高中物理--力矩平衡

高中物理--力矩平衡

力矩平衡难点

（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型

（2）灵活恰当地选取固定转动轴

（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等

物体平衡条件注意点：

实际上一个物体的平衡，应同时满足F 合=0和M 合=0。

共点力作用下的物体如果满足F 合=0，同时也就满足了M 合=0，达到了平衡状态； 而转动的物体只满足M 合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F 合=0方可。

1、如图所示，一根长为L 的轻杆OA ，可绕水平轴O 在竖直平面内自由转动，左端A 挂一质量为m 的物体，从杆上一点B 系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子C 与弹簧K 连接，弹簧右端固定，这时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知OB =OC =

32L ，弹簧伸长量恰等于BC ，由此可知，弹簧的劲度系数等于______

解析：

本题中根据给的图确定C 点在O 的正上方，则已知OB =OC ，可以得到BC=OB 2 物体的重力产生的力矩M =G ×OA =mgL

已知弹簧伸长量Δx =BC ，则弹簧的弹力F =kΔx =L k 23

2? 光滑钉子C 的效果可以等效为光滑的滑轮，则绳子BC 的拉力就等于弹簧的弹力 绳子BC 的拉力的力臂为O 到BC 的垂直距离，即为L 3

2 则绳子BC 产生的力矩M =L k 232?×L 32=294kL 根据力矩平衡，得到29

4=

kL mgL 则k =9mg /4L

2、如图所示是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，c 是杠杆，O 是其固定转动轴。手在A 点施加一个作用力F 时，b 将压紧轮子，使轮子制动。若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是（ ）

A 、轮a 逆时针转动时，所需的力F 较小

B 、轮a 顺时针转动时，所需的力F 较小

C 、无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F 相同

D 、无法比较F 的大小

解析：

如图所示，若轮子a 逆时针转动，则此时轮子相对手柄b 点是向

上运动，则手柄的b 点会给轮子向下的摩擦力。

根据作用力和反作用力，轮子会给手柄一个向上的摩擦力f ’。

而手柄b 点还会受到轮子的弹力N 。

分析力矩，则f ’产生顺时针力矩，N 产生逆时针力矩，A 产生顺

时针力矩。

因此此时A 点施加的力F 较小。

反之，若轮a 顺时针转动，则轮a 对手柄b 的摩擦力向下，产生

逆时针力矩，而弹力N 始终产生逆时针力矩，因此此时需要的力F 较大。

故A 正确。

3、如图所示，长为L 质量为m 的均匀木棒，上端用绞链固定在

物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光

滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当：

（1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力；

（2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力；

（3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力。

解析：

（1）取棒为研究对象.选绞链处为固定转动轴，除转动轴对棒的作用力外，棒的受力情况如图1所示，由力矩平衡条件知：

F N 1Lc os θ=mgc os θ/2

得到F N 1=mg

/2

图1 图2

（2）小车向左运动，棒另外受到一个水平向左的摩擦力F 1作用，受力如图2所示，则有

2N F Lc os θ=mg

2L cos θ+μ2N F L sin θ 所以2N F =)

tan -1(2θμmg ，则2N F ＞1N F （3）小车向右运动时，棒受到向右的摩擦力F 2作用，受力

如图3所示，有

3N F L cos θ+μ3N F L sin θ=mg

2L cos θ 解得3N F =

)

tan +1(2θμmg 所以3N F ＜1N F

4、如图所示，一自行车上连接脚踏板的连杆长R 1，由脚踏板带动半径为r 1的大齿盘，通过链条与半径为r 2的后轮齿盘连接，带动半径为R 2的后轮转动。

（1）设自行车在水平路面上匀速行进时，受到的平均阻力为f ，人蹬脚踏板的平均作用力为F ，链条中的张力为T ，地面对后轮的静摩擦力为f s 。通过观察，写出传动系统中有几个转动轴，分别写出对应的力矩平衡表达式；

