完整版等腰三角形基础练习题

等腰三角形基础练习题

一、填空题

1. ________________________ 一个等腰三角形可以是三角形，三角形，_________________________ 三角形.

2. ________________________ —个等腰三角形底边上的、和顶角的互相重合?

3. 如图，已知AB=AC,/ 1= / 2, BD=5cm.那么BC ________ .

足3 扈 4 -IS

4. 如图，已知△ ABC 中，/ BAC=90° AD 是高，/ C=30 ° BD=3cm，那么

BC= _______ .

5?等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________ .

6. ____________________________________________________________ 三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是______________________ .

7. _______________________________________________ 等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为______________________________ .

8. _________________________________________________________ 已知等腰三角形一个角为75°那么，其余两个角的度数是_____________________ .

9. 一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是

10. 如图，已知AB=AC，Z ABC与/ ACB的平分线交于F点，过F点作DE// BC，那么图中的等腰三角形有—，它们是_____________ .

11. 如图，已知△ ABC中，/ ACB=90° / B=30°那么______ AB,如果D是

AB的中点，那么― 等腰三角形，__________ 等边三角形?

12. 如图，已知△ ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于0点，那么有

0A=___= ___ ，如果0H丄AC，H为垂足，那么直线0H是AC的 __________ .

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13. 如图，已知AB=BC=CD=CE，/ CAE=25° 那么/CEN= ____ ，/ MCE=___

14. 已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的

高为______ .

.15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是__________ .

二、选择题

1、如图1-4-21，已知/ ABC=Z C=72 ° BD是厶ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.

(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个

ma卫?咤

2. 如图，已知△ ABC中，/ B= / ACB, CD丄

AB于D，那么下列两角关系正确

的是( ).

(A)Z A= / B (B)Z A= / ACD ( C)Z A= / DCB (D)Z A=2 / BCD

3. 等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为( ).

(A)20cm (B) 22cm (C) 20cm 或22cm (D)都不对

4. 如图，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F,那么图中全等三角形对数有( ).

(A) 4 对(B) 5 对(C) 6 对(D) 7 对

5. 如图，AC=BC，Z 1= /2，那么AM是等腰三角形△ ABC的( ).

(A)顶角平分线(B)底角平分线 (C) 一腰的中线(D)底边上的中线

6. 如图，已知在厶ABC中，AB=AC,/ B=50 ° AD、AE分别是BA、CA的延长线，/ D=20 ° 那么△ DEA是（）.

* ■

（A）等腰三角形（B）等边三角形（C）等腰直角三角形（D）以上结论都不对

7. 如图，已知在厶ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ ABD的周长是

13cm，那么△ ABC的周长是（）.

(A) 11.5cm (B)13cm(C)16cm(D)19cm

8.卜列图形中，不是轴对称图形的是（).

（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）线段(D) 三角形的内角平分线

9.等腰三角形一底角的余角等于（).

（A）顶角（B）顶角的2倍（C）底边咼与一腰所成的角(D) 一腰上的高与另一腰所成的角

10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b ）（b-c）

（c-a）=0，那么这个三角形是（).

（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）锐角三

角形

11. 一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有

（）.

（A）9 条（B）7 条（C） 6 条（D）5 条

12. 等腰三角形中，有一个角是50°它的一条腰上的高与底边的夹角是（）（A）25°（B）40°（C）25。或40 °（D）以上都不对13?等腰三角形一边长为2丿亍，周长为+7,那么，这个等腰三角形腰长为（）.（A）3.5+ （B）2 馅（C）3.52 （D）以上都不对14. 已知等腰三角形的一个外角等于70°那么底角的度数是（）.

（A）110 °（B）55°（C）35°（D）以上都不对

15. 满足下列条件的图形是轴对称图形的是（）.

（A）全等的两个图形

（B）能互相重合的两个图形

（C）沿一条直线对折，能互相重合的两图形

（D）绕某点旋转180。后，能互相重合的两图形.

三、计算、证明题

1、如图，已知在厶ABC中，AB=AC,/ A=40 ° / ABC的平分线BD交AC于

求：/ ADB和/CDB的度数.

2、如图，已知AD丄BC,垂足为D,A BDE ft^ADC都是等腰直角三角形，CE=5cm, 求AB的长.

3、如图，已知CE平分/ ACB，CE± DB.Z DAB= / DBA，AC=18cm，△ CDB 的周长是28cm.求DB的长.

4、如图，已知在厶ABC 中，AB=AC，Z BAD=30° AD=AE

.求：/ EDC的度数.

