第3章 振动系统的运动微分方程题解
习 题
3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =?
其中
)
(22
a g
P J C O +=
ρ 得到复摆运动微分方程为 ??
ρcos )(22
Pa a g
P C =+ 或
0cos )(22
=-+??
ρga a C
3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为：
222
1
21ωC C J mv T +=
用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =
2
C C m J ρ=
故
222222
1)cos 2(21θρθθ C
m Re R e m T +-+=
系统具有理想约束，重力的元功为
题3-1图
题3-2图
θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式
W dT δ=
θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=??
????+-+ θθθθθθθθθθ
ρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，
θθθθθθθθθθ
ρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ
故微分方程为
0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθ
ρθmge mRe Re R e m C ①
若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为
0])[(22=++-θθρge r R C
要点及讨论
（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程
???
??--=-=-=④③②
θ
θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C
上述方程包含C
x
，C
y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系
??
?-=-=θθ
θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ
sin cos e y e R x C
C 所以
?????+=+-=⑥
⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ
e e y e e R x C C
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能
222222
1)cos 2(21θρθθ C
m Re R e m T +-+=
选半圆柱体中心O 1所在平面为零势面，系统的势能
θcos mge V -=
由 E V T =+
E mge m Re R e m C =-+-+θθρθθcos 2
1)cos 2(2122222 两边对时间t 求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3 均质杆AB ，长l ，质量为m ，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光
滑的。列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
解：系统具有一个自由度，选?为广义坐标。系统在任一位置的动能为
222
1
21ωC C J mv T +=
由瞬心法求质心的速度
? 2l v C =，2121
ml J C =，?ω = 所以
223
1
21?
ml T ?= 系统的主动力图为图（a ）所示。重力的元功为
??δd l mg d m W C sin 2
=?=r g
由动能定理 W dT δ=
所以
???
d sin l
mg )ml (
d 2312122=? 系统的运动微分方程为
023=-
?
???sin l
g
要点及讨论
（1）平面运动刚体可用式2*2
1
ωC J T =
计算刚体动能，式中2*md J J C C +=为刚体对瞬心的转动惯量，d 为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度C v 也可用式2
22C C C y x v +=计算。其中
?????==??cos 2sin 2l y l
x C C ?????-==????
sin 2
cos 2 l
y l x C C （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角θ为广义坐标，正方向如图（b ）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C 的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为
θ 2l v C =，θd l dr C 2=
系统的动能
223
121θ ml T ?=
主动力的元功
θθδd l mg W cos 2
-=
根据动能定理建立的方程为
θθθd l mg ml d cos 2)3121(22-=? 所以
θθ
cos 23l
g
-= “—”号说明当θ取正值时θ
为负，即反时针方向。 （3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m ，半径为r ，沿倾斜角为α的三角块作无滑动滚动，质量为M 的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。
题3-4图
解：系统具有两个自由度，选r x x 、为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：
E
V T =+
2222
22
1111[(cos )(sin )]2222r r r x T Mx m x x x mr r αα=++++??
22221111
cos 2224
r r r Mx mx mx mxx mx α=?+?+?++ 222131
cos 242
r r Mx mx mx mxx α=+++ sin r V mgx α=-
，水平方向动量守恒。C p x =
C x x m x
M r =++)cos (α 整理后可分别列写两个方程 E mgx x x m x m x
m M r r r =-+?++ααsin cos 2321)(2122 ①
C x x m x M r =++)cos (α ②
式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t 求导后，即可得到系统运动微分方程。
23()sin [1]02cos cos m M g x m ααα
+-+= 要点及讨论
（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间t 求导一次可得到系统的运动微分方程。
（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：
①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。
3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m ，刚性建筑的质量为M ，对质心C 的转动惯量为I C 。两刚体在O 处铰接并附有刚度系数为k 1的扭转弹簧。其他参数如图示。
设地基有水平运动z (t )，试建立系统微幅运动微分方程。图中2
,212c
c k k ==。
解：
应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。
对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为
Ox F z x c z x k x
m +----=)()( (1)
对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为 Ox C F x
M -= (2) Mg F y
M Oy C -= (3)
θθθθcos sin 1C a F a F k I Ox
Oy ++-= (4)
其中x C 、y C 及x 均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有 θθa x a x x C +≈+=sin
(5)
a a y C ≈=θcos
(6)
由方程(1)、(2)消去未知力，F Ox 并考虑式(5)得
题3-5图
kz z c kx x c Ma x
m M +=++++ θ)( (7)
又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力F Oy 、F Ox ，并考虑式(5)和(6)，得
0)()(1
2=-+++θθMga k Ma I x Ma C (8)
方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x 和为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵
形式
??
