一次函数和它的图像导学案
一次函数和它的图像导学案
学习目标、
(1)了解一次函数与正比例函数的关系和意义。(2)掌握一次函数的一般形式,并能根据所给条件写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。(3)了解一次函数的图像是一条直线,会画一次函数和正比例函数的图像。(4)学会用列表法、图像法表示一次函数。(5)掌握一次函数及其图像的性质。
教学重点和难点:重点:理解一次函数的概念。 难点:掌握一次函数的性质。 过程、
预习导案 一、一次函数的概念、先预习教材第38页到第39页,完成 下列表格
函数解析式 函数 自变量 自变量的指数 自变量的系数 常数项 y=0.8x (x ≥0) y=8+12x(x ≥0) y=1-6x
想一想:这些函数在形式上有什么共同特点? 如果用y 表示函数,用x 表示自变量,k 为自变量的倍数,b 为常数项,能不能用一个式子表示出函数关系式?
发现: 一般地,形如y=kx+b (k ,b 是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数. 特别的当b=0时一次函数y=kx (k ≠0,k 为常数)也叫正比例函数
1、结合你对一元一次方程中的一次的理解,说一说你对一次函数中的“一次”的理解: 判断下列函数是不是一次函数?
(1)y= -8x+2; (2)y=5x 2+6; (3)y =-0.5x-1 2、k 可以为0吗?说说你的理由.
已知y=(m+1)x+2,当m≠ ,y是x 的一次函数.
3、b 可以为0吗?若b 为0一次函数和正比例函数有什么关系?说一说你的发现:
4、把下列函数化成一次函数的一般形式
(1)、 x y 31=- 一般式为: (2)、 342-=x y 一般式为: 二、一次函数的图像,预习教材第40页到第45页。归纳一次函数图像的做法和性质
一)、一次函数y=kx+b (k ,b 是常数,k≠0)的图像是一条直线 。常常把这条直线叫作“直线
b kx y +=”做它的图像的步骤分成三步:1
点,3根据函数的自变量的取值范围连线。
1、试试做一次函数12+-=x y 的图像。
2、建系描点。3 、连线
你会画一次函数的图像了吗?二)、你能在同一坐标系中做出下列正例函数kx y =的图像吗?
(1)x y = (2)x y -= (3)x y 2= (4) x y 2-=
先取值列表,再建系描点,最后连线。
x 0 1 y=x x 0 1 y=-x x 0 1 y =2x x 0 1 y=-2x
仔细观察所画的图像,你有什么发现吗?这些图像都过 点( , )
x y =和x y 2=的图像经过 第 、 象限 从左向右 ,即随x 的增大y 也增大。
x y -=和x y 2-=的图像经过第 、
象限从左向右 ,即随x 的增大y 反而 。 你能推广到一般情况吗?你能应用吗?考考你:正比例函数x y 3-=的图像上有两点A (x 1,y 1 )和点(x 2,,y 2 ),如果x 1>x 2 则y 1 y 2
三)在同一坐标系中画下列一次函数的图像并仔细观察图像 (1) 12+=x y (2)、12+-=x y (3) 12-=x y (4)12--=x y
你能得到一次函数b kx y +=(0≠k 且k 、b 为常数)的性质吗?1、一次函数的图像是一条 ,特别的,当b=0时,正比例函数的图象是一条过________的直线。 2、一次函数y =kx +b (k ≠0)图象与坐标轴相交情况:
(1)当k >0时,y 随x 的增大而______, 这时函数的图象从左到右____升 当k <0时,y 随x 的增大而______,
这时函数的图象从左到右____降.
