微积分第一章 函数 习题及答案
第一章 函数
一、填空
1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。
2、设()1
11>≤??
?=x x x x f ，则()()x
e f x f +?1sin = 。 3、7
1
2arcsin
42-+-=
x x y 的定义域为 。 4、()x
x f x f 2
12=
??
? ??- ，则()x f = 。 5、()001
<≥?????=x x x
x x f ，则()[]=x f f 。
6、已知
()()[]21,sin x x f x x f -==?，则()x ?= 。
7、设函数()x f 满足关系式：()()x
e x
f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8、已知()[]()2
sin
,cos 1x
x x x f =+=??，则()x f = 。 9、已知()??
???≤≤+<≤<≤-+=3
12103
3132x x x x x x f x
，则其反函数()x f 1-= 。 10、函数3arcsin cos lg x y =由 复合而成。
二、选择
1、函数()x
x f 3=，则()y x f +=（ ）
A 、()()y f x f
B 、()x f 2
C 、()x f
D 、()y f
2、若
()x f 是
（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。
A 、()
3
x f B 、()[]3
x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数
()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数()x
x f 单调减少，则有（ ）
A 、()()()b f a f b a f +<+
B 、()()()
b
a b f a f b a f ++<
+
C 、()()()b f a f b a f +>+
D 、()()()
b
a b f a f b a f ++>
+
4、设函数()u f 的定义域为10<
5、设[x]表示不超过x 的最大整数，则函数[]x x y -=为（ ） A 、无界函数 B 、单调函数 C 、偶函数 D 、周期函数
6、设函数
()x xe x x f sin tan +=，则()x f 是（ ）
A 、偶函数
B 、无界函数
C 、周期函数
D 、单调函数 7、函数()()2
212sin ---=
x x x x x x f 在下列哪个区间内有界（ ）
A 、（-1 ，0）
B 、（0 ，1）
C 、（1，2）
D 、（2 ，3）
8、若在（-∞，+∞）内()x f 单调增加，()x ?单调减少，则()[]x f ?在（∞，+∞）内（ ）
A 、单调增加
B 、单调减少 Ｃ、不是单调函数 Ｄ、增减性难以判定 三、计算
１、设函数()x f y =的定义域为［０，３a ］（a >０），求()()()a x f a x f x g 32-++=的定义域。
２、已知()???≤<≤≤=+2121012x x x x x ? ，求()x ?及其定义域。
３、设()??
?>+≤-=02
2x x x x x g ，()???≥-<=0
02
x x x x x f ，求()[]x f g
４、设()x f 是（－a ，a ）上是奇函数，已知0≥x 时，()()()00,==??x x f ，试求：在（－a ，０）上()=x f ？
四、应用题
１、某商品的单价为１００元，单位成本为６０元，商家为了促销，规定凡是购买超过 ２００单位时，对超过部分按单价的九五折出售，求成本函数、收益函数、利润函数。 ２、某电视机每台售价为５００元时，每月可销售２０００台，每台售价为４５０元时，每月可增销４００台，试求该电视机的线必性需求函数。
３、某厂生产某商品的可变成本为１５元／件，每天的固定成本为２０００元，如果每件商品的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？ 五、设()x
c
x bf x af =???
??+1 ，其中c b a ,,为常数，且b a ≠，试证：()()x f x f -=。 应用实例
生小兔问题
兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？
解 先直接推算，在第1月只有1对兔子；第2月也只有一对兔子；在第3月这对兔子生了1对小兔子，共有2对兔子；在第4月，老兔子又生了1对小兔子，共有3对小兔子；在第5个月，老兔子生1对小兔子，且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子，故共有5对小兔子，在第6个月，老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1对小兔子，故共有8对小兔子。如此类推，不难得到月份和小兔子对数的关系如表1所示。
乎有些繁和苯，且容易出错。有没有更好的方法呢？现在回过头来仔细观察一下每月小兔数的变化情况，我们发现从第3月开始，每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和。若记n r 为第n 月的小兔对数，则我们发现的规律为
,4,3,,1,11221=+===--n r r r r r n n n (1)
用（1）式就很容易用计算机算出2年后兔子的对数为75025。
交通路口的红绿灯模型
问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒种，问最多可以有多少汽车通过这个交叉路口.
分析：这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向. 这里我们在一定的假设之下把这个问题简化.
假设：
（1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞.
（2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆.
（3）所有的车辆长度相同，为L 米，并且都是从静止状态匀加速启动. （4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为D 米. （5）前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相等，为T 秒.