????????=θx q
那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：
???
????
???+=??????????????????-+??
?
???????????????+??????????????????++0)(0
00
0)()
(12kz z c x Mga k k x c
x Ma I Ma Ma m M C θθθ (9)
由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
另解：由动静法得,以整体为研究对象
∑=0X 2
()()cos sin 0mx Mx k x z c x z Ma M a θθθ
θ-------+=
以M 为研究对象：
0o
m
=∑
1cos sin 0c Mxa Ma a I Mga k θθθθθ++-+=
sin cos 1θθθθ∴很小 ＝，＝
又忽略高阶小量2
θ，所以以上两式化简后得：
()()()0m M x Ma c x z k x z θ+++-+-= 21()()0c Max I Ma k Mga θθ+++-=
化成矩阵形式为：
???
???????+=???????????????
?-+????????????????+????????????????++0)(00000)()(12kz z c x Mga k k x c x Ma I Ma Ma m M C θθθ
3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI ，单位长度的质量为m ，分布载荷为F (y , t )。试用哈密顿原理求运动方程。
解：若梁的挠曲函数为w (y , t )，则动能为
y t y w
m T l d ),(2
120
?
=
(a) 应变（势能）为
y t y w EI l d ),(2
1
20
''=
∏?
(b)
外力功为
y t y w t y F A l d ),(),(0
?
=
(c)
将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式 0Ad δ
d )(δ21
21
=+∏-=
?
?
t t T I t t t t
(d)
得到
0d d δ),(d d δd d δm 0
2
1
2
12
1
=+
''''-?
??
??
?t y w t y F t y w w EI t y w w
l t t l t t l t t (e)
对式(e)进行分部积分运算，得到
d d δ),(d d δ)(d ]δ)[(d ]δ)(d d δd δ0
00002
1
2
1
2
1
21
2
1
1
2
=+
''''-
'''+
'''--
??
????
?
??
??
?
?
??
t y w t y F t y w w EI t w w EI t
w w EI t y w w
m y w w m l t t l t t l t t l t t l t t t t l
(f)
由于，21t t t ==时，哈密顿原理要求
w = 0，因而式(f)变为
d d δ),(d d δ)(d ]δ)[(d ]δ)(d d δ0
0000
2
1
2
1
21
21
2
1=+
''''-
'''+
'''--
?
??
??
?
?
?t y w t y F t y w w EI t
w w EI t w w EI t y w w
m l t t l t t l t t l t t l t t (f)
因为，t 1与t 2区间的虚位移w 不可能为零，由此，得到梁的边界条件
δ)(0δ)(00='''=''''l l
W
W CEI W m CEI (h)
与运动方程
),()(t y F w EI w
m =''''+ (i)
题3-6图
两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
3-7 应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
题3-7图
解：取各质量偏离其平衡位置的x 1、x 2、x 3、x 4为广义坐标。即
4,3,2,1==i x q i
i
(1)
则系统的动能
2
442332222112
1212121x m x m x m x m T +++=
(2)
系统的势能为
234423321222
11)(2
1)(21)(2121x x k x x k x x k x k V -+-+-+=
(3)
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
44343444
44444
444343233442333
33333
333232122331222
22222
222121122111
11111
1)(0;d d )()()(0;d d )()()(0;d d )()(0;d d x k x k x x k x V
x T x m x T t x q x k x k k x k x x k x x k x V
x T x m x T t x q x k x k k x k x x k x x k x V
x T x m x T t x q x k x k k x x k x k x V
x T
x m x T t x q +-=-=??=??=???
? ????=-++-=---=??=??=???
? ????=-++-=---=??=??=???
? ????=-+=--=??=??=???
? ????=
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
00)(0)(0)(4434444434323333323212222212111=+-=-++-=-++-=-++x k x k x
m x k x k k x k x m x k x k k x k x m x k x k k x
m (4)
写成矩阵形式 0=+kq q m (5)
其中
?????
??
?????
???
?=4321000000000000m m m m m 质量矩阵
???
??
??
?
????
??
?
?--+--+--+=44
443333222210
00000k k k k k k k k k k k k k k 刚度矩阵
{}4321x x x x T =q 位移列阵
3-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m 的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k ，扭转弹簧的弹性系数为k T ，如题3-8图所示。设I G 为建筑物相对质心G 的转动惯量，试利用坐标x （相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标，求出运动方程。 解：运动的分离体图如图（b ）所示。 地震中可设为微小角度，因此
（a ） （b ）
题3-8图
????
?+-=++-=+θθθθθmgh k h h x m I kx h x
m T G )()(
因此运动方程为
???