等腰三角形经典练习题(有难度)

等腰三角形练习题一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x

设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A

求∠ABC 的度数延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E

等腰三角形和直角三角形专项练习题

等腰三角形和直角三角形专项练习题一、选择题 1.等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则腰长为（）cm ． A.3 B.18 C.9 D.39 2.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（） A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连接CD ．下列结论：①AC+CE=AB ；②CD ＝21 AE ；③∠CDA=45°；④AM AB AC =定值．其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于:（） A.20°、140° B.20°、140°或80°、80° C.80°、80° D.20°、80° 5.如图，BE 和AD 是△ABC 的高，F 是AB 的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6.下列命题正确的是（） A.等腰三角形只有一条对称轴 B.直线不是轴对称图形 C.直角三角形都不是轴对称图形 D.任何一角都是轴对称图形 7.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米,则它的第三边长为( ) A.35cm B.22cm C.35cm 或22cm D.15cm 8.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ) A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等 9.等腰三角形中,AB 长是BC 长2倍,三角形的周长是40,则AB 的长为( ) A.20 B.16 C.20或16 D.18 10.如图已知:AB ＝AC ＝BD,那么∠1与∠2之间的关系满足( ) A.∠1＝2∠2 B.2∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° D.3∠1－∠2＝180° 二、填空题 1. 等腰三角形的腰长是底边的4 3，底边等于12cm ，则三角形的周长为______ cm. 2. 等腰三角形的底角是65°,顶角为________. 3. 等腰三角形的一个内角为100°,则它的其余各角的度数分别为_______. 4. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_________度． 5. 已知如图，A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°,则∠ABD ＝_______ 6. 如图, ∠P ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝_______度. 第7题第5题第6题

(完整)初二数学等腰三角形练习题

G F E D C A 第2章三角形期中复习【课前复习】 1、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为。 2、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 3、在等腰三角形中，设底角为0x ，顶角为0y ，用含x 的代数式表示y ，得y= ；用含y 的代数式表示x ，则x= 。 4、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠GEF= 5、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .若一个角为140°呢，则另外两个角是 6、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm ，那么它的三边长为 7、如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠CFE=60o ，且DE=1，则边BC 的长为． 8、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（）。 A 、有一腰和一角对应相等 B 、有两边对应相等 C 、有顶角和一个底角对应相等 D 、有两角对应相等 9、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（） A 、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半 10、在△ABC 中，AB=AC ，下列推理中错误的是（） A 、如果AD 是中线，那么AD ⊥BC ，∠BAD=∠DAC B 、如果BD 是高，那么BD 是角平分线 C 、如果AD 是高，那么∠BAD=∠DAC 、BD=DC D 、如果AD 是角平分线，那么AD 也是BC 边的垂直平分线 11如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（）个 A 、4个 B 、6个 C 、3个 D 、5 12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280 ，则∠B 的度数是（） A 、600 B 、700 C 、760 D 、450 13、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(22=-+-+-a c c b b a ，那么这个三角形是（） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 14、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（） A 1个 B 4个 C 7个 D 10个 E C A E D A Q A 15题图 16题图 17题图

等腰三角形综合练习题

等腰三角形综合练习卷一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( ) A．线段B．等腰三角形C．直角三角形D．圆 2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( ) A．17 B．22 C．13 D．17或22 3．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是( ) A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形 4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E为垂足，下列结论正确的是( ) A．AC=2AB B．AC=8EC C．CE= 1BD D．BC=2BD 2 6．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角

之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13； (4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( ) A．2个B．4个C．6个D．8个 9．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2=MB2等于( ) A．9 B．35 C．45 D．无法计算 10．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(每小题4分，共24分) 11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________． 12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC 的长为__________．

等腰三角形基础试题

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等腰三角形基础练习题一、填空题 1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形. 2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合. 3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________. 4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么BC=________. 5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________. 6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________. 7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________. 8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________. 9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是_______. 10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.

11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形. 12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________. 13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____. 14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______. .15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________. 二、选择题 1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）. （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

等腰三角形基础练习题解析

等腰三角形基础练习题一、填空题 1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形. 2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合. 3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________. 4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么 BC=________. 5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________. 6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________. 7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________. 8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________. 9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是 _______. 10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.

11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D 是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形. 12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________. 13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____. 14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______. .15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________. 二、选择题 1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.

等腰三角形练习题(含答案)

等腰三角形第1课时等腰三角形的性质 1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm. 第2题图第3题图 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60° 4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF.