对于我们的问题，可以认为在红灯下等待的车队足够长，以致排在队尾的司机看见绿
灯又转为红灯时仍不能通过路口.
我们用X 轴表示车辆行驶的道路.原点O 表示交通灯的位置，X 轴的正向是汽车行驶的方向.以绿灯开始亮为起始时刻.
于是在红灯前等待的第1辆汽车刚起动时应该按照匀加速的规律运动.我们可以用公式
2/)(21at t S =来描述它，其中)(1t S 为t 时刻汽车在X 轴上的位置，a 是汽车起动时的加
速度.对于灯前的第n 辆车，则有公式2/)()0()(20t t a S t S n n -+=，其中)0(n S 是起动前汽车的位置，0t 是该车起动的时刻。由假设（3）~（5）可知，))(1()0(D L n S n +--=，
T n t n )1(-=.在城市道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制，为 *v 米/秒.并假设绿
灯亮后汽车将起动一直加速到可能的最高速度，并以这个速度向前行驶，则显然汽车加速的时间是n n t a v t +=/**.
由上面的分析可以得到绿灯亮后汽车行驶的规律是
???
??≤-++<≤-+<≤=t t t t v a v S t t t t t a S t t S t S n n
n n n n n n *0*2**20,)(2/)0(,2/)()0(0,
)0()(
对于模型的参数值，我们取L =5米 ，D =2米 ，T =1秒.在城市的十字路口汽车的最高速度一般是40千米/时，它折合1.11*=v 米/秒 .进一步需要估计加速度，经调查大部分司机声称：10秒钟内车子可以由静止加速到大约26米/秒的速度。这时可以算出加速度应为2.6米/秒2
，保守一些取汽车的加速度为a =米/秒2
. 5.5/*=a v 秒.
根据这些参数，我们可以计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如表所示
绿灯亮至15秒汽车的位置
从上表可见，当绿灯亮至15秒时，第八辆汽车已经驶过红绿灯9米。而第九辆车还距交通灯9.1米不能通过.
经济市场中商品交换模型
1. 市场
个体贸易者将他们的商品带到市场，又根据不同的需求将商品换回家。一个简单的交换经济就这样形成.假定有n 个贸易者群},,2,1{n N =，用n ,,2,1 表示.有m 种商品，
m ,,2,1 作为下标.每个贸易者i 带进市场的商品用),,,(2
1i m i i i ???? =来表示，这里
i j ?是贸易者i 拥有商品j 的初始数量.我们假定每个贸易者i 具有实值效用函数i u ，以表示
他的偏好.值)(x u i 是对所有能实现的商品分配),,,(21m x x x x =定义的，当且仅当
)()(y u x u i i >时，贸易者i 较向量y 更喜欢向量x .还可假定函数i u 具有某些性质，如连续
性和凸性，即对任意的10≤≤λ，)()1()())1((y u x u y x u i i i λλλλ-+≥-+成立.
考虑一个贸易者联盟N S ?. S 中的局中人可以在他们之间将商品重新分配，满足守恒律
∑∑∈∈=s
i i
s
i i x ?
这里),,,(21i
m i i i x x x x =描述了i 的商品分布。假定群体效用是它的成员效用的和。则联盟
的目标是选择i x ，使群体的总效用最大，即决定i x ，使 )(max )(i s
i i x u S v ∑∈=
任何公平的分配都必须考虑以这种方式决定的联盟值)(S v .
2 咖啡早茶
假定三个工人带着四种商品（咖啡、茶、糖和奶油）去喝早茶.局中人1带两个单位的咖啡，但他喜欢喝奶油的茶.局中人2有一个单位的茶但他喜欢喝加糖的咖啡，局中人3有两个单位的糖和三个单位的奶油，想喝加糖和奶油的咖啡.他们的自带商品可表示成
)3,2,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,2(321===???
假设局中人的效用函数是
},,{)(,},min{)(,),min{)(4313312421x x x x u x x x u x x x u ===
这里)(x u i 给出了工人i 所饮饮料的杯数，饮料由配料配制，配料可用x 表示.