?
?=--++=++0)()(02θθθT G k mgh I mh x mh kx x h mh
如果,sin ,sin 2t A x t A ωωθ==则
???
?
?=-++++=+--0
)()(0
112
22222212A k mgh A I mh A mh kA A m A mh T G ωωωω 则频率方程为
2
2
2
22
)
()(ω
ωωωmh k mgh I mh m k mh T G -++--
即 0)]())[(()(22222=-++-+T G k mgh I mh m k mh ωωω
或 0)(2224=+-+-+-T T G G kk mghk mk gh m k I mkh mI ωω
另解：动静法得。
以刚体m 为研究对象：
∑=0X 2
cos sin 0m h mx m h kx θθθθ---=
0o
m
=∑
2cos sin 0G T m h I k mxh mgh θθθθθ++--=
sin cos 1θθθθ∴很小 ＝，＝
又忽略高阶小量2
θ，所以以上两式化简后得：
0mh mx kx θ--=
2()()0G T mhx mh I mgh k θθ-++--=
图中：kx 、m x
应反向。方程应为 ?????=--++=++0)()(02θθθT G k mgh I mh x mh kx x h mh
3-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。
题3-9图
解：选择坐标q 1、q 2、q 3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和机座的总质量为M ，总质量对质心G 点的惯性矩为I G ，则
2
322212
12121q I q M q M T G ++=
2322232223112311)(2
1
)(21)(21)(21aq q k aq q k dq q k bq q k V -+-+-++=
式中，V 为贮存在弹簧中的势能。 有：
123423230
x q aq x q aq x x =-=-+== 14213313
0y y y q bq y q dq ===+=-
由拉格朗日方程得
11
22
33
()()()o d T
mq dt q d T mq dt q d T I q dt q ?=??=??=? 10T q ?=? 20T q ?=? 3
0T
q ?=? )()(3113111
dq q k bq q k q V
-++=?
?
22233
22V
k q k aq q ?=-? 1131132232233
()()()()V
k b q bq k d q dq ak q aq ak q aq q ?=+----+-+? 则运动方程为
0)(231111=-++q d b k q k q
M 02232222=-+q ak q k q
M 02)(2)(322312222113=+++--+q k a q k d b q ak q d b k q
I G 因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定t A q i i ωsin =，由频率方程可求出系统的各阶固有频率。
3-10 题3-10图是一个带有附有质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动x 1和x 2为坐标，写出系统运动的作用力方程。
解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程， 对1m ：
∑=0X ，0sin sin 1221111
=---k T T k
θθ 题3-10图
∑=0Y ，0cos cos 12211=--g m T T θθ
对2m ：
∑=0X ， 0sin 2221=+θT k ∑=0Y ， 0cos 222=-g m T θ
设1,021==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2212,k k ，列 平衡方程，
对1m ： ∑=0X ， 0sin 212=+θT k ∑=0Y ， 0
cos 121=--g m T T θ
对2m ： ∑=0X ， 0sin 2222=--θT k k ∑=0Y ， 0cos 22=-g m T θ
由，1111tan sin l =
≈θθ，2
221
tan sin l =≈θθ，1cos cos 21≈≈θθ，1cos ≈θ， 2
1
tan sin l =
≈θθ， 解得， 22121111)(l g m l g m m k k +++
=，2221l g m k -=，2212l g m k -=，2
2222l g
m k k += 得作用力方程为
???
???=????????????
??????+
--
++++???????????
?)()()(0021212222222
212112121
t P t P x x l g m k l g m l g m l g m l g m m k x x m m l
3-11 题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C 上受水平力P C 和扭矩M C 的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l 、
A 及ρ，以质心C 的微小位移x C 与C θ为坐标，列出系统运动的作用力方程。
解：设C x 质心的水平位移与C θ相对于质心的转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,1==C C x θ，画出受力图，并施加物体力与力偶
2111,k k ，列平衡方程，
∑=0X ，02111
=--k k k
∑=0C M ， 02
221
21=-+l
k l k k 设1,0==C C x θ，画出受力图，并施加物体力与力偶2212,k k ，列平衡方程， ∑=0X ， 02
221
12=-+l
k l k k ∑=0Y ， 0
=-mg N 题3-11图
∑=0C M ， 04
422
2
2122=--+l k l k l N k 2111k k k +=，2)(1221l k k k -=，2
)(1212l
k k k -=，24)(22122mgl l k k k -+=
得作用力方程为
??????=???????????
????
?-+--++?????????????