第2课时等腰三角形的判定 1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为() A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．钝角三角形 2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________．第3题图第4题图 4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形． 5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC. 6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G. 求证：△EFG是等腰三角形．

等腰三角形性质定理(基础)知识讲解

等腰三角形性质定理（基础）责编：杜少波【学习目标】 1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性 2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识． 3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． 4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802 A ?-∠ . （2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx 即为所求”. (3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是2a ，面积是24 a . 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据． 3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a ，h （如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC ＝a,BC 边上的高线为h. 作法：1.作线段BC=a. 2.作线段BC 的垂直平分线l,交BC 与点D. 3.在直线l 上截取DA=h,连接AB,AC. △ABC 就是所求作的等腰三角形.

等腰三角形基础训练

●自主性评估 1.选择题 (1)一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角等于( ) A.90° B.45° C.50° D.22.5° (2)等腰三角形的一个底角为30°,则它的顶角等于( ) A.30° B.40° C.75° D.120° (3)在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，∠B=50°，则∠CAD等于( ) A.50° B.25° C.40° D.65° (4)等腰三角形的一边长是10，另一边长是7，则它的周长是( ) A.27 B.24 C.17 D.27或24 (5)若等腰三角形的一个内角等于88°，则另两个内角的度数分别为( ) A.88°、4° B.46°、46°或88°、4° C.46°、46° D.88°、24° (6)若等腰三角形的一个内角等于92°，则另两个内角的度数分别为( ) A.92°、16° B.44°、44° C.92°、16°或44°、44° D.46°、46° (7)已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于( ) A.12 B.12或15 C.15 D.15或18 (8)等腰三角形底边上的高与底边的比等于1∶2，则它的顶角等于( ) A.90° B.60° C.120° D.150° (9)已知等腰三角形的一个内角等于75°,则其顶角为( ) A.30° B.75° C.105° D.30°或75° (10)在△ABC中，①若AB=BC＝CA，则△ABC是等边三角形；②一个底角为60°的等腰三角形是等边三角形；③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形;④有两个角都是60°的三角形是等边三角形.上述结论中正确的有.( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (11)给出下面四个条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③已知顶角和底角；④已知底边和底边上的高.其中能确定一个等腰三角形的大小、形状的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (12)如图9－52，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D为△ABC内部的一点，DB=DC且∠DBC=∠DCA，则∠BDC等于( ) 图9－52 A.110° B.120° C.130° D.140° (13)下列说法中，正确的有( ) ①等腰三角形的底角一定是锐角; ②等腰三角形的内角平分线与此角所对边上的高重合； ③顶角相等的两个等腰三角形的面积相等； ④等腰三角形的一边不可能是另一边的两倍. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

等腰三角形练习题及答案汇总精选.

等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D 到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD 交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．

三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且 ∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．

7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C 作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．

等腰三角形(基础)巩固练习

【巩固练习】一. 选择题 1. 已知一个等腰三角形两边长分别为 5, 6，则它的周长为（） A. 16 B. 17 C. 16 或 17 D. 10 或 12 2. 若一个三角形的三个外角度数比为 2: 3: 3，则这个三角形是（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3. （2015?陕西）如图，在△ ABC 中，/ A=36°, AB=AC BD 是△ ABC 的角平分线.若在边 AB 上截取BE=BC 连接DE 则图中等腰三角形共有（ A. 2个 B. 3个 C . 4个 D . 5个 4. 如图，在△ ABC 中，/ ABC / ACB 的平分线相交于 F ,过F 作DE// BC,交AB 于D,交AC 于E , 那么下列结论正确的有（） ①厶BDF △ CEF 都是等腰三角形； ②DE = DB+ CE ③ AD+ DE+ AE = AB+ AC; ④ BF = CF. A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（） 6. 如图，等边三角形 ABC 中，D 为BC 的中点，BE 平分/ ABC 交AD 于丘，若厶CDE 的面积等于1，则△ ABC 的面积等于（） A.105 ° B.120 ° C.135 D.150 A. 2 B . 4 C . 6 D . 12 二. 填空题 7. 如图，△ ABC 中，D 为AC 边上一点, AD - BD= BC,若/ A = 40°，则/ CBD= 8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大 30°，则顶角的度数为 _________ A

等腰三角形经典练习题(有难度)

1 等腰三角形练习题 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA C F D A B

2 求∠A 的度数设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， B 2x x －15°

作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD= 2 1,DE+BC=1, 求∠ABC的度数延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt△DBF中, BD= 2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD 求∠B：∠C的值在AC上取一点E,使AE=AB 可证△ABD≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B：∠C=2:1 二、证明题： A B C D E 3