对}3,2,1{=N 的不同子集S ，可计算联盟的值)(S v .例如，如果局中人1病了，不能来工作，这对联盟}3,2{最有好处。导出的特征函数是
0})3,2({})2,1({})3({})2({})1({=====v v v v v , 2})3,1({=v , 3})3,2,1({=v
分配集是 }0,,;3:),,{(321321321≥=++=u u u u u u u u u A 核心是 }2:),,{(31321≥+∈=u u A u u u C
哪个联盟也没有能力拒绝接受使效用结果),,(
u u u u =位于核心中的分配x .这些集合表
方桌为什么总可以放平稳
问题 将一只四条腿一样长的方桌放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿同时着地？
在下列假设条件下，答案是肯定的：（1）地面为连续曲面.（2）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的脚是足够长的.（3）只要有一点接触地面，就应视为已经着地，即将与地面的接触看成几何上的点接触.
现在，我们来证明这一结论. 先作如下设想：设方桌的俯视图如下图，四条腿分别在
C B A 、、
取对角线AC 初始所在的直线为x 轴，BD 所在的直线为y 轴. 当方桌绕中心O 转动时，对角线AC 与初始位置的夹角记为θ.
记C A 、两腿到地面的距离之和为)(θf ，D B 、两腿到地面距离之和为)(θg ，当地面是连续曲面时，g f 、均为θ的连续函数. 又根据（2），腿是足够长的，故三条腿总能同时着地，所以0)()(=θθg f 必成立. 现不妨设0)0(=f （即初始时刻C A 、两腿着地），而0)0(>g （否则已四腿着地）.于是，方桌问题归化为以下的数学问题：
已知)(θf 和)(θg 是θ的连续函数，0)0(=f ，0)0(>g ，且对任意θ有
0)()(=θθg f ，求证存在某一θ，使得0)()(00==θθg f .
证明 当2
π
θ=
时，AC 与BD 互换了位置，故0)2
(,0)2(=>π
πg f .取
}00,0)(|sup{0<≤==ξξθθf ，显然2
0π
θ<
. 因为f 连续，由上确界定义必有
0)(0=θf ，且对任意0>ε，又有0)(0>+εθf . 这样，由0)()(=θθg f 又可推得 0)(0=+εθg ，再根据g 的连续性及ε的任意性即可得出0)(0=θg ， 证毕.
答案
一、填空 １、()x ψ
２、x sin ３［－３，－２］?［２，4］ ４、??
? ?
?+-
x x 1232
５、x ６()21arcsin x -
７、()112--+-
x x
e e
８、()212x -
９、
()???
?
???≤≤-<≤<≤--=-11
3231log 183131x x x x
x x x f
１０、
x w w v v u u y arcsin ,,cos ,lg 3====
二、选择
１、Ａ ２、Ｃ ３、Ａ ４、Ｄ ５、Ｄ ６、Ｂ ７、Ａ ８、Ｂ 三、计算 １、解：()u f y = 的定义域为[]a 3,0，0>a ，即：a u 30≤≤
∴（１）
、a x a a a x 230≤≤-?≤+≤ （２）、a x a a a x 32
3
3320≤≤?
≤-≤
∴
Ｄ
()[]??
?
???=???????-=a a a a a a g 2,2
33,2
32,
２、解：令1+=x u ，∴ 1-=u x
∴ ()()()??
?≤-<-≤-≤-=2
11121
1012u u u u u ? ，
∴ ()()()??
?≤<-≤≤-=3
2122
112x x x x x ?
∴ ()x ?的定义域为[](][]3,13,22,1=?
３、解： ()?
??>+≤-=020
2u u u u u g
令()x f u
=
∴
()[]()()()()??
?>+≤-=0
2
02x f x f x f x f x f g ，
()00≥?≤x x f
此时：
()x x f -=；()00x x f ，此时：()2x x f =
∴ ()[]???<+≥+=0
2
022
x x x x x f g
４、解：设
()()()?
??<≥=00x x x x x f ψ?