?)()(24)(2)
(2)(12002211212213t M t P x l mg l k k l k k l k k k k x Al lA
C C C C C C θθρρ
3-12 题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为EJ 1，上层为EJ 2，采用微小水平运动x 1及x 2为坐标，列出系统运动的位移方程。
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角
时，其梁的等效刚度为312l
EJ
k =，由此可将题3-12图等效为(a)图，其中
3111122h EJ k ?=，3
2
22122h EJ k ?= 广义坐标如图（a ）示。利用刚度影响系数
法求刚度矩阵k 。
设0,121==x x ，画出受力图，并施加物体力2111,k k ，列平衡方程，可得到
2111k k k +=，221k k -=
同理可求得2212,k k 。最后求得刚度矩阵为
K =???
?
??--+22
221k k k k k 由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为
?????
?
??????+=211
1
1
11111k k k k k ? 得到系统的位移方程为
题3-12图
??????????????????-???????????
?
??????+
=??????2121
21232131131
1
3
113
1210
024********x
x m m
P P EJ h EJ h EJ
h EJ h EJ h x x 也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a ）中的1m 施加单位力，而2
m 不受力，此时第一个弹簧变形为
1
1
k ，第二个弹簧变形为零。由此可得位移为， 1
111k =
δ，1211k =δ
同理求出1121k =
δ，21221
1k k +=δ。最后得到柔度矩阵为??
????=22211211δδδδ?
另解：（1）求刚度矩阵[K ]和质量矩阵[M ]
在各楼层处附加水平链杆，并分别使各层产生一单位位移。由各层的剪力平衡条件，可求得各刚度影响系数，其数值分别如图3-13(b)、(c)所示。得刚度矩阵为
???
?
??
??--=21
11
][k K (a)
质量矩阵为
???
?
??
??=???
???
?
?=21
][21
m m m M (b)
图3-13
（2）频率分析 引入符号
2ωηk
m =
(c)
则由式(3-12)知
偏微分方程简介
偏微分方程简介 PB06001109,李玉胜1、偏微分方程的起源 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。 在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。 欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。 和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的，所以有人说：偏微分
弦振动实验报告
弦振动的研究 '、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密p、弦长L和弦的张力T的关系，并进行测 量。 、、实验仪器 弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺 、实验原理 为了研究问题的方便，认为波动是从A 点发出的，沿弦线朝E端方向传播，称为入射波，再由E端反射沿弦线朝A端传播，称为反射 波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传 播时将相互干涉，移动劈尖E 到适合位置?弦线上 的波就形成驻波。这时, 弦线上的波被分成几段形 成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传 播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向 图（2）左传播的用细虚线 表示，它们的合成驻波用粗 实线表示。由图可见，两个 波腹间的距离都是等于半 个波长，这可从波动方程推
导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射 波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “0”，且在X二0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： Y i = Acos2 (ft —x/ ) Y2 = Acos[2 (ft + x/ "+ ] 式中A为简谐波的振幅，f为频率，为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波 叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y i + 丫2 = 2Acos[2 (x/ ) + /2]Acos2 ft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动， 它们的振幅为丨2A cos[2 (x/ )+ /2] | ，与时间无关t，只与质点的位置 x有关。 由于波节处振幅为零，即：丨cos[2 (x/ ) + /2] | =0 2 (x/ ) + /2 = (2k+1) / 2 (k=0. 2. 3. …) 可得波节的位置为： x = k /2 ②而相邻两波节之间的距离为： X k+1 —X k = (k + 1) 12—k / 2 = / 2③又因为波腹处的质点振幅为最大，即I cos[2 (x/ ) + /2] | =1
运动微分方程
运动微分方程 弹性体体积V ，表面积S ，密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量，t 为时间。弹性体在t 时刻的动量P （t) dV v dt d dV f dS t dt dP F f V f m F dV f dS t F F F dV v m v p V i V i s i i i V i s i i V i i ??????= += ?=?=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面 ******************************************************************************* 散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。???=??s V S d F dV F 散度：表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率，其表达式为▽·A 。 z R y Q x P R Q P z y x F ??+ ??+??=???????=??),,(),,( ，P,Q ，R 为F 在x,y,z 上的分量。 散度定理的证明：S d F dV F s V ?=???????。 令()R Q P F ,,= ，假设F =(0，0，R)，则需要证明 dS n R dV R s V z ?? ????=),0,0( 如下图，投影区为U 。 dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy dz R dV R U y x Z y x Z z D z ))],(,,()),(,,([)() ,() ,(底顶 顶底????????-== S=S 底+S 顶+S 侧面
