四个重要数学概念判断的模块化思考

四个重要数学概念判断的模块化思考（购书大赠送） 概念教学是历来是数学教学中的一个难点，先是有文[1]提出的“淡化形式、注重实质”影响甚为广泛，成为指导概念教学的经典性文献，后有文[2] 把数学概念分成三类：描述性概念、发展性概念和基础性概念，并分别提出了以“形”取“意”、重“意”轻“形”和形意兼备、循序渐进的创新教学策略，让我们的概念教学更具宏观性和可操作性.

阅读以上文献，笔者感触颇深，颇受启发.但是，在一线教学中，我们有时不得不面对一些例如文[3]对于型如函数x x f -=2)(是否是指数函数之类的具体问题.

本文试对实数、代数式、方程和函数这四个初等数学的重要概念判定做模块化的对比思考，供读者参考，权当抛砖引玉，不当之处，欢迎批评指正.

1．函数

文[3]认为函数的判定注重对应关系的本质.换言之，判定函数的类型时，必须先把函数表达式化简（必须等价）成最简形式，然后再判断！

我们赞同上述观念，并且试着进一步阐明其科学性：

首先，我们的化简是基于等价变换，其次，化简前后两个函数的定义域相同，利用图像法画图来看，它们的图像必然相同；若用表格法来表示，对于同一个x 的值，必然对应相同的y 的值.据此，可以充分说明函数的对应关系的本质没变，化简后更容易看清楚函数的类型和本质.

2.代数式

文[3]认为代数式的判定注重外形.换言之，判定代数式的类型时，不需把原式化简（即使是等价），只需看原型判断！

我们赞同上述观念，并且阐明其科学性：我们以分式的概念为例说明.

首先，我们看教材上[4]分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成

B A 的形式.如果除式B 中含有字母，那么称B

A 为分式.对于任意一个分式，分母不为零. 其次，我们看一个例题，虽然我们可以把代数式1

12224+++x x x 等价转换为12+x ，但是，我们依然认定112224+++x x x 是分式而不是整式，因为当我们把1

12224+++x x x 等价转换为12+x 时，我们实际上是利用分式的一个重要的性质：分子分母同除以12+x ，也就是我们

说已经认定1

12224+++x x x 是分式的前提下，然后使用分式的性质来化简的，所以说，我们说1

12224+++x x x 是分式而不是整式！当然，我们也可以断定代数式y x 1+它既不是整式，也不是分式，看原型它是有理式.

同理，判断一个代数式是不是根式时，理应如此.

3.方程

对于方程类型的判断，不应一言蔽之，需要分情况讨论！

一类是是注重方程的本质.换言之，判定方程的类型时，必须先把方程化简（等价）成最简形式，然后再判断！

例如，我们判断方程0)(=x f 是不是一元二次方程时，教材明确告诉我们需要化简[5]：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为02

=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，0≠a ）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.

另一类是不需要化简的，只注重形式，即只看外形即可！例如，分母中含有未知数的方程叫做分式方程[6].定义本身就明确告诉我们分式方程是不需要化简.

4.实数

对于实数类型的判断，我们认为也是注重实数的本质.换言之，判定实数的类型时，必须先把实数化简成最简形式，然后再做判断！

例如，在实数23-

，0，π ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个 这是初中数学的常见题型，无论是课本上的例题、习题，教辅资料还是中考题频频出现，我们判断过程中，显然是要把每一个数进行化简，然后再判断.这是判断这类问题的“潜规则”. 再如，36是整数而不是分数.因为23

6=，而2是整数，所以36是整数而不是分数.为什么判断分数要化简后才判断，而判断分式却不需化简呢？

我们试着解释其中的道理：我们知道，从广义的角度来说，整数也是特殊的分数，即分母是1、分子是整数的特殊分数，因此，我们把分数化成最简形式就是看看其分母是否是

1、分子是否是整数？若是，这个数是整数，否则这个数是分数.

所以，我们暂且武断的认为在判断一个数的类型时，需要化成最简形式再来判断. 综上所述，

首先，我们可以把实数、代数式、方程和函数这四类初等数学概念分为两大类、三种判断方法：

第一类是教材上的概念具体明确，即根据教材上的概念我们知道需不需要化简，如一元二次方程的概念等；

第二类是教材上的概念不明确，对于这类问题我们有两种方法：

方法一我们可以根据知识之间的内在联系，通过逻辑推理来决定判断时化简的科学性.如函数的概念、分式的概念的判断等.

方法二我们可以根据解题过程的积累形成的“潜规则”来决定判断时化简的必要性.实数概念的判断等.

其次，判断实数和函数的类型时，需要先化简成最简形式，然后再判定其类型；判定代数式的类型时，不需把原式化简（即使是等价），只需看原型判断！判断方程类型时需要分情况讨论.