2)当b >0时,与____轴的________轴相交; 3)当b =0 时,过_________;
当b <0时,与____轴的________轴相交。 3、一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象象限分布情况: (1)当k >0,b =0 时,过___________象限;当k <0,b =0 时,过___________象限。
(2)当k >0,b >0时,过__________象限;当k >0,b <0时,过___________象限;
当k <0,b >0时,过___________象限;当k <0,b <0时,过___________象限。 4、两个一次函数只要一次项系数k 相同,直线就_________, 若k 不同,则两直线__________。
三、变换角度看问题;从方程的角度来看,一次函数就是一个二元一次方程。从函数的角度来看一个二元一次方程就是一个一次函数 。那么我们在学习时要注意用二元一次方程的知识解决一次函数 的问题,也要学会用一次函数的图像来解决二元一次方程的问题 四、典型例题
一)用方程的知识解决一次函数 的问题
1、函数b kx y +=过A 点(1,3)B 点(2,4)则 k= b =
二)要初步学会用一次函数的图像和性质解决一次函数的有关问题
1.直线y = – 1
2 x 上的点A (3,y 1)和B (– 2,y 2),则y 1与y 2的关系是( )
A.y 1≤y 2
B.y 1=y 2
C.y 1<y 2
D.y 1>y 2
2、函数42-=x y 经过点(0, )和( ,0),与坐标轴围成的三角形面积S 为____ x 取哪些值时,y >0?x 取哪些值时,y <0?
说说你的收获的疑惑:五:达标检测
1.函数y=kx的图象经过点P(3,-1),则k的值为__________。
2.下列函数中,图象经过原点的为( )
A.y= 5x+1 B.y= —5x-1 C.y= —
5
x
D.y=
5
1
-
x
3.函数y=2x-3经过点(0, )和( ,0),与坐标轴围成的三角形面积S为____ x取哪些值时,y>0?x取哪些值时,y<0?
4.直线y = –
1
2x上的点A(– 5,y1)和B(– 2,y2),则y1与y2的关系是()
A.y1≤y2
B.y1=y2
C.y1<y2
D.y1>y2
5 .已知一次函数1
)2
(+
+
=x
m
y,函数y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是6.下列图象中,表示直线y=x-1的是( ).
7.已知一次函数y=kx+b的图象如右图所示,则k,b的符号是( )
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
C.k<0,b>0
D.k<0,b<0
8.一次函数y b
kx+
=,若0
,0<
>b
k,那么它的图象过第________象限。
9.写出同时具备下列两个条件
..........的一次函数表达式(写出一个即可)__________________ (1)y随着x的增大而减小;(2)图像过点(1,-3)
10.函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x,则k=__________.
11.若把一次函数y=2x-3,向上平移3个单位长度,得到图象解析式是( )
(A)y=2x (B) y=2x-6 (C)y=5x-3 (D)y=-x-3
12. 一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,-2),且与直线
2
1
3-
=x
y平行,求它的函数表达式.
y
x
函数的图像导学案
【学习目标】 使学生掌握函数图像的画法.并会用函数图像求定义域、值域 【课堂导学】 一、预习作业 1、描点法作函数图像步骤: 2、还可以用计算机生成。 二、典型例题 例1、本节开头的问题中:如果把人口数(百万人)看做是年份x 的函数,试根据表,画出这个函数的图像。 例2、试画出下列函数的图像,并根据图像,分别求这两个函数的值域。 ⑴()1;f x x =+ ⑵2 ()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈ 例3、试画出函数f (x )=x 2+1的图像,并根据图像回答下列问题; ⑴比较f (-2)、 f (1) 、f (3)的大小; ⑵若0 ★例4、作出下列函数的图像,并求值域 (1)、y=x2-2|x|-3 (2)、y=|x2-2x-3| 三、板书设计 【巩固反馈】 一、填空题 1.下列可作为函数y=f(x) 图像的是___ (1) (2) (3) 2.函数y = f (x )的图像与直线 x =a 的交点个数为___ 3.根据函数y =(x -1)2-3(0≤ x ≤3)的图像,比较大小: f (0) f (1), f (0) f (3), f (1) f (3). 4.