，由于
()x f 是奇函数，∴
对任意x 有
()()x f x f -=-
当0>x 时，0<-x ，∴ ()()x x f -=-ψ，而()()x x f ?=
∴ ()()x x ?ψ-=- ，
0>x
，即：()()x x --=?ψ
，0 ∴ 在（－a ，０）上， ()()x x f --=? 四、应用题 １、解：设购买量为x 单位，则成本函数()x x C 60=，收益函数()?? ?>+≤=200 1000 95200100x x x x x R 利润函数()()()?? ?>+≤=-=200 1000 3520040x x x x x C x R x L ２、解：设电视机的市场需求量为Ｑ台，单位价格为p 元，线性函数为： Ｑ＝bp a -，()0,>b a 代入， 当 p ＝５００元时，Ｑ＝２０００，得Ｑ＝2000500=-b a （１） 当p ＝４５０时，Ｑ＝２４００，得 Ｑ＝2400450=-b a （２） 由（１）（２）得6000=a ，8=b ∴过且过所求需求函数为：p Q 86000-= ３、解：设每天生产该商品x 件，则每天成本为()200015+=x x C （元） ， 每天收入()x x R 20=，为了每天不亏本，则()()x C x R ≥，即：20001520+≥x x 得400≥x （件） ，即：若要不亏本，则每天至少应生产该商品４００件。 五、把x 换成 x 1，代入()x c x bf x af =??? ??+1 （１） 得()cx x bf x af =+?? ? ??1 （２） b a ≠ ，由（１） （２）得())(122bcx x ac b a x f --= ∴ ()()x f bcx x ac b a bcx x a c b a x f =--=+--- =-)(1)(12 222 第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >） （1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。 注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。 （4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞； 高等数学教案 、 第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。 第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ → 5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+ 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 第七、八、九章 多元函数微积分 复习测试题 一、单项选择题（每题2分） 1、在空间直角坐标系中，1=y 表示（ ）。 A 、垂直于x 轴的平面 B 、垂直于y 轴的平面 C 、垂直于z 轴的平面 D 、直线 2、用平面1=z 截曲面22y x z +=，所得截线是（ ）。 A 、圆 B 、直线 C 、抛物线 D 、双曲线 3、下列关于二元函数的说法正确的是（ ）。 A 、可偏导一定连续 B 、可微一定可偏导 C 、连续一定可偏导 D 、连续一定可微 4、设3 2 y xy x z +-=，则=???y x z 2（ ）。A 、y 612+- B 、x - C 、y - D 、1- 5．若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d sin d cos d -=，则二阶偏导数y x z ???2=（ ） A ．y sin - B ．x sin C ．x cos D ． y cos 6、函数x x y y x f 2),(22+-=在驻点（1，0）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 7．若函数),(y x f z =的一阶偏导存在，且 y y f xy x z ==??),0(,2，则=),(y x f （ ） A ．y x 2 B ．2 xy C ．y y x +2 D ．y xy +2 8、设20,10:x y x D ≤≤≤≤；则下列与 ??D dxdy 的值不相等的是（ ） 。 A 、 ?1 2 dx x B 、? 1 dy y C 、?-1 )1(dy y D 、??1 2 x dy dx 9、二次积分dy y x x dx x ? ? -+240 2220 转化为极坐标下的二次积分为（ ） A 、dr r d ??20 32 cos θθπ B 、dr r d ?? 2 22 cos θθπ C 、 dr r d ?? 2 30 cos θθπ D 、dr r d ??2 20 cos θθπ 10、x y x D ≤≤≤||,10:，则二重积分=??D dxdy （ ） 。 A 、 ? 10 ydy B 、 ? 10 xdx C 、 ? -11 ydy D 、 ? 10 2xdx 二、填空题（每空3分） 11、0242 2 2 =+++-z z y x x 的图形是球心为 的球面。 2018-2019 大学数学(B1) 练习题 第一章 一、选择题 1. 下列函数中不是基本初等函数的是…………………………………………（ ） A. 反三角函数 B. 符号函数 C. 对数函数 D. 幂函数 2. 下列函数是无界函数的是……………………………………………………（ ） A.x y sin = B.x y arctan = C.x y 1 sin = D.3x y = 3. 下列各组函数中相等的是……………………………………………………（ ） A.2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B.0 )(,1)(x x g x f == C.1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D.2)(|,|)(x x g x x f == 4. 下列函数中为奇函数的是……………………………………………………（ ） A.)1ln()(2++=x x x f B.||)(x e x f = C.x x f cos )(= D.1 sin )1()(2--= x x x x f 5. 下列说法中正确的是…………………………………………………………（ ） A. 有界数列必定收敛 B. 收敛数列必定有界 C. 单调数列必定收敛 D. 收敛数列必定单调 6. 极限x x x x sin lim +∞ →的值为……………………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 7. 极限)21( lim 2 22n n n n n +++∞→ 的值为………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 8. 极限x x x 10 ) 1(lim -→-的值为 ……………………………………………………（ ） A ．1 B ．e - C ．e 1 D ．e 9. 极限x x x x 2)1( lim +∞ →的值为 ……………………………………………………（ ） 高等数学第一章测试题 一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断 多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2 多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?, 122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+ 第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限 9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量 考研数学三-多元函数微积分学(一) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) The mass media is a big part of our culture, yet it can also be a helper, adviser and teacher to our young generation. The mass media affects the lives of our young by acting as a (an) (1) for a number of institutions and social contacts. In this way, it (2) a variety of functions in human life. The time spent in front of the television screen is usually at the (3) of leisure: there is less time