（2）设R 1=20 cm ，R 2=33 cm ，脚踏大齿盘与后轮齿盘的齿数分别为48和24，计算人蹬脚踏板的平均作用力与平均阻力之比；

图

3

（3）自行车传动系统可简化为一个等效杠杆。以R 1为一力臂，在框中画出这一杠杆示意图，标出支点，力臂尺寸和作用力方向

解析：

（1）自行车传动系统中的转动轴个数为2，设脚踏齿轮、后轮齿轮半径分别为r 1、r 2，链条中拉力为T

对脚踏齿盘中心的转动轴可列出：FR 1=Tr 1

对后轮的转动轴可列出：Tr 2=f s R 2

（2）由FR 1=Tr 1,Tr 2=f s R 2 ，及f s =f （平均阻力） 可得24

48==2121

r r R f FR s 所以10

33

=20×2433

×48==1221R r R r f F =3.3

（3）如图所示

5、如图所示 ，AO 是质量为m 的均匀细杆，可绕O 轴在竖直

平面内自由转动。细杆上的P 点与放在水平桌面上的圆柱体接

触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡。已知杆的倾角为θ，

AP 长度是杆长的41

，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的

作用力等于____________。

对球和挡板进行受力分析，如图所示

对球进行分析，可以得到，挡板对圆柱体的作用

力F 等于细杆对球的作用力T 水平方向的分力。

即F =T sin θ

再对细杆分析，满足力矩平衡方程

θcos 2

1?=43?L mg L T 得到θcos 3

2=mg T 则θθθθ2sin 3

1=cos sin 32=sin =mg mg T F

6、一根木料长5.65 m ，把它左端支在地上，竖直向上抬起它的右端时，用力480 N ，用相似的方法抬起它的左端时，用力650 N ，该木料重___________N

解析：

分别选取木棒的左右两端作为支点排列力矩平衡方程。

设木棒的重力离开左端距离x ，则离开右端距离为5.65-x

用力F 1抬起右端时

Gx =5.65F 1

用力F 2抬起左端时

G (5.65-x )=5.65F 2

两式联立得到G =1130N

7、如图所示，两个等重等长质料均匀直棒AC 和BC ，其各自一端

分别通过转轴与墙壁绞结，其另一端相连于C 点，AC 棒与竖直墙

夹角为45°，BC 棒水平放置，当两棒均处于平衡状态时，则BC 棒

对AC 棒作用力方向可能处于哪一区域

A 、甲区域

B 、乙区域

C 、丙区域

D 、丁区域

如图所示

A 的重力产生顺时针力矩，

B 的重力

产生逆时针力矩。

对B 分析，则A 对B 的必须产生顺时

针力矩才能够使B 平衡，因此A 对B

的力的范围为B 棒上方。

则根据作用力和反作用力，B 对A 的

力的范围就在B 棒下方。

而对A 分析，要使A 能够保持平衡，

则B 对A 的力必须产生逆时针力矩，因此B 对A 的力的范围如图所示，在A 棒的上方。 那么同时满足B 对A 的作用范围和B 对A 的力产生逆时针力矩的范围的区域，即可以使两棒均处于平衡状态的区域，即丁区域。

8、如图所示，长为l 的均匀横杆BC 重为100 N ，B 端用铰链

与竖直的板MN 连接，在离B 点5

4l 处悬吊一重为50 N 的重物测出细绳AC 上的拉力为150 N ，现将板MN 在△ABC 所在

平面内沿顺时针方向倾斜30°，这时AC 绳对MN 板的拉力是

多少？

解析：

如图所示，画出受力分析图。

则最初状态时的力矩平衡方程为 L G L G x T BC

AC 5

4?+21?=?物 当MN 板旋转30°之后，如图所示

写出此时的力矩平衡方程

°30cos ?=°30cos 5

4?+°30cos 21?=?'x T L G L G x T AC BC AC 物 则得到N T T AC AC 130=2

3?

150=°30cos ='

9、如图所示，均匀木板AB 长12 m ，重200 N ，在距A 端3 m 处有一固定转动轴O ，B 端被绳拴住，绳与AB 的夹角为30°，板AB 水平。已知绳能承受

的最大拉力为200 N ，那么重为600 N 的人在该板上安全行走，

离A 端的距离应在什么范围？

解析：

作出AB 板的受力图

人在O 轴左端x 处，绳子拉直拉力为零.由力矩平衡可得：

G 人×x -G ×CO =0

x =人G CO G ?=6003200?=1 m.即离A 端2 m 处. 人在O 轴右端y 处，绳子的拉力T =200 N ，由力矩平衡得：

T sin30°×BO -G 人y -G ×CO =0

y =6003200921200sin30人?-??=?-?G CO G BO T

=0.5 m 即离A 端3.5 m 。

所以人在板上安全行走距A 端的距离范围为2 m≤x≤3.5 m

10、如图所示，梯与墙之间的摩擦因数为μ1，梯与地之间的摩擦因数为μ2，梯子重心在中央，梯长为L 。当梯子靠在墙上而不倾倒时，梯与地面的最小夹角θ由下式决定： tan θ=2