如右图,已知函数f (x )的图像关于直线x =1对称,则满足 不等式f (a )>f (3)的实数a 的取值范围是 。 二、解答题 5.作出下列函数的图像: (1)y =243x x -+; (2 ) y =12 x -1,x ,4z ∈≤且x ; (3 ) 2 (1)1(1)x x y x x ?≥-=?+<-? 6.借助函数y =x 2的图像,画出函数y = x 2-2x +1的图像。 §5正弦函数y=sinx的图像导学案 班级:__________ 小组:___________姓名:_____________ 学习目标: 一.【三维目标】 1.知识与技能 (1)了解正弦线; (2)了解并理解利用单位圆画正弦函数的图像; (3)掌握正弦函数图像的“五点作图法”。 2.过程与方法 体会周期性在画函数y=sinx图像过程中的应用,从图像中进一步分析验证诱导公式的正确性。 2、情感态度与价值观 通过从单位圆和图像两个不同角度去观察和研究正弦函数的变化规律,培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二.【学习重点、难点】 重点:“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像;难点: 利用单位圆画正弦函数图像。 预习案【课前预习,成竹在胸】 1.复习:正弦函数是一个周期函数,最小正周期是____,所以,关键就在于画出________上的正弦函数的图像。 2.预习: (1)正弦函数x x∈的图像叫做正弦曲线。 =,R y sin (2)正弦线:①MP 是带有方向的线段,这样的线段叫有向线段.MP 是从M →P 。②不论哪种情况,都有MP =y .③依正弦定义,有sin α =MP =y ,我们把MP 叫做α的正弦线.(如图1) (3)几何法的作图步骤。 ①建立直角坐标系,在y 轴左侧作单位圆,并把⊙O 十二等分 ②过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可以得到对应于0、6π、3π、 2π 、……、π2角的正弦线 ③将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28) ○4取点,平移正弦线,使起点与轴上的点重合 ○5描点连线得y=sinx x ∈[0,2π]的图像 ○ 6利用周期性画出y=sinx (x ∈R )的图像(如图2) (图1) (图2) (4)五点作图法: 在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑 曲线将它们连接起来,就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”,这五个关键点是: ___________________________,描出这五个点后,函数y=sinx , α的终边 P M O x y 课题 一次函数的性质 【学习目标】 1.让学生理解一次函数的性质是由什么决定的,并能借助性质和图象判断k 、b 与0的大小. 2.能根据函数的图象结合性质求自变量或函数值的范围. 【学习重点】 一次函数的性质,判断k 、b 与0的大小. 【学习难点】 根据图象判断自变量或函数值的范围. 行为提示:创设问题情景导入,激发学生的求知欲望. 行为提示:让学生阅读教材,尝试完成“自学互研”的所有内容,并适时给学生提供帮助,大部分学生完成后,进行小组交流. 知识链接:一次函数识图方法:k 定象限(k>0,过一、三象限;k<0,过二、四象限);b 定截距(截y 轴的点:b>0,在y 轴正半轴上;b<0,在y 轴负半轴上). 解题思路:在确定k ,b 的范围之前,必先注意函数的表达式是否为一般形式:y =kx +b(k≠0,b 是常 数).情景导入 生成问题 【旧知回顾】 1.如何判断一个点是否在函数的图象上? 答:把点的横坐标的值代入函数中,看纵坐标是否与函数的值相等,若相等,则点在函数的图象上,否则不在. 2.在同一直角坐标系中,画出函数y =2 3 x +1和y =3x -2的图象.在你所画的一次函数图象中,直线经过哪 几个象限? 解:如图,函数y =2 3 x +1经过一、二、三象限;函数y =3x -2经过一、三、四象限. 自学互研 生成能力 知识模块一 直线y =kx +b(k≠0)的位置与k 、b 的关系 【自主探究】 1.在所画的一次函数图象中,直线经过了三个象限.观察图象发现在直线y =2 3 x +1上,当一个点在直线上 从左向右移动时(即自变量x 从小到大时),点的位置也在逐步从低到高变化(函数y 的值也从小到大),即:函数值y 随自变量x 的增大而增大.函数y =3x -2也是这种情况. 新苏科版八年级数学上册 一次函数专题课(4)学案 ---最值问题 姓名:____________ 学习目标: 1、了解一次函数最值问题需将实际问题转化为数学问题,构建目标函数,通过一次函数的增减性可使问题得以解决; 2、实际问题的一次函数由于自变量取值范围的限制,其函数图象局限于某一线段或 射线,从而存在最值; 学习过程: 一、自主预习: 1、已知一次函数y =-5x +30,且自变量x 的取值范围为x ≥5,求y 的最大(小)值是多少? 