弦振动实验报告
实验13 弦振动的研究 任何一个物体在某个特定值附近作往复变化，都称为振动。振动是产生波动的根源，波动是振动的传播。均匀弦振动的传播，实际上是两个振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠加，在一定条件下可形成驻波。本实验验证了弦线上横波的传播规律：横波的波长与弦线中的张力的平方根成正比，而与其线密度（单位长度的质量）的平方根成反比。 一. 实验目的 1. 观察弦振动所形成的驻波。 2. 研究弦振动的驻波波长与张力的关系。 3. 掌握用驻波法测定音叉频率的方法。 二. 实验仪器 电动音叉、滑轮、弦线、砝码、钢卷尺等。 三. 实验原理 1. 两列波的振幅、振动方向和频率都相同，且有恒定的位相差，当它们在媒质内沿一条直线相向传播时，将产生一种特殊的干涉现象——形成驻波。如图3-13-1所示。在音叉一臂的末端系一根水平弦线，弦线的另一端通过滑轮系一砝码拉紧弦线。当接通电源，调节螺钉使音叉起振时，音叉带动弦线A 端振动，由A 端振动引起的波沿弦线向右传播，称为入射波。同时波在C 点被反射并沿弦线向左传播，称为反射波。这样，一列持续的入射波与其反射波在同一弦线上沿相反方向传播，将会相互干涉。当C 点移动到适当位置时，弦线上就形成驻波。此时，弦线上有些点始终不动，称为驻波的波节；而有些点振动最强，称为驻波的波腹。 2. 图3-13-2所示为驻波形成的波形示意图。在图中画出了两列波 在T=0，T/4，T/2时刻的波形，细实线表示向右传播的波，虚线表示 向左传播的波，粗实线表示合成波。如取入射波和反射波的振动相位 始终相同的点作为坐标原点，且在X=0处，振动点向上到达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：
弦振动实验报告
弦振动的研究 一、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L和弦的张力Τ的关系， 并进行测量。 三、 波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程
分别为： Y1＝Acos2π(ft－x/ λ) Y2＝Acos[2π (ft＋x/λ)+ π] 式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos[2π（x/ λ）+π/2]Acos2πft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2π（x/ λ）+π/2] |，与时间无关t，只与质点的位置x有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2π（x/ λ）+π/2] |＝0 2π（x/ λ）+π/2＝(2k+1) π/ 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为： x＝kλ /2 ② 而相邻两波节之间的距离为： x k＋1－x k ＝(k＋1)λ/2－kλ / 2＝λ / 2 ③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2π（x/ λ）+π/2] | =1 2π（x/ λ）+π/2 ＝kπ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x＝(2k-1)λ/4 ④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为： L＝nλ/ 2 ( n=1. 2. 3. … ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： λ＝2L / n ⑤ 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝λf，将⑤式代入可得弦线上横波的
弦振动偏微分方程的求解
弦振动偏微分方程的求解 (郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015) 摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。 关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换 Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute of Aeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015） Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform 在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。对偏微分方程求解的讨论，有很重要的意义和运用。对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要根据方程本身的特点而定。选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。 一、无界弦的自由振动问题 无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程[1] ： ?? ?+∞<<-∞==>+∞<<-∞=) (),(),0(),(),0(), 0,(2x x x u x x u t x u a u t xx tt φ? 对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。 做变量代换at x -=ξ，at x +=η，代入偏微分方程，整理可得： 02=???η ξu ，得方程的通解为：)()()()(at x g at x f g f u ++-=+=ηξ 再代入初始条件，有： ?? ?='+'-==+=) 2() ()()(),0()1()()()(),0(x x g a x f a x u x x g x f x u t φ? 对(2)式积分: )3()(1)()(0c d a x g x f x += +-?λλφ 将（1）式和（3）式联立，解之则得： 2 )(212) ()(0c d a x x f x - -=?λλφ?