等腰三角形(基础)巩固练习

【巩固练习】一.选择题 1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( ) A．16 B．17C．16或17D．10或12 2. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3.（2015?陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A．2个B．3个 C．4个 D．5个 4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC 于E，那么下列结论正确的有( ) ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE； ③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF. A．1个B．2个C．3个D．4个 5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（） A.105° B.120° C.135° D.150° 6. 如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（） A．2 B．4 C．6 D．12 二.填空题 7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°． 8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．

9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若 △ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm． 10.△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_____ 三角形. 11.（2015?徐州模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC与∠DCB的平分线相交于点H，过H作AD的平分线交AB于E，交CD于F．若BE=3，CF=2，则EF= ． 12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．三.解答题 13. 已知，如图，△ADC是等边三角形，B是DC边中点，E在AC延长线上且CE＝BC.请判断 △ABE的形状并证明你的结论. 14.（2015春?山亭区期末）如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

等腰三角形(基础)知识讲解

等腰三角形（基础）【学习目标】 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理． 3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形 1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 要点二、等边三角形 1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．

等腰三角形练习题及答案

等腰三角形一、选择题 1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（） A ．3cm B ．4cm C ．1.5cm D ．2cm D C A B （1） (3) 2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（） E D A B F (2) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；?③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（） E D C A B H A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．① 4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（） A ．∠ACD=∠ B B ．CH=CE=EF C ．CH=H D D ．AC=AF 二、填空题 5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．

6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD?∥BC ，?则△ABC?的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，?AE=?2cm ，?且DE?∥BC ，?则AD=________．三、解答题 9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，?且∠ABD=?∠ACE ，求证：BF=CF ． 10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，? 求证：△DBE 是等腰三角形． E D C A B F 答案: 1．A 2．C 3．A 4．C 5．1 6．AB=AC 7．2cm 9．连接BC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠ABD=∠ACE ，∴∠FBC=∠FCB ，∴FB=FC 10．证明∠D=∠BED

北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形

3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等

等腰三角形的性质练习题及答案

等腰三角形的性质练习题及答案若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径．例题求解【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值．注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系．随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择．【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ ) A．30° D．32° C 36° D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程．【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．

初中数学：等腰三角形测试题(含答案)

初中数学：等腰三角形测试题（含答案）时间40分钟总分100分一、选择题(每题5分) 1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（） A、75°或15° B、30°或60° C、75° D、30° 【答案】A 【解析】试题分析：分等腰三角形的顶角是锐角和钝角两种情况求解. 解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图所示，∵BD=1 2 AB， ∴∠A=30°， ∴∠ABC=∠C=75°；当等腰三角形的顶角是钝角时，如图所示，∵BD=1 2 AB， ∴∠BAD=30°， ∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=15°. 故应选A.

考点：等腰三角形的性质. 2、等腰三角形的底边为7cm，一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）Ａ．20cm Ｂ．10cm Ｃ．10cm或4cm Ｄ．4cm 【答案】C 【解析】试题分析：解：等腰三角形底边上的中线把等腰三角形分成的两部分的长度相等， ∴把等腰三角形的周长分成差为3cm的两部分的中线是腰上的中线，设等腰三角形的腰长是2xcm，则被分成的两部分的长度分别是3xcm和(7+x)cm，当3x-(7+x)=3时，解得：x=5，则2x=10， ∴等腰三角形的腰长为5cm；当(7+x)-3x=3时，解得：x=2，则2x=4， ∴等腰三角形的腰长是4cm或10cm. 故应选C 考点：等腰三角形的性质. 3、如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

等腰三角形经典练习题及详细答案

… 等腰三角形练习题一、计算题： 1. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB . 求∠A的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A的度数 ' 3、AB于⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数 } `C F A D A B

4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA | 求∠A 的度数！ 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 ~ 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若 BE=AC,BD=21 ,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 , B A B D C

7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值二、证明题： ^ 8. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 * 9. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O : 求证：AE+CD=AC A B C ! D A D F E B D E

12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 【 13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21 CE ， 14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED E A " E 1 2 A B C D

等腰三角形经典练习题

等腰三角形练习题一、计算题： 1. 如图， △ ABC 中， AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数设∠A 为x, 由5x=180° F D A B

得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数设∠A 为x ∠A=7180 C B

5. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上, ∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD, 求∠EDC的度数设∠ADE为x Array 2x ∠EDC=∠AED－∠ B x－15°

6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作 DE ⊥BC 于 E ，若 BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若 F

AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE C B A D E P A B C D E