解:∵一次函数y =-5x +30中k _______________ ∴y 随x 的增大而_______________ ∵x ≥5 ∴y 有最__________值,当x =________时,y =__________。 2、已知一次函数y =3x +50,自变量x 的取值范围为12≤x ≤20, ∵k _____∴y 随x 的增大而_________,∴当x =________时,y 有最大值=__________;当x =________时,y 有最小值=__________。 3、电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查,播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次,播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次,公司要求电视台每周共播放7集. (1)设一周内甲连续剧播x 集,甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y 万人次, 求y 关于x 的函数关系式. (2)已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间,并且播放甲连续剧每集需50分钟,播放乙连续剧每集需35分钟,请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集,才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大,并求出这个最大值. 二、合作探究: 活动1、(2014?四川自贡)一次函数y =kx +b ,当1≤x ≤4时,3≤y ≤6,则 k b 的值是 . 活动2、某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱,此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A 种饮料x 箱,且所购进的两种饮料能全部卖出,获得的总利润为y 元. ⑴求y 关于x 的函数关系式? ⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元,那么该商场如何进货才能获利最多?并求出最大利润。(注:利润=售价-成本) 八年级数学(上)导学案 班级 姓名 学号 §4.3.2 一次函数的图像(2) 一、教学目标是: 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上,掌握一次函数图象及其简单性质; 2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略; 二、教学过程 一、第一环节:问题引入: 1、作正比例函数图象的一般步骤有: 、 、 。 2、回顾正比例函数图象的性质? 3、作一次函数图象的一般步骤有: 。 1、请作出一次函数12+=x y 的图象. 解: 第二环节: 活动探究 1、合作探究,发现规律 在同一直角坐标系内分别画出y=2x+3, y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象. . ; 得出结论:一次函数图像是 .因此作一次函数图像时,只要确定 点,再过这 点作直线就可以了.一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+. 议一议: 1、上述四个函数中,随着x 值的增大,y 的值分别如何变化?相应图象上点的变化趋势如何? 2、直线y=-x 与y=-x+3的位置关系如何?你能通过适当的移动将直线y=-x 变为直线y=-x+3 吗?一般地,直线y=kx+b 与y=kx 又有什么关系? 3、直线y=2x+3与y=-x+3有什么共同点?一般地,你能从函数y=kx +b 的图象上直接看出b 的值吗? 4、如何确定直线y=kx +b 所经过的象限? 归纳出一次函数图象的特点: 在一次函数y kx b =+中 当0k >时,y 随x 的增大而 ,当b >0时,直线必过 象限; 当b <0时,直线必过 象限; 当0k <时,y 随x 的增大而 ,当b >0时,直线必过 象限; 当b <0时,直线必过 象限. x … … y … … 4.5《一次函数的应用》导学案 班级:组别:组名:姓名: 【学习目标】 1.学会用待定系数法确定一次函数解析式; 2.会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象; 3.能灵活运用一次函数及其图象解决简单的实际问题; 【学习重难点】 灵活运用有关知识解决相关问题 【学习过程】 一、自主学习 1.什么叫一次函数? 2.一次函数有哪些性质? 3.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式。 