高二数学推理与证明知识点与习题

推理与证明

一、推理

1.推理 ：前提、结论

2.合情推理:

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明

题型1 用归纳推理发现规律

1；….对于任意正实数,a b ，试写出

≤成立的一个条件可以是 ____.

点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a

2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则

(4)f =_____;()f n =___________.

【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式

[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f

133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f Λ

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

题型2 用类比推理猜想新的命题

[例 ]已知正三角形内切圆的半径是高的

13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手

[解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3

121321=??==，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4

1 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

二、直接证明与间接证明

三种证明方法:

综合法、分析法、反证法

反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：

(1) 假设命题的结论不成立；

(2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止

(3) 断言假设不成立

(4) 肯定原命题的结论成立

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

考点1 综合法

在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++

[解析]ABC ?Θ为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22π

π

，

x y sin =Θ在)2,0(π上是增函数，B B A cos )2

sin(sin =->∴π

同理可得C B cos sin >，A C cos sin > C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴

考点2 分析法

已知0>>b a ,求证b a b a -<

- [解析]要证b a b a -<-，只需证22)()(b a b a -<-

即b a ab b a -<-+2，只需证ab b <

，即证a b < 显然a b <成立，因此b a b a -<-成立

【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”

考点3 反证法 已知)1(1

2)(>+-+=a x x a x f x ，证明方程0)(=x f 没有负数根 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 [解析]假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00

=x x a x 112010000<+--

10<

【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

三、数学归纳法

一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N 的所有正整数n 都成立时,可以用以下两个步骤:

(1)证明当n=n0时命题成立;

(2)假设当n=k ),(0n k N k ≥∈+且时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.

在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.

考点1 数学归纳法

题型：对数学归纳法的两个步骤的认识

[例1 ] 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）

A.n=k+1时命题成立

B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立

D. n=2（k+2）时命题成立

[解析] 因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B

【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或

其它），确定n=k 时命题的形式)(k f （3）从)1(+k f 和)(k f 的差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子

考点2 数学归纳法的应用

题型1：用数学归纳法证明数学命题 用数学归纳法证明不等式2)1(2

1)1(3221+<+++?+?n n n Λ [解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立

（2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(2

1)1(3221+<+++?+

?k k k Λ 则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212++++<++++++?+?k k k k k k k Λ 02

)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122<+++-++=+-++++k k k k k k k k Θ 2]1)1[(2

1)2)(1()1(3221++<++++++?+?∴k k k k k Λ ∴当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；

（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；

（3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面

习题

1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；

(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

2、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ）

A.29

B. 254

C. 602

D. 2004

3、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112

， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3

4、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-????=+++n n n n n n ΛΛ”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是

（ ） A ．12+k B ．)12(2+k C ．112++k k D ．1

22++k k 5、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211n

n n n +++++=-++-+-ΛΛ时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）

A ．1+=k n 时等式成立

B ．2+=k n 时等式成立

C ．22+=k n 时等式成立

D ．)2(2+=k n 时等式成立 6、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )

A ．有一个解

B ．有两个解

C ．至少有三个解

D ．至少有两个解

7、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )

A ．a 、b 、c 都是奇数

B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数

C ．a 、b 、c 都是偶数

D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数

8、已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.

求证：a >0，b >0，c >0.

9、已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14

.

10、（1）用数学归纳法证明：n n 53+能被6整除；

（2）求证 n 333)2()1(++++n n (n ∈N *)能被9整除

11、若a,b,c 均为实数，且,,,

求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0。

12、用数学归纳法证明： n n ≤-+++++

1

214131211Λ；

13、用数学归纳法证明下述不等式： ).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且Λ