均匀弦振动实验报告
实验八 固定均匀弦振动的研究 XY 弦音计是研究固定金属弦振动的实验仪器，带有驱动和接收线圈装置，提供数种不同的弦，改变弦的张力，长度和粗细，调整驱动频率，使弦发生振动，用示波器显示驱动波形及传感器接收的波形，观察拨动的弦在节点处的效应，进行定量实验以验证弦上波的振动。它是传统的电子音叉的升级换代产品。它的优点是无燥声污染，通过函数信号发生器可以方便的调节频率，而这两点正好是电子音叉所不及的。 [实验目的] 1. 了解均匀弦振动的传播规律。 2. 观察行波与反射波互相干涉形成的驻波。 3. 测量弦上横波的传播速度。 4. 通过驻波测量，求出弦的线密度。 [实验仪器] XY 型弦音计、函数信号发生器、示波器、驱动线圈和接收线圈等。 [实验原理] 设有一均匀金属弦线，一端由弦码A 支撑，另一端由 弦码B 支撑。对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动， 假设波动是由A 端朝B 端方向传播，称为行波，再由B 端 反射沿弦线朝A 端传播，称为反射波。行波与反射波在同 一条弦线上沿相反方向传播时将互相干涉，移动弦码B 到 适当位置。弦线上的波就形成驻波。这时，弦线就被分成 几段，且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅 最大。这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称为波 腹。驻波的形成如图4-8-1所示。 设图4-8-1中的两列波是沿x 轴相反方向传播的振幅相等、频率相同的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图4-8-1可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可以从波动方程推导出来。 下面用简谐表达式对驻波进行定量描述。设沿x 轴正方向传播的波为行波，沿x 轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在x =0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程为： )(2cos 1λπx ft A y -= )(2cos 2λ πx ft A y += 式中A 为简谐波的振幅，f 为频率，λ为波长，x 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： 图 4-8-1
4.2 理想流体的运动微分方程讲解
4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下
??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1） 对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）
弦振动的研究
弦振动的实验研究 弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。 本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。 预备问题 1． 复习DF4320示波器的使用。 2． 什么是驻波？它是如何形成的？ 3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？ 4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。 一、 实验目的： 1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波； 2、学会测量弦线上横波传播速度的方法： 3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。 二、实验原理 一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程 ()2222t y dx dx x y T ??=??ρ （1） 若令ρ/2 T v =， 上式可写为 2222 21t y v x y ??=?? （2） x x+dx T T x y dl 图1
弦振动研究试验(教材)分析
弦振动研究试验 传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。 本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。 【实验目的】 1. 了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。 2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。 3. 测量弦线的线密度。 4. 测量弦振动时波的传播速度。 【实验原理】 张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。 图 1
为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：Y1＝Acos2π(ft－x/ λ) Y2＝Acos2π(ft＋x/ λ) 式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos2π（x/ λ）cos2πft ······①由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2π(x / λ) |，只与质点的位置X有关，与时间无关。 由于波节处振幅为零，即｜cos2π(x / λ) |＝0 2πx / λ＝(2k+1) π / 2 ( k=0.1. 2. 3. ······) 可得波节的位置为： X＝（2K＋1）λ /4 ······②而相邻两波节之间的距离为： X K＋1－X K ＝[2（K＋1）＋1] λ/4－（2K＋1）λ / 4）＝λ / 2 ·····③又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos2π(X / λ) | =1 2πX / λ＝Kπ ( K=0. 1. 2. 3. ······) 可得波腹的位置为： X＝Kλ / 2＝ 2kλ / 4 ·····④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。 １
第3章--振动系统的运动微分方程题解
习 题 3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。 解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。 复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =? 其中 )(22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ?? ρcos )(22 Pa a g P C =+ 或 0cos )(22 =-+?? ρga a C 3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。 解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为： 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束，重力的元功为 题3-1图 题3-2图
θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+ θθθθθθθθθθ ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ， θθθθθθθθθθ ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ 故微分方程为 0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ m g e m R e Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C 要点及讨论 （1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程 ??? ??--=-=-=④③② θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C 上述方程包含C x ，C y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。 因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。 （2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能 222222 1)c o s 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+=