分析:求一次函数y=k x+b的解析式,关键是:求出k、b的值,从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组,并求出k、b。 解:设这个一次函数的解析式为y=k x+b 因为y=k x+b的图象过点(,)与(,), 所以 解方程组得: 这个一次函数的解析式为: 4.先设出函数解析式(其中含有未知常数系数)再根据条件列出方程或方程组,求出未知数,从而具体写出这个式子的方法,叫做。知道两点坐标用此方法可求出函数解析式。 二、自主探究(B级) 5.作出分段函数 3x-5 (1≤x≤3) y= 4 (3<x≤5) 的图象 14-2x (x>5) 6.小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又 匀速跑10分,试写出这段时间里她的跑步速度y(单位:米/分)随跑步时间x(单位:分)变化的函数关系式,并画出函数图象。 〖思路点拔〗本题y随x变化的规律分成两段(前5分与后10分)写出y随x变化的函数关系式要分成两部分,画函数图象也要分成两段来画。 解:当0≤x<5时,y= (0≤x<5) 或y= 当5≤x≤时,y= (5≤x≤ ) 三、合作探究(C级) 7.课本134页例1 8.若直线y=k x+b与直线y=-2x+1平行,且经过点(3,4),求这条直线的解析式。 四、能力提升(D级) 9.已知一次函数y=k x+b的图象经过点(3,-3),且与直线y=4x-3的交点在x轴上, ①求这个一次函数的解析式;②此直线经过哪几个象限?③求直线与坐标轴围成三角形的面积。 五、归纳小结 六、学习反思 七、课堂检测:P134页、135页练习题 专题:一次函数 基础知识梳理 1、正比例函数 一般地,形如y = kx(k是常数,(k0))的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。 2、正比例函数图象和性质 一般地,正比例函数y = kx(k为常数,(k0))的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线,我们称它为直线y = kx。当k>0 时,直线y = kx经过第象限,从左 向右上升,即随着x的增大,;当k<0时,直线y = kx经过第象限, 从左向右下降,即随着x 的增大. 3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y = kx(k0)中的常数k,其基本步骤是:(1)设出含有待定系数的函数解析式y = kx(k0);(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k 的一元一次方程;(3)解方程,求出待定系数k;(4)将求得的待定系数的值代回解析式. 4、一次函数 一般地,形如y = kx+ b(k,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b=0 时,y =kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 5、一次函数的图象 (1)一次函数y = kx+ b(k0)(的图象是经过(0,b)和(- b,0)两点的一条直 k 线,因此一次函数y = kx+ b的图象也称为直线y =kx+b. (2)一次函数y = kx+b的图象的画法. 根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可。一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),(- b,0).即横坐标或纵坐标为0的点. k 5.2.1二次函数的图像与性质⑷ 班级 姓名 【学习目标】 1.会用描点法画二次函数()k h x a y ++=2 的图像,掌握它的性质. 2.渗透数形结合思想. 【课前自习】 2 2.抛物线22+=x y 的开口向 ,对称轴是 ;顶点坐标是 , 说明当x = 时,y 有最 值是 ;无论x 取任何实数,y 的取值范围是 . 3.抛物线()2 32--=x y 的开口向 ,对称轴是 ;顶点坐标是 , 说明当x = 时,y 有最 值是 ;无论x 取任何实数,y 的取值范围是 . 4.抛物线()2121 +- =x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称; 抛物线()212 1+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称 【课堂助学】 一、 自主探索: 1.画出二次函数()2121 -=x y 和()212 12+-=x y 的图像:正弦函数的图像(导学案)
八年级数学下册17函数及其图像课题一次函数的性质 精品导学案 华东师大版28
新苏科版八年级数学上册 一次函数专题课(4)学案
§3.2 一次函数的图像导学案
《一次函数的应用》导学案
初中数学一次函数学案
5.2 二次函数的图像和性质(3) 导学案