for games, amusement and rest. (4) by what is happening on the screen, children not only imitate what they see but directly (5) themselves with different characters. Americans have been concerned about the (6) of violence in the media and its (7) harm to children and adolescents for at least forty years. During this period, new media (8) , such as video games, cable television, music videos, and the Internet. As they continue to gain popularity, these media, (9) television, (10) public concern and research attention. Another large societal concern on our young generation (11) by the media, is body image. (12) forces can influence body image positively or negatively. (13) one, societaland cultural norms and mass media marketing (14) our concepts of beauty. In the mass media, the images of (15) beauty fill magazines and newspapers, (16) from our televisions and entertain us (17) the movies. Even in advertising, the mass media (18) on accepted cultural values of thinness and fitness for commercial gain. Young adults are presented with a (19) defined standard of attractiveness, a(n) (20) that carries unrealistic physical expectations. （分数：10.00） (1).[A] alternative [B] preference [C] substitute [D] representative（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] accomplishes [B] fulfills [C] provides [D] suffices（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] risk [B] mercy [C] height [D] expense（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] Absorbed [B] Attracted [C] Aroused [D] Addicted（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] identify [B] recognize [C] unify [D] equate（分数：0.50） A. B. C. 多元函数微积分复习题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： 多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 （ B ) （A) 充分而不必要条件; (B ） 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件； (D) 既不必要也不充分条件． 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (Ａ） 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (Ｃ） 必要而且充分条件; (D ） 既不必要也不充分条件. 3.函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B )． (A) 充分而不必要条件; (Ｂ) 必要而不充分条件; (Ｃ) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. ４．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=； B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在， 则. 22z x ??=22z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). Ａ. 可微（指全微分存在）?可导(指偏导数存在)?连续; Ｂ. 可微?可导?连续; C ． 可微?可导, 或可微?连续， 但可导不一定连续; Ｄ. 可导?连续， 但可导不一定可微. 6．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ) (A) 3 (B ） 3- 微积分练习题册 第一章 函数 1. 1 y x = 是无穷小量； 2. 奇函数与偶函数的和是奇函数； 3. 设arcsin y u = ，u = 2arcsin 2+=x y ； 4. 函数 1 lg lg y x = 的定义域是 1x > 且 10x ≠； 5. 函数 2 x y e -= 在 (0,)+∞ 内无界； 6. 函数 21 1y x =+ 在 (0,)+∞ 内无界； 7. 2 1()cos x f x x -= 是奇函数； 8. ()f x x = 与 2()g x = 是相同函数 ； 9. 函数 x y e = 是奇函数； 10. 设 ()sin f x x = ，且2[()]1f x x ?=-，则()x ?的定义域是 (0,1)； 11. y x = 与 y 是同一函数； 12. 函数 31y x x =++ 是奇函数； 13. 函数 1 arcsin 2 x y -= 的定义域是(1,3)- ； 14. 函数 cos3y x = 的周期是 3π ； 15. y x = 与 2 x y x = 不是同一个函数； 16. 函数 cos y x x =是偶函数 . 填空题 1. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________； 2. 设 cos 0()0x x f x x ≤??=?>?? ，则 (0)f = __________； 3. 设 x x x f --=24)(2 ，则 )2(-f = _______ ； 4. 设 x x f 1 )(=，x x g -=1)( ，则 )]([x g f = _______ ； 5. 复合函数2 (sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的； 6. 函数 43y x =- 的反函数是 _______ ； 7. 已知 11 ()1f x x =- ，则 (2)f = __________ ； 8. y = ，其定义域为 __________ ； 9. 设函数 2 ()1 x f x x -=- ，则 (1)f -= __________； 10. 考虑奇偶性，函数 ln(y x = 为 ___________ 函数 ； 11. 函数 2x y e = 的反函数是 1 ln 2 y x = ,它的图象与 2x y e = 的图象关于 ________ 对称 . 选择题 1. 函数 3 2 --= x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞ 2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( ) (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( ) (A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+ 4. 已知函数 20()10ax b x f x x x + 多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____ 多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．(整理)多元函数微分习题
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