变分原理

力学变分原理


首先来说明几个概念:
定律:对物理现象进行观察,实验,在积累了大量事实和实验结果的基础上经过归纳,总结而得到的一们科学的
基本规律.如:牛顿三定律.
定理:从基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的进一步反映事物间的内在联系的数学关系表达式.如:
动量定理等
原理:也是有基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的命题.其不同与定理之处在于:原理具有高度的概括
性,可以认为与基本定律等价.
变分原理的特征在于它只是提供了一个准则.根据这个准则可以把相同条件下系统的真实运动与约束所允许的一切可能运动区分出来,从而得到系统的真实运动.
力学的变分原理可分为两大类:
1. 微分形式的变分原理.它研究任一瞬时区分真实运动与可能运动的准则.如:动力学普遍方程.
2.积分形式的变分原理. 它研究在任一有限时间历程中区分真实运动与可能运动的准则.如:哈密顿原理.
真实位移.可能位移与虚位移
真实位移:即实位移,是在力的作用下的真实运动中经过一定时间间隔内发生的位移,当Δt=0时,有dui=0.真实位移可以是微小的,也可以是有限的,它有约束限制,具有确定的方向性.
可能位移:是给定时间间隔内约束允许的位移.当Δt=0时,有dui=0.可能位移是一种状态,有可能发生有可能尚未发生,或者只是作为一个抽象的描述.
虚位移:是约束许可下某瞬时可能发生的微小位移.它只是一个抽象的几何概念,与系统或质点的实际运动,力的作用,时间历程,初始条件和能量无关.
三个位移可由时间概念和约束概念加以联系和区分:
在定常约束条件下,虚位移为可能发生而未发生的可能位移,实位移是众多虚位移中的一个.
在非定常约束条件下,虚位移与时间无关,实位移是众多可能位移中的一个.
从数学概念上,可能位移是满足指定位移约束条件的位移自变函数,而虚位移是位移自变函数的变分.
通过前面的一些基础，我们现在来说什么是变分原理
变分原理是针对以下积分形式的标量（泛函）Π而言的：
其中u是未知函数，F，E是确定的算子， 对于小变化的δu使得Π取得驻值的函数u就是连续体问题的解。因此，对于连续体问题的解，有变分为零即：
δ Π=0
这就是变分原理。