2121μμμ-，试证之。 提示：

分别选取A 点和B 点作为转动轴来排列力矩平衡方程。

11、如图所示，AOB为三角支架，质量M＝19.2kg，A端搁在铁块上，支架可绕过O点的水平轴自由转动，支架重心在C点，C点距O点的水平距离d＝0.2m，AO＝L＝0.8m，支架的斜面AD的倾角θ＝37°.质量m＝10kg的物体放在支架底

端A处，物体在平行于AD方向的力F作用下由静止开始运动，

F＝85N，物体与AD间的滑动摩擦系数μ＝0.25，求:

(1)物体运动多长时间，运动到何处时支架开始翻倒?

(2)如果这个物体在AD上某点由静止开始向下滑动，为使支架

不翻倒，物体距A端的最大距离为多少?(g取10m/s2)

提示：

本题的根本想法为力矩平衡。

根据力矩平衡

Mgd=fh+Nx

得到x=0.36m，则物体离开A点的位置为

x+l=0.36+0.64=1m

再根据牛顿第二定律求出运动的时间t

如果从靠近D的地方放手下滑

Nx=Mgd+fh

得到x=0.6m，离开A点位置为x+l=1.24m

12、均匀球重为G，置于倾角为30°的斜面上，在球的最高点用水平力F拉住使球静止在斜面上，则F多大？为能使球静止在斜面上，又最省力可将F力施于何处？力F的方向如何？力F的取值为？

解析：

以球和斜面的接触点为转轴，排列力矩平衡方程。

重力G，力臂为y，y=R sin30°

拉力F，力臂为x，x=R+R cos30°

Gy=Fx，就能够求出F了

要使得力最小，那么选择力臂最大的点，也就是经过支点

的直径的最高点。

如图所示。

GR sin30°=F'2R，得到F'=G/4

不需要考虑摩擦力，因为摩擦力过转动轴，不产生力矩。

13、直角三角形轻板ABC，A=37°。质量不计，其上表面AB水平

光滑，B点通过连接物P固定于墙面，板的顶点C与一固定转动轴

0链接，重力为G的小球在AB上离B得距离为d则（）

A、B点受到的P的拉力对O的力矩为Gd

B、如果d增大，P对B点作用力增大，但不可能大于G

C、如果d增大，P对B点作用力相对转动轴O的力矩也增大

D、如果d增大，转轴O对C点的作用力也增大

解析：

小球对板的压力产生顺时针力矩，因此P

对板的力需要产生等大的逆时针力矩才能

平衡，则A正确。

A对则C对，顺时针力矩增大，逆时针力

矩相应增大。

本题除了要考虑力矩平衡，还要考虑共点

力平衡。

小球对板的压力、P对板的作用力以及O对板的作用力，三力共点，不然无法保持平衡。那么对着d的增大，小球对板的压力大小等于G方向不变，这三力共点，那么应该会导致另外2个力随之增大。

B错D对。

14、直杆AB和直角弯杆BCD按如图所示连接，A、B、D处均为铰链，杆与

铰链的质量都不计。ABCD构成一长方形，将重力为G、可视为质点的物块放

在图中P处，则

A、AB杆对BCD杆的作用力方向沿BC连线向下

B、B CD杆对AB杆的作用力方向沿DB连线斜向上

C、若AP间距变大，BCD杆对AB杆的作用力变大

D、若AP间距变大，AB杆对BCD干的作用力对转动轴D的力矩不变

解析：

杆和铰链的质量都不计，所以首先很明确的是P产生的力矩是顺时针的。

然后注意，题目中有提到“转动轴D”，其实就在提示，D点也要作为转动轴来考虑。

以A点为转动轴来分析，P产生顺时针力矩，那么BCD对AB的力就要产生逆时针的力。不过这时还不能确定力的方向。

重点是以D为转动轴来分析BCD上的力矩。

因为轻杆不计质量，所以BCD上只有受到2个力，一个是AB对BCD的力，一个是墙壁的弹力。

那么墙的弹力产生的力矩为零，因为过D点，而BCD又平衡，所以AB对BCD的力产生的力矩也要为零。

因此只有可能是AB对BCD的力的作用线也过D点。

因此，这个力的方向就是B选项中说的方向。