参考文献

[1] 陈重穆，宋乃庆. 淡化形式、注重实质[J]. 数学教育学报，1993(2):7.

[2] 孙琪斌. 例谈三类数学概念的一般策略[J]. 数学教学，2011(12):2-4.

[3] 罗增儒. x x f -=2)(是指数函数吗[J]? 中学数学教学，2011(1):12-12.

[4] 山东教育出版社 义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册，2011:2.

[5] 山东教育出版社 义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册，2012:40.

[6] 山东教育出版社 义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册，2011:16.

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有序言、目录、样张。

作者简介

王志进，中学高级教师。工作以来，先后在《数学通报》《数学教学》《中学数学教学参考》《中小学数学》《中学生学习报·数学周刊》等各种报刊杂志上发表文章200余篇，参编、主编、独著《且行且思—我的教育教学探索与思考》《和谐高效思维对话型—新课堂教学的实践探索（初中数学）》《名师谈高考知识点（数学）》《中考抢分36计（初中数学）》《6小时快速提高中考成绩（初中数学）》《轻松搞定初中数学·数与式》《数学特训营----七天搞定初中函数》等师生用书30余本，执教的《探索三角形相似的条件》一课获省级优质课二等奖，先后获得市模范教师和科研先进个人、省优秀教研员等荣誉称号。

多次参加中考命题工作，并承担各级各层次培训工作。

各种评价

江苏知名特级教师于老师：

好书，值得买！

我推荐是基于对王老师的了解。

王老师从事的是与我相同的工作，都是教研员。

大体来说，教研员写的书，往往都是接地气的，因为教研员经常在一线听课，了解教师的需求。同时，又在教师平时常规工作的基础上，适当有所提升，有理性思考，因此这样的书往往最受一线教师欢迎。

王老师曾经写过很多书，质量都上乘。

王老师写的这本书是介于理性思考与人生感悟的，这样书值得保存，值得反复阅读与思考，尤其对青年教师的工作来说，会有很多启迪。

**校长：

王老师，您好！您的大作《且行且思》，昨日到校，连夜拜读，虽只了自序一部分，但惊讶－惊喜－惊叹！这一心里路程令我受益匪浅！王老师发自内心的告白和看似普通实为惊艳的教学教研的22年历程，你云＂第一缕夕阳＂我看却是那么的富有生气和活力！拜读大作，吾辈所幸。且行且思，更是人生大感悟！谢谢王老师，不但是良师更是益友！祝夏安！

王校长，您好，私闻你才思敏捷，文采飞扬，果不其然。在浮躁的社会你坚守读书的嗜好，我终于明白贵校办的有特色的缘由，可惜和你这样有思想的校长太少了。祝一切安好！

**老师

我也经常看一些名师的作品，但看到您的作品《且行且思》，即使屋子里再怎么喧哗也影响不到我的投入。我会将我喜欢的地方画下来做标记，然后抄在本上。这是我的一种习惯，就像您爱书一样，倍加珍惜，觉得只有记录下来这才真正属于我。可能真的像您所说的接地气吧，所以您写的每一字每一句我都喜欢都会反复的品味领悟，有时某一句话我会走路时也在想念它，看自己喜欢的作品。

**老师

认识了您，我的人生在改变。从您在高职组织的数学培训中，我认识并走进李镇西，读着他的书，我在不断提高自己的教育境界；在数学群里，您领我们走进特级教师窦桂梅，反复读着她对教师的十条警示：“好教师的知识结构应当有三块组成：精深的专业知识，开阔的人文视野，深厚的教育理论功底。这些只能靠不断读书学习获得。老师和学生一样，要像海绵一样不断地吸收和纳取”；在您带我们走进特级教师余映潮时，他的：“教师以成为“名师”为理想追求，理想的树立就是前进方向的明确，有了方向，不仅不会迷失自我，还可以产生持续向前的动力！”于是我开始读书、思考、写东西，写作不仅是积累经验的一种方式，更是逼迫自己勤于阅读和思考的强劲动力；您和我们在烟台龙口市参加“中国教育梦—全国著名特级教师好课堂初中数学教学观摩活动”，我们亲临名师课堂，走近符永平，思考着他的创造性教学观，我的课堂在改变，我们的课堂该确立怎样的特色与风格，我一直在困扰中不停地思考；阅读着您推荐的周长生《为了不教而教》，他的学生教老师文章，让我读了一边又一边，一边又一边地思考；阅读着您推荐的任勇《你能成为最好的数学老师》，我在认识自我、完善、超越自我。相信在我们群里已有、将有许多人在不断改变着自己，人海中我们有幸认识并结实了您王老师，更期待我们会超越您！

**老师

---说真的，对您除了敬佩还是敬佩，您的敬业您的和蔼可亲，从心里佩服。在我的教学生涯中像您这样对待每一次考题的只有您一人。

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