运动微分方程推导
以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导 1. 黏性流体的内应力 黏性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力，因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。 如在任一点取一微小的正六面体，如图所示，作用在平面ABCD 上的力 有法向应力 xx p ，与切向应力xy τ和xz τ。应力符号的第一个字母表示作 用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。 流体场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。 2. 以应力表示的运动微分方程 在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标。各应力的值均为代数值，正直表示应力沿相应坐标系的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此，
xx p yy p ，zz p 必为负值。 由牛顿第二定律，x 方向的运动微分方程为： Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx p - xx p x ??dy )dydz ]+ yx τdxdz +[-(yx τ- yx y τ??dy )dxdz ]+ zx τdxdy +[-(zx τ- zx z τ??dz )]x du dxdy dxdydz dt ρ= 等式两边分别除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导，得到： 1 1 ( )zx x XX du P yx X X y z dt τρρ τ??+ + +=???? （1） 同理，在y 方向，由牛顿第三定律得：
[()][)][()] yy yy yy xy xy xy zy zy zy y Ydxdydz dxdz dy dxdz y dydz dx dydz x dxdy dz dxdy z dxdydz dt p p p du ρρττ τ ττ τ + +-- + ?+-- + ?+ +-- ?=??? 等式两边同时除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导得： 1 1 ( )yy zy xy y Y y z x dt p du ρρ ττ+ ++ = ?????? （2）
弦振动实验-报告
弦振动实验-报告
实验报告 班级姓名学号 日期室温气压成绩教师 实验名称弦振动研究 【实验目的】 1.了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 2.测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率 3.测量弦线的线密度 4.测量弦振动时波的传播速度 【实验仪器】 弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台 【实验原理】 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为 ()λ πx =2 y- cos A ft 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ()λ πx cos =2 y+ A ft
式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为 ft x A y y y πλπ2cos 2cos 22 1=+= 这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，λπx A 2cos 2是各点的振幅 ，它只与x 有关，即各点 的振幅随着其与原点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ πx A 2cos 2、频率皆为f 的简谐振动。 令02cos 2=λπx A ，可得波节的位置坐标为 () 412λ +±=k x Λ2,1,0=k 令12cos 2=λπx A ，可得波腹的位置坐标为 2λ k x ±= Λ 2,1,0=k 相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端 点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。 既有 2λ n L = 或 n L 2=λ Λ2,1,0=n
弦振动实验报告
实验13 弦振动得研究 任何一个物体在某个特定值附近作往复变化,都称为振动。振动就是产生波动得根源,波动就是振动得传播。均匀弦振动得传播,实际上就是两个振幅相同得相干波在同一直线上沿相反方向传播得叠加,在一定条件下可形成驻波。本实验验证了弦线上横波得传播规律:横波得波长与弦线中得张力得平方根成正比,而与其线密度(单位长度得质量)得平方根成反比、 一、 实验目得 1、 观察弦振动所形成得驻波。 2、 研究弦振动得驻波波长与张力得关系、 3. 掌握用驻波法测定音叉频率得方法。 二。 实验仪器 电动音叉、滑轮、弦线、砝码、钢卷尺等。 三。 实验原理 1、 两列波得振幅、振动方向与频率都相同,且有恒定得位相差,当它们在媒质内沿一条直线相向传播时,将产生一种特殊得干涉现象——形成驻波、如图3—13—１所示。在音叉一臂得末端系一根水平弦线,弦线得另一端通过滑轮系一砝码拉紧弦线。当接通电源,调节螺钉使音叉起振时,音叉带动弦线Ａ端振动,由A 端振动引起得波沿弦线向右传播,称为入射波。同时波在C 点被反射并沿弦线向左传播,称为反射波。这样,一列持续得入射波与其反射波在同一弦线上沿相反方向传播,将会相互干涉、当C 点移动到适当位置时,弦线上就形成驻波。此时,弦线上有些点始终不动,称为驻波得波节;而有些点振动最强,称为驻波得波腹。 2、 图3—１3－2所示为驻波形成得波形示意图。在图中画出了两 列波在T=0,T/4,T/2时刻得波形,细实线表示向右传播得波,虚线表示 向左传播得波,粗实线表示合成波。如取入射波与反射波得振动相位 始终相同得点作为坐标原点,且在X=0处,振动点向上到达最大位移时开始计时,则它们得波动方程分别为:
偏微分方程 课程总结
偏微分方程 （13）
古典解的性质
—— 热传导方程
能 量 估 计
该类估计方法在物理上可以反映能量关系 特点: 在方程两端乘以u的某种关系式, 再 积分, 利用 利用一些已知的不等式进行估计 些已知的不等式进行估计, 最 终得到解u与已知函数之间的积分不等式.
1
常用概念
设 Ω ? R , p ≥ 1. 1 我们用 L (Ω) 表示满足条件
N p
的 Ω 上的Lebesgue可测函数u所构成的线性空 p 间. 对 u ∈ L (Ω), 定义 1/ p
|| u || p = || u || L p ( Ω ) =
∫
Ω
| u( x ) |p dx < +∞
(∫
Ω
| u ( x ) | p dx
)
.
Ω 上的Lebesgue可测函数 u 称为在 Ω 上本性有 界,如果存在 如果存在一个常数 个常数 K 使得 | u( x ) |≤ K a .e . Ω . 常数 K的下确界叫做 u 在 Ω 上的本性上确界, 记做
ess sup | u ( x ) | .
L (Ω) 表示Ω 上全体本性有界函数组成的线性空间.
|| u ||∞ = || u || L∞ ( Ω ) = ess sup | u ( x ) | .
x∈Ω
∞
x ∈Ω
2
常用概念
L (Ω)
p loc
u 是 Ω 上的可测函数:
对任意的紧集 G ? Ω , 都有 u ∈ Lp (G)
L (Ω) 中的函数称为 Ω 上的局部可积函数.
