则其跨度AB 的长为( )

A ．12 m

B ．8 m

C ．3 3 m

D ．4 3 m

解析：选D 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，

AB sin C ＝AC

sin B

， 即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·

sin 120°sin 30°

＝4 3.

2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )

A.176

2 n mile/h

B ．34 6 n mile/h C.1722

n mile/h

D ．34 2 n mile/h 解析：选A 如图所示，在△PMN 中，

PM sin 45°＝MN

sin 120°

，

∴MN ＝

68×32

＝346，∴v ＝MN 4＝176

2 n mile/h.

3.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别

是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )

A.a sin α·sin β

sin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin α·cos βsin (β－α) D.a cos α·sin βcos (α－β)

解析：选A 设AB ＝x ，则在Rt △ABC 中，CB ＝

x tan β，所以BD ＝a ＋x tan β

，又因为

在Rt △ABD 中，BD ＝

x tan α，所以BD ＝a ＋x tan β＝x tan α，从中求得x ＝a 1tan α－

1

tan β

＝

a tan αtan βtan β－tan α＝a sin αsin βsin βcos α－sin αcos β＝a sin αsin β

sin (β－α)

，故选A.

4．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )

A ．20 3 m ，

403

3

m B ．10 3 m,20 3 m C ．10(3－2)m,20 3 m

D.1532 m ，2033

m

解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝

403

3

(m)． 5．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km /h 的速度向正北航行，同时乙船自岛B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )

A.150

7 min B.157 h

C ．21.5 min

D ．2.15 h

解析：选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t 小时后，甲船位于C 点，乙船位于D 点，如图．则BC ＝10－4t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝120°，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠CBD ＝(10－4t )2＋36t 2＋6t (10－4t )＝28t 2－20t ＋100，所以当t ＝514时，CD 2取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是1507 min ，故选A.

6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.

解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°.

由余弦定理，得

AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7. 则A ，C 两地的距离为7 km. 答案：7

7．坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：

如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°，

设CD ＝x ，所以(x ＋DA )·tan 30°＝DA ·tan 45°，

又DA ＝BD ·cos 45°＝100×2

2

＝502， 所以x ＝

DA ·tan 45°tan 30°－DA ＝502×1

3

3

－50 2

＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)

8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.

解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到

B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，

则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝

AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝106

3(cm)．

答案：

106

3

9.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，

求乙船航行的速度．

解：如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×1

3

＝102＝A 2B 2，

∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.

在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴(B 1B 2)2＝400＋200－2×20×102×2

2

＝200， ∴B 1B 2＝102，

∴乙船每小时航行302海里．

10．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 千米，AC ＝3 千米．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C 点)．

解：由∠ADC ＝150°知∠ADB ＝30°，由正弦定理得

1

sin 30°＝AD sin 120°

，所以AD ＝ 3. 在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos 150°，即32＝(3)2＋DC 2－2·3·DC cos 150°，即DC 2＋3·DC －6＝0，解得DC ＝

－3＋33

2

≈1.372 (千米)，∴BC ≈2.372 (千米)，由于2.372<2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.

层级二 应试能力达标

1.如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )

A ．240(3－1)m

B ．180(2－1)m

C ．120(3－1)m

D ．30(3＋1)m

解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BAC

sin ∠ABC ＝120×

226＋2

4

＝120(3－1)(m)．

2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )

A ．30 m B.1532 m

C ．15 3 m

D ．45 m

解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ， 由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 2

2×AC ×BC

＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.

又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝

3

2

.

在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝15×

32＝153

2

m. 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两

个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )

A ．100 2 m

B ．400 m

C ．200 3 m

D ．500 m

解析：选D 设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，

∴BC ＝AB ＝x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m.

4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，

与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝4

5.

已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )

A ．485 海里/小时

B ．385 海里/小时

C ．27 海里/小时

D ．4 6 海里/小时

解析：选A 因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×

3

5＝7210，在△ABC 中，BC 2＝(202)2＋102－2×202×10×72

10＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为28512

＝485海里/小时．

5.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击

训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)

解析：如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠

PAO ＝θ.

设CO ＝x ，则OP ＝

33

x . 在Rt △ABC 中，AB ＝15，AC ＝25，所以BC ＝20.

所以cos ∠BCA ＝4

5.

所以AO ＝

625＋x 2－2×25x ×4

5＝x 2－40x ＋625.

故tan θ＝

33

x x 2－40x ＋625

＝

33

1－40x ＋625x

2

＝

33????25x －452＋9

25 .当25x ＝45，即x ＝125

4时，tan θ取得最大值为

3

335

＝539. 答案：

53

9

6．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.

解析：如图所示，设在C 处甲船追上乙船，乙船到C 处用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝t v ，AC ＝3t v ，又B ＝120°，则由正弦定理

BC sin ∠CAB ＝AC sin B ，得1sin ∠CAB ＝3sin 120°

，∴sin ∠CAB ＝1

2，

∴∠CAB ＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝a n mile ，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120° ＝

a 2＋a 2－2a 2·???

?－12＝3a (n mile) 答案：北偏东30°

3a

7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.

(1)求BC 的长；

(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．

解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4， 由正弦定理得BC sin 45°＝4

sin 30°，

解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m.

(2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42， 所以DC ＝42sin 75°. 因为sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋2

4

， 则DC ＝2＋2 3.

所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464 ≈7.16(m)．

即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m.

8.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测

点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．

(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．

解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.

在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋32

5x ，

同理在△PAC 中，AC ＝50，

cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25

x .

∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x

＝25

x ， 解得x ＝31.

(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝25

31

，

得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝421

31

， ∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×

421

31

＝421千米． 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．