1 loc
设 u 和 v 是 R 上的局部可积函数, 如果 u 和 v 满 足积分等式
? ∫ u( x )? '( x )dx = ∫ v ( x )? ( x )dx ,
R R
?? ∈ D( R ),
3
则称 u 广义可导, 而称 v 为 u 的广义导数.
深度理解阻尼振动微分方程
深度理解阻尼振动微分方程 牛顿第二定律：ma F = 物体受力为： 弹性力：kx F -= 阻力：Cv F r -= 022=++kx dt dx C dt x d m 令20ω=m k ，δ2=m C ，则有： 022022=++x dt dx dt x d ωδ 该等式为二阶常系数齐次线性微分方程 特征方程02202=++ωδr r 解为2022022 442ωδδωδδ-±-=-±-=r （1）小阻尼情况 0ωδ<，则有： i r 220δωδ-±-=，一对共轭复根，令220δωω-=。 微分方程通解为： )sin cos (21t c t c e x t ωωδ+=- 初始条件01x c =，ω δ0 02x v c += 特解为t x v t x x ωω δωsin cos 00 0++= ]sin cos [20020020020020020t x v x v t x v x x x v x x ωωδωωωδωδ??? ??+++??? ??++?? ? ??++=
若令200200cos ??? ??++=ωδ?x v x x ，200200sin ??? ??++-=ωδω?x v x v ，2 0020??? ??++=ωδx v x A 则有 ]sin sin cos [cos t t Ae x t ω?ω?δ?-?=- ()?ωδ+=-t Ae x t cos （2）大阻尼情况 0ωδ>，则有： 202ωδδ-±-=r ，两个不相等的实根。 微分方程通解为： t t e c e c x )(2)(1202202ωδδωδδ-+----+= （3）临界阻尼情况 0ωδ=，则有： δ-=r ，两个相等的实根。 微分方程通解为： )(21t c c e x t +=-δ 可见，阻尼振动其实就是解一个二阶常系数齐次线性微分方程！！
弦振动实验报告
弦 振动的研究 一、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L 和弦的张力Τ的关系，并进行测量。 三、波。示。轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O ”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： Y 1＝Acos2(ft －x/ ) Y 2＝Acos[2 (ft ＋x/λ)+ ]式中A 为简谐波的振幅，f 为频率，为波长，X 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y 1 ＋Y 2＝2Acos[2（x/ ）+/2]Acos2ft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2（x/ ）+/2] |，与时间无关t ，只与质点的位置x 有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2（x/ ）+/2] |＝0
2（x/ ）+/2＝(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为： x＝k /2 ②而相邻两波节之间的距离为： x k＋1－x k ＝(k＋1)/2－k / 2＝ / 2 ③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2（x/ ）+/2] | =1 2（x/ ）+/2 ＝k ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x＝(2k-1)/4 ④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为： L＝n / 2 ( n=1. 2. 3. … ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： ＝2L / n ⑤ 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝f，将⑤式代入可得弦线上横波的传播速度： V＝2Lf/n ⑥ 另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为： V＝(T/ρ)1/2 ⑦ 式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。 再由⑥⑦式可得 f =（T/ρ）1/2（n/2L） 得 T＝ρ / (n/2Lf )2 即ρ＝T (n/2Lf )2 ( n=1. 2. 3. … ) ⑧ 由⑧式可知，当给定T、ρ、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。 四、实验内容 1、测定弦线的线密度：用米尺测量弦线长度，用电子天平测量弦线质量，记录数据 2、测定11个砝码的质量，记录数据
双曲型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]
毕业论文文献综述 信息与计算科学 双曲型偏微分方程的求解及其应用 一、前言部分 在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程[1]。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 其中，可以变的标准型有：椭圆型、双曲型、抛物型。而基本方程可以归结为四大类：波动、热传导、传输[2]。 随着电子计算机的出现和发展, 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程. 双曲型和抛物型方程描述了物质扩散和波动等不定常物理过程，这两类偏微分方程的定解问题在力学、热传导理论、燃烧理论、化学、空气动力学、电磁学和经济数学等方面都有
大学物理《弦振动》实验报告
大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等） 一.实验目的 1.观察弦上形成的驻波 2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形 3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系 二.实验仪器 XY弦音计、双踪示波器、水平尺 三实验原理 当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：= ρ 1 ------------------------------------------------------- ①
另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是： v=λγ-------------------------------------------------------- ② 将②代入①中得γ =λ1 -------------------------------------------------------③ρ1 又有L=n*λ/2 或λ=2*L/n代入③得γ n=2L ------------------------------------------------------ ④ρ1 四实验内容和步骤 1.研究γ和n的关系 ①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。 ②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。